注意事項：
1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.
2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，
用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上
無效.
3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個選項中，只有一項
是符合題目要求的．
1. 已知集合 ，則 中元素的個數(shù)為（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
2. 若復(fù)數(shù) ，則 （ ）
A. B. C. D.
3. 函數(shù) 的最小正周期是（ ）
A. B. C. D.
4. 若 是夾角為 的單位向量，則 與 的夾角為（ ）
A. B. C. D.
5. 已知雙曲線 的離心率為 ，則此雙曲線的漸近線方程為（ ）
A. B. C. D.
6. 一個圓錐的底面圓和頂點都恰好在同一個球面上，且該球的半徑為 1，當(dāng)圓錐的體積取最大值時，圓錐
的底面半徑為（ ）
A. B. C. D.
第 1頁/共 5頁
7. 已 知 的 內(nèi) 角 所 對 的 邊 分 別 為 ， ， 則
的面積為（ ）
A. B. C. 36 D. 27
8. 已知函數(shù) 在區(qū)間 上的最大值為 ，則當(dāng) 取到最小值時，
（ ）
A. 7 B. C. 9 D.
二、選擇題：本大題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項中，有多項符合
題目要求．全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分．
9. 已知圓 ，直線 （其中 為參數(shù)），則下列選項正確的
是（ ）
A. 圓 的半徑 B. 直線 與圓 相交
C. 直線 不可能將圓 的周長平分 D. 直線 被圓 截得的最短弦長為
10. 雙曲函數(shù)是一類與三角函數(shù)類似的函數(shù).最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù) 和雙曲余
弦函數(shù) ，則下列說法正確的是（ ）
A. 雙曲正弦函數(shù)是奇函數(shù)，雙曲余弦函數(shù)是偶函數(shù)
B.
C. 函數(shù) 值域為
D.
11. 古希臘數(shù)學(xué)家托勒密（Ptlemy85—165）對三角學(xué)的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)，他研究出角與弦之間的對應(yīng)
關(guān)系，創(chuàng)造了世界上第一張弦表．托勒密用圓的半徑的 作為一個度量單位來度量弦長，將圓心角
所對的弦長記為 ．例如 180°圓心角所對弦長等于直徑，即 120 個度量單位，所以
．則（ ）
第 2頁/共 5頁
A. crd B. 若 ，則
C. D. crd
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．
12. 若指數(shù)函數(shù) 滿足 ，則 _____．
13. 從編號 的 15 張卡片中依次不放回地抽出兩張，記事件 ：“第一次抽到數(shù)字為 5 的倍數(shù)”，事件
：“第二次抽到的數(shù)字小于第一次”，則 _____．
14. 已知 是拋物線 的焦點， 是 上不同的兩點， 為坐標(biāo)原點，若
，垂足為 ，則 面積的最大值為_____．
四、解答題：本大題共 5 小題，共 77 分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 某電視臺為了解不同性別的觀眾對同一檔電視節(jié)目的評價情況，隨機(jī)選取了 100 名觀看該檔節(jié)目的觀眾
對這檔電視節(jié)目進(jìn)行評價，已知被選取的觀眾中“男性”與“女性”的人數(shù)之比為 ，評價結(jié)果分為
“喜歡”和“不喜歡”，并將部分評價結(jié)果整理如下表所示．
評價
性 合
喜 不喜
別 計
歡 歡
男
15 性
女
性
合
50 100 計
（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成上面的 列聯(lián)表；
（2）依據(jù)小概率值 的獨立性檢驗，能否認(rèn)為性別因素與評價結(jié)果有關(guān)系？
（3）電視臺計劃拓展男性觀眾市場，現(xiàn)從參與評價的男性中，用按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法選取 3
人，進(jìn)行節(jié)目“建言”征集獎勵活動，其中評價結(jié)果為“不喜歡”的觀眾“建言”被采用的概率為 ，評
第 3頁/共 5頁
價結(jié)果為“喜歡”的觀眾“建言”被采用的概率為 ，“建言”被采用獎勵 100 元，“建言”不被采用獎勵
50 元，記 3 人獲得的總獎金為 ，求 的分布列及數(shù)學(xué)期望．
附： ．
0.010 0.005 0.001
6 635 7.879 10.828
16. 已知函數(shù) ，設(shè)曲線 在點 處的切線與 軸的交點為
，且 ．
（1）用 表示 ；
（2）若 ，記 ，證明數(shù)列 是等比數(shù)列，并求數(shù)列 的通項公式．
17. 如圖，在直三棱柱 中， 是四邊形 （不
含邊界）內(nèi) 動點且 ．
（1）求證： 平面 ；
（2）求平面 與平面 所成角 余弦值的取值范圍．
18. 已知橢圓 的離心率為 分別為橢圓 的上、下頂點， 為坐標(biāo)原點，
直線 與橢圓 交于不同的兩點 .
（1）設(shè)點 為線段 的中點，證明：直線 與直線 的斜率之積為定值；
第 4頁/共 5頁
（2）若 ，證明：直線 與直線 的交點 在定直線上.
19. 已知函數(shù) ．
（1）若 在 處的切線為 ，求 的值；
（2）當(dāng) 時，求 在 上的零點個數(shù)；
（3）當(dāng) 時，設(shè) ，是否存在 ，使得曲線 在點
處 切線與 有 3 個交點？若存在，探究滿足條件的 的個數(shù)；若不存在，說明理由
．
第 5頁/共 5頁

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