考試時間：120分鐘 滿分：150分
注意事項：
1．答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上．
2．答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號．
3．答非選擇題時，將答案書寫在答題卡相應(yīng)位置上，寫在本試卷上無效．
4．考試結(jié)束后將答題卡交回．
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的4個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．“”是“”的（ ）
A．充要條件B．必要不充分條件
C．充分不必要條件D．既不充分也不必要條件
2．設(shè)l，m是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，下列說法正確的是（ ）
A．若，，則B．若，，則
C．若，，則D．若，，則
3．若，則（ ）
A．B．C．D．
4．如圖，在正方體中，M,N分別為DB，的中點，則直線和BN夾角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
5．在三棱錐中，，則是（ ）
A．等邊三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形
6．杭州亞運會的三個吉祥物分別取名“琮琮”“宸宸”“蓮蓮”，如圖，現(xiàn)將三張分別印有“琮蹤”“宸宸”“蓮蓮”圖案的卡片（卡片的形狀?大小和質(zhì)地完全相同）放入盒子中．若從盒子中依次有放回地取出兩張卡片，則一張為“琮琮”，一張為“宸宸”的概率是（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)，若正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（ ）
A．1B．3C．6D．9
8．已知正三棱錐的六條棱長均為6，S是及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合．設(shè)集合，則集合T所表示的曲線長度為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的4個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部份分分，有選錯的得0分．）
9．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）
A．B．
C．的圖象關(guān)于點對稱D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
10．對于隨機事件A和事件B，,，則下列說法正確的是（ ）
A．若A與B互斥，則B．若A與B互斥，則
C．若A與B相互獨立，則D．若A與B相互獨立，則
11．如圖，邊長為1的正方形ABCD所在平面與正方形ABEF在平面互相垂直，動點M,N分別在正方形對角線AC和BF上移動，且，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A．，使
B．線段MN存在最小值，最小值為
C．直線MN與平面ABEF所成的角恒為45°
D．，都存在過MN且與平面BEC平行的平面
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分．)
12．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)______．
13．已知向量,,,當(dāng)時，向量在向量上的投影向量為______．（用坐標(biāo)表示）
14．已知在中，滿足,點M為線段AB上的一個動點，若的最小值為-3，則BC邊的中線長為______．
四、解答題（本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）
15．（13分）如圖,四邊形ABCD為矩形,且,,平面ABCD,,E為BC的中點．
（1）求證：；
（2）求四棱錐的外接球體積．
16．（15分）的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知．
（1）求角A的值；
（2）若，的面積為，求b,c．
17．（15分）全國執(zhí)業(yè)醫(yī)師證考試分實踐技能考試與醫(yī)學(xué)綜合筆試兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則執(zhí)業(yè)醫(yī)師考試“合格”，并頒發(fā)執(zhí)業(yè)醫(yī)師證書．甲、乙、丙三人在醫(yī)學(xué)綜合筆試中“合格”的概率依次為,,，在實踐技能考試中“合格”的概率依次為,,，所有考試是否合格互不影響．
（1）求甲沒有獲得執(zhí)業(yè)醫(yī)師證書的概率；
（2）這三人進行實踐技能考試與醫(yī)學(xué)綜合理論考試兩項考試后，求恰有兩人獲得執(zhí)業(yè)醫(yī)師證書的概率．
18．（17分）為深入學(xué)習(xí)貫徹習(xí)近平總書記關(guān)于禁毒工作重要指示精神，切實落實國家禁毒委員會《關(guān)于加強新時代全民禁毒宣傳教育工作的指導(dǎo)意見》，鞏固青少年毒品預(yù)防教育成果，大力推進防范青少年濫用涉麻精藥品等成癮性物質(zhì)宣傳教育活動，進一步增強青少年學(xué)生識毒防毒拒毒意識和能力，某市每年定期組織同學(xué)們進行禁毒知識競賽活動，為了解同學(xué)們對禁毒知識的掌握情況，現(xiàn)從所有答卷中隨機抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：,,…，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中a的值；
(2)求樣本成績的第75百分位數(shù)；
(3)已知落在的平均成績是56，方差是7，落在的平均成績?yōu)?5，方差是4，求兩組成績的總平均數(shù)和總方差．
19．（17分）如圖，三棱柱中，，且與均為等腰直角三角形，．
（1）若為等邊三角形，證明：平面平面ABC；
(2)若二面角的平面角為，求以下各值：
①求點到平面的距離；②求平面與平面所成角的余弦值．
南充高中高2023級上期第一次月考數(shù)學(xué)試卷參考答案
12．-i 13． 14．
15．【詳解】(1)連結(jié)AE,∵E為BC的中點,,
∴為等腰直角三角形,則,
同理可得,∴,∴,
又平面ABCD,且平面ABCD,∴,
又∵,∴平面PAE,又平面PAE,∴．
(2)∵平面ABCD，且四邊形ABCD為矩形
∴的外接球直徑，
∴,故：
∴四棱錐的外接球體積為．
16．【答案】(1) (2)2，2
【分析】（1）∵，
由正弦定理可得：,
∵,
∴，
即，
∵，∴，∵，∴．
（2）由題意，，所以，
由，得，
所以，解得：．
17．【詳解】（1）記甲，乙，丙三人在醫(yī)學(xué)綜合筆試中合格依次為事件，，，
在實踐考試中合格依次為，，，
設(shè)甲沒有獲得執(zhí)業(yè)醫(yī)師證書的概率為P
．
（2）甲、乙、丙獲得執(zhí)業(yè)醫(yī)師證書依次為，，，
并且與，與，與相互獨立，
則,,
由于事件，，彼此相互獨立，
“恰有兩人獲得執(zhí)業(yè)醫(yī)師證書”即為事件：
，
概率為
18．【答案】(1)0.030 (2)84 (3)平均數(shù)為62；方差為23
【詳解】（1）由每組小矩形的面積之和為1得，，解得．
（2）成績落在內(nèi)的頻率為，
落在內(nèi)的頻率為，
顯然第75百分位數(shù)，由，解得，
所以第75百分位數(shù)為84；
（3）由頻率分布直方圖知，成績在的市民人數(shù)為，
成績在的市民人數(shù)為，所以；
由樣本方差計算總體方差公式，得總方差為
19．【答案】(1)見解析 (2)
【分析】（1）設(shè)AB的中點為E，連接CE，,如圖所示，
因為與均為等腰直角三角形，，
故,,且,,
因為為等邊三角形，故,
故,即,且AB，平面，，
故平面,且平面ABC，故平面平面ABC．
（2）①由（1）知，，,且平面平面,
故即二面角的平面角，即，
故為等邊三角形，則，
因為，,,且CE，平面,所以平面
設(shè)線段中點為F,則,,而AB，平面
∴平面,又在三角形中易知：
∴
又在三角形中，由，易求得，
又由知：
∴求點到平面的距離為．
②由①知，平面,而,故平面,
且平面,故，則,
設(shè)和的中點分別為M,N,連接MN，BN，BM,
則,，故,
又因為,故，且平面,平面,
故∠BMN即二面角-的平面角，且，
因為，故,則，
所以．
故平面與平面所成角的余弦值為．題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
選項
B
C
A
C
D
B
A
B
ACD
BC
AD

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