湖南省長沙市鐵路第一中學2025屆高三下學期一模數(shù)學試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

注意事項：
1.答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息.
2.請將答案正確填寫在答題卡上.
一、單選題（共40分）
1. 設(shè)是銳角，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用兩角和與差的余弦公式，結(jié)合齊次式弦化切可得，進而可得答案.
【詳解】因為且，
所以，
故，結(jié)合，
解得.
故選：C.
2. 已知圓截直線所得弦的長度小于6，則實數(shù)的取值范圍為（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將圓的方程化為標準方程，再利用直線與圓相交的性質(zhì)與圓的弦長公式得到關(guān)于的不等式組，解之即可得解.
【詳解】因為圓，可化為，
則其圓心為，半徑為，且，即，
圓心到直線的距離為，
因為直線與圓相交，且所得弦的長度小于6，
所以，解得，
綜上，，即
故選：D.
3. 已知平面向量均為單位向量，且夾角為，若向量與共面，且滿足，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，然后由解方程組求出，再利用模長的定義求出即可.
【詳解】設(shè)，
因為，
又，即，
解得，
所以，所以，
故選：B.
4. 某城市隨機選取個人參加活動，假設(shè)該城市人口年齡分布均勻，要使得參加該活動有人生肖相同的概率大于，則至少需要選?。? ）個人.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用分步計數(shù)原理及排列，先求得選取個人中生肖均不相同概率，再求出，即可求解.
【詳解】已知個生肖，按先后順序選擇個人，每次選中的人有種等概率可能，由分步乘法原理共有種情況，
若選取個人中生肖均不相同，有種可能，故選取個人中生肖均不相同概率，
要使得參加該活動有人生肖相同的概率大于，即，
由于，即隨n隨n的增大而減小，
，，故至少要選個人，
故選：C
5. 鄭州綠博園花展期間，安排6位志愿者到4個展區(qū)提供服務(wù)，要求甲、乙兩個展區(qū)各安排一個人，剩下兩個展區(qū)各安排兩個人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（）
A. 168種B. 156種C. 172種D. 180種
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，用間接法分析，先分4步進行不受限制的排法數(shù)目，再排除計算其中小李和小王在一起的排法數(shù)目，從而可得答案
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)剩下的2個展區(qū)為丙展區(qū)和丁展區(qū)，用間接法分析：
先計算小李和小王不受限制的排法數(shù)學：先在6位志愿者中任選1個，安排在甲展區(qū)，有種情況，
再在剩下5個志愿者中任選1個，安排到乙展區(qū)，有種情況，
最后將剩下的4個志愿者平均分成2組，全排列后安排到剩下的2個展區(qū)，有種情況，
所以小李和小王不受限制的排法有種，
若小李和小王在一起，則兩人去丙展區(qū)或丁展區(qū)，有2種情況：
在剩下的4位志愿者中任選1個，安排到甲展區(qū)，有種情況，
再在剩下的3個志愿者中任選1個，安排到乙展區(qū)，有種情況，
最后安排2個安排到剩下的展區(qū)，有1種情況，
則小李和小王在一起的排法有種，
所以小李和小不在一起的排法有種，
故選：B
6. 已知過拋物線的焦點且傾斜角為的直線交于兩點，是的中點，點是上一點，若點的縱坐標為1，直線，則到的準線的距離與到的距離之和的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先聯(lián)立與拋物線方程，結(jié)合已知、韋達定理求得，進一步通過拋物線定義、三角形三邊關(guān)系即可求解，注意檢驗等號成立的條件.
【詳解】由題得的焦點為，設(shè)傾斜角為的直線的方程為，
與的方程聯(lián)立得，
設(shè)，則，故的方程為.

由拋物線定義可知點到準線的距離等于點到焦點的距離，
聯(lián)立拋物線與直線，化簡得，
由得與相離.
分別是過點向準線、直線以及過點向直線引垂線的垂足，連接，
所以點到的準線的距離與點到直線的距離之和,等號成立當且僅當點為線段與拋物線的交點，
所以到的準線的距離與到的距離之和的最小值為點到直線0的距離，即.
故選：D.
7. 已知函數(shù)滿足，求在的導數(shù)（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求導，令，求得，在中，令求得答案.
【詳解】因為，
所以，解得，
.
故選：D.
8. 圖1是蜂房正對著蜜蜂巢穴開口的截面圖，它是由許多個正六邊形互相緊挨在一起構(gòu)成．可以看出蜂房的底部是由三個大小相同的菱形組成，且這三個菱形不在一個平面上．研究表明蜂房底部的菱形相似于菱形十二面體的表面菱形，圖2是一個菱形十二面體，它是由十二個相同的菱形圍成的幾何體，也可以看作正方體的各個正方形面上扣上一個正四棱錐（如圖3），且平面ABCD與平面ATBS的夾角為45°，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用二面角平面角可得為，再在中利用余弦定理可求得結(jié)果.
【詳解】
連接AC、BD相交于點O，連接SO，因四棱錐為正棱錐，
所以平面ABCD，取AB的中點E，連接SE、OE，
因為，所以，
所以即為平面ABCD與平面ATBS的夾角，即,
設(shè)，則，
所以，，
在中，由余弦定理，
故選：A．
二、多選題（共18分）
9. 已知函數(shù)滿足對任意，都有，則（）
A. B. 可能是增函數(shù)
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】取計算可判斷AB；用代換可得，進而可得可判斷D；取，可求得可判斷D.
【詳解】令，得，解得，
代入，得，所以A正確，B錯誤；
用替換中的，得，
用替換中的，得，
所以，故D正確；
中，取得，取得，
所以，故C正確.
故選：ACD.
10. 已知函數(shù)的最大值為，其部分圖象如圖所示，則（）
A.
B. 函數(shù)為偶函數(shù)
C. 在上恰有4個零點，則
D. 當時，函數(shù)的值域為
【答案】ABC
【解析】
【分析】對于A：根據(jù)函數(shù)周期分析判斷；對于B：根據(jù)函數(shù)最值分析判斷；對于C：令，可得，以為整體，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)分析判斷；對于D：整理可得，結(jié)合正切函數(shù)分析求解.
【詳解】對于選項A：因為，
由圖象可知：函數(shù)的最小正周期，
且，則，解得，可得，故A正確；
對于選項B：由圖可知：當時，函數(shù)取到最大值，
則，
整理可得，解得，
則，
所有為偶函數(shù)，故B正確；
對于選項C：令，可得，
因為，則，
若在上有4個零點，
則，解得，故C正確；
對于選項D：因為，
又因為，則，可得，
所以函數(shù)的值域為，故D錯誤；
故選：ABC.
11. 已知點，圓，則（）
A. 圓與圓公共弦所在直線的方程為
B. 直線與圓總有兩個交點
C. 圓上任意一點都有
D. 是的等差中項，直線與圓交于兩點，當最小時，的方程為
【答案】BCD
【解析】
【分析】A通過圓的方程相減即可判斷，B通過直線過定點，點在圓內(nèi)即可判斷；C：求得的軌跡方程即可判斷；D通過等差中項得到，確定直線過定點，由最小，得到圓心和弦中點的連線與直線，即可求解.
【詳解】對于A:兩圓方程相減可得公共弦所在直線的方程：；錯誤
對于B：過定點，而在圓的內(nèi)部，所以直線與圓總有兩個交點，正確；
對于C:設(shè)，由可得：化簡可得：，所以滿足條件的軌跡就是圓，正確；
對于D：因為是的等差中項，所以（不同時為0）
所以可化為，即
可令，
解得，則直線過定點，
設(shè)的圓心為，
當與直線垂直時，最小，此時，
即，得，結(jié)合
所以，解得
直線的方程為.正確
故選：BCD
三、填空題（共15分）
12. 在等差數(shù)列中，數(shù)列的前n項和為，，，若，則的最小值為________.
【答案】17
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列的通項公式，再由求出的各組值，計算比較得解.
【詳解】在等差數(shù)列中，，解得，而，則，
數(shù)列的公差，則，由，得，
而，則或或或，
所以當時，的最小值為.
故答案為：17
13. 若一個正三棱臺的各頂點之間的距離構(gòu)成的集合為，且該三棱臺的所有頂點都在球的表面上，則球的表面積為__________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)正三棱臺，先考察正三棱臺的一個側(cè)面，設(shè)，求得，設(shè)三棱臺的上底面中心為，下底面中心為，利用三角形重心的性質(zhì)求得，設(shè)球的半徑為，，利用勾股定理即可求解．
【詳解】設(shè)正三棱臺.如圖，先考察正三梭臺的一個側(cè)面.
設(shè)，在中，由于是鈍角，故中最大的邊是.
若，則和的長只能取1或.此時若兩邊長均為1和1，則不滿足兩邊之和大于第三邊；
若一邊長1，一邊長，則變?yōu)橹苯侨切危?br>若兩邊長均為，則的長只能為1，與矛盾.
因而只能是.
設(shè)三棱臺的上底面中心為，下底面中心為.
如圖，在直角梯形中求球的半徑，

在直角梯形中求球的半徑，
利用重心的性質(zhì)容易求得，
設(shè)球的半徑為，，由圖1 得，
解得（舍），
由圖2得，解得，
故球的表面積為.
故答案為：．
【點睛】方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：
（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；
（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達到空間問題平面化的目的；
（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.
14. 已知，且在單增，上單減，則_________
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)，求出，在單增，上單減求出.
【詳解】因為，所以，
因為，所以，
所以，因為在單增，上單減，
所以是的最大值點，所以，
所以，因為在單增，上單減，
所以單調(diào)區(qū)間長度大于等于，所以，
且，所以，所以.
故答案為：.
四、解答題（共77分）
15. 已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.
（1）求；
（2）若，面積為，求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理，可得，得，則，即可求得；
（2）由面積為，利用三角形面積公式可得，由余弦定理得，即，則可求得的值.
【小問1詳解】
由正弦定理得，，
又，
，
，，
，
，
，.
【小問2詳解】
面積為，
，
，
，，
由得，
即，
.
16. 已知等比數(shù)列滿足．
（1）求的通項公式；
（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)條件，求出，即可求出結(jié)果；
（2）利用（1）中結(jié)果，得到，再利用等差數(shù)列的前項公式，即可求解.
【小問1詳解】
設(shè)公比為，因為，
所以，解得，所以的通項公式為.
【小問2詳解】
由（1）知，
所以.
17. 已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的最大值；
（2）若不等式在上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）確定函數(shù)定義域，求出導函數(shù)，利用導數(shù)正負，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值；（1）分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，利用導數(shù)研究在上的最大值即可得到答案.
【小問1詳解】
函數(shù)的定義域為，且，
令，解得：，
令，解得：
所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，
則
【小問2詳解】
不等式在上恒成立，即在上恒成立，
令，
則，
令，解得：，
令，解得：
所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，
則，
所以，
所以不等式在上恒成立，則實數(shù)取值范圍為
18. 如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，，為等邊三角形，且平面平面．
（1）作出點在平面的射影，并證明；
（2）求平面與平面的夾角的余弦值．
【答案】（1）作圖見解析，證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）要證明平面，應(yīng)用余弦定理得出，再結(jié)合面面垂直性質(zhì)定理得出平面，，最后根據(jù)線面垂直判定定理證明；
（2）由平面底面時，建立空間直角坐標系，求解二面角的余弦公式即可.
【小問1詳解】
在中，作，垂足為，點即為點在平面的射影．下面證明平面：
因為四邊形為等腰梯形，所以，
在，中，
，
，
解得，．
又，，∴，
∴．
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
又平面，∴．
又，，平面，∴平面．
【小問2詳解】
連接點與的中點，則．
又平面平面，平面平面，平面，∴平面．
如圖，以為原點，過點且平行于的方向為軸，直線，分別為軸，軸建立空間直角坐標系，
則，，．
設(shè)平面的法向量為，易知，，
則取，則，，則．
設(shè)平面的法向量為，，，
則取，則，，則．
∴，
故平面與平面的夾角的余弦值為．
19. 某超市每天以4元/千克購進某種有機蔬菜，然后以7元/千克出售．若每天下午6點以前所購進的有機蔬菜沒有全部銷售完，則對未售出的有機蔬菜降價處理，以2元/千克出售，并且降價后能夠把剩余所有的有機蔬菜全部處理完畢，且當天不再進貨．該超市整理了過去兩個月（按60天計算）每天下午6點前這種有機蔬菜的日銷售量（單位：千克），得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)．（注：視頻率為概率，）
（1）求1天下午6點前的銷售量不少于350千克的概率；
（2）在接下來的2天中，設(shè)為下午6點前的銷售量不少于350千克的天數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望．
【答案】（1）
（2）的分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）由表格中的數(shù)據(jù)，結(jié)合對立事件的概率公式，即可求解；
（2）根據(jù)題意，得到隨機變量的可能值為，結(jié)合獨立重復(fù)試驗的概率計算公式，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解．
【小問1詳解】
解：由表格中的數(shù)據(jù)，可得1天下午6點前的銷售量不小于350千克的概率為．
【小問2詳解】
解：依題意，1天下午6點前的銷售量不少于350千克的概率，
隨機變量的可能值為，
可得：，
，
，
所以隨機變量的分布為：
所以的數(shù)學期望．每天下午6點前的銷售量/千克
250
300
350
400
450
天數(shù)
10
10
5
0
1
2

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