1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先對(duì)集合化簡(jiǎn)，再求交集即可.
【詳解】由,
，
則，
故選：D.
2. 已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)的除法計(jì)算化簡(jiǎn)，再結(jié)合復(fù)數(shù)的虛部的定義判斷即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以的虛部為.
故選：D.
3. 一個(gè)盒子中裝有5個(gè)大小相同的小球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)白球.若從中任取兩個(gè)球，則恰有一個(gè)紅球的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)古典概型概率公式求解.
【詳解】根據(jù)題意，任取兩球恰有一個(gè)紅球的概率為.
故選：A.
4. 已知，則（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】D
【解析】
【分析】應(yīng)用二倍角余弦公式及二倍角正弦公式計(jì)算再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系求解.
【詳解】.
故選：D.
5. 設(shè)，則使成立的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)充分條件及必要條件定義結(jié)合不等式的性質(zhì)判定各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】對(duì)于A，，故是的充要條件；
對(duì)于B，由得，能推出，反之不成立，
所以是的充分不必要條件；
對(duì)于C，由無(wú)法得到之間的大小關(guān)系，反之也是，
所以是的既不充分也不必要條件；
對(duì)于D，由不能推出，反之則成立，所以是的必要不充分條件．
故選：B．
6. 定義在上函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則不等式的解集為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性，結(jié)合求解不等式即得.
【詳解】依題意，令，求導(dǎo)得，則在上單調(diào)遞減，
由，得，不等式，
則或，即或，解得或，
所以不等式的解集為.
故選：B
7. 已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若在的右支上存在關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，使得為正三角形，且，則的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用幾何關(guān)系得到，又，得到，再結(jié)合雙曲線的定義得到，即可求解.
【詳解】設(shè)雙曲線的焦距為，右焦點(diǎn)為，直線交于點(diǎn)，連接，
因?yàn)闉檎切?，，所以為的中點(diǎn)，所以，
故，易知，所以，
由雙曲線的定義知，
即，得.

故選：D．
8. 如圖，在直三棱柱中，是等邊三角形，，，則點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】取的中點(diǎn)，以所在直線為軸，所在直線為軸，與中點(diǎn)連線所在直線為軸，建立空間坐標(biāo)系，利用空間向量求解即可.
【詳解】解：取的中點(diǎn)，
則，
以所在直線為軸，所在直線為軸，與中點(diǎn)連線所在直線為軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
所以，
所以，
所以在上的投影的長(zhǎng)度為，
故點(diǎn)到直線的距離為.
故選：C.
二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 設(shè)，用表示不超過(guò)的最大整數(shù)，則稱(chēng)為高斯函數(shù)，也叫取整函數(shù).令函數(shù)，以下結(jié)論正確的有（ ）
A. B. 為偶函數(shù)
C. D. 的值域?yàn)?br>【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)取整函數(shù)的定義判斷各選項(xiàng).
【詳解】A選項(xiàng)：，A選項(xiàng)正確；
B選項(xiàng)：，，即，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：由已知可得，所以，
，C選項(xiàng)正確；
D選項(xiàng)：由已知，則，即，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：AC.
10. 等差數(shù)列中，，則下列命題正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，，則
C. 若，，則
D. 若，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)，對(duì)于A，，計(jì)算即可；對(duì)于B，由已知計(jì)算數(shù)列公差，再求值即可；
對(duì)于C，結(jié)合數(shù)列單調(diào)性比大?。粚?duì)于D，由，，得.
【詳解】等差數(shù)列中，，設(shè)公差為，
若，則，A正確；
若，，則，得，
，B正確；
若，，所以公差，
當(dāng)時(shí)，有，則有，
當(dāng)時(shí)，有，得，
所以，則有，C錯(cuò)誤；
若，則，
因?yàn)?，所以，D正確．
故選：ABD．
11. 已知正方體棱長(zhǎng)為為正方體內(nèi)切球的直徑，點(diǎn)為正方體表面上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，與所成角余弦值為
B. 當(dāng)面時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為
C. 的取值范圍為
D. 與所成角的范圍為
【答案】ABC
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系利用空間向量即可得A正確，利用線面平行性質(zhì)以及椎體體積公式計(jì)算可得點(diǎn)的軌跡即是線段，可得B正確，利用極化恒等式計(jì)算可得C正確，由點(diǎn)的位置關(guān)系可知D錯(cuò)誤.
【詳解】根據(jù)題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
對(duì)于A，如下圖所示：
易知，則,
可得，
即當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，與所成角余弦值為，可得A正確；
對(duì)于B，易知是邊長(zhǎng)為的正三角形，故其面積為，
由三棱錐的體積為，可得點(diǎn)到平面的距離為，
即點(diǎn)在與平面平行且距離為的平面內(nèi)，連接，如下圖所示：
由正方體性質(zhì)可得平面平面，且兩平面間的距離等于，所以點(diǎn)平面，
又面，平面平面，即可得點(diǎn)的軌跡即是線段，
因此點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，即可得B正確；
對(duì)于C，依題意可知即為正方體的中心，如下圖所示：
，
又因?yàn)闉榍虻闹睆?，所以?br>即可得，
又易知當(dāng)點(diǎn)為正方體與球的切點(diǎn)時(shí)，最??；當(dāng)點(diǎn)為正方體的頂點(diǎn)時(shí)，最大；
即，因此可得的取值范圍為，即C正確；
對(duì)于D，易知的中點(diǎn)即為球心，如下圖所示：
當(dāng)與球相切時(shí)，與所成的角最大，此時(shí)，
顯然，結(jié)合兩直線所成角的范圍可知與所成角的范圍為錯(cuò)誤，即D錯(cuò)誤.
故選：ABC
三?填空題：本題共3個(gè)小題，每小題5分，共15分.
12. 已知向量，則的最小值為_(kāi)_____.
【答案】##4.5
【解析】
【分析】由數(shù)量積運(yùn)算可得，再由“1”的技巧及基本不等式得解.
【詳解】因?yàn)橄蛄浚?br>所以，且.
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
故答案為：
13. 函數(shù)在內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，則的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用在內(nèi)有解即可.
【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，
由函數(shù)在內(nèi)存在單調(diào)遞增區(qū)間，得不等式在內(nèi)有解，
不等式，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，因此，
所以的取值范圍是.
故答案為：
14. 雙曲線的離心率可以與其漸近線有關(guān)，比如函數(shù)的圖象是雙曲線，它的實(shí)軸在直線上，虛軸在直線上，實(shí)軸頂點(diǎn)是，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，，離心率為，已知函數(shù)的圖象也是雙曲線，其離心率為.則其離心率__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)材料得到雙曲線的軸和頂點(diǎn)的定義，先得到雙曲線的漸近線，進(jìn)而求出焦點(diǎn)所在的直線方程，聯(lián)立得到頂點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合兩漸近線夾角，將雙曲線繞其中心適當(dāng)旋轉(zhuǎn)可使其漸近線變?yōu)橹本€，從而求出離心率，得到答案
【詳解】函數(shù)中不等于，x>0時(shí)y>33x,
函數(shù)第一象限的圖象夾在直線和軸之間且無(wú)限接近兩直線，
因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
所以直線和軸是雙曲線兩條漸近線，兩漸近線夾角為，
由閱讀材料可知，雙曲線的焦點(diǎn)所在的直線是兩漸近線的角平分線所在直線，
即直線，
若將雙曲線繞其對(duì)稱(chēng)中心中心（原點(diǎn)）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)可使直線變?yōu)檩S，
其漸近線變?yōu)橹本€，
則雙曲線的離心率，則.
故答案為：
四?解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟
15. 如圖所示，直線之間的距離為2，直線之間的距離為1，且點(diǎn)分別在上運(yùn)動(dòng)，，令.
（1）判斷能否為正三角形？若能，求出其邊長(zhǎng)的值;若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由;
（2）求面積的最小值.
【答案】（1）是正三角形，；
（2）.
【解析】
【分析】（1）過(guò)作，過(guò)作，利用直角三角形邊角關(guān)系求出，則等邊三角形建立方程求解即得.
（2）由（1）中信息，利用三角形面積公式，結(jié)合三角恒等變換及正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最小值.
【小問(wèn)1詳解】
過(guò)作，過(guò)作，垂足分別為，如圖，
由，，得，
在中，，在中，，
由是正三角形，則，即，
整理得，又，解得，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）知，，
而，
由，得，則當(dāng)，即時(shí)，取最大值，
所以時(shí)，取得最小值.
16. 某試點(diǎn)高校?？歼^(guò)程中筆試通過(guò)后才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).2022年報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生的筆試成績(jī)近似服從正態(tài)分布.其中，近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.已知的近似值為76.5，s的近似值為5.5，以樣本估計(jì)總體.
（1）假設(shè)有84.135%的學(xué)生的筆試成績(jī)高于該校預(yù)期的平均成績(jī)，求該校預(yù)期的平均成績(jī)大約是多少?
（2）若筆試成績(jī)高于76.5進(jìn)入面試，若從報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取10人，設(shè)其中進(jìn)入面試學(xué)生數(shù)為，求隨機(jī)變量的期望.
（3）現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名學(xué)生進(jìn)入了面試，且他們通過(guò)面試的概率分別為、、、.設(shè)這4名學(xué)生中通過(guò)面試的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考數(shù)據(jù)：若，則：；；.
【答案】（1）分；
（2）5； （3）分布列詳見(jiàn)解析；
【解析】
【分析】（1）利用正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性和正態(tài)曲線的原則，即可求得該校預(yù)期的平均成績(jī)；
（2）利用二項(xiàng)分布即可求得隨機(jī)變量的期望；
（3）先求得隨機(jī)變量X的各個(gè)可能取值對(duì)應(yīng)的概率，進(jìn)而得到隨機(jī)變量X的分布列，再利用數(shù)學(xué)期望的定義即可求得隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望.
【小問(wèn)1詳解】
由，
又的近似值為76.5，的近似值為5.5，
所以該校預(yù)期的平均成績(jī)大約是（分）
【小問(wèn)2詳解】
由，可得，
即從所有報(bào)考該試點(diǎn)高校的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，
該學(xué)生筆試成績(jī)高于76.5的概率為
所以隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，故
【小問(wèn)3詳解】
X可能取值為，
，
，
，
，
，
所以X的分布列為
所以
17. 如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面為棱上的動(dòng)點(diǎn).
（1）若為中點(diǎn)，證明：平面；
（2）若，在線段上是否存在點(diǎn)使得面與面夾角余弦值為，若存在，求出點(diǎn)位置，若不存在，說(shuō)明理由.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）答案見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，結(jié)合中位線定理和線面平行的判定定理即可證明；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，利用向量法求出即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
連接，交于點(diǎn)，
因?yàn)榈酌鏋榫匦?，故為BD的中點(diǎn)，
又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，
所以，
又平面，平面，
所以平面.
【小問(wèn)2詳解】
底面為矩形，所以，
平面，又平面，
，
如圖，以為原點(diǎn)，所在直線為軸、軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
由題意得，，
設(shè)，設(shè)，
所以，可得，
所以，
，，，
設(shè)面的法向量為，
則，
取，則，
為平面的一個(gè)法向量，
設(shè)面的法向量為，
則，
取，則，
可取，
設(shè)面與面夾角為，
則，
化簡(jiǎn)得，即，
解得或（舍），
所以在線段上存在點(diǎn)使得面與面夾角余弦值為，此時(shí)，即點(diǎn)為（靠近點(diǎn)）的三等分點(diǎn).
18. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處切線的方程；
（2）當(dāng)時(shí)，試判斷零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使是的極大值，若存在，求出的取值集合；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】（1）；
（2）1個(gè)，理由見(jiàn)解析；
（3）存在，.
【解析】
【分析】（1）把代入，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.
（2）把代入，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性即可得解.
（3）利用連續(xù)函數(shù)極大值的意義求出值，再驗(yàn)證即可得解.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，
則，而，于是切線方程是，
所以曲線在處切線的方程.
【小問(wèn)2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，是0.
【小問(wèn)3詳解】
由是的極大值，得，使得當(dāng)時(shí)，且恒成立，
求導(dǎo)得，
因此是的變號(hào)零點(diǎn)，即，解得，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，
則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，于是是的極大值，符合條件，
所以的取值集合為.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：函數(shù)是區(qū)間D上的可導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程為：.
19. 已知數(shù)列滿足，數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，且滿足.記，稱(chēng)為由數(shù)列生成的“函數(shù)”.
（1）求的值；
（2）若“1-函數(shù)”，求n的最小值；
（3）記函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，證明：“函數(shù)”.
附：
【答案】（1）142 （2）4
（3）證明過(guò)程見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）首先得出，，所以只需求出的值即可得解；
（2）首先得出，，進(jìn)一步可以得到，從而可表示出，結(jié)合其單調(diào)性即可求解.
（3）由，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
，，公差為2，所以，
，
所以；
【小問(wèn)2詳解】
，，公差為1，
所以，
，當(dāng)時(shí)，，
而，
所以，
，
設(shè)，則，
所以關(guān)于單調(diào)遞增，
所以關(guān)于單調(diào)遞增，
注意到，
所以當(dāng)時(shí)，均滿足，
所以滿足題意n的最小值為；
【小問(wèn)3詳解】
由題意得
由，得，
所以，所以，
所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第二問(wèn)的關(guān)鍵是通過(guò)累加法得出，進(jìn)一步，由此即可順利得解.
X
0
1
2
3
4
P

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