長郡中學(xué)2023屆模擬試卷（一）數(shù) 學(xué)注意事項：1.本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、 準考證號填寫在答題卡上。2.回答第I卷時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標號。寫在本試卷上無效。3.回答第II卷時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。4.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。第I卷一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.已知集合 A={x,xR} ,,則 等于A. B.   C.  D.2.某工廠的一臺流水線生產(chǎn)質(zhì)量穩(wěn)定可靠,已知在正常工作狀態(tài)下生產(chǎn)線上生產(chǎn)的零件內(nèi)徑尺寸Z（單位:m）服從正態(tài)分布N（60,4）.甲、乙兩名同學(xué)正進行尺寸測量練習(xí),甲、乙對各自抽取的5個零件測量內(nèi)徑尺寸（單位:m）如下,甲同學(xué)測量數(shù)據(jù)：59,60,62,63,65;乙同學(xué)測量數(shù)據(jù):52,53,55,57,62,則可以判斷A.甲、乙兩個同學(xué)測量都正確   B.甲、乙兩個同學(xué)測量都錯誤C.甲同學(xué)測量正確,乙同學(xué)測量錯誤  D.甲同學(xué)測量錯誤,乙同學(xué)測量正確3.函數(shù)在上的大致圖象為A.    B.C.    D.4.最早的測雨器記載見于南宋數(shù)學(xué)家秦九韶所著的《數(shù)書九章》（1247年）.該書第二章為“天時類”,收錄了有關(guān)降水量計算的四個例子,分別是“天池測雨”、“圓罌測雨”、“峻積驗雪”和“竹器驗雪” .其中“天池測雨”法是下雨時用一個圓臺形的天池盆收集雨水.已知天池盆盆口直徑為二尺八寸,盆底直徑為一尺二寸,盆深一尺八寸,當盆中積水深九寸（注：1尺=10寸）時,平地的降雨量是A.9寸  B.6寸 C.4寸 D.3寸5.為調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間,釆用樣本量比例分配的分層隨機抽樣,現(xiàn)抽取初中生800 人,其每天睡眠時間均值為9小時,方差為1,抽取高中生1200人,其每天睡眠時間均值為8小時,方差為0.5,則估計該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的方差為A. 0.94 B. 0.96 C. 0.75 D. 0.786.已知,則m,n不可能滿足的關(guān)系是A.  B.  C.  D.7.已知,則的最大值為A. B. C. D.8.已知O為坐標原點,雙曲線C:的左、右焦點分別是F1,F2,離心率為,點是C的右支上異于頂點的一點,過F2作的平分線的垂線,垂足是M,,若雙曲線C上一點T滿足,則點T到雙曲線C的兩條漸近線距離之和為A.  B. C.  D. 二、選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求. 全部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.9.已知復(fù)數(shù)z=a+bi（a,bR）,其共軸復(fù)數(shù)為,則下列結(jié)果為實數(shù)的是A. B. C. D.10.平面內(nèi)到兩定點距離之積為常數(shù)的點的軌跡稱為卡西尼卵形線,它是1675年卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)的.已知在平面直角坐標系xOy中,M（-2,0）,N（2,0）,動點P滿足,則下列結(jié)論正確的是A.點P的橫坐標的取值范圍是[-,]B.|OP|的取值范圍是[1,3]C.△PMN面積的最大值為D.的取值范圍是[2,5]11.已知函數(shù),則下列說法正確的有A.是偶函數(shù)B.是周期函數(shù)C.在區(qū)間上,有且只有一個極值點D.（0,0）作y=的切線,有無數(shù)條12.在直平行六面體中,,為的中點, 點Q滿足.下列結(jié)論正確的是A.若,則四面體的體積為定值B.若平面,則AQ的最小值為C.若的外心為E,則為定值2D.若,則點Q的軌跡長度為三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.已知,若,則 t 的值為     .14.已知 a>0,若,且a5 = 126,則a=     .15.已知函數(shù)的一條對稱軸為,且在上單調(diào),則的最大值為       .16.如圖,橢圓與雙曲線有公共焦點,,橢圓的離心率為,雙曲線的離心率為,點P為兩曲線的一個公共點,且,則    ;若I為的內(nèi)心,三點共線,0,x軸上點A,B滿足,則的最小值為 ????????????? .四、解答題(共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,已知c=2,C=.(1)當 2sin 2A+sin(2B+C) = sin C 時,求△ABC 的面積;(2)求△ABC周長的取值范圍.18.(12分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,O為AB的中點,平面POC平面ABCD.AD//BC, ABBC,PA=PB=BC=AB=2,AD=3.(1)求證:平面PAB平面ABCD;(2)求二面角O-PD-C的余弦值.19.(12分)市教育局計劃舉辦某知識競賽,先在A,B,C,D四個賽區(qū)舉辦預(yù)賽,每位參賽選手先參加“賽區(qū)預(yù)賽”,預(yù)賽得分不低于100分就可以成功晉級決賽,每個賽區(qū)預(yù)賽中,成功晉級并且得分最高的選手獲得一次決賽中的“錯題重答”特權(quán).賽區(qū)預(yù)賽的具體規(guī)則如下:每位選手可以在以下兩種答題方式中任意選擇一種答題.方式一:每輪必答2個問題,共回答6輪,每輪答題只要不是2題都錯,則該輪次中參賽選手得20分,否則得0分,各輪答題的得分之和即為預(yù)賽得分;方式二:每輪必答3個問題,共回答4輪,在每一輪答題中,若答對不少于2題,則該輪次中參賽選手得30分,如果僅答對1題,則得20分,否則得0分.各輪答題的得分之和即為預(yù)賽得分.記某選手每個問題答對的概率均為p(0<p<1).(1)若,該選手選擇方式二答題,求他晉級的概率;(2)證明:該選手選擇兩種方式答題的得分期望相等.20.(12分)已知數(shù)列滿足,當時,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)已知數(shù)列,證明：.21.(12分)已知拋物線過點C(l,2),在E上任取不同于C的點A,直線AC與直線,y=x+3交于點P,過點P作x軸的平行線交拋物線于點B. (1)求證:直線AB過定點;(2)求ABC面積的最小值.22.(12 分)已知函數(shù).(1) 討論函數(shù)的單調(diào)性;(2) 記的零點為x0,的極小值點為x1,當(1,4)時,判斷x0與x1的大小關(guān)系,并說明理由.長郡中學(xué)2023屆模擬試卷(一)數(shù)學(xué)參考答案一、二、選擇題題號123456789101112答案BCBDACBABCDBCACABD1.B【解析】集合A,B都是數(shù)集,,則,故選B.2.C【解析】根據(jù)正態(tài)分布的3原則,=60,=2,合格的內(nèi)徑尺寸范圍是(54,66),則甲同學(xué)測量正確,乙同學(xué)測量錯誤,故選C.3.B 【解析】,而,且,即函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),其圖象關(guān)于原點、y軸不對稱,排除C、D;而,排除A,故選B.4.D【解析】由已知天池盆上底面半徑是14寸,下底面半徑是6寸,高為18寸,由積水深9寸知水面半徑為 (14+6) = 10寸,則盆中水體積為(立方寸),所以平地降雨量為3(寸),故選D.5.A【解析】該地區(qū)中學(xué)生每天睡眠時間的平均數(shù)為:(小時),該地區(qū)中學(xué) 生每天睡眠時間的方差為：.故選A.6.C 【解析】,即,即.對于 A, 成立.對于 B, ,成立.對于 C, ,即.對于 D, 成立.故選 C.7.B【解析】,,, 即,即,所以,當且僅當,即時,等號成立,取得最大值.故選B.8.A【解析】設(shè)半焦距為c,延長交于點N,由于PM是∠F1PF2的平分線,F2MPM, 所以△NPF2是等腰三角形,所以Q|PN| = |PF2|,且M是NF2的中點.根據(jù)雙曲線的定義可知,即,由于是的中點,所以MO是△NF1F2的中位線,所以,又雙曲線的離心率為,所以,所以雙曲線C的方程為.所以,雙曲線C的漸近線方程為,設(shè)到兩漸近線的距離之和為S,則,由,即 u2+v2=8,又T在上,則,即,解得,由,故,即距離之和為.故選A.9.BCD【解析】對于A,z2=a2-b2+2abi,不一定為實數(shù);對于 B, ;對于 C,;對于 D,.故選 BCD.10.BC【解析】設(shè)點,依題意得,對于A,,當且僅當時取等號,解不等式,得,即點P的橫坐標的取值范圍是,則A錯誤;對于B,,則,顯然,因此,B 正確;對于 C,. 的面積,當且僅當時取等號,當時,點P在以線段MN為直徑的圓上,由解得所以面積的最大值為,C正確;對于D,點(3,0)在動點P的軌跡上,當點P為此點時,|PM| + |PN| =5+1 = 6,D錯誤.故選BC.11. AC【解析】顯然,A正確;B錯誤;對于 C,,當時,,則 單調(diào)遞減,又,故在上只有一個解,C正確;對于 D,設(shè)切點為 ,則切線方程為,代入(0,0),有,得t= 0或.若 ,則切線方程為;若,則切線方程為,故有且僅有3 條切線,D錯誤.故選AC.12.ABD【解析】對于 A,因為,所以三點共線,即 點Q在CD1上,因為CD1//A1B,CD1平面A1BP,A1B平面A1BP,所以CD1//平面A1BP,所以點Q到平面A1BP的距離為定值,因為△A1BP的面積為定值,所以四面體A1BPQ的體積為定值,A正確; 對于B,取DD1,DC的中點分別為M,N,連接AM,MN,AN,則AM//BP,因為平面A1BP,BP平面A1BP,所以 AM平面A1BP,因為 MNCD1 ,A1BCD1 ,所以MNA1B,因為 MN平面A1BP,平面A1BP,所以MN平面A1BP,因為MNAM=M,MN,AM平面AMN,所以平面AMN平面A1BP,因為AQ平面A1BP,所以AQ平面AMN,又Q在平面CDD1C1 上,故點Q在線段MN上,所以當 AQMN 時,AQ 最小,因為,所以 AM = , MN =,AN =,所以,所以 Q,M 重合,所以AQ的最小值為,B正確;對于C,若的外心為E,過E作EH于H,因為,所以,C 錯誤;對于D,過A1 作于點O,因為DD1平面,平面,所以DD1,因為 平面所以平面, 在 DD1,D1C1 上取點 A3 ,A2,使得,則,所以若 A1Q,則Q在以O為圓心,2為半徑的圓弧上運動,因為 ,所以,則圓弧等于,D正確.故選ABD.三、填空題13. -1 【解析】,故可得,,,即,整理得,解得.14.2 【解析】因為, 將原式變形為,通項為,對應(yīng)的系數(shù),故得到,系數(shù)為或2.故正實數(shù)a的值為2.15. 【解析】函數(shù)的對稱軸可以表示為在上單調(diào),則,使得,解得,由,得,當時,的最大值為.16.4 1+(第一空2分,第二空3分)【解析】不妨設(shè) P 在第一象限,,則,在 中,,即.由,由,知,又平分,可得出PB是的外角平分線,又,,,當且僅當取得最小值.故最小值為.四、解答題17.【解析】（1）由,得 ,即,即,當 時,,得;當時,,由正弦定理得,聯(lián)立. 解得,故三角形的面積為.（2）法一：由余弦定理可得:,由得,當且僅當a=b取等號.又,即.即周長的取值范圍是（4,6］. 法二:,中,由正弦定理有,.即周長的取值范圍是（4,6]. 說明:未分cos A=0,扣1分.18.q【解析】（1）,,由勾股定理逆定理,,又平面POC平面ABCD,又平面平面ABCD=OC,∴CD平面POC,又PO平面POC,為 AB 的中點,,又 AB,CD 相交,:.PO平面 ABCD,∵PO平面PAB,∴平面PAB平面ABCD.（2）如圖建立空間直角坐標系O-xyz,則P（0,0,）,D（-1,3,0）,C(l,2,0),.設(shè)平面OPD的一個法向量為,平面PCD的一個法向量為,則由可得取得,即,由可得取,得,即,顯然二面角O- PD- C為銳角,故二面角O- PD- C的余弦值為.19.【解析】(1)該選手選擇方式二答題,記每輪得分為X,則X可取值為0,20,30,且,記預(yù)賽得分為Y,.所以該選手選擇方式二答題晉級的概率為.(2)①該選手選擇方式一答題：設(shè)每輪得分為,則可取值為0,20,且,.設(shè)預(yù)賽得分為Y1,則.②該選手選擇方式二答題：設(shè)每輪得分為,則可取值為0,20,30,且,.設(shè)預(yù)賽得分為Y2,則.因為,所以該選手選擇兩種方式答題的得分期望相等.20.【解析】(1)當時,,兩邊同除后得,,…,上式累加得,又時,滿足該式,故.（2）由,,當時,,當時,.21.【解析】(1)法一：由拋物線E：y2=2px(p>0)過點C(l,2),得p=2,.∴拋物線E：y2=4x, 設(shè)∴直線,即,與聯(lián)立解得交點,∴,當時,,直線AB的方程為,即,即過定點Q(3,2);當時,,直線AB過定點Q(3,2).即直線AB過定點Q(3,2).  法二：由拋物線過點C (1,2),得p=2,∴拋物線,設(shè)直線,與拋物線方程聯(lián)立得:,設(shè),則,又,∵直線AP過定點C(l,2) , ,,,即對任意都成立,,即,∴直線,即直線AB過定點Q(3,2). (2)由(l),聯(lián)立,消去x,得,則,∴當m=1時,面積的最小值為. 22.【解析】(1)由,①若a0,則在上單調(diào)遞增;②若 a<0,令,則 ,令,則,在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)有，證明：由,設(shè)則在(0,+)上單調(diào)遞增,即在(0,+)上單調(diào)遞增.又,存在,使在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, 為的極小值點,故. 由,,又,由（1）知a>0時,在(0,+)上單調(diào)遞增,.
 

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