湖南省長沙市雅禮中學(xué)2025屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改
動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在
本試卷上無效．
3．考試結(jié)束，監(jiān)考員將試題卷，答題卡一并收回．
一、選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)
是符合題目要求的．
1. 下列散點(diǎn)圖中，線性相關(guān)系數(shù)最小的是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用散點(diǎn)圖變化趨勢，判斷相關(guān)系數(shù)的正負(fù)，由散點(diǎn)的集中程度確定大小，即可得到答案．
【詳解】觀察選項(xiàng) A 的散點(diǎn)圖，這些點(diǎn)緊密地聚集在一條直線附近.其線性相關(guān)系數(shù)接近于；
選項(xiàng) B 的散點(diǎn)圖中，線性負(fù)相關(guān)程度不及 A，比較分散，即線性相關(guān)系數(shù)要比選項(xiàng) A 的大.
選項(xiàng) C 的散點(diǎn)圖里，散點(diǎn)呈現(xiàn)出一定的上升趨勢，變量和之間具有強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，其線性相關(guān)系
數(shù)為正數(shù).
選項(xiàng) D 的散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)比較分散，線性相關(guān)程度比選項(xiàng) A 要弱，線性相關(guān)系數(shù)的比選項(xiàng) A 的大.
綜合比較四個(gè)選項(xiàng)，選項(xiàng) A，線性負(fù)相關(guān)程度最強(qiáng)，所以線性相關(guān)系數(shù)最小.
故選：A.
2. 已知集合，集合，則（）
A. B. C. D.
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【答案】A
【解析】
【分析】求得集合，根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求得答案.
【詳解】因?yàn)?，，
所以 .
故選：A.
3. 若復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都在一個(gè)以原點(diǎn)為圓心的圓上，則的對(duì)應(yīng)點(diǎn)均在（）
A. 一條直線上 B. 一個(gè)圓上 C. 一條拋物線上 D. 一支雙曲線上
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件設(shè)出，化簡，由此確定正確答案.
【詳解】依題意，復(fù)數(shù) z 在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)點(diǎn)都在一個(gè)以原點(diǎn)為圓心的圓上，
設(shè)圓的半徑為，則可設(shè) ，
則
，
的對(duì)應(yīng)點(diǎn)均在半徑為的圓上.
故選：B
4. 某隧道的垂直剖面圖近似為一拋物線，如圖所示．已知隧道高為，寬為，隧道內(nèi)設(shè)置兩條車道，
且隧道內(nèi)行車不準(zhǔn)跨過中間的實(shí)線．若載有集裝箱的貨車要經(jīng)過此隧道，貨車寬度為，集裝箱寬度與貨
車寬度相同，則貨車高度（即集裝箱最高點(diǎn)距地面的距離）的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
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【分析】建立如圖平面直角坐標(biāo)系，利用待定系數(shù)法求出拋物線方程，令得，則即
為貨車高度的最大值.
【詳解】以拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，建立如圖平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)拋物線方程為，
由圖可知拋物線過點(diǎn) ，代入拋物線方程，
得，解得，所以拋物線方程為 .
因?yàn)檐嚨缹?2 米，兩車道中間有隔離帶，車寬 2 米，
所以車行駛時(shí)，的取值范圍為 .
當(dāng) 時(shí)，，
要使載貨最高的貨車通過隧道，貨車高度的最大值為米.
故選：C
5. 在中，．若，則的值為
（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由為的中點(diǎn)得到，再由，即可求解；
【詳解】因?yàn)?，所以為的中點(diǎn)，所以．
又，所以，所以，
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所以，
所以，所以．
故選：C
6. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若不等式
恒成立，則實(shí)數(shù) 的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用的關(guān)系求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可得，對(duì) 分奇
偶求得，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù) 的最小值.
【詳解】當(dāng) 時(shí)，，當(dāng) 時(shí)，，
當(dāng) 時(shí)，適合上式，所以的通項(xiàng)公式為，
所以，
當(dāng) 偶數(shù)時(shí)，
所以，
當(dāng) 為奇數(shù)時(shí)，
所以，
又因?yàn)椴坏仁?恒成立，所以，所以，
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所以實(shí)數(shù) 的最小值為 .
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵在于分為奇數(shù)與為偶數(shù)兩種情況求得，坐而求得的最大值，進(jìn)而求得
實(shí)數(shù) 的最小值.
7. 若定義在上的函數(shù) 滿足是奇函數(shù)，，設(shè)函數(shù)
，則（）
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)條件判斷抽象函數(shù)的周期，對(duì)稱性，根據(jù)周期性和對(duì)稱性求函數(shù)值，再代入求和.
【詳解】根據(jù)題意，定義在上的函數(shù) 滿足
則，故函數(shù) 為周期函數(shù)，4 是函數(shù) 的一個(gè)周期.
因是上的奇函數(shù)，則，的圖象關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，
于是，，
在，取，得，
因，
則
，
.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用賦值，賦變量，轉(zhuǎn)化抽象關(guān)系式，判斷和利用函數(shù)的周期性和對(duì)
稱性解題.
8. 已知三棱錐四個(gè)頂點(diǎn)都在球 O 面上，，，M 為 AB 的中點(diǎn)，
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C 在面 APB 內(nèi)的射影為 PM 的中點(diǎn)，則球 O 的表面積等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意可知三棱錐的外接球的球心在過 M 且垂直平面 PAB 的垂線上，設(shè)球到平
面 PAB 的距離為 t，球 O 的半徑為 R，再根據(jù)勾股定理，建立方程，即可求解.
【詳解】如圖，點(diǎn) C 在面 APB 內(nèi)的射影為 PM 的中點(diǎn)，設(shè) PM 的中點(diǎn)為 N，則有平面，
平面，所以，可知，
又，，
則，，，
，M 為 AB 的中點(diǎn)，則 M 為的外心，
所以三棱錐的外接球的球心在過 M 且垂直平面 PAB 的垂線上，則有，
過作的平行線，與相交于點(diǎn) ，則有為矩形，
所以，，
設(shè)球到平面 PAB 的距離為 t，球 O 的半徑為 R，
有，，
在和中，由勾股定理，得，
解得，所以，
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所以球 O 的表面積為 .
故選：B.
二、選擇題：本題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題
目要求．全部選對(duì)的得 6 分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得 0 分．
9. 已知（常數(shù) ）的展開式中第 5 項(xiàng)與第 7 項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則（）
A.
B. 展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為 256
C. 展開式中的系數(shù)為
D. 若展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為 1024，則第 6 項(xiàng)的系數(shù)最大
【答案】ACD
【解析】
【分析】由題意寫出展開式的通項(xiàng)，根據(jù)組合數(shù)的對(duì)稱性、二項(xiàng)式系數(shù)之和、賦值法以及二項(xiàng)式系數(shù)的單
調(diào)性，逐項(xiàng)檢驗(yàn)，可得答案.
【詳解】由，則其展開式的通項(xiàng)為，
對(duì)于 A，根據(jù)題意可得，由組合數(shù)的性質(zhì)可知，故 A 正確；
對(duì)于 B，由，則展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故 B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C，由解得，則展開式中的系數(shù)為，故 C 正確；
對(duì)于 D，令，則展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和，解得，
可得展開式的通項(xiàng)為，即每項(xiàng)系數(shù)均為該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，
易知展開式中第項(xiàng)為二項(xiàng)式的中間項(xiàng)，則其系數(shù)最大，故 D 正確.
故選：ACD.
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10. 設(shè) ，已知函數(shù) （）
A. 在上單調(diào)遞減
B. 當(dāng) 時(shí)，存在最小值
C. 設(shè) ，則
D. 設(shè) ，若存在最小值，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】對(duì)于 A：取，畫圖即可判斷，對(duì)于 B，由函數(shù)單調(diào)性即可判斷；對(duì)于 C,數(shù)形結(jié)合即可判斷，
對(duì)于 D：先分析的圖象，結(jié)合圖象可知，要使取得最小值，則點(diǎn) 在上，
點(diǎn) 在，分析可解.
【詳解】對(duì)于 A，取，畫出函數(shù)圖象，
可知在不是單調(diào)遞減；故 A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 B：對(duì)于 B，當(dāng) 時(shí)，
當(dāng) 時(shí)，；
當(dāng) 時(shí)，顯然取得最小值；
當(dāng) 時(shí)，，
綜上：取得最小值，故 B 正確；
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對(duì)于 C，結(jié)合圖像，
易知在，且接近于處，的距離最小，
當(dāng) 時(shí)，，當(dāng) 且接近于處，，
此時(shí)，，故 C 正確；
依題意，，
當(dāng) 時(shí)，，易知其圖象為一條端點(diǎn)取不到的單調(diào)遞減的射線；
當(dāng) 時(shí)，，易知其圖象是，圓心為，半徑為的圓在軸下方的圖象（即
半圓）；
當(dāng) 時(shí)，，易知其圖象是一條端點(diǎn)取不到的單調(diào)遞增的曲線；
因?yàn)?，
結(jié)合圖象可知，要使取得最小值，則點(diǎn) 上，
點(diǎn) 在，
同時(shí) 的最小值為點(diǎn) 到的距離減去半圓的半徑，
此時(shí)，因?yàn)?的斜率為，則，
故直線的方程為，
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聯(lián)立，解得，則，
顯然要保證在上，才能滿足取得最小值，
所以只需，即都可滿足題意，保證，
否則無最小值，故 .D 正確；
故選：BCD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：D 選項(xiàng)，解決的關(guān)鍵求出，且上，從而可得
的取值范圍.
11. 已知曲線 C 的方程為，下列說法正確的有（）
A. 曲線 C 關(guān)于直線對(duì)稱
B. ，
C. 曲線 C 被直線截得的弦長為
D. 曲線 C 上任意兩點(diǎn)距離的最大值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于 A，根據(jù)對(duì)稱的理解，進(jìn)行運(yùn)算即可判斷 A；對(duì)于 B，通過分析方程的特征可求出的范
圍；對(duì)于 C，求出直線和曲線的交點(diǎn)，用兩點(diǎn)間的距離公式即可求解；對(duì)于 D，對(duì)方程進(jìn)行變形可知曲線 C
為橢圓，結(jié)合橢圓的形狀判斷即可.
【詳解】選項(xiàng) A：將方程中的和互換，得到，與原方程一致，因此曲線關(guān)于直線
對(duì)稱，A 正確；
選項(xiàng) ：通過分析方程，設(shè)固定，解關(guān)于的二次方程，判別式要求，
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得，即，超出，同理范圍也超過，B 錯(cuò)誤；
選項(xiàng) C：將直線代入曲線方程，解得交點(diǎn)為和，
故弦長為，C 正確；
選項(xiàng) D：則即
又，即，
則
同理可得：，
則曲線的上任一點(diǎn) 到的距離之和為：
曲線表示以為焦點(diǎn)且的橢圓，則，
則線段的最大值為正確；
故選：ACD
【點(diǎn)睛】點(diǎn)睛：關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對(duì)于 D 選項(xiàng)，關(guān)鍵是對(duì)曲線方程進(jìn)行變形，進(jìn)行明確該曲線方程表示的是橢
圓，利用橢圓的性質(zhì)求解即可.
三、填空題：本題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分．
12. 已知集合，則 _____．
【答案】
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【解析】
【分析】根據(jù)集合補(bǔ)集的定義，即可求得答案.
【詳解】由題意知集合，則，
故答案：
13. 已知是棱長為的正四面體，設(shè) 的四個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離所構(gòu)成的集合為，若中
元素的個(gè)數(shù)為，則稱為的階等距平面，為的階等距集.如果為的 1 階等距平面且 1 階
等距集為，則符合條件的有__________個(gè)，的所有可能取值構(gòu)成的集合是__________.
【答案】 ①. 7 ②.
【解析】
【分析】分兩種情況得出的所有可能值以及相應(yīng)的的個(gè)數(shù)；
【詳解】①情形一：分別取的中點(diǎn) ，
由中位線性質(zhì)可知，
此時(shí)平面為的一個(gè) 1 階等距平面，
為正四面體高的一半，等于 .
由于正四面體有 4 個(gè)面，這樣的 1 階等距平面平行于其中一個(gè)面，有 4 種情況；
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②情形二：分別取的中點(diǎn)
將此正四面體放置到棱長為 1 的正方體中，
則為正方體棱長的一半，等于 .
由于正四面體的六條棱中有 3 組對(duì)棱互為異面直線，
這樣的 1 階等距平面平行于其中一組異面直線，有 3 種情況.
綜上，當(dāng) 的值為時(shí)，有 4 個(gè)；當(dāng) 的值為時(shí)，有 3 個(gè).
所以符合條件的有 7 個(gè)，的所有可能取值構(gòu)成的集合是；
故答案為：7；
14. 已知四棱柱中，底面是平行四邊形，，底面，
，點(diǎn) 是四棱柱表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線與所成的角
為，則點(diǎn) 的軌跡長度為______．
【答案】
【解析】
【分析】先結(jié)合四棱柱與圓錐的結(jié)構(gòu)特征確定點(diǎn) 的軌跡，再數(shù)形結(jié)合求點(diǎn) 的軌跡長度.
【詳解】第一步：結(jié)合四棱柱與圓錐的結(jié)構(gòu)特征確定點(diǎn) 的軌跡
因?yàn)?，所以直線與所成的角為，
因?yàn)?底面，所以點(diǎn) 的軌跡是以為軸（其中為頂點(diǎn)，為底面圓心），母線與軸所成
角為的圓錐的側(cè)面與四棱柱的表面的交線．（關(guān)鍵：由相交的兩條直線的夾角為定值，
能聯(lián)想到圓錐的母線與軸之間的位置關(guān)系，從而找到點(diǎn) 的運(yùn)動(dòng)軌跡）
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第二步：數(shù)形結(jié)合求點(diǎn) 的軌跡長度
如圖，在線段和上分別取點(diǎn) ，使得，（提示：因?yàn)?，且與
所成的角為，所以計(jì)算可得圓錐的底面半徑為 3，故取）
連接，則點(diǎn) 在四邊形與四邊形上的運(yùn) 動(dòng) 軌跡為線段和，且
．
當(dāng) 在四邊形上運(yùn) 動(dòng) 時(shí) ，其軌跡是以為圓心， 3 為半徑的圓的三分之一．（提示：
，故符合要求的弧長為圓的）
綜上，點(diǎn) 的軌跡長度為．
故答案為： .
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是結(jié)合四棱柱與圓錐的結(jié)構(gòu)特征確定點(diǎn) 的
軌跡.
四、解答題：本題共 5 小題，共 77 分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別，，，已知．
（1）求；
（2）設(shè) 是邊中點(diǎn)，若，求．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再利用和角的正弦公式及輔助角公式求解.
（2）利用和角的正弦公式求出，再利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律及正弦定理求解.
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【小問 1 詳解】
在中，由正弦定理及，
得，又，
則，而，
化簡得，即，而，因此，
所以 .
【小問 2 詳解】
在中，由，得，，
由正弦定理，得，由是邊中點(diǎn)，得，
則，因此，
在中，由正弦定理，得 .
16. 現(xiàn)市場上治療某種疾病的藥品有兩種，其治愈率與患者占比如表所示，為試驗(yàn)一種新藥，在有
關(guān)部門批準(zhǔn)后，某醫(yī)院把此藥給 100 個(gè)病人服用．設(shè)藥的治愈率為，且每位病人是否被治
愈相互獨(dú)立．
A B C（新藥）
治愈率
患者占比
（1）記 100 個(gè)病人中恰有 80 人被治愈的概率為，求的最大值點(diǎn) ；
（2）設(shè)用新藥的患者占比為（藥品減少的患者占比，均為新藥增加占比的一半，
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，以（1）問中確定的作為的值，從已經(jīng)用藥的患者中隨機(jī)抽取一名患者，求該患者痊愈
的概率（結(jié)果用表示）
（3）按照市場預(yù)測，使用新藥的患者占比能達(dá)到以上，不足的概率為，不低于且
不超過的概率為，超過的概率為，某藥企計(jì)劃引入藥品的生產(chǎn)線，但生產(chǎn)線運(yùn)行的條數(shù)
受患者占比的影響，關(guān)系如下表：
患者占比
最多投入生產(chǎn)線條
1 2 3 數(shù)
若某條生產(chǎn)線運(yùn)行，年利潤為 1000 萬，若某條生產(chǎn)線未運(yùn)行，年虧損 300 萬，欲使該藥企生產(chǎn)藥品的年
總利潤均值最大，應(yīng)引入幾條生產(chǎn)線？
【答案】（1）
（2）
（3）引入兩條生產(chǎn)線
【解析】
【分析】（1）由題意，得到的解析式，對(duì)函數(shù) 進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而可
解；
（2）設(shè)事件為“從患者人群中抽一名痊愈者”，事件為“該患者服用藥品治療”，事件為“該患者
服用藥品治療”，事件為“該患者服用藥品治療”，代入概率公式求解即可；
（3）設(shè)隨機(jī)變量為生產(chǎn)藥品產(chǎn)生的年利潤，分別討論投入 1 條，2 條，3 條生產(chǎn)線時(shí)所對(duì)應(yīng)的概率，
代入期望公式求解，比較大小即可得解.
【小問 1 詳解】
100 個(gè)病人中恰好有 80 人被治愈的概率為，
則，
令，得，
當(dāng) 時(shí)，單調(diào)遞增，
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當(dāng) 時(shí)，單調(diào)遞減，
所以的最大值點(diǎn)為 .
【小問 2 詳解】
設(shè)事件 “從患者人群中抽一名痊愈者”，事件 “該患者服用藥品治療”，
事件 “該患者服用藥品治療”，事件 “該患者服用藥品治療”，
則
因此：
所以 .
【小問 3 詳解】
設(shè)隨機(jī)變量為生產(chǎn)藥品產(chǎn)生的年利潤
①若投入 1 條生產(chǎn)線，由于服用藥品的患者的占比總大于，所以一條生產(chǎn)線總能運(yùn)行，
此時(shí)對(duì)應(yīng)的年利潤
②若投入 2 條生產(chǎn)線，當(dāng) ，1 條生產(chǎn)線運(yùn)行，
年利潤，當(dāng) 時(shí)，2 條生產(chǎn)線運(yùn)行，
年利潤，
此時(shí) 的分布列如下：
700 2000
所以；
③若投入 3 條生產(chǎn)線，當(dāng) 時(shí)，1 條生產(chǎn)線運(yùn)行，
年利潤，
當(dāng) 時(shí) 2 條生產(chǎn)線運(yùn)行，年利潤，
當(dāng) 時(shí)，3 條生產(chǎn)線運(yùn)行，年利潤，
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此時(shí) 的分布列如下：
400 1700 3000
所以
綜上所述，欲使該藥企生產(chǎn)藥品的年度總利潤均值最大，應(yīng)引入兩條生產(chǎn)線.
17. 已知函數(shù) ．
（1）當(dāng) 時(shí)，討論函數(shù) 的單調(diào)性；
（2）當(dāng) 時(shí)，求函數(shù) 的極值．
【答案】（1）答案見解析
（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）由函數(shù)解析式明確定義域，并判斷其奇偶性，根據(jù)化簡后的解析式以及求導(dǎo)可得其單調(diào)性；
（2）由函數(shù)解析式明確定義域，并判斷其奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系以及分類討論，可得答案.
【小問 1 詳解】
由，則函數(shù) ，易知其定義域?yàn)?，
由，則函數(shù) 為偶函數(shù)，
當(dāng) 時(shí)，，顯然當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在上單調(diào)遞增，
當(dāng) 時(shí)，求導(dǎo)可得，令，解得，
當(dāng) 時(shí)，，當(dāng) 時(shí)，，
所以函數(shù) 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
綜上，當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在與上單調(diào)遞增，在與上單調(diào)遞減.
【小問 2 詳解】
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由時(shí)，則函數(shù) ，可得，解得或，
所以函數(shù) 的定義域?yàn)?，由（1）易知函數(shù) 為偶函數(shù)，
當(dāng) 時(shí)，則函數(shù) ，
當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 在上單調(diào)遞增，此時(shí)無極值；
當(dāng) 時(shí)，求導(dǎo)可得，令，解得，
當(dāng) 時(shí)，，當(dāng) 時(shí)，，
所以函數(shù) 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
故函數(shù) 的極大值為，
由函數(shù) 為偶函數(shù)，則函數(shù) 的極大值為，
綜上，當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 無極值；
當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 的極大值為，無極小值.
18. 在平行四邊形中（如圖 1），，為的中點(diǎn)，將等邊沿折起，
連接，且（如圖 2）．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值；
（3）點(diǎn) 在線段上，且滿足，求平面與平面所成角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
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（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)余弦定理和勾股定理證明，結(jié)合線面垂直的判定定理即可證明；
（2）建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解線面角即可；
（3）由題意，求出的坐標(biāo)，利用空間向量法求解面面角即可.
【小問 1 詳解】
如圖，連接，則，
由余弦定理得，
在中，有，
所以，又平面，
所以平面 .
【小問 2 詳解】
取的中點(diǎn) ，連接，則，
由（1）知平面 .又平面，
所以平面平面，又平面平面，平面，
所以平面，由平面，得，
過作，則，又，
建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
則，
得，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
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則，令，則，
得，設(shè)直線與平面所成角為，
則，
即直線與平面所成角的正弦值為 .
【小問 3 詳解】
易知平面的一個(gè)法向量為 .
由（2）知，，
由，得，
所以 .
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，令，得，
得，設(shè)平面與平面所成角為，
則，
即平面與平面所成角的余弦值為 .
19. 已知拋物線的焦點(diǎn)為 F，在第一象限內(nèi)的點(diǎn) 和第二象限內(nèi)的點(diǎn) 都在拋
物線 C 上，且直線過焦點(diǎn) F．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn) ：過點(diǎn) 作拋物線 C 的切線
與 x 軸交于點(diǎn) ，過點(diǎn) 作 x 軸的垂線與拋物線 C 相交于點(diǎn) ，設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為．用同樣
的方式構(gòu)造點(diǎn) ，設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo)為．
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（1）證明：數(shù)列都是等比數(shù)列；
（2）記，求數(shù)列的前 n 項(xiàng)和；
（3）證明：當(dāng) 時(shí)，直線都過定點(diǎn)．
【答案】（1）證明見解析
（2）
（3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求在點(diǎn) 的坐標(biāo)，得到數(shù)列的遞推關(guān)系式，即可證明等比數(shù)列；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再利用錯(cuò)位相減法求和；
（3）根據(jù)（2）的結(jié)果求點(diǎn) ，的坐標(biāo)，再求直線的直線方程，即可判斷定點(diǎn).
【小問 1 詳解】
拋物線 C 的方程可化為，求導(dǎo)可得，
將點(diǎn) 的坐標(biāo)代入拋物線 C 的方程，有，
過點(diǎn) 的切線的方程為，代入，有，
整理為，令，可得，有，
故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，
同理，數(shù)列也是公比為的等比數(shù)列；
【小問 2 詳解】
由焦點(diǎn) ，設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程消去 y 后整理為，有，
由數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，有，
有，
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有，
兩邊乘以，有，
兩式作差，有，
有，可得；
【小問 3 詳解】
由（2）知，點(diǎn) 的坐標(biāo)為，點(diǎn) 的坐標(biāo)為，
直線的斜率為，
直線的方程為，
令，有，
故當(dāng) 時(shí)，直線過定點(diǎn) ．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷數(shù)列的遞推關(guān)系式.
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