（考試時(shí)間：120分鐘；總分：150分）
友情提示：請(qǐng)將所有答案填寫到答題卡上！請(qǐng)不要錯(cuò)位、越界答題！
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知點(diǎn)是平行四邊形的對(duì)角線的交點(diǎn)，則（ ）
A. B.
C. D.
2. 對(duì)下面圖形的表示恰當(dāng)?shù)氖牵? ）．

A. B. C. D.
3. 如圖，在中，，為上一點(diǎn)，且，若，則的值為（ ）

A. B. C. D.
4. 在直角坐標(biāo)系中，已知，，若，恒成立，則（ ）
A. B. C. D.
5. 已知向量，，若，，與夾角為，則＝（ ）
A. 6B.
C. 3D.
6. 窗戶，在建筑學(xué)上是指墻或屋頂上建造的洞口，用以使光線或空氣進(jìn)入室內(nèi).如圖1，這是一個(gè)外框?yàn)檎诉呅?，中間是一個(gè)正方形的窗戶，其中正方形和正八邊形的中心重合，正方形的上?下邊與正八邊形的上?下邊平行，邊長(zhǎng)都是4.如圖2，是中間正方形的兩個(gè)相鄰的頂點(diǎn)，是外框正八邊形上的一點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，角、、的對(duì)邊分別為、、，且的面積，，則（ ）
A. B. C. D.
8. 費(fèi)馬點(diǎn)是指位于三角形內(nèi)且到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最小點(diǎn).當(dāng)三角形三個(gè)內(nèi)角都小于時(shí)，費(fèi)馬點(diǎn)與三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線構(gòu)成的三個(gè)角都為.已知在中，，為的費(fèi)馬點(diǎn)，若，，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全
部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分.
9. 下面給出的關(guān)系式中，不正確的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若與的夾角為，則
D. 若與方向相反，則在上投影向量的坐標(biāo)是
11. “奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點(diǎn)，的面積分別為，且.以下命題正確的有（ ）
A. 若，則為的重心
B. 若為內(nèi)心，則
C. 若，為的外心，則
D. 若為的垂心，，則
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分.
12. 已知向量滿足，且，則向量夾角的余弦值為__________.
13. 在中，，點(diǎn)為與的交點(diǎn)，，則______．
14. 在中，，，點(diǎn)D與點(diǎn)B分別在直線AC的兩側(cè)，且，，則BD的長(zhǎng)度的最大值是__________．
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知向量，，．
（1）求滿足實(shí)數(shù)m，n的值；
（2）若，求實(shí)數(shù)k的值．
16. 在中，角的對(duì)邊分別為．
（1）求的值；
（2）求邊上的高．
17. 設(shè)是不共線的兩個(gè)向量.
（1）若，，，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；
（2）若與共線，求實(shí)數(shù)k的值.
18. 一條河南北兩岸平行.如圖所示，河面寬度，一艘游船從南岸碼頭點(diǎn)出發(fā)航行到北岸.游船在靜水中的航行速度是，水流速度的大小為.設(shè)和的夾角為，北岸上的點(diǎn)在點(diǎn)的正北方向.

（1）若游船沿到達(dá)北岸點(diǎn)所需時(shí)間為，求的大小和的值；
（2）當(dāng)時(shí)，游船航行到北岸的實(shí)際航程是多少？
19. 在中，對(duì)應(yīng)的邊分別為，
（1）求；
（2）奧古斯丁.路易斯.柯西（Augustin Luis Cauchy，1789年-1857年），法國(guó)著名數(shù)學(xué)家.柯西在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有非常高的造詣.很多數(shù)學(xué)的定理和公式都以他的名字來命名，如柯西不等式?柯西積分公式.其中柯西不等式在解決不等式證明的有關(guān)問題中有著廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)在，在（1）的條件下，若是內(nèi)一點(diǎn)，過作垂線，垂足分別為，借助于三維分式型柯西不等式：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.求的最小值.

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