(上海專用)新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測專題16 空間向量及其應(yīng)用（練習(xí)）（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．（2022·河南·禹州市高級中學(xué)高二階段練習(xí)）有三點(diǎn)、、，則與向量、同時(shí)垂直的單位向量為______．
2．（2022·上海市七寶中學(xué)高二開學(xué)考試），，，若，，三向量共面，則實(shí)數(shù)_________.
3．（2019·上海市七寶中學(xué)高三開學(xué)考試）PA，PB，PC是從P點(diǎn)引出的三條射線，它們之間每兩條的夾角都是60°，則直線PC與平面PAB所成的角的余弦值為_______________
4．（2022·河南·宜陽縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，點(diǎn)，若平面，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為__________．
5．（2022·山東·汶上縣第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知是棱長為2的正方體內(nèi)切球的一條直徑，則_________．
6．（2019·上?！ね瑵?jì)大學(xué)第一附屬中學(xué)高二期末）是正四棱錐，是正方體，其中，，則到平面的距離為________
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知在三棱錐中，平面，，，若三棱錐的外接球體積為，則異面直線與所成角的余弦值為__________.
8．（2022·湖北孝感·高二階段練習(xí)）正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個(gè)正八面體ABCDEF的棱長都是2（如圖），P，Q分別為棱AB，AD的中點(diǎn)，則________.
9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知是空間單位向量，，若空間向量滿足且對任意、，則x0＝________，y0＝________，________.
10．（2022·上海奉賢區(qū)致遠(yuǎn)高級中學(xué)高二期末）如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上，E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)．設(shè)異面直線EM與AF所成的角為，則的最大值為 .
11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在矩形ABCD中，，．將A，C分別沿BE，DF向上翻折至，則取最小值時(shí)，二面角的正切值是________．
12．（2022·河南·鄭州市回民高級中學(xué)高二階段練習(xí)）閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為；過點(diǎn)且一個(gè)方向向量為的直線的方程為．利用上面的材料，解決下面的問題：已知平面的方程為，直線是平面與的交線，則直線與平面所成角的正弦值為_____________.
13．（2020·上?！つM預(yù)測）在正方體中，點(diǎn)M和N分別是矩形ABCD和的中心，若點(diǎn)P滿足，其中，且，則點(diǎn)P可以是正方體表面上的點(diǎn)________.
14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，已知四棱柱的底面為平行四邊形，E為棱的中點(diǎn)，，與平面交于點(diǎn)M，則＝________.
15．（2020·上海松江·高二期末）如圖，兩個(gè)棱長為1的正方體排成一個(gè)四棱柱，AB是一條側(cè)棱，是正方體其余的10個(gè)頂點(diǎn)，則的不同值的個(gè)數(shù)為____________個(gè).
16．（江蘇省南通市如皋市2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)是正方體表面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足，設(shè) 與平面所成的角為，則的最大值是____.
17．（2022·吉林·長春外國語學(xué)校高二階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，底面為菱形，邊長為2，，平面，異面直線與所成的角為60°，若為線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為______．
18．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，是正方體的一個(gè)“直角尖”（兩兩垂直且相等）棱的中點(diǎn)，是中點(diǎn)，是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，則當(dāng)與所成角為最小時(shí)，_________．
19．（2022·北京豐臺(tái)·一模）如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，給出下列四個(gè)結(jié)論：
①平面截正方體所得的截面圖形是五邊形；
②直線到平面的距離是；
③存在點(diǎn)，使得；
④△面積的最小值是．
其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______．
20．（黑龍江省哈爾濱師范大學(xué)附屬中學(xué)2021屆高三第三次模擬文科數(shù)學(xué)試題）正方體中，，下列說法正確的有________.
（1）異面直線與所成的角為；
（2）為的中點(diǎn)，平面截正方體所得截面面積為；
（3）三棱錐的外接球半徑為；
（4）在上，，正方體8個(gè)頂點(diǎn)中與點(diǎn)的距離為的點(diǎn)有4個(gè).
二、單選題
21．（2022·上海市七寶中學(xué)高二開學(xué)考試）已知空間中三點(diǎn)，，，則下列說法錯(cuò)誤的是（）
A．與不是共線向量B．與同向的單位向量是
C．和夾角的余弦值是D．平面的一個(gè)法向量是
22．（2022·上海民辦南模中學(xué)高二開學(xué)考試）對于空間任意一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A，B，C，有如下關(guān)系：，則（）
A．四點(diǎn)O，A，B，C必共面
B．四點(diǎn)P，A，B，C必共面
C．四點(diǎn)O，P，B，C必共面
D．五點(diǎn)O，P，A，B，C必共面
23．（2020·上海市七寶中學(xué)模擬預(yù)測）已知MN是正方體內(nèi)切球的一條直徑，點(diǎn)Р在正方體表面上運(yùn)動(dòng)，正方體的棱長是2，則的取值范圍為（）
A．B．C．D．
24．（2022·上海市松江一中高三階段練習(xí)）閱讀材料：空間直角坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且一個(gè)法向量為的平面的方程為，閱讀上面材料，解決下面問題：已知平面的方程為，直線是兩平面與的交線，則直線與平面所成角的大小為（）
A．B．C．D．
25．（2017·上?！とA師大二附中高二期中）如圖，正四面體ABCD的頂點(diǎn)A，B，C分別在兩兩垂直的三條射線Ox，Oy，Oz上，則在下列命題中，錯(cuò)誤的是
A．是正三棱錐
B．直線∥平面ACD
C．直線與所成的角是
D．二面角為.
26．（第37講立體幾何中的向量方法（練）—2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測（課標(biāo)全國版））已知四邊形ABCD為正方形GD⊥平面ABCD，四邊形DGEA與四邊形DGFC也都為正方形，連接EF，F(xiàn)B，BE，H為BF的中點(diǎn)，有下述四個(gè)結(jié)論：
①DE⊥BF；②EF與CH所成角為；③EC⊥平面DBF；④BF與平面ACFE所成角為．
其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）
A．①②B．①②③
C．①③④D．①②③④
27．（浙江省金華市曙光學(xué)校2020-2021學(xué)年高二下學(xué)期第一次階段考試數(shù)學(xué)試題）如圖，在三棱錐中，，，，點(diǎn)在平面內(nèi)，且，設(shè)異面直線與所成的角為，則的最大值為（）
A．B．C．D．
28．（2022·安徽·六安一中高一期末）如圖，在菱形中，，，沿對角線將折起，使點(diǎn)A，C之間的距離為，若P，Q分別為線段，上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說法錯(cuò)誤的是（）
A．平面平面
B．線段的最小值為
C．當(dāng)，時(shí)，點(diǎn)D到直線的距離為
D．當(dāng)P，Q分別為線段，的中點(diǎn)時(shí)，與所成角的余弦值為
三、解答題
29．（2022·上海市松江二中高三開學(xué)考試）在三棱錐中，已知為中點(diǎn)，平面，.
(1)求三棱錐的體積；
(2)若點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的大小.
30．（2022·上?！とA東師范大學(xué)附屬東昌中學(xué)高三階段練習(xí)）如圖，四棱錐的底面是正方形，E是棱的中點(diǎn)，F(xiàn)是棱上的點(diǎn)，且A，B，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，．
(1)求證：為的中點(diǎn)；
(2)若底面，二面角的大小為，求直線與平面所成的角．
31．（2022·上海市進(jìn)才中學(xué)高三期中）如圖，在長方體中，，，、分別是、的中點(diǎn)．
(1)證明、、、四點(diǎn)共面；
(2)求直線與平面所成的角的大小．
32．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知直三棱柱中，側(cè)面為正方形，，E，F(xiàn)分別為和的中點(diǎn)，D為棱上的點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，面與面所成的二面角的正弦值最小?
33．（2016·福建廈門·高三階段練習(xí)（理））如圖，等腰梯形的底角等于，其外接圓圓心在邊上，直角梯形
垂直于圓所在的平面，，且.
(1)證明：平面平面；
(2)若二面角的平面角等于，求多面體的體積.
34．（2022·上?！?fù)旦附中高二期中）如圖所示，圓柱內(nèi)有一個(gè)三棱柱，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O的直徑，，點(diǎn)C為底面圓周O上的動(dòng)點(diǎn)．記三棱錐的體積為V．
(1)證明：平面平面；
(2)求V的最大值；
(3)當(dāng)V取最大值時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．
35．（2021·上海市行知中學(xué)高二期中）如圖，在四棱錐P–ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA=AD=CD=2，BC=3．E為PD的中點(diǎn)，點(diǎn)F在PC上，且．
（Ⅰ）求證：CD⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角F–AE–P的余弦值；
（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且．判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說明理由．
36．（2022·山西大附中高三階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，四邊形是矩形，是正三角形，且平面平面，，為棱的中點(diǎn)，四棱錐的體積為．
(1)若為棱的中點(diǎn)，求證：平面；
(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成銳二面角的余弦值為？若存在，指出點(diǎn)的位置并給以證明；若不存在，請說明理由.
37．（2021·天津·南開中學(xué)高一期末）2021年6月17日，神舟十二號(hào)載人飛船順利升空并于6.5小時(shí)后與天和核心艙成功對接，這是中國航天史上的又一里程碑，我校南蒼穹同學(xué)既是航天迷，又熱愛數(shù)學(xué)，于是他為正在參加期末檢測的你們編就了這道題目，如圖，是神舟十二號(hào)飛船推進(jìn)艙及其推進(jìn)器的簡化示意圖，半徑相等的圓與圓柱底面相切于四點(diǎn)，且圓與與與與分別外切，線段為圓柱的母線.點(diǎn)為線段中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且.已知圓柱，底面半徑為.

（1）求證：平面；
（2）線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面若存在，請求出的長，若不存在，請說明理由；
（3）求二面角的余弦值；
（4）如圖，是飛船推進(jìn)艙與即將對接的天和核心艙的相對位置的簡化示意圖.天和核心艙為底面半徑為2的圓柱，它與飛船推進(jìn)艙共軸，即共線.核心艙體兩側(cè)伸展出太陽翼，其中三角形為以為斜邊的等腰直角三角形，四邊形為矩形.已知推進(jìn)艙與核心艙的距離為4，即，且，.在對接過程中，核心艙相對于推進(jìn)艙可能會(huì)相對作出逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的運(yùn)動(dòng)，請你求出在艙體相對距離保持不變的情況下，在艙體相對旋轉(zhuǎn)過程中，直線與平面所成角的正弦值的最大值.

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