（考試時(shí)間：120分鐘；總分：150分）
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一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合 題目要求的.
1. 若公差為的等差數(shù)列滿足，，則n等于（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，建立方程，可得答案.
【詳解】由題意可得，則，解得.
故選：B.
2. 若，則（ ）
A. B. 6C. 3D. -3
【答案】C
【解析】
【分析】由導(dǎo)數(shù)的定義可得；
【詳解】.
故選：C.
3. 在數(shù)列中，，（，），則（ ）
A. B. 1C. D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】列出數(shù)列的前幾項(xiàng)，即可得到是以為周期的周期數(shù)列，根據(jù)周期性計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，（，）?br>所以，，，，
所以是以為周期的周期數(shù)列，則.
故選：A
4. 已知的一個(gè)極值點(diǎn)為2，則實(shí)數(shù)（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】求導(dǎo)，令，利用只有一個(gè)極值點(diǎn)，可得，求解即可.
【詳解】，令0，得或，
又的一個(gè)極值點(diǎn)為2，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.
故選：B.
5. 已知為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，且．若，則的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)解出，所以，即，結(jié)合基本不等式求解即可.
【詳解】由題意可得，所以，解得，
所以，即，
又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以，，
故選：D
6. 已知等比數(shù)列滿足，，記為其前項(xiàng)和，則（ ）
A. B. C. D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意得到方程，求出的值，再求出，，即可求出.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)?，，所以，解得或?br>當(dāng)時(shí)，，，所以；
當(dāng)時(shí)，，，所以；
綜上可得.
故選：A
7. 已知函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求，取，可求，再求，，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及點(diǎn)斜式求切線方程.
【詳解】由，得，
所以，得，
所以，，，，
故所求切線方程為，即.
故選：A.
8. 已知數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，設(shè)數(shù)列中不在數(shù)列中的項(xiàng)按從小到大的順序排列構(gòu)成數(shù)列，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為（ ）
A. 11449B. 11195C. 11209D. 11202
【答案】D
【解析】
【分析】利用累加法，結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式求出，進(jìn)而求出，再判斷數(shù)列的前100中含有數(shù)列的項(xiàng)，然后利用公式法求和.
【詳解】數(shù)列的首項(xiàng)為1，且，
當(dāng)時(shí)，，
，而滿足上式，因此，
，而，
因此數(shù)列的前100項(xiàng)和為數(shù)列的前107項(xiàng)的和減去數(shù)列的前7項(xiàng)的和，
所以數(shù)列的前100項(xiàng)和為.
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 下列求導(dǎo)的運(yùn)算中，正確的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和運(yùn)算法則逐項(xiàng)求解即可；
【詳解】對(duì)于A，，故A正確；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，故C正確；
對(duì)于D，，故D正確；
故選：ACD.
10. 已知在首項(xiàng)為1，公差為d的等差數(shù)列中，、、是等比數(shù)列的前三項(xiàng)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則（ ）
A. 或B.
C. 是等差數(shù)列D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得或，分別寫(xiě)出不同公差對(duì)應(yīng)的、，即可判斷各項(xiàng)的正誤.
【詳解】由題意，則，整理得，可得或，
當(dāng)時(shí)，，，則，即是等差數(shù)列，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，，則，即是等差數(shù)列，
此時(shí)，易知公比為4，故；
綜上，A、C對(duì)，B、D錯(cuò).
故選：AC
11. 已知函數(shù)，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A. 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
B. 的值域?yàn)?br>C. 當(dāng)時(shí)，桓成立
D. 若在上恰有1012個(gè)不同解，則符合條件的a只有一個(gè)
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用奇函數(shù)的定義可判斷A的正誤，利用換元法結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷B的正誤，利用導(dǎo)數(shù)考慮的單調(diào)性后可判斷C的正誤，對(duì)于D，先判斷的周期性，再利用導(dǎo)數(shù)刻畫(huà)函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)圖象，結(jié)合兩根特征就小根的范圍分類(lèi)討論后可得參數(shù)的范圍，從而可判斷D的正誤.
【詳解】對(duì)選項(xiàng)A：因?yàn)?br>所以A正確；
對(duì)選項(xiàng)B：設(shè)，則可表為，
因?yàn)椋?br>故為上的奇函數(shù)，而時(shí)，均為增函數(shù)，
故為上的增函數(shù)，而為上的增函數(shù)，
故為上的增函數(shù)，故為上的增函數(shù)，
因?yàn)槭窃龊瘮?shù)，所以，
所以的值域?yàn)?，所以B不正確；
對(duì)選項(xiàng)C：設(shè)，
則（不恒為零），
所以在上遞減，所以即，所以C正確；
對(duì)選項(xiàng)D：因?yàn)椋?br>所以關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
故是周期函數(shù)且周期，而，
所以在上遞增，可作出草圖，如下圖
設(shè)，則，該方程兩根滿足，
顯然均不為0且最多僅有一個(gè)屬于，
不妨設(shè),
若時(shí)，方程在區(qū)間[上有1013個(gè)實(shí)數(shù)根；
若時(shí)，方程在區(qū)間[上有2026個(gè)實(shí)數(shù)根；
若時(shí)，在區(qū)間上有2024個(gè)實(shí)數(shù)根；
若時(shí)，方程區(qū)間上有1012個(gè)實(shí)數(shù)根；
代入方程可得：，唯一，
所以D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：嵌套方程的零點(diǎn)問(wèn)題，一般可先考慮外方程的根的特征，再考慮內(nèi)方程的根，本質(zhì)上就是換元處理.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則________．
【答案】2
【解析】
【分析】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式以及等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)代入計(jì)算，即可得到結(jié)果．
【詳解】由等差數(shù)列的前項(xiàng)和可得：
，
，
則，所以．
故答案為：
13. 已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處切線與直線垂直，則實(shí)數(shù)=______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，再由直線垂直關(guān)系得解.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
又切線與直線垂直，
所以，解得，
故答案為：1
14. 已知函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________．
【答案】
【解析】
【分析】由可得，令，則直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，
所以在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，
因?yàn)?，令，即，可得?br>令，則，
令，得，令，得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，作出函數(shù)在上圖象，
當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，且，由圖可知，
當(dāng)或時(shí)，，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，在上遞增，
此時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，合乎題意.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查極值點(diǎn)問(wèn)題.根據(jù)題意函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為在上有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即，即有兩個(gè)不同的根，即直線與函數(shù)在上的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可判斷求解.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知數(shù)列前n項(xiàng)和為，且滿足
（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求它的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和
【答案】（1）證明見(jiàn)解析，；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)遞推式可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義判定證明，進(jìn)而寫(xiě)出通項(xiàng)公式；
（2）應(yīng)用錯(cuò)位相減法及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求
【小問(wèn)1詳解】
由題設(shè)，則，整理得，
又，
所以是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，則.
【小問(wèn)2詳解】
由，則，
所以，
所以，
所以.
16. 已知函數(shù).
（1）求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；
（2）求函數(shù)的極值；
【答案】（1）
（2）極小值為，無(wú)極大值
【解析】
【分析】（1）求出，求導(dǎo)，得到，由導(dǎo)數(shù)幾何意義得到切線方程；
（2）求定義域，求導(dǎo)，得到函數(shù)單調(diào)性，從而求出極值.
【小問(wèn)1詳解】
，
，
故的圖象在點(diǎn)處的切線為，
即；
【小問(wèn)2詳解】
的定義域?yàn)椋?br>由（1）知，
令得，令得，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故在上取得極小值，極小值為，無(wú)極大值；
17. 設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，（為常數(shù)）
（1）求a的值；
（2）求的通項(xiàng)公式；
（3）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和
【答案】（1）0 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用的關(guān)系可求得；
（2）由（1）可得
（3）由（2）可得，利用裂項(xiàng)相消法可求得.
【小問(wèn)1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，則時(shí)也應(yīng)滿足，即，
又，所以，解得；
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得
小問(wèn)3詳解】
，
18. 已知函數(shù)，.
（1）討論的單調(diào)區(qū)間；
（2）若直線為的切線，求a的值.
（3）已知，若曲線在處的切線與C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）1 （3）
【解析】
【分析】（1）求得導(dǎo)函數(shù)，并對(duì)分和討論，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）設(shè)切點(diǎn)為，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，令，轉(zhuǎn)化為僅一個(gè)零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)判斷求解；
（3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求曲線在處的切線方程為，構(gòu)造函數(shù)，由切線與有且只有一個(gè)公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化為僅一個(gè)零點(diǎn)，并求得導(dǎo)函數(shù)，對(duì)分類(lèi)討論，即可判斷函數(shù)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而求得正數(shù)的取值范圍．
【小問(wèn)1詳解】
由，，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
綜上，當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，無(wú)單調(diào)減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)切點(diǎn)為，依題意，，所以，
又，代入可得，，
設(shè)，
則，所在單調(diào)遞增，
因?yàn)椋裕?
【小問(wèn)3詳解】
，，
所以曲線在處的切線方程為，即，
設(shè)，，
，
①當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；
②當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，符合題意；
③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)?，，?dāng)，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，不符題意；
④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?，?dāng)，，所以有兩個(gè)零點(diǎn)，不符題意；
綜上，a的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)解題的關(guān)鍵是將切線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)轉(zhuǎn)化為僅一個(gè)零點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求解.
19. 已知函數(shù).
（1）若恒成立，求的取值范圍；
（2）判斷的單調(diào)性，并說(shuō)明理由；
（3）證明：.（證明時(shí)可使用下列結(jié)論：當(dāng)時(shí)，成立）.
【答案】（1）
（2）在內(nèi)單調(diào)遞增，理由見(jiàn)解析
（3）證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)性，進(jìn)而求出，然后分類(lèi)討論利用導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)性，即可得答案；
（2）構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)求的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷的單調(diào)性求出的最值判定的正負(fù)，進(jìn)而得出的單調(diào)性；
（3）利用題中給的結(jié)論結(jié)合放縮即可得證.
【小問(wèn)1詳解】
，
，
令，等號(hào)不同時(shí)取，
所以當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增， .
①若，即在上單調(diào)遞增，
所以在上的最小值為，符合題意.
②若，即，
此時(shí)，
又函數(shù)在的圖象不間斷，
據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，存在，
使得，且當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
所以，與題意矛盾，舍去.
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是；
【小問(wèn)2詳解】
，令，
則，即
，
所以在上單調(diào)遞增，
即當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.
【小問(wèn)3詳解】
由（2）得，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，.
又當(dāng)時(shí)，成立，
所以當(dāng)時(shí)，，
即.
所以當(dāng)時(shí)，.
【點(diǎn)睛】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問(wèn)題．注意分類(lèi)討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．

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2024-2025學(xué)年福建省部分優(yōu)質(zhì)高中高二上學(xué)期入學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（含解析）
福建省部分優(yōu)質(zhì)高中2024~2025學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）

福建省部分優(yōu)質(zhì)高中2024~2025學(xué)年高二上學(xué)期入學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）
福建省部分優(yōu)質(zhì)高中2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第一次階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

福建省部分優(yōu)質(zhì)高中2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第一次階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）
福建省部分優(yōu)質(zhì)高中2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第一次階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）

福建省部分優(yōu)質(zhì)高中2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期第一次階段性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）
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