一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.在空間直角坐標(biāo)系中，點A(1,?2,?3)關(guān)于x軸的對稱點為( )
A. (?1,2,3)B. (1,2,?3)C. (1,2,3)D. (?1,?2,?3)
2.已知a=3p?2q,b=p+q，p,q是相互垂直的單位向量，則a?b=( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.如圖，在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中，點E，F(xiàn)分別為AB，DD′的中點，則EF=( )
A. ?12AB+12AA′+AD
B. 12AB+12AA′+AD
C. ?12AB+12AA′+12AD
D. 12AB+12AA′+12AD
4.已知向量m=1,2,?1,n=t,1,?t，且m⊥平面α,n⊥平面β，若平面α與平面β的夾角的余弦值為2 23，則實數(shù)t的值為( )
A. 12或?1B. 15或1C. ?1或2D. ?12
5.如圖所示，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1，點E,F,G分別為BC,CC1,BB1的中點，則下列說法正確的是( )
A. 直線D1D與直線AF垂直
B. 直線A1G與平面AEF平行
C. 三棱錐F?ABE的體積為18
D. 直線BC與平面AEF所成的角為45°
6.已知M，N分別是正四面體ABCD中棱AD，BC的中點，若點P滿足MP=2PN.則DP與AB夾角的余弦值為( )
A. 1734B. 1717C. 1326D. 1513
7.如圖，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點M,N分別在線段AD1和B1C1上，則下列結(jié)論中錯誤的結(jié)論( )
A. MN的最小值為2
B. 四面體NMBC的體積為43
C. 有且僅有一條直線MN與AD1垂直
D. 存在點M,N，使?MBN為等邊三角形
8.在正四面體D?ABC中，點E在棱AB上，滿足AE=2EB，點F為線段AC上的動點，則( )
A. 存在某個位置，使得DE⊥BF
B. 存在某個位置，使得∠FDB=π4
C. 存在某個位置，使得直線DE與平面DBF所成角的正弦值為 714
D. 存在某個位置，使得平面DEF與平面DAC夾角的余弦值為 32
二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.直線l的方向向量為u，兩個平面α,β的法向量分別為n1,n2，則下列命題為真命題的是( )
A. 若u⊥n1，則直線l⊥平面α
B. 若n1⊥n2，則平面α⊥平面β
C. 若csn1,n2=12，則平面α,β所成銳二面角的大小為π3
D. 若csu,n1= 32，則直線l與平面α所成角的大小為π3
10.下列說法錯誤是( )
A. 若A,B,C,D是空間任意四點，則有AB+BC+CD+DA=0
B. 若a//b，則存在唯一的實數(shù)λ，使得a=λb
C. 若AB,CD共線，則AB//CD
D. 對空間任意一點O與不共線的三點A,B,C，若OP=xOA+yOB+zOC(其中x,y,z∈R)，則P,A,B,C四點共面
11.在棱長均為1的三棱柱ABC?A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60°，點T滿足AT=xAB+yAC+zAA1，其中x,y,z∈0,1，則下列說法一定正確的有( )
A. 當(dāng)點T為三角形A1B1C1的重心時，x+y+z=2
B. 當(dāng)x+y+z=1時，AT的最小值為 63
C. 當(dāng)點T在平面BB1C1C內(nèi)時，x+y+z的最大值為2
D. 當(dāng)x+y=1時，點T到AA1的距離的最小值為 22
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知空間向量a=(1,3,2),b=(1,0,1),p=ka?2b,q=3a+4b，若p//q，則實數(shù)k= ．
13.平面內(nèi)的點、直線可以通過平面向量及其運(yùn)算來表示，數(shù)學(xué)中我們經(jīng)常會用到類比的方法，把平面向量推廣到空間向量，利用空間向量表示空間點、直線、平面等基本元素，經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，平面向量中的加減法、數(shù)乘與數(shù)量積運(yùn)算法則同樣也適用于空間向量.在四棱錐P?ABCD中，已知ABCD是平行四邊形，∠ABC=120°,AB=2,BC=3，且PA⊥面ABCD，則向量PC在向量BD方向上的投影向量是 (結(jié)果用BD表示)．
14.如圖，正方形ABCD和矩形ABEF所在的平面互相垂直．點P在正方形ABCD及其內(nèi)部運(yùn)動，點Q在矩形ABEF及其內(nèi)部運(yùn)動．設(shè)AB=2,AF=1，給出下列四個結(jié)論：
①存在點P,Q，使PQ=3；
②存在點P,Q，使CQ//EP；
③到直線AD和EF的距離相等的點P有無數(shù)個；
④若PA⊥PE，則四面體PAQE體積的最大值為13．
其中所有正確結(jié)論的序號是 ．
四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題12分)
如圖，在四棱錐A?BCDE中，平面ABE⊥平面BCDE，AE⊥BE，四邊形BCDE為梯形，BC//DE，BC⊥BE，AB=2 3，BC=2，CD=2 2，BE=2，BD交CE于點O，點P在線段AB上，且AP=2PB．
(1)證明：OP//平面ACD．
(2)求二面角A?CD?E的正弦值．
16.(本小題12分)
在長方體ABCD?A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別在BB1，DD1上，且AF⊥A1D，AA1=BD．
(1)求證：平面A1CD⊥平面AEF；
(2)當(dāng)AD=3，AB=4，求平面D1B1BD與平面A1CD的夾角的余弦值．
17.(本小題12分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，已知底面ABCD為矩形，PA⊥BC，平面PAD⊥平面ABCD．

(1)求證：PA⊥平面ABCD；
(2)若PA=AD=2，AB= 2，點M在棱PD上，且二面角M?AC?B的大小為120°．
①求證：CM⊥BD；
②設(shè)Q是線段BC上的點，求直線MQ與平面MAC所成角的正弦值的最大值．
18.(本小題12分)
《瀑布》(圖1)是最為人所知的作品之一，圖中的瀑布會源源不斷地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至極，但又會讓你百看不膩，畫面下方還有一位饒有興致的觀察者，似乎他沒發(fā)現(xiàn)什么不對勁.此時，他既是畫外的觀看者，也是埃舍爾自己.畫面兩座高塔各有一個幾何體，左塔上方是著名的“三立方體合體”由三個正方體構(gòu)成，右塔上的幾何體是首次出現(xiàn)，后稱“埃舍爾多面體”(圖2)
埃舍爾多面體可以用兩兩垂直且中心重合的三個正方形構(gòu)造，設(shè)邊長均為2，定義正方形AnBnCnDn，n=1,2,3的頂點為“框架點”，定義兩正方形交線為“極軸”，其端點為“極點”，記為Pn,Qn，將極點P1,Q1，分別與正方形A2B2C2D2的頂點連線，取其中點記為Em，F(xiàn)m，m=1,2,3,4，如(圖3).埃舍爾多面體可視部分是由12個四棱錐構(gòu)成，這些四棱錐頂點均為“框架點”，底面四邊形由兩個“極點”與兩個“中點”構(gòu)成，為了便于理解，圖4我們構(gòu)造了其中兩個四棱錐A1?P1E1P2E2與A2?P2E1P3F1
(1)求異面直線P1A2與Q1B2成角余弦值；
(2)求平面P1A1E1與平面A1E2P2的夾角正弦值；
(3)求埃舍爾體的表面積與體積(直接寫出答案)．
19.(本小題12分)
如圖1，在平行四邊形ABCD中，AB=2BC=4,∠ABC=60°，E為CD的中點．將?ADE沿AE折起，連接BD與CD，如圖2．

(1)當(dāng)BD為何值時，平面ADE⊥平面ABCE?
(2)設(shè)BF=λBD(0≤λ≤1)，當(dāng)BE⊥DE時，是否存在實數(shù)λ，使得直線AF與平面ABCE所成角的正弦值為 3010？若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．
(3)當(dāng)三棱錐B?CDE的體積最大時，求三棱錐D?ABE的內(nèi)切球的半徑．
答案解析
1.C
【解析】點A(1,?2,?3)關(guān)于x軸的對稱點為(1,2,3)，
故選：C．
2.A
【解析】p,q是相互垂直的單位向量，故p?q=0,p=q=1，
故a?b=3p?2q?p+q=3p2+p?q?2q2=3+0?2=1．
故選：A
3.A
【解析】根據(jù)題意，EF=EA+AD+DF=?12AB+12AA′+AD．
故選：A
4.B
【解析】因為m=1,2,?1,n=t,1,?t
所以m?n=2+2t,m= 6,n= 1+2t2，
因為m⊥平面α,n⊥平面β，若平面α與平面β夾角的余弦值為2 23，
所以2+2t 6? 1+2t2=2 23，化簡得5t2?6t+1=0，解得t=15或1．
故選：B
5.B
【解析】A選項：ABCD?A1B1C1D1為正方體，所以DD1//CC1，直線AF與直線CC1不垂直，所以直線AF與直線DD1不垂直，故 A錯誤；
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A2,0,0,E1,2,0,F0,2,1,G2,2,1,A12,0,2，
對于B，設(shè)平面AEF的法向量為n=(x,y,z)，則AE?n=?x+2y=0AF?n=?2x+2y+z=0，令y=1，則n=(2,1,2)，
因為A1G=0,2,?1，所以A1G?n=0×2+2×1?1×2=0，所以A1G⊥n，
因為A1G在平面AEF外，所以直線A1G與平面AEF平行，所以 B正確，
對于C，S?ABE=12BE?AB=12×1×12=14，所以三棱錐F?ABE的體積為13S?AEB?d=13×14×12=124，所以 C錯誤，
對于D，B1,1,0,C0,1,0,BC=?1,0,0，直線BC與平面AEF所成的角為θ，sinθ=BC?nBCn=?21× 22+12+22=23，所以 D錯誤，
故選：B．
6.A
【解析】設(shè)AB=a,AD=b,AC=c，
因為MP=2PN，所以DP=DM+MP=?12AD+23MN
=?12AD+23MA+AB+BN=?12AD+23MA+23AB+23BN
=?12AD+23×?12AD+23AB+23BA+23AN=?56b+23a?23a+23×12AB+12AC
=?56b+13a+13c，
設(shè)正四面體ABCD的棱長為1，
故DP?AB=13a?56b+13c?a=13a2?56a?b+13a?c
=13a2?56a?bcs60°+13a?ccs60°=13?56×12+13×12=112，
又DP2=13a?56b+13c2=19a2+2536b2+19c2?59a?b?59b?c+29a?c
=19a2+2536b2+19c2?59a?bcs60°?59b?ccs60°+29a?ccs60°
=19+2536+19?59×12?59×12+29×12=1736，
所以DP= 1736= 176，
故csDP,AB=DP?ABDP?AB=112 176= 1734，
DP與AB夾角的余弦值為 1734．
故選：A
7.C
【解析】根據(jù)正方體的特征可知C1D1⊥B1C1,C1D1⊥面AD1，
又AD1?面AD1，所以C1D1⊥AD1，
即C1D1是異面直線AD1和B1C1的公垂線，
當(dāng)M、N分別與D1、C1重合時，MN最小值，最小值為2，故A正確；
易知S?NBC=12×2×2=2，所以VM?NBC=13×2×2=43，故 B正確；
易知?AB1D1是等邊三角形，所以當(dāng)M是AD1中點，而N與B1重合時，MN⊥AD1，
又由A項可知當(dāng)M、N分別與D1、C1重合時，MN⊥AD1，故 C錯誤；
如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則B2,2,0，可設(shè)Mx,0,2?x,Ny,2,2，x,y∈0,2，
若存在點M,N，使?MBN為等邊三角形，則有MN2=x?y2+4+x2MB2=x?22+4+2?x2NB2=y?22+4,
由MB2=NB2? 22?x=2?y，由MB2=NM2?2x=8?y24?y，
解方程得y=3 2?2± 4 2?2 2?1，
當(dāng)y=3 2?2+ 4 2?2 2?1=3 2?3+1+ 4 2?2 2?1=3+1+ 4 2?2 2?1>3舍去，
又因為11

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