一、單選題（本大題共8小題）
1．已知集合，，則（ ）
A．B．
C．D．
2．設，，若，則（ ）
A．5B．C．20D．25
3．設甲：為等比數(shù)列；乙：為等比數(shù)列，則（ ）
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件
C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
4．已知，則（ ）
A．B．C．D．
5．已知關于x的不等式在上有解，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
6．已知拋物線E：的焦點為F，以F為圓心的圓與E交于A，B兩點，與E的準線交于C、D兩點，若，則（ ）
A．3B．4C．6D．8
7．在同一平面直角坐標系內(nèi)，函數(shù)及其導函數(shù)的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有一個公共點，其坐標為，則（ ）
A．函數(shù)的最大值為1
B．函數(shù)的最小值為1
C．函數(shù)的最大值為1
D．函數(shù)的最小值為1
8．已知函數(shù)，設，，，則a，b，c的大小關系是（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本大題共3小題）
9．小明上學有時坐公交車，有時騎自行車，他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到，坐公交車平均用時10min，樣本方差為9；騎自行車平均用時15min，樣本方差為1.已知坐公交車所花時間與騎自行車所花時間都服從正態(tài)分布，用樣本均值和樣本方差估計，Y分布中的參數(shù)，并利用信息技術工具畫出和的分布密度曲線如圖所示.若小明每天需在早上8點之前到校，否則就遲到，則下列判斷正確的是（ ）
A．
B．若小明早上7：50之后出發(fā)，并選擇坐公交車，則有60%以上的可能性會遲到
C．若小明早上7：42出發(fā)，則應選擇騎自行車
D．若小明早上7：47出發(fā)，則應選擇坐公交車
10．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，對于任意，都有成立．當時，，下列結論中正確的有（ ）
A．
B．函數(shù)在上單調(diào)遞增
C．直線是函數(shù)的一條對稱軸
D．關于的方程共有4個不等實根
11．我國著名科幻作家劉慈欣的小說《三體Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三體文明使用新型材料-強互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探測器，其外形與水滴相似，某科研小組研發(fā)的新材料水滴角測試結果如圖所示（水滴角可看作液、固、氣三相交點處氣—液兩相界面的切線與液—固兩相交線所成的角），圓法和橢圓法是測量水滴角的常用方法，即將水滴軸截面看成圓或者橢圓（長軸平行于液—固兩者的相交線，橢圓的短半軸長小于圓的半徑）的一部分，設圖中用圓法和橢圓法測量所得水滴角分別為，，則下列結論中正確的有（ ）
附：橢圓（）上一點處的切線方程為.
A．圓法中圓的半徑為B．
C．D．
三、填空題（本大題共3小題）
12．“五一”期間人民群眾出游熱情高漲，某地為保障景區(qū)的安全有序，將增派6名警力去兩個景區(qū)執(zhí)勤.要求景區(qū)至少增派3名警力，景區(qū)至少增派2名警力，則不同的分配方法的種數(shù)為 .
13．已知圓臺的下底面半徑為，上底面半徑為，其側(cè)面積等于上、下底面積之和，則圓臺的高為 ．
14．已知函數(shù)，設曲線在點處切線的斜率為，若均不相等，且，則的最小值為 ．
四、解答題（本大題共5小題）
15．在中，角的對邊分別為滿足．
(1)求B的大??；
(2)若，的面積為，求的周長．
16．已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列的前項和為，且．
(1)求數(shù)列，的通項公式；
(2)記，數(shù)列的前項和為，若對一切恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
17．已知向量，，函數(shù).
(1)若，求；
(2)當時，求函數(shù)的值域.
(3)若將的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再將所得圖象向左平移個單位長度，可得到的圖象，求的解集.
18．已知函數(shù)，.
(1)若，求函數(shù)在點處的切線；
(2)若對任意的，，有恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
19．2023年10月11日，中國科學技術大學潘建偉團隊成功構建255個光子的量子計算機原型機“九章三號”，求解高斯玻色取樣數(shù)學問題比目前全球是快的超級計算機快一億億倍.相較傳統(tǒng)計算機的經(jīng)典比特只能處于0態(tài)或1態(tài)，量子計算機的量子比特（qubit）可同時處于0與1的疊加態(tài)，故每個量子比特處于0態(tài)或1態(tài)是基于概率進行計算的.現(xiàn)假設某臺量子計算機以每個粒子的自旋狀態(tài)作為是子比特，且自旋狀態(tài)只有上旋與下旋兩種狀態(tài)，其中下旋表示“0”，上旋表示“1”，粒子間的自旋狀態(tài)相互獨立.現(xiàn)將兩個初始狀態(tài)均為疊加態(tài)的粒子輸入第一道邏輯門后，粒子自旋狀態(tài)等可能的變?yōu)樯闲蛳滦?，再輸入第二道邏輯門后，粒子的自旋狀態(tài)有的概率發(fā)生改變，記通過第二道邏輯門后的兩個粒子中上旋粒子的個數(shù)為.
(1)若通過第二道邏輯門后的兩個粒子中上旋粒子的個數(shù)為2，且，求兩個粒子通過第一道邏輯門后上旋粒子個數(shù)為2的概率；
(2)若一條信息有種可能的情況且各種情況互斥，記這些情況發(fā)生的概率分別為，，…，，則稱（其中）為這條信息的信息熵.試求兩個粒子通過第二道邏輯門后上旋粒子個數(shù)為的信息熵；
(3)將一個下旋粒子輸入第二道邏輯門，當粒子輸出后變?yōu)樯闲Ｗ訒r則停止輸入，否則重復輸入第二道邏輯門直至其變?yōu)樯闲Ｗ?，設停止輸入時該粒子通過第二道邏輯門的次數(shù)為（，2，3，?，，?）.證明：當無限增大時，的數(shù)學期望趨近于一個常數(shù).
參考公式：時，，.
答案
1．【正確答案】C
【詳解】由，則，所以，
所以，
故選：C
2．【正確答案】A
【詳解】，，若，則有，解得，
則有，得.
故選：A
3．【正確答案】A
【詳解】充分性：若為等比數(shù)列，設其公比為，
則，所以為等比數(shù)列，公比為，滿足充分性.
必要性：若為等比數(shù)列，公比為，
則，即，
假設為等比數(shù)列，此時無解，故不滿足必要性.
所以甲是乙的充分條件但不是必要條件.
故選：A
4．【正確答案】C
【詳解】因為，
則
.
故選：C.
5．【正確答案】B
【詳解】當時，由可得，
因為，由基本不等式可得，
當且僅當，即時，等號成立，故.
故選：B.
6．【正確答案】D
【詳解】由拋物線方程知：，，
不妨設點在第一象限，如圖所示，直線與軸交于點，

由，則，
圓的半徑，所以，
由拋物線的定義可得：，所以，
又因為點在拋物線上，所以，
．
故選：D.
7．【正確答案】C
【分析】AB選項，先判斷出虛線部分為，實線部分為，求導得到在R上單調(diào)遞增，AB錯誤；再求導得到時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，故C正確，D錯誤.
【詳解】AB選項，由題意可知，兩個函數(shù)圖象都在x軸上方，任何一個為導函數(shù)，
則另外一個函數(shù)應該單調(diào)遞增，判斷可知，虛線部分為，
實線部分為，
故恒成立，
故在R上單調(diào)遞增，則A，B顯然錯誤，
對于C，D，，
由圖像可知，恒成立，故單調(diào)遞增，
當，，單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在處取得極大值，也為最大值，，C正確，D錯誤.
故選C.
8．【正確答案】C
【詳解】函數(shù)，由，即，，
解得顯然f?x=fx，∴為偶函數(shù)，
∴當時，，
易知在上單調(diào)遞增，結合復合函數(shù)單調(diào)性可知：
在上單調(diào)遞增.
∴在上為減函數(shù)，在0,2上為增函數(shù)，
，，
所以，，
∴.
故選：C.
9．【正確答案】ACD
【詳解】由題意知，坐公交車所花時間，騎自行車所花時間，A正確.
對于B，若小明早上7：50之后出發(fā)，并選擇坐公交車，有50%以上的可能性會超過10min，即8點之后到校會遲到，錯誤；
對于C、D，
由，
且，
應選擇在給定的時間內(nèi)不遲到的概率大的交通工具，
小明早上7：42出發(fā)，有18min可用，則應選擇騎自行車，故C正確；
小明早上7：47出發(fā)，有13min可用，則應選擇坐公交車，故D正確；
故選：ACD.
10．【正確答案】AC
【詳解】由，
令，則，即，
因為是定義在上的偶函數(shù)，所以，故A正確；
由A知，，則，
所以函數(shù)是周期為4的偶函數(shù)，結合時，，
畫出大致圖象如下：

結合圖象可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，直線是函數(shù)的一條對稱軸，故B錯誤，C正確；
對于D，畫出函數(shù)的大致圖象如下：

結合圖象可知，函數(shù)和有兩個交點，
所以方程共有2個不等實根，故D錯誤.
故選：AC.
11．【正確答案】AD
【詳解】由題意知，若將水滴軸截面看成圓的一部分，圓的半徑為R，如圖所示，
則，解得，A正確；
所以，若將水滴軸截面看成橢圓的一部分，
設橢圓方程為（），如圖所示，
則切點坐標為，
則橢圓上一點的切線方程為，
所以橢圓的切線方程的斜率為，
將切點坐標代入切線方程可得，解得，
所以，又因為，
所以，即，所以，D正確.
故選：AD.
12．【正確答案】35
【詳解】由題意可知分兩種情況：①景區(qū)增派3名警力，景區(qū)增派3名警力，則有種方法，
②景區(qū)增派4名警力，景區(qū)增派2名警力，則有種方法，
所以由分類加法原理可知共有種方法.
故35
13．【正確答案】
【詳解】設圓臺的母線長為，
則圓臺上底面面積，
圓臺下底面面積，
所以兩底面面積之和為，
又圓臺側(cè)面積，
則，所以，
所以圓臺的高為.
故
14．【正確答案】18
【詳解】由于，
故，
故，，
則
，
由，得，
由，即，知位于之間，
不妨設，則，
故，
當且僅當，即時等號成立，
故則的最小值為18，
故18
15．【正確答案】(1)
(2)9
【分析】（1）根據(jù)題意，由余弦定理得，再由正弦定理得，即可求解；
（2）由三角形的面積公式，求得，根據(jù)題意和余弦定理，化簡求得的值，即可求解.
【詳解】（1）因為，可得，
由余弦定理得，
又由正弦定理得，
因為，所以，所以，所以，
又因為，所以.
（2）由三角形的面積公式，可得，可得，
又由余弦定理得，
因為，所以，解得，
所以的周長為．
16．【正確答案】(1)，.
(2)或
【詳解】（1）對：由，且，
所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.
所以.
對：前項和為.
當時，；
當時，，
時，上式亦成立.
所以.
（2）因為.
所以.
由已知或.
17．【正確答案】(1)
(2)
(3)，
【詳解】（1）因為，，，則，
顯然，所以，
則；
（2），，
當時，，，
所以函數(shù)的值域為；
（3）由（2）知，
結合題意，得，
，即，
即，所以，，
即的解集為，.
18．【正確答案】(1)；
(2).
【詳解】（1），當，時，，，
故切線方程為：,即；
（2）法一：不妨設，則，同除以得，
所以在0,+∞單調(diào)遞增，所以.
①若，恒成立，符合題意.
②若，則恒成立.
令，則，令，則，
所以Fx在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，所以.
③若，同理，恒成立，由②可知，當時，，所以不存在滿足條件的.綜上所述，.
法二：，
令，則只需在0,+∞單調(diào)遞增，即恒成立；
，
令，則恒成立；又，
①當時，，?x在0,+∞單調(diào)遞增成立；
②當時，?'x>0，?x在0,+∞單調(diào)遞增，
又當時，，故不恒成立，不滿足題意；
③當時，由?'x>0得，
則?x在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
因為恒成立，所以，
解得，故；
綜上，實數(shù)的取值范圍是.
19．【正確答案】(1)；
(2)；
(3)證明見解析
【詳解】（1）設“兩個粒子通過第一道邏輯門后上旋粒子個數(shù)為個”，，1，2，“兩個粒子通過第二道邏輯門后上旋粒子個數(shù)為個”，
則，，
，，，
則，
故.
（2）由題知，1，2，
由（1）知，
同理可得，
則，
故的信息熵.
（3）由題知，其中，2，3，…，
則，
又，
則，①
，②
得
，
由題知，當無限增大時，趨近于零，趨近于零，則趨近于.
所以當無限增大時，的數(shù)學期望趨近于一個常數(shù).

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