3.3 拋物線
選用教材
高等教育出版社《數(shù)學(xué)》
（拓展模塊一上冊(cè)）
授課
時(shí)長(zhǎng)
4 課時(shí)
授課類型
新授課
教學(xué)提示
本課以“平南三橋”為例創(chuàng)設(shè)情境，幫助學(xué)生形成直觀感受“生活中的拋物線”.然后通過一個(gè)實(shí)驗(yàn)展示里拋物線的形成過程，引導(dǎo)學(xué)生分析拋物線上的點(diǎn)所滿足的幾何條件，為建立拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程創(chuàng)造條件，通過建立合適的平面直角坐標(biāo)系，推導(dǎo)了焦點(diǎn)在 x 軸正半軸上的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 最后，借助拋物線的圖像，從拋物線的范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率四個(gè)方面研究了拋物線的幾
何性質(zhì).
教學(xué)目標(biāo)
知道拋物線的概念及形成過程，知道如何化簡(jiǎn)形成拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，能區(qū)分不同焦點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的不同方程；會(huì)根據(jù)拋物線的方程說出拋物線的幾何性質(zhì)，能根據(jù)條件求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；逐步提升直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建
模等核心素養(yǎng).
教學(xué)
重點(diǎn)
拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì).
教學(xué)
難點(diǎn)
拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程四種情形的區(qū)分和應(yīng)用．
教學(xué)
環(huán)節(jié)
教學(xué)內(nèi)容
教師
活動(dòng)
學(xué)生
活動(dòng)
設(shè)計(jì)
意圖
平南三橋位于廣西壯族自治區(qū)，是 2020 年建成的世界上最大的跨徑拱橋，多項(xiàng)技術(shù)填補(bǔ)了世界拱橋空白，成為“中國橋梁”建造的新名片. 觀察下圖，橋拱的輪廓線是什么圖形？有什么特點(diǎn)？
提出
問題
思考
創(chuàng)設(shè)情境幫助學(xué)生直觀感受 “生活中的拋物 線”
分析
引發(fā)
思考
回答
情境
導(dǎo)入
可以看出，拱橋的輪廓線是一條形如彩虹的曲線，人
講解
理解
引導(dǎo)
們稱之為拋物線．那么，如何畫出拋物線呢？
學(xué)生
新知探索
我們可以通過一個(gè)實(shí)驗(yàn)來完成.
將一把直尺固定在畫板上，再取一個(gè)直角三角板,緊靠直尺 的一邊 l 放置：
取一條拉鏈，把它的一端固定在三角板的頂點(diǎn) C 處，另一 端固定在畫板上的點(diǎn) F 處；
將筆尖(點(diǎn) M)放在拉鏈鎖扣處保持鎖扣與 C 端的拉鏈部分始終在 CA 上，讓三角板靠緊直
說明
展示圖形引發(fā)思考
思考
結(jié)合圖形思考問題
分析拋物線上的點(diǎn)所滿足的幾何條 件，為建
尺并沿直尺邊緣滑動(dòng)，筆尖隨之移 動(dòng)，就畫出了一段曲線；
立拋
(4)當(dāng)直角三角板的邊 AC 經(jīng)過點(diǎn)下時(shí)，向下翻轉(zhuǎn)三角板．保持鎖扣與 C 端的拉鏈部分始終在 CA 上，讓三角板靠緊直尺繼續(xù)沿直尺邊緣滑動(dòng)，筆尖又畫出一段曲線.
顯然,筆尖(即點(diǎn) M )始終保持到定點(diǎn) F 的距離與到直尺邊 l 的距離相等(|MF|=|MC|).
一般地，把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn) F 和一條定直線 l 的距
離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線. 定點(diǎn) F 稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線 l 稱為拋物線的準(zhǔn)線.
說明
領(lǐng)會(huì)
物線的標(biāo)準(zhǔn)方程創(chuàng)造條件
3.3.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
我們從橢圓和雙曲線的定義出發(fā)，通過建立合適的平面直角坐標(biāo)系，分別求出了橢圓和雙曲線的方程. 那么，如何從拋物線的定義出發(fā)，建立恰當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系來
求出拋物線的方程呢？
提出
思考
滲透
情境導(dǎo)入
問題引發(fā)思考
分析回答
類比的思想
取過焦點(diǎn) F 且垂直于準(zhǔn)線 l 的直線為 x 軸；記 x 軸與準(zhǔn)線 l 的交點(diǎn)為 E，以線段 EF 的垂直平分線為 y 軸，如圖所示.
設(shè)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為 p(p>0)，即|EF|=p，則焦點(diǎn) F
pp
的坐標(biāo)為(, 0) ，準(zhǔn)線 l 的方程為 x ? ?.
22
設(shè) M(x,y)為拋物線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn) M 到 l 的距離為
|MN|，則有
|MF|=|MN|.
?p ?2p
于是，可得? x ?? ? y2 ? x ?.
?2 ?2
將上式兩邊平方得
?p ?2?p ?2
? x ?? ? y2 ? ? x ?? .
?2 ??2 ?
展開并整理得
y2=2px(p>0).
上面方程稱為拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
類似地，通過建立不同的平面直角坐標(biāo)系，可以得到
講解
理解
注意
強(qiáng)調(diào)
拋物
說明
思考
線方
程中
參數(shù)
p 的
展示
觀察
幾何
圖像
圖像
意
引發(fā)
分析
義，
思考
問題
引導(dǎo)
學(xué)生
觀察
探索
講解
理解
圖像
與標(biāo)
新知
準(zhǔn)方
程之
間的
聯(lián)
系，
引導(dǎo)
學(xué)生
觀察
圖像
與標(biāo)
準(zhǔn)方
程之
間的
聯(lián)
系，
拋物線其他三種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程：y2=-2px，x2=2py，
x2=-2py. 它們的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程及圖形歸納見表:
指導(dǎo)
分析
正確
區(qū)別
總結(jié)
比較
四種標(biāo)準(zhǔn)方 程 .可歸納為 “一次定軸，正負(fù)定
向”．
例 1 根據(jù)條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
焦點(diǎn)為 F(0,-3)；
準(zhǔn)線方程為 x=1；
焦點(diǎn)在 y 軸的正半軸上，并且 p=3.
解 (1)由于焦點(diǎn)在 y 軸的負(fù)半軸上，故拋物線有形如
x2=-2py 的標(biāo)準(zhǔn)方程. 因?yàn)? p ? ?3 ，所以 p=6，從而拋物
2
線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2=-12y；
由準(zhǔn)線方程為 x=1 可知，焦點(diǎn)在 x 軸的負(fù)半軸上，
故拋物線有形如 y2=2px 的標(biāo)準(zhǔn)方程. 因?yàn)?p ? 1 ，所以
2
p=2，從而拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y2=-4x；
由于焦點(diǎn)在 y 軸的正半軸上，故拋物線有形如 x2=2py 的標(biāo)準(zhǔn)方程. 引起 p=3，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2=6y.
例 2 求下列拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程. (1)y2=8x；(2)x2+4y=0.
解 (1)由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可知，拋物線的焦點(diǎn)在 x 軸的正
半軸上，并且 2p=8，因此 p=4， p ? 2 .于是拋物線的焦點(diǎn)
2
提問
思考
例 1
引導(dǎo)
分析
是利
用定
講解
解決
義直
強(qiáng)調(diào)
交流
接解
決問
指導(dǎo)
主動(dòng)
題
求解
典型
例題
例 2
要引
導(dǎo)學(xué)
生先
將拋
坐標(biāo)為(2,0),準(zhǔn)線方程為 x=-2；
(2)將拋物線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，為 x2=-4y. 容易看出，拋物線的焦點(diǎn)在 y 軸的負(fù)半軸上，并且-2p=-4，因此
p=2， p ? 1 .于是，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-1)，準(zhǔn)線方程
2
為 y=1.
溫馨提示
判斷拋物線的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上是解決有關(guān)拋物線問題的關(guān)鍵，為此可將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，觀察標(biāo)準(zhǔn)方程中的一次項(xiàng)，如果一次項(xiàng)含變量 x，并且系數(shù)為正(或?yàn)樨?fù))，則焦點(diǎn)在 x 軸的正半軸(或負(fù)半軸)上；如果一次項(xiàng)含變量，并且系數(shù)為正(或?yàn)樨?fù))，則焦點(diǎn)在 y 軸的正
半軸(或負(fù)半軸)上.
物線
方程
化為
標(biāo)準(zhǔn)
形式
練習(xí) 3.3.1
1. 根據(jù)條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
焦點(diǎn)為 F(2,0)；
焦點(diǎn)為 F(0,-1)；
準(zhǔn)線方程為 y=-4；
準(zhǔn)線方程為 x ? 3 .
2
2. 求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.
y2=10x；
x2-2y=0；
2y2+10x=0；
x2+6y=0.
3.求拋物線 y2=-12x 上到焦點(diǎn)的距離等于 9 的點(diǎn)坐標(biāo).
提問
思考
及時(shí)
掌握
學(xué)生
巡視
動(dòng)手
掌握
鞏固練習(xí)
求解
情況查漏補(bǔ)缺
指導(dǎo)
交流
3.3.2 拋物線的幾何性質(zhì)
前面，我們利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程獲得了雙曲線的幾
何性質(zhì)，是否可以利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究拋物線的幾何性質(zhì)呢？
提出
思考
提示
情境
問題
分析
學(xué)生
導(dǎo)入
引發(fā)
回答
進(jìn)行
思考
類比
探索新知
下面以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程 y2=2px 為例，研究拋物線的幾何性質(zhì).
范圍
在方程 y2=2px 中，由 p>0， y2≥0，可知 x≥0. 這表明，拋物線在 y 軸的右側(cè)，如圖所示. 當(dāng) x 的值增大時(shí)，y2的值也隨著增大，即|y| 的值增大. 這說明，拋物線向右上方和右下方無限延伸.這說明,拋物線向右上方和右下方無限延伸.
對(duì)稱性
在方程中，將 y 換成-y，方程不改變.這說明拋物線關(guān)于 x 軸對(duì)稱.一般地，把拋物線的對(duì)稱軸稱為拋物線的軸.
頂點(diǎn)
在方程中，令 y=0，得 x=0. 因此,拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn).一般地，拋物線與它的軸的交點(diǎn)稱為拋物線的頂點(diǎn).
離心率
拋物線上的點(diǎn) M 到焦點(diǎn)的距離與它到準(zhǔn)線的距離的比稱為拋物線的離心率，記作 e. 由拋物線的定義知，e=1.
探究與發(fā)現(xiàn)
為什么拱橋的橋拱大多設(shè)計(jì)為拋物線的形狀？
講解
說明
展示
講解
講解
展示說明
理解
思考
領(lǐng)會(huì)
理解
理解
思考領(lǐng)會(huì)
拋物線的性質(zhì)與橢圓、雙曲線比較起來差別比較大
探究與發(fā)現(xiàn)體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的
應(yīng)用
典型例題
例 3 根據(jù)條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
關(guān)于 y 軸對(duì)稱，且過點(diǎn) P(4,-2) ；
對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過點(diǎn) P(10,5).
解 (1)由于物線關(guān)于 y 軸對(duì)稱，而點(diǎn) P 為第四象限的點(diǎn)，故拋物線的焦點(diǎn)在 y 軸的負(fù)半軸上.
設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2=-2py(p>0).將點(diǎn) P 的坐標(biāo)
(4,-2)代人方程，得 42=-2p·(-2)，解得 p=4.因此，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x2=-8y； (2)設(shè)所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
y2=2p1x 或 x2=-2p2y，
將點(diǎn) P 的坐標(biāo)(10,5)分別代人上述兩個(gè)方程，得 52=2p1×10
或 102=-2p2×5，解得
p ? 5 或 p =10.
142
故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為
y2 ? 5 x 或 x2=20 y.
2
溫馨提示
當(dāng)問題中沒有明確指出拋物線的焦點(diǎn)位置或?qū)ΨQ軸時(shí)，一般需要分情況討論.
提問引導(dǎo)
講解強(qiáng)調(diào)
提問引導(dǎo)
講解強(qiáng)調(diào)
思考分析
解決交流
思考分析
解決交流
例 3要強(qiáng)調(diào)不明確拋物線的焦點(diǎn)位置或?qū)ΨQ軸時(shí)，一般需要分情況討論
例 4用“描點(diǎn)法”畫出拋物線 y2=4x 的圖形.
分析 拋物線具有對(duì)稱性，因此只需先畫出拋物線在第一象限內(nèi)的圖形,然后根據(jù)對(duì)稱性畫出全部圖形.
解 當(dāng) y≥0 時(shí),拋物線的方程可以變形為 y2=2x (x≥0).
在[0,+∞)上，選取幾個(gè)整數(shù)作為 x 的值，計(jì)算出對(duì)應(yīng)的
y 值，列表
以表中的 x 值為橫坐 標(biāo)，對(duì)應(yīng)的 y 值為縱坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系中依次描出 相應(yīng)的點(diǎn)(x,y)，用光滑的曲線順次鏈接各點(diǎn)得到拋物 線在第一象限內(nèi)的圖形. 然后利用對(duì)稱性，畫出全部 圖形.
例 5 如圖(1)所示，一條隧道的頂部是拋物線拱，拱高為
2m，跨度為 6m，求拱形縱截線所在的拋物線方程.
解 以拱形縱截線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)、拱高所在直線為 y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖(2)所示，則拋物線方程可設(shè)為 x2=-2py.
設(shè)拱形的兩個(gè)端點(diǎn)分別為點(diǎn) A、B.則由拱高為 2m 和跨度為 6m 可得 AB 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-3,-2)、(3,-2)．把點(diǎn)
B 的坐標(biāo)代人方程 x2=-2py，可得 p ? 9 .
4
因此，拱形縱截線所在的拋物線方程為 x29 y
? ?
2
(-3≤x≤3).
提問引導(dǎo)
講解強(qiáng)調(diào)
思考分析
解決交流
例 4作圖時(shí)，利用了拋物線的軸對(duì)稱性，要注意直觀想象素養(yǎng)的培養(yǎng)
例 5是拋物線的實(shí)際應(yīng)用問題
鞏固練習(xí)
練習(xí) 3.3.2
1. 根據(jù)條件，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
準(zhǔn)線方程為 x=4；
焦點(diǎn)為 F(0,-3)；
關(guān)于 x 軸對(duì)稱，且過點(diǎn)(5,-4)；
對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過點(diǎn)(6,3).
2. 在直角坐標(biāo)系中，畫出下列拋物線的圖像.
提問
思考
及時(shí)掌握學(xué)生掌握情況
查漏
(1) y2=-6x ; (2)x2=9y.
已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，拋物線上一點(diǎn) P(-3,m)到焦點(diǎn)的距離為 5，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.
已知垂直于 x 軸的直線交拋物線 y2=6x 于 A、B 兩點(diǎn)，且|AB|=8 3 ，求直線 AB 的方程.
巡視
指導(dǎo)
動(dòng)手求解
交流
補(bǔ)缺
歸納總結(jié)
引導(dǎo)提問
回憶反思
培養(yǎng)學(xué)生總結(jié)學(xué)習(xí)過程能力
布置作業(yè)
書面作業(yè)：完成課后習(xí)題和《學(xué)習(xí)指導(dǎo)與練習(xí)》；
查漏補(bǔ)缺：根據(jù)個(gè)人情況對(duì)課堂學(xué)習(xí)復(fù)習(xí)與回顧;
拓展作業(yè)：閱讀教材擴(kuò)展延伸內(nèi)容.
說明
記錄
繼續(xù)探究延伸
學(xué)習(xí)

相關(guān)教案

中職數(shù)學(xué)高教版（2021·十四五）拓展模塊一（上冊(cè)）第4章 立體幾何4.1 平面4.1.1 平面的特征和表示優(yōu)質(zhì)課教案：

這是一份中職數(shù)學(xué)高教版（2021·十四五）拓展模塊一（上冊(cè)）第4章 立體幾何4.1 平面4.1.1 平面的特征和表示優(yōu)質(zhì)課教案，共7頁。

中職數(shù)學(xué)高教版（2021·十四五）拓展模塊一（上冊(cè)）第3章 圓錐曲線3.1 橢圓3.1.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程優(yōu)質(zhì)課教案及反思：

這是一份中職數(shù)學(xué)高教版（2021·十四五）拓展模塊一（上冊(cè)）第3章 圓錐曲線3.1 橢圓3.1.1 橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程優(yōu)質(zhì)課教案及反思，共9頁。

中職數(shù)學(xué)2.3 向量的內(nèi)積精品教案：

這是一份中職數(shù)學(xué)2.3 向量的內(nèi)積精品教案，共3頁。

英語朗讀寶

相關(guān)教案 更多

中職數(shù)學(xué)高教版（2021·十四五）拓展模塊一（上冊(cè)）2.1 向量的概念精品教學(xué)設(shè)計(jì)及反思

中職數(shù)學(xué)高教版（2021·十四五）拓展模塊一（上冊(cè)）2.1 向量的概念精品教學(xué)設(shè)計(jì)及反思
高教版（2021）拓展模塊一 上冊(cè)3.3.2 拋物線的幾何性質(zhì)精品教學(xué)設(shè)計(jì)

高教版（2021）拓展模塊一 上冊(cè)3.3.2 拋物線的幾何性質(zhì)精品教學(xué)設(shè)計(jì)
高教版（2021）拓展模塊一 上冊(cè)3.3.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程優(yōu)質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)

高教版（2021）拓展模塊一 上冊(cè)3.3.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程優(yōu)質(zhì)教學(xué)設(shè)計(jì)
中職數(shù)學(xué)高教版（2021）拓展模塊一 上冊(cè)3.3.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)及反思

中職數(shù)學(xué)高教版（2021）拓展模塊一 上冊(cè)3.3.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)及反思
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中職數(shù)學(xué)高教版（2021·十四五）拓展模塊一（上冊(cè)）電子課本

3.3.1 拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

版本： 高教版（2021·十四五）

年級(jí)： 拓展模塊一（上冊(cè)）

切換課文
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部