注意事項(xiàng)：
1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息
2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上
一、單選題（共40分）
1. 已知非零向量滿足，且，則（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用給定條件結(jié)得到，再結(jié)合向量數(shù)量積的定義求解即可.
【詳解】由題意得，兩邊平方得，
整理得，由向量數(shù)量積的公式得，
而，故，
因?yàn)?，所以，即，故B正確.
故選：B
2. 已知點(diǎn)、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M為橢圓B上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于的角平分線的對(duì)稱點(diǎn)N也在橢圓B上，若，則橢圓B的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)角平分線的對(duì)稱性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)得，再結(jié)合題設(shè)得，進(jìn)而求出，再結(jié)合橢圓的定義以及余弦定理即可求解.
【詳解】由題意可知，，
且，，
所以，

因?yàn)?，所以?br>所以即，
又，所以，
所以由余弦定理得，
整理得，所以即.
故選：B.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵1是抓住角平分線的對(duì)稱性之和橢圓的幾何性質(zhì)求出，關(guān)鍵2是利用和的關(guān)系求出，再在中結(jié)合余弦定理即可求解.
3. 已知函數(shù)，若對(duì)
恒成立，則（ ）
A. B. 16C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】分別代入解析式，求出即可.
【詳解】當(dāng)，則，
，
由于，則，則；經(jīng)檢驗(yàn)適合題意.
故.
故選：B
4. 已知曲線在點(diǎn)處的切線與拋物線也相切，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A. 0B. C. 1D. 0或1
【答案】C
【解析】
【分析】先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在處的切線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用求出的值，再驗(yàn)證可得答案.
【詳解】，，
所以曲線在點(diǎn)處的切線為：，即．
聯(lián)立與，得，依題意可知，所以或1．
當(dāng)時(shí)，不拋物線，舍去．
故選：C
5. 已知函數(shù)，若在上有且僅有四個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)輔助角公式可得，作出的圖象，結(jié)合圖形即可求解.
【詳解】，
作出的圖象，如圖所示，

結(jié)合圖形可知，若在上有且僅有4個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
則且，
即的取值范圍為.
故選：D
6. 設(shè)，，，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】構(gòu)造函數(shù)，由的單調(diào)性可知，所以，再由可得，所以，即可得出答案.
【詳解】構(gòu)造函數(shù)，的定義域?yàn)椋?br>，令可得：，令可得：，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
故，即，
變形可得，即，所以；
又，所以，又因?yàn)椋?br>所以，綜上，，
故選：B．
7. 已知三棱錐的底面積是邊長(zhǎng)為的正三角形， 點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的射影為的垂心，二面角的平面角的大小為，則的長(zhǎng)為（ ）

A. 3B. C. D. 4
【答案】C
【解析】
【詳解】連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，設(shè)在底面內(nèi)的射影為，則平面，連結(jié)交于點(diǎn)

∵點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)的射影為的垂心
∴平面，
∴
∵，平面，平面
∴平面
∴
∵平面，平面
∴
∵，平面，平面
∴平面
∵平面
∴
同理可證
∴是的垂心
∴三棱錐為正三棱錐
∵三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的正三角形
∴，，則
∵二面角的平面角的大小為
∴為二面角的平面角
在中，，
∴
在中，，
∴
故選C
點(diǎn)睛：本題重點(diǎn)考查空間中點(diǎn)線面的位置關(guān)系，屬于中檔題．首先，判斷三棱錐為正三棱錐，然后，根據(jù)異面直線所成的角的定義可得為二面角的平面角，解直角三角形即可得解.
8. 已知函數(shù)在有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，且，則圖象的一條對(duì)稱軸是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由函數(shù)的零點(diǎn)情況，求出的取值范圍，再利用給定等式分析判斷函數(shù)圖象的對(duì)稱軸即可得解.
【詳解】由函數(shù)在有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，
得，解得，則，
又，而，當(dāng)時(shí)，，，
由，得，當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在有3個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，
因此是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸，即，解得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，均不符合題意；
當(dāng)時(shí)，，得，則圖象的對(duì)稱軸為.
故選：C
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及三角函數(shù)在指定區(qū)間上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，利用五點(diǎn)法作圖思想分析周期情況是解題的關(guān)鍵.
二、多選題（共18分）
9. 已知函數(shù)，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，，下列結(jié)論成立的有（ ）
A.
B. 函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增
C. 曲線在點(diǎn)處的切線方程是
D 若，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，再求出最值，以及在某點(diǎn)處的切線方程,判定ABC,構(gòu)造新函數(shù)，借助導(dǎo)數(shù)研究最值判定D即可.
【詳解】對(duì)A，對(duì)求導(dǎo)，
令，即，解得.
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增.
所以函數(shù)處取得最小值，即，所以，A選項(xiàng)正確.
對(duì)B，由上述分析可知，上函數(shù)單調(diào)遞減，上函數(shù)單調(diào)遞增，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
對(duì)C，由于切線斜率為0，在點(diǎn)，切線方程為，C選項(xiàng)正確.
對(duì)D，因?yàn)椋瑒t.
則.
令則，
則在單調(diào)遞增.故.
即，即.D選項(xiàng)正確.
故選：ACD
10. 已知復(fù)數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 若，則B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】舉出反例即可判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)的模的公式即可判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義及坐標(biāo)表示即可判斷CD.
【詳解】對(duì)于A，設(shè)，顯然，
但，故A錯(cuò)；
對(duì)于B，設(shè)，
則，
，
，
所以，故B對(duì)；
對(duì)于CD，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)向量，
復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量，復(fù)數(shù)加減法對(duì)應(yīng)向量加減法，
故和分別為和為鄰邊構(gòu)成平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度，
所以，，故C對(duì)，D對(duì).
故選：BCD.
11. 某校在運(yùn)動(dòng)會(huì)期間進(jìn)行了一場(chǎng)“不服來(lái)戰(zhàn)”對(duì)抗賽，由籃球?qū)I(yè)的1名體育生組成甲組，3名非體育生的籃球愛(ài)好者組成乙組，兩組進(jìn)行對(duì)抗比賽.具體規(guī)則為甲組的同學(xué)連續(xù)投球3次，乙組的同學(xué)每人各投球1次.若甲組同學(xué)和乙組3名同學(xué)的命中率依次分別為，則（ ）
A. 乙組同學(xué)恰好命中2次的概率為
B. 甲組同學(xué)恰好命中2次的概率小于乙組同學(xué)恰好命中2次的概率
C. 甲組同學(xué)命中次數(shù)的方差為
D. 乙組同學(xué)命中次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用概率乘法和加法公式，可判定A錯(cuò)誤；根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式，可得判定B正確，結(jié)合二項(xiàng)分布的方差，可判定C中，由乙組同學(xué)命中次數(shù)為隨機(jī)變量的所有可能取值為，求得相應(yīng)的概率，結(jié)合期望的公式，可判定D正確.
【詳解】對(duì)于A中，設(shè)“乙組同學(xué)恰好命中2次”為事件，則，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B中，設(shè)“甲組同學(xué)恰好命中2次”為事件，則，因?yàn)?，所以B正確；
對(duì)于C中，因?yàn)榧捉M同學(xué)每次命中的概率都為，設(shè)甲組同學(xué)命中次數(shù)為，則，可得，所以C正確；
對(duì)于D中，設(shè)乙組同學(xué)命中次數(shù)為隨機(jī)變量，則的所有可能取值為，
所以，
，
，
故，所以D正確.
故選：BCD.
三、填空題（共15分）
12. 已知三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，，成等比數(shù)列，，，成等差數(shù)列，則______.
【答案】
【解析】
【詳解】由題，
由正弦定理可得： ③
由正弦定理，故，
由余弦定理：
代入得：
所以，故.
故答案為：.
13. 已知正方體的棱長(zhǎng)為3，垂直于棱的截面分別與面對(duì)角線，相交于點(diǎn)，則四棱錐體積的最大值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】先通過(guò)面面平行的性質(zhì)以及垂直關(guān)系得到四邊形為矩形，設(shè)到平面的距離為，表示出體積，然后利用導(dǎo)數(shù)求最值.
【詳解】已知正方體垂直于棱的截面分別與面對(duì)角線，相交于點(diǎn)，
則面面，又面面，面面，
所以，同理，所以，同理，
即四邊形為平行四邊形，又，所以，
所以四邊形為矩形，
又，
設(shè)到平面的距離為，
則，所以，
所以四棱錐體積
所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，四棱錐體積最大值.
故答案為：.
14. 對(duì)于非空集合，定義函數(shù)已知集合，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的定義可得可取，即可得到的取值范圍.
【詳解】由題知：可取，
若.則，
即集合，得，即的取值范圍為.
故答案為：
四、解答題（共77分）
15. 在中，角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，已知，，是等差數(shù)列．
（1）若a，b，c是等比數(shù)列，求；
（2）若，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、兩角和的正弦公式，化簡(jiǎn)求得；
（2）由（1）得，再借助角的值，以及兩角和與差的余弦公式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)閍，b，c是等比數(shù)列，所以，有，
因?yàn)椋?，是等差?shù)列，所以.
故.
所以．
【小問(wèn)2詳解】
由（1）的過(guò)程可知，若，則.
又由，得，
故．
16. 記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別，，，已知．
（1）求；
（2）設(shè)是邊中點(diǎn)，若，求．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式及輔助角公式求解.
（2）利用和角的正弦公式求出，再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及正弦定理求解.
【小問(wèn)1詳解】
在中，由正弦定理及，
得，又，
則，而，
化簡(jiǎn)得，即，而，因此，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
在中，由，得，，
由正弦定理，得，由是邊中點(diǎn)，得，
則，因此，
在中，由正弦定理，得.
17. 如圖，在多面體中，四邊形與均為直角梯形，平面平面，，，，，，且.
（1）已知點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，證明：平面；
（2）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接交于點(diǎn)，取中點(diǎn)為，易證四邊形為平行四邊形，從而為中點(diǎn)，為中位線，，由平行關(guān)系的傳遞性得到且，從而四邊形為平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理證明；
（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，，分別求得平面的一個(gè)法向量為，平面的法向量為，根據(jù)平面與平面所成銳二面角的余弦值為，由求得a，再由點(diǎn)C到平面的距離求解.
【小問(wèn)1詳解】
證明：如圖，
連接交于點(diǎn)，取中點(diǎn)為，連接，，，
在四邊形中，，，
故四邊形為平行四邊形.
故為中點(diǎn)，所以在中，為中位線，
則且，又且，
故且，即四邊形為平行四邊形，
所以，又平面，平面，
平面，即平面.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，，平面，所以平面?br>以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，，，，，
則，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，取，
，，
設(shè)平面的法向量為，
，取
由平面與平面所成銳二面角的余弦值為，
可得，
解得或（舍去）
故，又，
所以點(diǎn)到平面的距離.
18. 如圖，橢圓過(guò)點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且與軸相交的直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，與拋物線相交于，兩點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）若，求直線在軸上截距的范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題知，進(jìn)而解方程即可求得答案；
（2）設(shè)，進(jìn)而分別與橢圓和拋物線聯(lián)立計(jì)算弦長(zhǎng)，，進(jìn)而計(jì)算面積，，再結(jié)合已知求得，且再求直線在軸上截距的范圍即可.
【小問(wèn)1詳解】
根據(jù)題意得解得所以，焦點(diǎn).
所以橢圓的方程是：.
【小問(wèn)2詳解】
由題可設(shè)直線方程為：，，，，.
由得,
由題知，，,
.
又點(diǎn)到直線的距離，
.
由得，由題知，得，.
.
，，解得：且,
或，
直線在軸上截距的取值范圍是.
19. 根據(jù)央視網(wǎng)消息顯示，貴州省文旅廳網(wǎng)站5月1日公布《2023年“五一”假期前三天全省文化旅游情況》，其中顯示，假期前三天，根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果，全省接待游客2038.26萬(wàn)人次（用2038萬(wàn)計(jì)算），較2022年假日同期增長(zhǎng)（用計(jì)算），恢復(fù)到2019年假日同期水平的（用計(jì)算）.某大學(xué)旅游管理專業(yè)的學(xué)生陳楓為了了解“紅色旅游景區(qū)”的游客對(duì)景區(qū)歷史文化背景的知曉情況，隨機(jī)抽選了若干名游客進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，根據(jù)問(wèn)卷得分，統(tǒng)計(jì)如下：
（1）求2022年和2019年“五一”假期前三天全省接待游客人次（單位：萬(wàn)），精確到0.01.
（2）根據(jù)表格估計(jì)“紅色旅游景區(qū)”的游客對(duì)景區(qū)歷史文化背景知曉情況問(wèn)卷得分的平均水平（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）.
（3）陳楓為了答謝游客的參與，在問(wèn)卷得分為的游客中按的比例抽選6人作為景區(qū)“幸運(yùn)游客”，景區(qū)在“幸運(yùn)游客”中隨機(jī)選取兩人評(píng)為“五星游客”，求得分為?的游客中各有一人評(píng)為“五星游客”的概率.
【答案】（1）1435.21萬(wàn)，1940.95萬(wàn)
（2）90 （3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)2022年和2019年和已知數(shù)據(jù)2023年的數(shù)據(jù)的比例關(guān)系求解；
（2）由表得，平均數(shù)等于每一組的平均值乘以頻率的和；
（3）根據(jù)比例，找出得分為分別抽取2人和4人為“幸運(yùn)游客”.找出總的組合結(jié)果為15，各一人的結(jié)果有8種，從而得到概率.
【小問(wèn)1詳解】
由題可知2022年“五一”假期前三天全省接待游客人次為萬(wàn)；
2019年同期接待游客人次為萬(wàn).
【小問(wèn)2詳解】
由表可得，游客平均水平估計(jì)為
【小問(wèn)3詳解】
由題意可知，在得分為中分別抽選了2人（記為）和4人（記為）為“幸運(yùn)游客”.
所以從中選兩人的可能結(jié)果有：共15種，
其中各占一人的結(jié)果有：
共8種，所以所求概率為.
得分
頻率
010
0.20
0.40
0.20
0.10

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