?專(zhuān)題29 圓錐曲線求定值七種類(lèi)型大題100題
類(lèi)型一:斜率的和與積為定值1-22題
1．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（﹣2，﹣1），離心率為．過(guò)點(diǎn)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點(diǎn)P、Q．
(1)求橢圓C的方程；
（2）試判斷直線PQ的斜率是否為定值，證明你的結(jié)論．




2．已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，斜率為直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，，三點(diǎn)互不重合.
（1）求橢圓的方程；
（2）若，，分別為直線，的斜率，求證：為定值.




3．已知橢圓：()的左右焦點(diǎn)分別為，焦距為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).直線過(guò)右焦點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，，線段的中點(diǎn)為.
（1）點(diǎn)在橢圓上，求的取值范圍；
（2）證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值；




4．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，短軸長(zhǎng)為

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程
（2）直線與橢圓C交于P、Q兩點(diǎn)，A，B是橢圓C上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線AB的斜率為
①求四邊形APBQ的面積的最大值
②設(shè)直線PA的斜率為，直線PB的斜率為，判斷的值是否為常數(shù)，并說(shuō)明理由.





5．已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，．
（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍；
（3）若直線不過(guò)點(diǎn)，試問(wèn)直線，的斜率之和是否為定值，若是定值求出定值，若不是定值說(shuō)明理由．





6．如圖所示，橢圓的離心率為，其右準(zhǔn)線方程為，A、B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A、B作斜率分別為、，直線AM和直線BN分別與橢圓C交于點(diǎn)M，N（其中M在x軸上方，N在x軸下方）.

（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線MN恒過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)，求證：為定值.



7．已知橢圓：的焦點(diǎn)為，，且過(guò)點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于，兩點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，說(shuō)明理由.



8．橢圓：過(guò)點(diǎn)，離心率為，其左、右焦點(diǎn)分別為，，且過(guò)焦點(diǎn)的直線交橢圓于，．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線與直線的斜率分別為，，試證明：．



9．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)在橢圓上，且．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)且不過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，求證：直線與的斜率之和為定值．



10．已知圓與橢圓相交于點(diǎn)M(0，1)，N(0，-1)，且橢圓的離心率為.

（1）求的值和橢圓C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)M的直線交圓O和橢圓C分別于A，B兩點(diǎn).
①若，求直線的方程；
②設(shè)直線NA的斜率為，直線NB的斜率為，問(wèn)：是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.



11．已知圓，動(dòng)圓與圓相外切，且與直線相切.
(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程.
(2)已知點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與曲線交于兩個(gè)不同的點(diǎn)（與點(diǎn)不重合），直線的斜率之和是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.
12．已知、分別是橢圓的左右頂點(diǎn)，、是分別是上下頂點(diǎn)，且為等邊三角形，是上異于、的一點(diǎn)．
（1）求橢圓的離心率；
（2）證明：直線與直線的斜率的積為定值，并求出該定值．



13．已知橢圓的離心為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)(均異于點(diǎn))，直線與分別交直線于點(diǎn)和點(diǎn)，求證：為定值.



14．已知橢圓E：的離心率為，直線l：y=2x與橢圓交于兩點(diǎn)A，B，且．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)C，D為橢圓E上異于A，B的兩個(gè)不同的點(diǎn)，直線AC與直線BD相交于點(diǎn)M，直線AD與直線BC相交于點(diǎn)N，求證：直線MN的斜率為定值．



15．已知點(diǎn)Q是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，若線段QN的垂直平分線MQ于點(diǎn)P.
(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程
(II)若A是軌跡E的左頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D（-3，8）的直線l與軌跡E交于B，C兩點(diǎn)，求證：直線AB、AC的斜率之和為定值.


16．設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，橢圓上點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為，橢圓的離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，點(diǎn)是第四象限的點(diǎn)且在橢圓上，線段被直線垂直平分，直線與橢圓交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），求證直線的斜率為定值.



17．已知點(diǎn)，為橢圓的左、右焦點(diǎn)，，都在圓上，橢圓和圓在第一象限相交于點(diǎn)，且線段為圓的直徑.

（1）求橢圓的方程；
（2）橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓分別交于點(diǎn)，，且點(diǎn)，位于第一象限，點(diǎn)在線段上，直線與交于點(diǎn).記直線，的斜率分別為，.求證：為定值.



18．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別是，，點(diǎn)為橢圓短軸的端點(diǎn)，且的面積為.
（1）求橢圓的方程；
（2）點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，是橢圓上的兩動(dòng)點(diǎn)，且直線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，試證明：直線的斜率為定值.
19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B．已知，且點(diǎn)在橢圓上，其中e是橢圓的離心率．

（1）求橢圓C的方程．
（2）設(shè)P是橢圓C上異與A、B的點(diǎn)，與x軸垂直的直線l分別交直線、于點(diǎn)M、N，求證：直線與直線的斜率之積是定值．



20．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓的離心率為，短軸長(zhǎng)為2，直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）圓的方程為，若圓與直線相交于，兩點(diǎn)(兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上)，試探究，的斜率之積是否為定值，若是，求出此定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.



21．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，且的面積等于.
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)圓上任意一點(diǎn)作橢圓的兩條切線，若兩條切線都存在斜率，求證：兩切線斜率之積為定值.
22．已知橢圓的中點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).

（1）求橢圓的方程；
（2）已知點(diǎn)，在橢圓上，點(diǎn)、是橢圓上不同的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足，試問(wèn)直線的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.














類(lèi)型二:面積為定值1-15題
1．在圓上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足.當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的中點(diǎn)的軌跡為曲線.
（1）求中點(diǎn)的軌跡曲線的方程；
（2）斜率為的直線過(guò)點(diǎn)且與曲線交于、兩點(diǎn)，求的面積.



2．已知橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為，，焦點(diǎn)在軸上，離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，過(guò)作軸的垂線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，，過(guò)作的垂線交于點(diǎn).求與的面積之比.



3．已知橢圓：離心率為，點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)坐標(biāo)，直線：交橢圓于、兩點(diǎn)，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）求的面積.



4．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的下頂點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)作與直線關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的直線，且直線與橢圓分別交于點(diǎn)，，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求的面積．
5．如圖，已知點(diǎn)，以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓.

（1）證明為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)G的軌跡E的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)A，B，C是曲線E上的不同三點(diǎn)，且，求的面積.



6．在直角坐標(biāo)系中，橢圓:的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別是，，為橢圓上任意一點(diǎn)，的最小值為8.

（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓:，為橢圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且為線段的中點(diǎn)，過(guò)，兩點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn).當(dāng)在橢圓上移動(dòng)時(shí)，四邊形的面積是否為定值？若是，求出該定值；不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.



7．如圖，橢圓C：的離心率，橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，又P，M，N為橢圓C上非頂點(diǎn)的三點(diǎn)．設(shè)直線，的斜率分別為，．

（1）求橢圓C的方程，并求的值；
（2）若，，判斷的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．



8．在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知橢圓的左頂點(diǎn)與上頂點(diǎn)的距離為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓C的方程.
（2）直線與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，M是PQ的中點(diǎn).若橢圓上存在點(diǎn)N滿足，求證：△PQN的面積S為定值.


9．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.
（1）求橢圓的方程及其離心率；
（2）若為橢圓上第一象限的點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn).求證：四邊形的面積為定值.




10．已知橢圓C：過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)B為其上頂點(diǎn)，且直線AB斜率為.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)P為第四象限內(nèi)一點(diǎn)且在橢圓上，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求四邊形的面積.





11．已知橢圓：的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點(diǎn)為橢圓上的三點(diǎn)，若四邊形為平行四邊形，證明：四邊形的面積為定值，并求該定值.







12．已知橢圓．離心率為，點(diǎn)與橢圓的左、右頂點(diǎn)可以構(gòu)成等腰直角三角形．

（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說(shuō)明理由．



13．已知點(diǎn)在橢圓上，設(shè)，，分別為橢圓的左頂點(diǎn)?上頂點(diǎn)?下頂點(diǎn)，且點(diǎn)到直線的距離為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為橢圓上的兩點(diǎn)，且，求證：的面積為定值，并求出這個(gè)定值.



14．已知橢圓的左焦點(diǎn)F在直線上，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于A、C兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為M，射線與橢圓交于點(diǎn)P，點(diǎn)O為的重心，探求面積S是否為定值，若是，則求出這個(gè)值；若不是，則求S的取值范圍.



15．已知①如圖，長(zhǎng)為，寬為的矩形，以?為焦點(diǎn)的橢圓恰好過(guò)兩點(diǎn)

②設(shè)圓的圓心為，直線過(guò)點(diǎn)，且與軸不重合，直線交圓于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的平行線交于，
（1）在①②兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件，求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）根據(jù)（1）所得點(diǎn)的軌跡方程，直線與點(diǎn)M軌跡交于?兩點(diǎn)，且.求證：的面積為定值.












類(lèi)型三:線段關(guān)系與距離為定值1-25題
1．在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)為橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓相切于點(diǎn)（點(diǎn)在第一象限），過(guò)原點(diǎn)作直線的平行線與直線相交于點(diǎn)，問(wèn)：線段的長(zhǎng)是否為定值？若是，求出定值；若不是，說(shuō)明理由.



2．如圖，過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F任作直線l，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，AB與x軸不垂直，且點(diǎn)A位于x軸上方.AB的垂直平分線與x軸交于D點(diǎn).

（1）若求AB所在的直線方程；
（2）求證：為定值.



3．已知橢圓的離心率，為橢圓上一點(diǎn).
(1)求橢圓的方程；
(2)已知為橢圓的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓(異于橢圓頂點(diǎn))于、兩點(diǎn)，試判斷是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.

4．已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)A作斜率為的直線與C相交于A，B，且，O坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求橢圓的離心率e；
（2）若，過(guò)點(diǎn)F作與直線平行的直線l，l與橢圓C相交于P，Q兩點(diǎn).
（ⅰ）求的值；
（ⅱ）點(diǎn)M滿足，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為N，求的值.




5．已知圓和定點(diǎn)，平面上一動(dòng)點(diǎn)滿足以線段為直徑的圓內(nèi)切于圓，動(dòng)點(diǎn)的軌跡記為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）直線與曲線交于不同兩點(diǎn)、，直線，分別交軸于，兩點(diǎn)．求證：．




6．已知橢圓C：的離心率為，過(guò)焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線被橢圓C截得的線段長(zhǎng)為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)A的任意一條直線與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，求證：．




7．已知橢圓E：的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓E上.
（1）求橢圓E的方程；
（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A，B，線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：．




8．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，直線y＝kx交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，M是橢圓上不同于P，Q的任意一點(diǎn)，直線MP和直線MQ的斜率分別為k1，k2．
（1）證明：k1·k2為定值；
（2）過(guò)F2的直線l與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且，求|AB|．





9．已知點(diǎn)在拋物線：上，直線：與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
（1）求的取值范圍；
（2）設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)作與的準(zhǔn)線平行的直線，分別與直線和交于點(diǎn)和（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求證：.




10．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn).橢圓以橢圓的長(zhǎng)軸為短軸，且與橢圓有相同的離心率.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)作斜率分別為的兩條直線，直線與橢圓分別交于點(diǎn)，直線與橢圓分別交于點(diǎn).
（i）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的縱坐標(biāo)；
（ii）若兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求證：為定值.




11．已知橢圓與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，，，且的最小值為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)，，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，判斷是否為定值，若是求出其值并證明，若不是請(qǐng)說(shuō)明理由.




12．已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，離心率為，過(guò)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且的周長(zhǎng)為8．
（1）求橢圓的方程；
（2）若一條直線與橢圓分別交于，兩點(diǎn)，且，試問(wèn)點(diǎn)到直線的距離是否為定值，證明你的結(jié)論．




13．已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（1）求橢圓的方程.
（2）設(shè)為橢圓上非頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，若?分別為橢圓的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，直線交軸于，直線交軸于，，問(wèn)：的值是不是定值？若為定值，求之，若不為定值，說(shuō)明理由.




14．在圓上任取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線段，為垂足，當(dāng)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段上有一點(diǎn)，使得，
（1）求的軌跡的方程；
（2）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，求證：點(diǎn)到直線的距離為定值.



15．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知R（x0，y0）是橢圓C：（a＞b＞0）上一點(diǎn)，從原點(diǎn)O向圓R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝8作兩條切線，分別交P、Q兩點(diǎn)．

（1）若R點(diǎn)在第一象限，且直線OP⊥OQ，求圓R的方程；
（2）若直線OP、OQ的斜率存在，并記為k1、k2，求k1?k2；
（3）試問(wèn)OP2+OQ2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說(shuō)明理由．



16．已知雙曲線的方程為：，其左右頂點(diǎn)分別為：，，一條垂直于軸的直線交雙曲線于，兩點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn).
（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線，與軌跡交于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交軸于點(diǎn)，試探討是否為定值.若為定值，求出定值，否則說(shuō)明理由.



17．已知?jiǎng)狱c(diǎn)(其中)到定點(diǎn)的距離比點(diǎn)到軸的距離大1.
（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作直線交曲線于?兩點(diǎn)，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)
①求證：；
②設(shè)?分別與橢圓相交于點(diǎn)?，證明：原點(diǎn)到直線的距離為定值.

18．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別是，，離心率為，直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，直線交軸于點(diǎn).求證：為坐標(biāo)原點(diǎn)）為常數(shù).




19．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，上頂點(diǎn)為，左、右焦點(diǎn)分別為，，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，問(wèn)：點(diǎn)到直線的距離是否為定值？若是，求出的值；若不是．請(qǐng)說(shuō)明理由．




20．已知、是橢圓的左、右焦點(diǎn)，離心率為，點(diǎn)在橢圓上，且的周長(zhǎng)為．
（1）求橢圓的方程：
（2）若點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與軸不垂直的直線與橢圓交于兩個(gè)不同的點(diǎn)、，直線與軸交于點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)，求證：為定值．



21．已知橢圓C：的的離心率為，且其右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為1.
（1）求C的方程；
（2）點(diǎn)M、N在C上，且，證明：存在定點(diǎn)P，使得P到直線的距離為定值.



22．已知點(diǎn)P是圓上任意一點(diǎn)，定點(diǎn)，線段的垂直平分線l與半徑相交于M點(diǎn)，P在圓周上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡為.
（1）求點(diǎn)M的軌跡的方程；
（2）若點(diǎn)N在雙曲線(頂點(diǎn)除外)上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)N，R的直線與曲線相交于，過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于，試探究是否為定值，若為定值請(qǐng)求出這個(gè)定值，若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.



23．設(shè)橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，下頂點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為為等腰三角形.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓交于兩點(diǎn)(點(diǎn)在點(diǎn)的上方)求線段與的長(zhǎng)度之比.



24．已知橢圓E：過(guò)點(diǎn)，離心率為．
（1）求橢圓方程；
（2）已知不過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，直線分別與軸相交于點(diǎn)，求的值．
25．已知橢圓M：，圓N是橢圓M長(zhǎng)軸和短軸四個(gè)端點(diǎn)連接而成的四邊形的內(nèi)切圓.
（1）求圓N的方程；
（2）過(guò)圓N上的任一點(diǎn)A作圓N的切線交橢圓M于B，C兩點(diǎn)，求證為定值.



















類(lèi)型四:向量關(guān)系為定值1-10題
1．設(shè)拋物線，為的焦點(diǎn)，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn).
（1）設(shè)的斜率為，求的值；
（2）求證：為定值.



2．如圖，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn).

（1）若，求直線的方程;
（2）記拋物線的準(zhǔn)線為，設(shè)直線分別交于點(diǎn)，求的值.



3．已知橢圓方程為，直線與軸的交點(diǎn)記為，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).

（1）設(shè)若且交直線于，線段中點(diǎn)為，求證：，，三點(diǎn)共線；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線與直線交于點(diǎn)，試問(wèn)是否為定值，若是，求出這個(gè)定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
4．已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率，點(diǎn)A、B分別是橢圓E的上、下頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求橢圓E的方程；
（2）過(guò)F作直線l分別與橢圓E交于C、D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)P，直線AC和BD交于點(diǎn)Q，求的值.





5．已知雙曲線，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)的直線交雙曲線于點(diǎn).
（1）若直線又過(guò)的左焦點(diǎn)，求的值；
（2）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求證：為定值.





6．已知橢圓，離心率為，短軸長(zhǎng)為．為橢圓的左右頂點(diǎn)，P為橢圓上任一點(diǎn)（不同于），直線分別與直線交于兩點(diǎn)．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若F為橢圓右焦點(diǎn)，試判斷是否為定值，若為定值，求出該值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．




7．已知拋物線的焦點(diǎn)為，且點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最大值為.
（1）求；
（2）若為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與相交于，兩點(diǎn)，問(wèn)：是否為定值？若為定值，求出該定值;若不為定值，試說(shuō)明理由



8．設(shè)雙曲線C：，其右焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點(diǎn).
（1）求直線l傾斜角θ的取值范圍；
（2）直線l交直線于點(diǎn)P，且點(diǎn)A在點(diǎn)P，F(xiàn)之間，試判斷是否為定值，并證明你的結(jié)論.



9．已知橢圓E：（）的焦點(diǎn)為，，且點(diǎn)在E上．
（1）求E的方程；
（2）已知過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線l交E于A，B兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為N，若為定值，試求m的值．



10．已知橢圓：（）上的點(diǎn)到的兩焦點(diǎn)的距離之和為6，的離心率為．
（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，點(diǎn)在上，點(diǎn)滿足，且直線，的斜率之積為，證明：為定值．
類(lèi)型五:角度關(guān)系為定值1-10題
1．已知橢圓中心為原點(diǎn)，離心率，焦點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)定點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，在軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？說(shuō)明理由.





2．已知橢圓的中心為原點(diǎn)，離心率，焦點(diǎn)，斜率為的直線與交于兩點(diǎn)．
（1）若線段的中點(diǎn)為為上一點(diǎn)，且成等差數(shù)列，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若過(guò)點(diǎn)軸上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)變動(dòng)時(shí)，總有？說(shuō)明理由．





3．已知雙曲線的方程.
（1）求點(diǎn)到雙曲線C上點(diǎn)的距離的最小值；
（2）已知圓的切線(直線的斜率存在)與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，那么∠AOB是否為定值?如果是，求出定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.




4．已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為F，以原點(diǎn)O為圓心，橢圓C的短半軸長(zhǎng)為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，過(guò)定點(diǎn)的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交C于M，求證：.




5．設(shè)橢圓的離心率為，圓與軸正半軸交于點(diǎn)，圓在點(diǎn)處的切線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)、，求證：為定值．



6．已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，點(diǎn)，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線(不與軸重合)交橢圓于點(diǎn)?，直線?分別與直線交于點(diǎn)?，求的大小.



7．如圖，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，A為橢圓C上一點(diǎn)，AF1與y軸相交于點(diǎn)B，|AB|＝|F2B|，|OB|＝.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過(guò)A1，A2分別作x 軸的垂線l1，l2，橢圓C的一條切線l：y＝kx＋m(k≠0)與l1，l2分別交于M，N兩點(diǎn)，求證：∠MF1N＝∠MF2N.



8．已知?jiǎng)訄AQ經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，且與定直線相切（其中a為常數(shù)，且）.記動(dòng)圓圓心Q的軌跡為曲線C.
（1）求C的方程，并說(shuō)明C是什么曲線？
（2）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)P作曲線C的切線，切點(diǎn)為A，若過(guò)點(diǎn)P的直線m與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，證明：.




9．已知拋物線的焦點(diǎn)為．點(diǎn)在上， ．
（1）求;
（2）過(guò)作兩條互相垂直的直線，與交于兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，判斷是否為定值?若是，求出其值；若不是，說(shuō)明理由．



10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)E(0，2)，以O(shè)E為直徑的圓與拋物線C∶x2=2py(p>0)交于點(diǎn)M，N(異于原點(diǎn)O)，MN恰為該圓的直徑，過(guò)點(diǎn)E作直線交拋物線與A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別做拋物線C的切線交于點(diǎn)P.
（1）求證∶點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為定值；
（2）若F是拋物線C的焦點(diǎn)，證明∶∠PFA=∠PFB.


















類(lèi)型六:坐標(biāo)關(guān)系為定值1-10題
1．已知P為圓：上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)為，線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)Q.
（1）求點(diǎn)Q的軌跡方程；
（2）已知，過(guò)點(diǎn)作與軸不重合的直線交軌跡于兩點(diǎn)，直線分別與軸交于兩點(diǎn).試探究的橫坐標(biāo)的乘積是否為定值，并說(shuō)明理由.



2．設(shè)橢圓，橢圓的右焦點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)．橢圓的離心率為．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)橢圓E的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，過(guò)定點(diǎn)的直線與橢圓E交于C，D兩點(diǎn)（與點(diǎn)A，B不重合），證明：直線AC，BD的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值．



3．已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)的直線l交于拋物線于，兩點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；
（2）若射線，分別與橢圓交于點(diǎn)，，點(diǎn)為原點(diǎn)，，的面積分別為，，問(wèn)是否存在直線使？若存在求出直線的方程，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若為上一點(diǎn)，，與軸相交于，兩點(diǎn)，問(wèn)，兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積是否為定值？如果是定值，求出該定值，否則說(shuō)明理由.
4．如圖，橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為1，點(diǎn)A， B，C分別為橢圓的左頂點(diǎn)、右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C的直線交橢圓于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)M（x1，0），直線AC與直線BD交于點(diǎn)N（x2，y2）.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若，求直線的方程；
（3）求證：為定值.






5．在直角坐標(biāo)系中，曲線的點(diǎn)均在外，且對(duì)上任意一點(diǎn)，到直線的距離等于該點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的最小值．
（1）求曲線的方程；
（2）設(shè)為圓外一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點(diǎn)、和、．證明：當(dāng)在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)、、、的縱坐標(biāo)之積為定值．





6．已知橢圓：的焦距為，點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，橢圓的上、下頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，.

求面積的最大值
②當(dāng)與相交于點(diǎn)時(shí)，試問(wèn)：點(diǎn)的縱坐標(biāo)是否是定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.



7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，P是動(dòng)點(diǎn)，且三角形的三邊所在直線的斜率滿足．
（Ⅰ）求點(diǎn)P的軌跡的方程；
（Ⅱ）若Q是軌跡上異于點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)，且，直線與交于點(diǎn)M，試探
究：點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是否為定值？并說(shuō)明理由．



8．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線截橢圓所得弦長(zhǎng)是1．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)分別是橢圓的左，右頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（與不重合），證明：直線和直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值．



9．過(guò)拋物線上一定點(diǎn)作兩條直線分別交拋物線于，，
（1）若橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為1，求拋物線方程；
（2）若為拋物線的頂點(diǎn)，，試證明：過(guò)、兩點(diǎn)的直線必過(guò)定點(diǎn)；
（3）當(dāng)與的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求的值，并證明直線的斜率是非零常數(shù).



10．已知，分別是橢圖：的左，右焦點(diǎn)，的頂點(diǎn)都在橢圓上，且邊，分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)，.當(dāng)點(diǎn)在軸上時(shí)，為直角三角形且面積為.
（1）求的方程；
（2）設(shè)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，求證：為定值.





類(lèi)型七:系數(shù)關(guān)系為定值1-10題
1．已知橢圓C：()的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)F的距離為.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)F的直線l交橢圓于A?B兩點(diǎn)，交y軸于P點(diǎn)，設(shè)，，試判斷是否為定值？請(qǐng)說(shuō)明理由.





2．已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且右焦點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)且斜率存在的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，記，若的最大值和最小值分別為，，求的值.




3．已知橢圓的離心率為，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程;
（Ⅱ）已知過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，與直線交于點(diǎn)Q，設(shè)，，求證：為定值．




4．已知直線與圓相切，動(dòng)點(diǎn)到與兩點(diǎn)的距離之和等于、兩點(diǎn)到直線的距離之和．
（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線交軌跡于不同兩點(diǎn)、，交軸于點(diǎn)，已知，，試問(wèn)是否等于定值，并說(shuō)明理由．





5．已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn)，
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)作直線l交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交y軸于M點(diǎn)，若為定值．





6．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C：經(jīng)過(guò)點(diǎn)，橢圓C的離心率為．，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓上任意點(diǎn)．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)M為的中點(diǎn)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），過(guò)M且平行于OP的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得；若存在，請(qǐng)求出的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．



7．已知拋物線：的焦點(diǎn)為，為坐標(biāo)原點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)．
（1）若直線與圓：相切，求直線的方程；
（2）若直線與軸的交點(diǎn)為．且，，試探究：是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，試說(shuō)明理由．




8．已知點(diǎn)在拋物線上，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B，且直線PA交軸于M，直線PB交軸于N.
（1）求拋物線C的方程；
（2）求直線的斜率的取值范圍；
（3）設(shè)O為原點(diǎn)，，求證：為定值.



9．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)與短軸長(zhǎng)之比為2，過(guò)點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，若，．證明：為定值．




10．已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，直線的傾斜角為60°，原點(diǎn)到直線的距離是．
（1）求的方程；
（2）過(guò)上任一點(diǎn)作直線，分別交于，（異于的兩點(diǎn)），且，，探究是否為定值？若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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