?專題29 圓錐曲線求定值七種類型大題100題
類型一:斜率的和與積為定值1-22題
1．已知橢圓經(jīng)過點M（﹣2，﹣1），離心率為．過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點P、Q．
(1)求橢圓C的方程；
（2）試判斷直線PQ的斜率是否為定值，證明你的結論．
【答案】（1）（2）見解析
【詳解】
(1)由題設，得＝1，①且＝，②
由①、②解得a2＝6，b2＝3，故橢圓C的方程為＝1.
(2)設直線MP的斜率為k，則直線MQ的斜率為－k，
記P(x1，y1)、Q(x2，y2)．
設直線MP的方程為y＋1＝k(x＋2)，與橢圓C的方程聯(lián)立，得(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，
則－2，x1是該方程的兩根，則－2x1＝，即x1＝.
設直線MQ的方程為y＋1＝－k(x＋2)，同理得x2＝.
因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，
故kPQ＝＝1，
因此直線PQ的斜率為定值．
2．已知點是橢圓上的一點，橢圓的離心率與雙曲線的離心率互為倒數(shù)，斜率為直線交橢圓于，兩點，且，，三點互不重合.
（1）求橢圓的方程；
（2）若，，分別為直線，的斜率，求證：為定值.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）設橢圓的焦距為2c，根據(jù)題中條件，得出橢圓的離心率，再由點代入橢圓方程，根據(jù)，即可求出，從而可得橢圓方程；
（2）設直線的方程為，根據(jù)題意得，設，，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達定理，結合斜率計算公式，直接計算，即可得出結果.
【詳解】
（1）設橢圓的焦距為2c，由雙曲線方程易得雙曲線的離心率為，
則橢圓的離心率，
將代入，得 ，
又，解得，
所以橢圓C的方程；
（2）證明：設直線的方程為，
又，，三點不重合，∴，
設，，
則由消去 ，整理得 ，
所以，，，則 ，
設直線，的斜率分別為，，
則
所以，即直線，的斜率之和為定值.
3．已知橢圓：()的左右焦點分別為，焦距為2，且經(jīng)過點.直線過右焦點且不平行于坐標軸，與橢圓有兩個不同的交點，，線段的中點為.
（1）點在橢圓上，求的取值范圍；
（2）證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值；
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）由橢圓定義求得，然后可得，從而得橢圓方程，然后設點，計算可得范圍；
（2）設直線的方程為()代入橢圓方程得，設，，可得段線的中點的坐標，然后計算可得定值．
【詳解】
解：（1）因為焦距，則，所以左焦點，右焦點
則
所以，所以，所以橢圓方程為.
設點，則
因為，所以的取值范圍為：
（2）設直線的方程為()
聯(lián)立消去得
其中：，，不妨設，，為線段的中點
則，
所以，
所以所以為定值.
4．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為，短軸長為

（1）求橢圓C的標準方程
（2）直線與橢圓C交于P、Q兩點，A，B是橢圓C上位于直線PQ兩側的動點，且直線AB的斜率為
①求四邊形APBQ的面積的最大值
②設直線PA的斜率為，直線PB的斜率為，判斷的值是否為常數(shù)，并說明理由.
【答案】（1）；（2）①，②是常數(shù)，理由見解析．
【分析】
（1）設橢圓的方程為，由題可得，再結合，即可求得,從而求得橢圓的標準方程；
（2）①設點、，聯(lián)立，整理得：，四邊形的面，而易求，代入韋達定理即可求得的表達式，從而求得的最大值；
②直線的斜率，直線的斜率，代入韋達定理化簡整理可得的值為常數(shù)．
【詳解】
（1）設橢圓的方程為．
由題意可得，解得，
所以橢圓的標準方程為；
（2）①由（1）可求得點、的坐標為，，則，
設直線的方程為，設點、，
聯(lián)立，整理得：，
由，可得.
由韋達定理知：，，
四邊形的面積，
故當時，；
②由題意知，直線的斜率，直線的斜率，
則

.
所以的值為常數(shù)．
5．已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率為，且經(jīng)過點，直線交橢圓于不同的兩點，．
（1）求橢圓的方程；
（2）求的取值范圍；
（3）若直線不過點，試問直線，的斜率之和是否為定值，若是定值求出定值，若不是定值說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）直線，的斜率之和是定值0.
【分析】
（1）由題可得出，，解出即可得出橢圓方程；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，利用即可求出的取值范圍；
（3）利用韋達定理可得，的斜率之和為0.
【詳解】
（1）設橢圓的方程為，因為，所以，
又因為，解得，，故橢圓方程為．
（2）將代入并整理得，，解得．
（3）設直線，的斜率分別為，，
設，則，，
，
分子

所以直線，的斜率之和是定值0．
6．如圖所示，橢圓的離心率為，其右準線方程為，A、B分別為橢圓的左、右頂點，過點A、B作斜率分別為、，直線AM和直線BN分別與橢圓C交于點M，N（其中M在x軸上方，N在x軸下方）.

（1）求橢圓C的方程；
（2）若直線MN恒過橢圓的左焦點，求證：為定值.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）由題可得，求出，再利用，即可求出橢圓C的方程；
（2）設AM的方程為，聯(lián)立，利用韋達定理求得點，同理求出，再利用向量共線，求出，即證為定值.
【詳解】
（1）由題可得，解得
又，可得，所以橢圓C的方程為：
（2），設AM的方程為，設，
由，消去整理得，，
由韋達定理可得：，解得，代入，求得，即
，設BN的方程為，設，
由，消去整理得，，
由韋達定理可得：，解得，代入，求得，即
又直線MN恒過橢圓的左焦點，則
又，
，即
，，，即
所以為定值
7．已知橢圓：的焦點為，，且過點.
（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓的上頂點為，過點作直線交橢圓于，兩點，記直線，的斜率分別為，，試判斷是否為定值？若為定值，求出該定值；若不是定值，說明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，定值為1，理由見解析.
【分析】
（1）由題意，得出關于的方程組，求得的值，即可得到橢圓的標準方程；
（2）設直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關系，得到，結合斜率公式進行計算，即可求得是為定值.
【詳解】
（1）橢圓：的焦點為，，且過點，
可得，解得，所以橢圓的方程為.
（2）由（1）可得點，
設，直線的方程為，
聯(lián)立方程組，整理得，
所以，
則
，
所以是為定值.
8．橢圓：過點，離心率為，其左、右焦點分別為，，且過焦點的直線交橢圓于，．
（1）求橢圓的方程；
（2）若點的坐標為，設直線與直線的斜率分別為，，試證明：．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）帶入點坐標，建立的等量關系，聯(lián)立由離心率確定的的等量關系，解出的值，求出橢圓的方程；（2）證明，即證明，法一：設直線的斜截式，聯(lián)立橢圓，代入韋達定理證明；法二：設直線的橫截式，聯(lián)立橢圓，代入韋達定理證明.
【詳解】
（1）∵橢圓：過點，
∴．①
又∵橢圓離心率為，∴，∴．②
聯(lián)立①②得，解得，∴橢圓的方程為．
（2）方法一：當直線斜率不存在時，則，∴；
當直線斜率存在時，設直線：，與橢圓交點，．聯(lián)立，
消去并整理得．由于，
∴，，
∴
，
∵，∴．
綜上所述，．
方法二：當直線斜率為0時，∵，則；
當直線斜率不為0時，設直線：設與橢圓交點，，
聯(lián)立，消去并整理得．由于，
∴，，
∴．
∴，綜上所述，．
9．已知橢圓的左、右焦點分別是，，點在橢圓上，且．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點且不過點的直線交橢圓于，兩點，求證：直線與的斜率之和為定值．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）由點坐標得，由可得，再求得后可得橢圓方程；
（2）確定直線斜率存在，設點，，直線，由點在直線上，得．
把代入，整理后應用韋達定理得，由，知，，則，均不為0，計算，代入，可得結論．
【詳解】
解；（1）根據(jù)點在橢圓上，得．
由，得．
因為，所以，
所以橢圓的標準方程為．
（2）若直線的斜率不存在，則直線的方程為，與橢圓只有一個交點，不符合題意．
若直線的斜率存在，設點，，直線，
根據(jù)點在直線上，得．
把代入，得，
則，．
由，知，，則，均不為0，
則直線的斜率，直線的斜率，

，
因為，所以，
即直線與的斜率之和為定值．
10．已知圓與橢圓相交于點M(0，1)，N(0，-1)，且橢圓的離心率為.

（1）求的值和橢圓C的方程；
（2）過點M的直線交圓O和橢圓C分別于A，B兩點.
①若，求直線的方程；
②設直線NA的斜率為，直線NB的斜率為，問：是否為定值？如果是，求出定值；如果不是，請說明理由.
【答案】（1），；
（2）①；②是定值，為.
【分析】
（1）由圓與橢圓相交于點M得，又因為橢圓的離心率為和可得答案；
（2）①設直線的方程為分別與圓、橢圓的方程聯(lián)立，可求得坐標，由可得；②利用①中坐標得，，化簡可得答案.
【詳解】
（1）因為圓與橢圓相交于點M(0，1)，N(0，-1)，所以，又因為橢圓的離心率為，所以，
所以，橢圓.
（2）①因為過點M的直線交圓O和橢圓C分別于A，B兩點，
因為所以直線的斜率存在，設直線的方程為，
由得，所以，
同理得，所以，
因為，所以，又，所以，
即直線的方程為.
②是定值，理由如下，
由①知，，
，，
所以為定值.
11．已知圓，動圓與圓相外切，且與直線相切.
(1)求動圓圓心的軌跡的方程.
(2)已知點，過點的直線與曲線交于兩個不同的點（與點不重合），直線的斜率之和是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.
【答案】（1）；（2）是，.
【分析】
(1)根據(jù)題意分析可得到直線的距離等于到的距離，由拋物線的定義可知，的軌跡為拋物線，其方程為；
(2) 設直線的方程為，點，直線的斜率分別為和，聯(lián)立直線和拋物線方程，利用韋達定理得和，根據(jù)斜率公式得和，利用和化簡即可得到定值.
【詳解】
(1)設直線的距離為，因為動圓與圓相外切，所以，
所以到直線的距離等于到的距離，
由拋物線的定義可知，的軌跡為拋物線，其焦點為，準線為：，
所以拋物線的方程為.
(2)設直線的方程為，即
因為與點不重合，所以
設直線的斜率分別為和，點
聯(lián)立消去并整理得，
則，，
由，解得或，且.
可得，
同理可得，
所以
，
故直線的斜率之和為定值.
12．已知、分別是橢圓的左右頂點，、是分別是上下頂點，且為等邊三角形，是上異于、的一點．
（1）求橢圓的離心率；
（2）證明：直線與直線的斜率的積為定值，并求出該定值．
【答案】（1）；（2）證明見解析，．
【分析】
（1）由為等邊三角形得，得出，進而可求出離心率；
（2）由題意知、，設點的坐標為，表示出直線與直線的斜率，根據(jù)題中條件，計算斜率之積，即可得出結果.
【詳解】
（1）由為等邊三角形得，所以，
，
所以橢圓的離心率為；
（2）由題意知、，設點的坐標為，
則直線的斜率為，直線的斜率為，
又因為所以在橢圓上，所以有，
所以，
所以，得證，
由（1）易知．
13．已知橢圓的離心為，且經(jīng)過點.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點的直線與橢圓交于兩點(均異于點)，直線與分別交直線于點和點，求證：為定值.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
(1)代入已知點的坐標，結合離心率和的關系列方程組，即可求出，進而可求出橢圓的方程.
(2) 直線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程，由韋達定理即可用表示，求出直線的方程，進而可求出和的坐標，由斜率公式即可求出，即可證明所證.
【詳解】
（1）根據(jù)題意可得，解得，所以橢圓的方程為.
（2）設直線的方程為.聯(lián)立得，
整理得，所以.
因為，所以直線的方程為，
令，得，所以，
同理.則，
，則

.
所以為定值，且該定值為.
14．已知橢圓E：的離心率為，直線l：y=2x與橢圓交于兩點A，B，且．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設C，D為橢圓E上異于A，B的兩個不同的點，直線AC與直線BD相交于點M，直線AD與直線BC相交于點N，求證：直線MN的斜率為定值．
【答案】（1）；（2）證明見解析．
【分析】
（1）由，得到，設橢圓為，再結合弦長，求得，進而得到橢圓的方程；
（2）由（1）可得，，得到，，求得點，的坐標，求得的斜率為，再設直線的方程為，得到，結合直線和的方程求得點的坐標，得出直線的斜率為，即可求解.
【詳解】
（1）由題意可得，即，
所以橢圓的方程為，
與直線聯(lián)立，可得，則，
又，所以，解得，于是，
因此橢圓的方程為．
（2）根據(jù)題意，不妨設點在第一象限，由（1）可得，，
若直線的斜率不存在，則，設，
于是可得點，的坐標分別為，，
因此直線的斜率為，
若直線的斜率存在，設直線的方程為，
點的坐標為，則有，
設直線的方程為，則有，
因為，所以，
即直線的方程為，
同理，設直線的方程為，則直線的方程為，
由及，解得；
由及，解得，
于是直線的斜率為，
綜上所述，直線的斜率為定值．
15．已知點Q是圓上的動點，點，若線段QN的垂直平分線MQ于點P.
(I)求動點P的軌跡E的方程
(II)若A是軌跡E的左頂點，過點D（-3，8）的直線l與軌跡E交于B，C兩點，求證：直線AB、AC的斜率之和為定值.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見證明
【分析】
（Ⅰ）線段的垂直平分線交于點P，所以，則為定值，所以P的軌跡是以為焦點的橢圓，結合題中數(shù)據(jù)求出橢圓方程即可；（Ⅱ）設出直線方程，聯(lián)立橢圓方程得到韋達定理，寫出化簡可得定值.
【詳解】
解：（Ⅰ）由題可知，線段的垂直平分線交于點P，
所以，則，
所以P的軌跡是以為焦點的橢圓，
設該橢圓方程為，
則，所以，
可得動點P的軌跡E的方程為.
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，過點D的直線斜率存在且不為0，
故可設l的方程為，，
由得，


而



由于直線過點，所以，
所以（即為定值）
16．設橢圓的左右焦點分別為，橢圓上點到兩焦點的距離之和為，橢圓的離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓在第一象限交于點，點是第四象限的點且在橢圓上，線段被直線垂直平分，直線與橢圓交于點（異于點），求證直線的斜率為定值.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)橢圓定義得，再根據(jù)離心率即可得，，進而得橢圓方程；
（2）由已知得，直線不與軸垂直，進而設，故，均與橢圓聯(lián)立方程得再結合，與斜率公式計算即可得答案.
【詳解】
解：（1）設，由條件知，，
所以，所以
故橢圓的方程為.
（2）由題得的坐標為，直線不與軸垂直，
設直線，則直線，
設
將直線方程代入橢圓整理得：
，

同理可得，
又，，

所以直線的斜率為定值.
17．已知點，為橢圓的左、右焦點，，都在圓上，橢圓和圓在第一象限相交于點，且線段為圓的直徑.

（1）求橢圓的方程；
（2）橢圓的左、右頂點分別為，，過定點的直線與橢圓分別交于點，，且點，位于第一象限，點在線段上，直線與交于點.記直線，的斜率分別為，.求證：為定值.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）由圓，令，得即，由圓的半徑為，得到，根據(jù)和得到，然后利用橢圓的定義求解.
（2）由，變形為，則，，，直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，根據(jù)直線與交于點，設點，由，，三點共線，得到，然后利用韋達定理求解.
【詳解】
（1）由圓，令，得，
所以由題意可得，
圓的方程化為標準方程，
所以圓的半徑為，則，
因為在圓上，
所以，
因為，
所以，
由橢圓的定義可得：，
所以，，
所以橢圓的方程為：；
（2）由，即，
所以過定點，且，，
設，，
直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立整理得：，
△，解得，
又，，
因為直線與交于點，設點，
由，，三點共線，
得，
解得，
則，
，
，
.
18．已知橢圓的左右焦點分別是，，點為橢圓短軸的端點，且的面積為.
（1）求橢圓的方程；
（2）點是橢圓上的一點，是橢圓上的兩動點，且直線關于直線對稱，試證明：直線的斜率為定值.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）由焦距得，再由三角形面積可得，從而求得，得橢圓方程．
（2）易知直線斜率存在，設直線：，即，
由對稱性得直線，求出的坐標，然后計算斜率即可證．
【詳解】
解：（1）由已知得，又，，∴．
所以橢圓的標準方程為.
（2）已知點，當直線斜率不存在時顯然不滿足題意，所以直線斜率存在，設直線：，即，由于直線關于直線對稱，則直線，
設，
聯(lián)立：得
（方程有一解是），同理
則
所以直線的斜率為定值.
19．如圖，在平面直角坐標系中，橢圓的左、右頂點分別為A、B．已知，且點在橢圓上，其中e是橢圓的離心率．

（1）求橢圓C的方程．
（2）設P是橢圓C上異與A、B的點，與x軸垂直的直線l分別交直線、于點M、N，求證：直線與直線的斜率之積是定值．
【答案】（1）；（2）證明見解析
【分析】
（1）由，可知，結合點在橢圓上，代入可得，進而由和，可求出，從而可得到橢圓方程；
（2）設P點坐標為，的橫坐標為，可表示出直線的方程，及的坐標，進而得到直線的斜率，同理可求得直線的斜率，進而得到兩個斜率之積為，再結合點P點在橢圓上，可得，代入可得到.
【詳解】
（1）因為，所以，即，
又，且點在橢圓上，所以，即，
又，所以，整理得，
由，可得，所以橢圓方程為.
（2）設P點坐標為，的橫坐標為，
則直線的方程為，
故，則直線的斜率
直線的方程為，故，
可得直線的斜率，
故，
又P點在橢圓上，則，即，
因此.
故直線與的斜率之積是定值.
20．在平面直角坐標系中，已知橢圓的離心率為，短軸長為2，直線與橢圓有且只有一個公共點.
（1）求橢圓的方程；
（2）圓的方程為，若圓與直線相交于，兩點(兩點均不在坐標軸上)，試探究，的斜率之積是否為定值，若是，求出此定值，若不是，請說明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，定值為.
【分析】
（1）根據(jù)短軸長可得，結合離心率及的關系可求，從而可得方程；
（2）當直線的斜率存在時，設出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，結合韋達定理，可求；
當直線的斜率不存在時，可得直線方程，聯(lián)立可求，從而可得結論.
【詳解】
（1）由離心率為，可得，
由短軸長為2，可得，
又，解得，，
則橢圓的方程為；
（2）當直線的斜率存在時，設的方程為，
由可得，
因為直線與橢圓有且只有一個交點，
所以，即，
由方程組可得，
則，
設，，，，則，，
設直線，的斜率為，，
所以，
將代入上式，可得，
當直線的斜率不存在時，由題意可得的方程為，此時圓與的交點為，，也滿足，
綜上，的斜率之積為定值.
21．在平面直角坐標系中，橢圓與雙曲線有相同的焦點，點是橢圓上一點，且的面積等于.
（1）求橢圓的方程；
（2）過圓上任意一點作橢圓的兩條切線，若兩條切線都存在斜率，求證：兩切線斜率之積為定值.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）由題得雙曲線的焦點為，設橢圓方程為，根據(jù)已知求出即得解；
（2）設點，過點的橢圓的切線的方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程得，由得，即得.
【詳解】
（1）由題得雙曲線的焦點為，設橢圓方程為，
由題得，
由余弦定理得，
所以.
所以
所以橢圓方程為；
（2）設點，過點的橢圓的切線的方程為，
聯(lián)立得，
因與橢圓相切，故，
整理可得
設滿足題意的橢圓的兩條切線的斜率分別為，則，
因在圓上，所以，因此，
故兩切線斜率之積為定值.
22．已知橢圓的中點在原點，焦點在軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.

（1）求橢圓的方程；
（2）已知點，在橢圓上，點、是橢圓上不同的兩個動點，且滿足，試問直線的斜率是否為定值，請說明理由.
【答案】（1）；（2）斜率為定值，理由見解析.
【分析】
（1）根據(jù)題意，設橢圓的方程為，再根據(jù)已知條件列方程組求解a、b、c即可；
（2）由可設直線的斜為，則的斜率為，，，聯(lián)立直線PA與橢圓的方程，根據(jù)韋達定理用k表示，同理用k表示出
，兩式聯(lián)立可用k表示、，代入中即可得證.
【詳解】
（1）∵橢圓的中點在原點，焦點在軸上，
∴設橢圓的方程為，，
橢圓的離心率等于，一個頂點恰好是拋物線的焦點，
∴，，
又∵，∴，解得，
∴橢圓的方程為.
（2）當時，，的斜率之和為0，
設直線的斜為，則的斜率為，設，，
設直線的方程為，
由，消去并整理，
得：，
∴，
設的直線方程為，
同理，得，
∴，，
，
∴的斜率為定值.






















類型二:面積為定值1-15題
1．在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足.當點在圓上運動時，線段的中點的軌跡為曲線.
（1）求中點的軌跡曲線的方程；
（2）斜率為的直線過點且與曲線交于、兩點，求的面積.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1) 設，則， ,根據(jù)點在圓上即可求出C的方程；
(2)設直線方程，聯(lián)立C的方程，根據(jù)韋達定理求出弦長AB，再由點到直線的距離得到三角形的高，代入面積公式即可求解.
【詳解】
（1）設，則，，∴，曲線.
（2）因為斜率為的直線過點
所以直線，
聯(lián)立得，.
設，，則，，
∴，
∴，
又點到的距離，
∴.
2．已知橢圓的兩個頂點分別為，，焦點在軸上，離心率為.
（1）求橢圓的方程；
（2）點為軸上一點，過作軸的垂線交橢圓于不同的兩點，，過作的垂線交于點.求與的面積之比.
【答案】（1）；（2）4：5.
【分析】
（1）由題意設橢圓方程，由，根據(jù)橢圓的離心率公式，即可求得，則，即可求得橢圓的方程；
（2）由題意分別求得和的斜率及方程，聯(lián)立即可求得點坐標，利用已知條件可得，即可求得與的面積之比.
【詳解】
解：（1）∵ 焦點在軸上，兩個頂點分別為，，
∴ ，由，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）設，，，，

可得，
直線的方程是，
∵，
∴，
直線的方程是，
直線的方程是，
直線與直線聯(lián)立可得，，整理為：，
即，
即，
計算得出，，
又，
則，
又，
則與的面積之比為4：5.
3．已知橢圓：離心率為，點在橢圓上，點坐標，直線：交橢圓于、兩點，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）求的面積.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)橢圓的離心率、過定點以及橢圓參數(shù)關系，即可求，進而寫出橢圓方程；
（2）由即為等腰三角形，結合直線與橢圓關系聯(lián)立方程得中點的坐標，由等腰三角形的性質知即可求參數(shù)m，結合弦長公式、點線距求的底、高，進而可求的面積.
【詳解】
解：（1）由題意可得，解得，所以橢圓的方程為．
（2）設，，中點為，
由得，得，
，，所以，，
由，有，所以，得，
所以，，，
此時，點到直線：的距離，
所以的面積.
4．已知橢圓的左，右焦點分別為，，離心率為，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓的下頂點為，過右焦點作與直線關于軸對稱的直線，且直線與橢圓分別交于點，，為坐標原點，求的面積．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）依題意得到方程，即可求出、，再根據(jù)，即可求出，從而得解；
（2）由題可知，直線與直線關于軸對稱，所以，即可求出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，設，，即可求出、的坐標，從而求出，再利用點到直線的距離公式求出原點到直線的距離，最后根據(jù)計算可得；
【詳解】
解：（1）由題得，，解得，因為，所以，所以橢圓的方程為．
（2）由題可知，直線與直線關于軸對稱，所以．由（1）知，橢圓的方程為，
所以，，所以，從而，所以直線的方程為，即．
聯(lián)立方程，解得或．設，，不妨取，，
所以當，；當，，所以，．．
設原點到直線的距離為，則，所以．
5．如圖，已知點，以線段為直徑的圓內切于圓.

（1）證明為定值，并寫出點G的軌跡E的方程；
（2）設點A，B，C是曲線E上的不同三點，且，求的面積.
【答案】（1）證明見解析，方程為；（2）面積為.
【分析】
（1）記線段的中點為H，連接OH，則有，，設的半徑為r，與內切于Q，連接HQ，則O，H，Q三點共線，則，可求得其值，由橢圓的定義可得其軌跡方程；
（2）由，可得O是的重心，故，當直線AB的斜率存在時，設，與橢圓方程聯(lián)立，消去y，再利用根與系數(shù)的關系可求出，再將其代入橢圓方程中可求得，于是代值化簡可得結果
【詳解】
（1）記線段的中點為H，由于線段的中點為O，
連接OH，則，，
設的半徑為r，與內切于Q，連接HQ，
則O，H，Q三點共線，如下圖，于是


，
又，根據(jù)橢圓的定義可得E的方程為.
（2）因為A，B，C是橢圓上的不同三點，且.
所以O是的重心，故.
①法一：當直線AB的斜率存在時，
設，與橢圓方程聯(lián)立，消去y，整理得.
設，，
則，，
所以.
因為，
所以，
所以.
又點C在橢圓上，
所以，
整理得，
又，所以.
此時，
于是



.
法二：設，
由法一知，，
且，即點C在直線上，
故點C到AB的距離為.
所以.以下同法一.
②當直線AB的斜率不存在時，可得：，，；
或，，；
或，，；
或，，，
此時.
綜上，的面積為.
6．在直角坐標系中，橢圓:的離心率為，左、右焦點分別是，，為橢圓上任意一點，的最小值為8.

（1）求橢圓的方程；
（2）設橢圓:，為橢圓上一點，過點的直線交橢圓于，兩點，且為線段的中點，過，兩點的直線交橢圓于，兩點.當在橢圓上移動時，四邊形的面積是否為定值？若是，求出該定值；不是，請說明理由.
【答案】（1）；（2）是，定值為4.
【分析】
本題考查橢圓的方程的求法，考查圓錐曲線中的面積定值問題，屬中檔題，
（1）由離心率的值得到的關系，利用基本不等式的變形公式并結合橢圓的定義得到的最小值為2，結合已知得到的值，進而得到橢圓的方程；
（2）根據(jù)的坐標寫出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立求得的坐標，利用點差法求得直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立消去并利用為橢圓上一點的條件,整理得到關于的二次方程，利用韋達定理和弦長公式求得|AB|關于的表達式，利用點到直線的距離公式求得E,F到直線AB的距離，得到ABE,ABF的面積關于的表達式，進而求得四邊形的面積關于的表達式，根據(jù)關于的關系化簡整理得到定值.
【詳解】
（1），.
是橢圓任意一點，∴
，當時取等號，
的最小值為，
，，
橢圓的方程為.
（2）∵為橢圓上一點，橢圓的方程為，
當，根據(jù)橢圓的對稱性，不妨設，E,F為橢圓的短軸的端點,
直線AB的方程為,與橢圓的方程聯(lián)立求得,,得到|AB|=2,|EF|=2,∴四邊形四邊形AEBF的面積為4，同理求得時，四邊形AEBF的面積為4.
當時，直線OQ的斜率為,方程為：，
聯(lián)立直線OQ與橢圓C1的方程，得，，
∵橢圓的方程可整理為,又∵是橢圓的弦AB的中點，
設,
∵A,B在橢圓：上，∴，，
兩式相減得：，
即：，∴直線AB的斜率為
直線AB的方程為,
即,
∵為橢圓上一點，橢圓的方程為，
∴，即,∴直線AB的方程為,
代入橢圓C1的方程得，
,
兩邊同乘以，并注意，得:，
∴，，
，
設點，到直線AB的距離分別為，，
，


∴.
綜上所述，故當Q在橢圓上移動時，四邊形AEBF的面積為定值4.
7．如圖，橢圓C：的離心率，橢圓C的左、右頂點分別為A，B，又P，M，N為橢圓C上非頂點的三點．設直線，的斜率分別為，．

（1）求橢圓C的方程，并求的值；
（2）若，，判斷的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由．
【答案】（1）橢圓C：，；（2）的面積為定值．
【分析】
（1）求出橢圓的方程，再設代入斜率公式，即可得答案；
（2）設直線的方程為（），設，，根據(jù)，可得，再利用韋達定理化簡得到的關系，求出三角形的底和高，代入面積公式，即可得答案；
【詳解】
解（1）由題意得，又，所以，
，即橢圓C：
設，則，又，，
則
（2）設直線的方程為（），設，，
，
，，
由（1）知：
，
，
即，，


，又
．
又O到直線的距離，
所以．
∴綜上的面積為定值．
8．在平面直角坐標系xoy中，已知橢圓的左頂點與上頂點的距離為，且經(jīng)過點.

（1）求橢圓C的方程.
（2）直線與橢圓C相交于P、Q兩點，M是PQ的中點.若橢圓上存在點N滿足，求證：△PQN的面積S為定值.
【答案】（1）（2）證明見解析
【分析】
（1）根據(jù)條件聯(lián)立方程組求出即可得出橢圓標準方程；
（2）當PQ斜率不存在時求出△PQN的面積，當PQ斜率存在時，設PQ的方程為，聯(lián)立方程組求出坐標，代入橢圓方程化簡可得，
利用即可求解.
【詳解】
（1）橢圓C的左頂點，上頂點.
因為左頂點與上頂點的距離為，
所以，化簡得①
因為橢圓經(jīng)過點，
所以，②
由①②解得或（舍去)，
所以橢圓C的方程為
（2）當PQ斜率不存在時，N為方程為 ，
易得.
此時
當PQ斜率存在時，設PQ的方程為，
聯(lián)立，得，
由得
設則，
因此PQ的中點M為
由因為所以，
將點N代入橢圓方程，得，
化簡得，符合(*）式.
記點О到直線l的距離為d,
則
，
將代入，得
綜上，的面積為定值
9．已知橢圓經(jīng)過點，.
（1）求橢圓的方程及其離心率；
（2）若為橢圓上第一象限的點，直線交軸于點，直線交軸于點.求證：四邊形的面積為定值.
【答案】（1）；（2）證明見解析．
【分析】
（1）由題意有，即得橢圓方程；
（2）設，寫出直線方程，求出點坐標，求出四邊形的面積，利用點在橢圓上代入后可得定值．
【詳解】
（1）由題意，橢圓標準方程為；
（2）設，，，∴，
直線方程為，令得，即，
直線方程為，令得，即，
∴

為定值．
10．已知橢圓C：過點，點B為其上頂點，且直線AB斜率為.
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設P為第四象限內一點且在橢圓上，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求四邊形的面積.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）根據(jù)題中所給的條件，求得，從而得到橢圓的方程；
（Ⅱ）根據(jù)題意，設出點，根據(jù)點在橢圓上，得到，分別寫出直線的方程，求得M、N的坐標，表示出四邊形的面積，求得結果.
【詳解】
（Ⅰ）由題意: 設直線：，
令，則，于是，.
所以，
橢圓方程為.
（Ⅱ）設，且，
又，所以直線，
令，
則，
直線，令，
則，
所以四邊形的面積為


，
所以四邊形的面積為.
11．已知橢圓：的離心率為，點在橢圓上，為坐標原點.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點為橢圓上的三點，若四邊形為平行四邊形，證明：四邊形的面積為定值，并求該定值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
試題分析：（1）由橢圓離心率，可得 ，將 代入橢圓方程可得 ，則橢圓方程可求；
（2）分情況討論，當不存在時，方程為：或，可得 ．
當直線的斜率存在時，設直線方程為：，，．
將的方程代入得：，可求得

由得：，
將點坐標代入橢圓方程得：．又到直線的距離，，最后由
.
綜上，平行四邊形的面積為定值．
試題解析：
（1）由，得，
將代入橢圓的方程可得，所以，
故橢圓的方程為．
（2）當直線的斜率不存在時，方程為：或，
從而有，
所以．
當直線的斜率存在時，
設直線方程為：，，．
將的方程代入整理得：，
所以，，
，
由得：，
將點坐標代入橢圓方程得：．
點到直線的距離，
，
.
綜上，平行四邊形的面積為定值．
12．已知橢圓．離心率為，點與橢圓的左、右頂點可以構成等腰直角三角形．

（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與橢圓交于兩點，為坐標原點直線的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由．
【答案】（1）；（2）是定值，理由見解析.
【分析】
（1）由題意有，點與橢圓的左、右頂點可以構成等腰直角三角形有，即可寫出橢圓方程；（2）直線與橢圓交于兩點，聯(lián)立方程結合韋達定理即有，已知應用點線距離公式、三角形面積公式即可說明的面積是否為定值；
【詳解】
（1）橢圓離心率為，即，
∵點與橢圓的左、右頂點可以構成等腰直角三角形，
∴，
綜上有：，，故橢圓方程為，
（2）由直線與橢圓交于兩點，聯(lián)立方程：
，整理得，
設，則
，
，
，
，
原點到的距離，
為定值；
13．已知點在橢圓上，設，，分別為橢圓的左頂點?上頂點?下頂點，且點到直線的距離為.
（1）求橢圓的方程；
（2）設為坐標原點，，為橢圓上的兩點，且，求證：的面積為定值，并求出這個定值.
【答案】（1）；（2）證明見解析，.
【分析】
（1）先根據(jù)題意得，，，進而得直線的方程為：，再結合題意得，，聯(lián)立方程即可求得答案；
（2）設直線的方程為：，與橢圓聯(lián)立方程得，，，再結合已知條件得，進而得，最后求，原點到直線的距離為：，計算面積即可得答案.
【詳解】
解：根據(jù)題意得：，，，
所以直線的方程為：，
所以點到直線的距離為：，化簡整理得：.
又因為點在橢圓上，故.
聯(lián)立，解得：.
故橢圓的方程為：.
（2）設直線的方程為：，
與橢圓聯(lián)立方程 并化簡得：，
所以，
，，
所以，
因為，
所以，化簡整理得：，
所以，整理得：（滿足）
此時，
，
原點到直線的距離為：，
所以的面積為：.
14．已知橢圓的左焦點F在直線上，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于A、C兩點，線段的中點為M，射線與橢圓交于點P，點O為的重心，探求面積S是否為定值，若是，則求出這個值；若不是，則求S的取值范圍.
【答案】（1）；（2）是定值，.
【分析】
（1）根據(jù)題意，得到，由題中條件列出方程組求解，得出，，即可得出橢圓方程；
（2）若直線的斜率不存在，先求出此時的面積；若直線的斜率存在，設直線的方程為，設，，根據(jù)韋達定理，由題中條件，表示出點P的坐標，代入橢圓方程，得出，再得到坐標原點O到直線的距離為，根據(jù)三角形面積公式，化簡整理，即可得出結果.
【詳解】
（1）∵直線與x軸的交點為，∴，∴，
∴解得，，∴橢圓的方程為.
（2）若直線的斜率不存在，則在軸上，此時，因為點O為的重心，所以，將代入橢圓方程，可得，即，所以；
若直線的斜率存在，設直線的方程為，代入橢圓方程，
整理得
設，，
則，，.
由題意點O為的重心，設，則，，
所以，，
代入橢圓，得，
設坐標原點O到直線的距離為d，則
則的面積




.
綜上可得，面積S為定值.
15．已知①如圖，長為，寬為的矩形，以?為焦點的橢圓恰好過兩點

②設圓的圓心為，直線過點，且與軸不重合，直線交圓于兩點，過點作的平行線交于，
（1）在①②兩個條件中任選一個條件，求點的軌跡方程；
（2）根據(jù)（1）所得點的軌跡方程，直線與點M軌跡交于?兩點，且.求證：的面積為定值.
【答案】（1）答案見解析（2）1.
【分析】
（1）選擇①由題意得，代入求解即可；選擇②根據(jù),易得，進而得到，再利用橢圓的定義求解；
（2）聯(lián)立，結合韋達定理根據(jù) ，即，化簡得到，然后求得弦長和原點O到直線的距離d，由 求解.
【詳解】
（1）選擇①長為，寬為的矩形，以?為焦點，
則，即，
所以，又 ，
解得，
所以橢圓的方程為：；
選擇②如圖所示：
，
因為,
所以
所以，
所以，
所以點的軌跡是以T，S為焦點的橢圓，
所以，
所以橢圓的標準方程是.
（2）由，消去y得：，
設，
由韋達定理得：，
則，
，
因為，
所以，即，即，
所以，
，
，
，
原點O到直線的距離為：，
所以.













類型三:線段關系與距離為定值1-25題
1．在平面直角坐標系中，已知橢圓：的離心率為，且經(jīng)過點.
（1）求橢圓的方程；
（2）設為橢圓的右焦點，直線與橢圓相切于點（點在第一象限），過原點作直線的平行線與直線相交于點，問：線段的長是否為定值？若是，求出定值；若不是，說明理由.
【答案】（1）；（2）是定值， .
【分析】
（1）根據(jù)條件列出關于a,b,c方程組求解得到a，b的值，從而得到橢圓的標準方程；
（2）設出P的坐標，利用橢圓上某點處的切線方程公式求出切線方程，利用平行線的關系得出直線 l的方程，與直線的方程聯(lián)立，求得的坐標，利用兩點間距離公式求得關于的表達式，并利用P的坐標滿足橢圓方程，消元并化簡得到常數(shù)值.
【詳解】
解：（1）由題意知
橢圓的方程為．

（2）設直線的方程為
過原點且與平行的直線的方程為
橢圓的右焦點，由整理得到直線的方程為，
聯(lián)立
∴
為定值．
2．如圖，過拋物線的焦點F任作直線l，與拋物線交于A，B兩點，AB與x軸不垂直，且點A位于x軸上方.AB的垂直平分線與x軸交于D點.

（1）若求AB所在的直線方程；
（2）求證：為定值.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）由于直線斜率不為0，，所以設直線，設，由題意可得，然后直線方程和拋物線方程聯(lián)立，消去，再利用韋達定理結合可求出的值，從而可得AB所在的直線方程；
（2）設中點為，則由（1）可得，從而可得AB中垂線，求出點，進而可求出的長，再利用兩點間的距離公式可求出的長，從而可求得的值
【詳解】
解：（1）直線斜率不為0，，設直線，
設，
因為A點在x軸上方，所以
由，得


由代入
因，所以，解得
所以AB所在直線方程為
（2）設中點為

所以AB中垂線




(定值)
3．已知橢圓的離心率，為橢圓上一點.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知為橢圓的右焦點，過點的直線交橢圓(異于橢圓頂點)于、兩點，試判斷是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.
【答案】（1）；（2）是，.
【分析】
（1）根據(jù)離心率和為橢圓上一點，列式即可得解；
（2）依題意知直線的斜率不為，故可設直線的方程為聯(lián)立，消去整理得，設，，則，，結合條件表達，化簡即可得解.
【詳解】
(1)由已知,解得
所以橢圓的方程為
(2)由(1)可知
依題意可知直線的斜率不為，故可設直線的方程為
由，消去
整理得
設，
則，
不妨設，，，
同理
所以


即.
4．已知橢圓的左頂點為A，右焦點為F，過點A作斜率為的直線與C相交于A，B，且，O坐標原點.
（1）求橢圓的離心率e；
（2）若，過點F作與直線平行的直線l，l與橢圓C相交于P，Q兩點.
（?。┣蟮闹?；
（ⅱ）點M滿足，直線與橢圓的另一個交點為N，求的值.
【答案】（1）；（2）（?。唬áⅲ?
【分析】
（1）由幾何關系可得點坐標，代入橢圓方程即得，又即得；
（2）（?。⒅本€與橢圓聯(lián)立即得結果；
（ⅱ）將其坐標化，利用P，Q，N在橢圓上求得結果即可．
【詳解】
（1）已知，
則，代入橢圓C的方程：，
∴，∴，
∴．
（2）（ⅰ）由（1）可得，∴
設直線l：
∵，∴
聯(lián)立直線l與橢圓C的方程：
恒成立

∴
∴．
（ⅱ）設


∴

∵P，Q，N在橢圓上，∴

∴
由（?。┛芍?，
∴　∴．
5．已知圓和定點，平面上一動點滿足以線段為直徑的圓內切于圓，動點的軌跡記為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）直線與曲線交于不同兩點、，直線，分別交軸于，兩點．求證：．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）由兩圓內切的條件和橢圓的定義，可得所求軌跡方程；
（2）設，，，，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，運用韋達定理，計算，可判斷三角形的形狀，即可得到證明．
【詳解】
解：（1）設以線段為直徑的圓的圓心為，?。?br /> 依題意，圓內切于圓，設切點為，則，，三點共線，
因為為的中點，為中點，
所以
所以，
所以動點的軌跡是以，為焦點，長軸長為4的橢圓，
設其方程為，
則，，
所以，，
所以，
所以動點的軌跡方程為;
（2）設，，（且）．
由，
得，
依題意，
即，
則，
因為
，
所以直線的傾斜角與直線的傾斜角互補，即．
因為，所以．
6．已知橢圓C：的離心率為，過焦點且與x軸垂直的直線被橢圓C截得的線段長為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點，，過點A的任意一條直線與橢圓C交于M，N兩點，求證：．
【答案】（1）；（2）證明見解析
【分析】
（1）由題意得，可求出，即可得到橢圓的方程；
（2）過，分別作軸的垂線段，，易得，要證明，只需證明，即證，只需證明，設出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，結合韋達定理，表示出直線、直線的斜率，進而可證明.
【詳解】
（1）橢圓中，令，得，
因為過焦點且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為，所以，
根據(jù)離心率為，得，
由，解得，，所以橢圓的方程為．
（2）證明：要證明，只需證明，
過，分別作軸的垂線段，，易得：，所以只需證明，
所以只需證明，只需證明．

當直線的斜率不存在時，易得．
當直線的斜率存在時，不妨設斜率為，則直線的方程為，
聯(lián)立消去y，得，
設，，則，，
直線的斜率，直線的斜率，
.
綜上所述，．
7．已知橢圓E：的一個焦點與短軸的兩個端點是正三角形的三個頂點，點在橢圓E上.
（1）求橢圓E的方程；
（2）設不過原點O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點A，B，線段AB的中點為M，直線OM與橢圓E交于C，D，證明：．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)a=2b，再將點代入橢圓方程，解方程組即可求解.
（2）設直線l的方程為，將直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理可得M點坐標為，從而求出直線OM方程，將直線與橢圓聯(lián)立，求出點，根據(jù)兩點間的距離公式即可求解.
【詳解】
（1）由已知，a=2b.又橢圓過點，
故，解得.
所以橢圓E的方程是.
（2）設直線l的方程為， ，
由方程組 得，①，
方程①的判別式為，由，
即，解得.
由①得.
所以M點坐標為，直線OM方程為，
由方程組，得.
所以.
又
.
所以.
8．已知橢圓的左、右焦點分別為F1、F2，直線y＝kx交橢圓于P，Q兩點，M是橢圓上不同于P，Q的任意一點，直線MP和直線MQ的斜率分別為k1，k2．
（1）證明：k1·k2為定值；
（2）過F2的直線l與橢圓交于A，B兩點，且，求|AB|．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）設P（m，n），M（x，y），則Q（-m，-n），則可表示出，進而可得的表達式，又根據(jù)點P，M在橢圓上，利用點差法，即可得證；
（2）設直線l的方程為x＝ty＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），聯(lián)立直線與橢圓可得關于y的一元二次方程，利用韋達定理，可得的表達式，根據(jù)，可得的關系，即可求出，代入弦長公式，即可求得結果.
【詳解】
（1）證明：設P（m，n），M（x，y），則Q（-m，-n），
則，，
則，
又，，
故，
所以為定值．
（2）設直線l的方程為x＝ty＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），
聯(lián)立消去x，得（3t2＋4）y2＋6ty-9＝0，
則有，．
又，所以-y1＝2y2，
故，解得，
所以．
9．已知點在拋物線：上，直線：與拋物線有兩個不同的交點.
（1）求的取值范圍；
（2）設直線與拋物線的交點分別為，，過點作與的準線平行的直線，分別與直線和交于點和（為坐標原點），求證：.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）由已知點坐標求得參數(shù)，由方程的解（判別式）確定直線與拋物線的位置關系；
（2）設，，顯然，，均不為0，由（1）中方程應用韋達定理得①，，要證，只要證.即可得．
【詳解】
解：（1）由拋物線：過點，得.
所以拋物線的方程為.
由得.
由題意，且，即，
因此的取值范圍是且．.
（2）設，，顯然，，均不為0.
由（1）可知①，②.
由題意可得，的橫坐標相等且同為，
因為點的坐標為，所以直線的方程為，點的坐標為.
直線的方程為，點的坐標為.
若要證明，只需證，即證，
即證.
將代入上式，即證，
即證③，
將①②代入③得，此等式顯然成立.
所以恒成立，故.
10．如圖所示，在平面直角坐標系中，已知點為橢圓的上頂點.橢圓以橢圓的長軸為短軸，且與橢圓有相同的離心率.

（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點作斜率分別為的兩條直線，直線與橢圓分別交于點，直線與橢圓分別交于點.
（i）當時，求點的縱坐標；
（ii）若兩點關于坐標原點對稱，求證：為定值.
【答案】（1）；（2）（i）點A的縱坐標：；（ii）證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)橢圓的性質列出方程組，即可得出橢圓的標準方程；
（2）（i）設出直線的方程，并分別與的方程聯(lián)立求出的橫坐標，由代入坐標得出，求出的值，再由直線的方程得出點的縱坐標；
（ii）設出直線的方程，求出的橫坐標，根據(jù)得出，最后由，，求出為定值.
【詳解】
（1）設橢圓的方程為
由題意可知，解得，
橢圓的標準方程為；
（2）(i)由得；
由得；
由知，，解得
故；
(ii)設直線的方程為，同理可得，由兩點關于坐標原點對稱知
，即，即；

由相似三角形的性質可知
同理，
所以.
11．已知橢圓與直線有且只有一個交點，點為橢圓上任意一點，，，且的最小值為.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設直線與橢圓交于不同兩點，，點為坐標原點，且，當?shù)拿娣e最大時，判斷是否為定值，若是求出其值并證明，若不是請說明理由.
【答案】（1）；（2）定值為，證明見解析
【分析】
（1）設點，根據(jù)題意，得到，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示，得到，根據(jù)其最小值，求出，即可得出橢圓方程；
（2）設，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達定理，由弦長公式，以及點到直線距離公式，求出的面積的最值，得到；得出點的軌跡為橢圓，即可得出為定值.
【詳解】
（1）設點，由題意知，，則
，
當時，取得最小值，即，
，
故橢圓的標準方程為；
（2）設，，，
由，得，
，，
則點到直線的距離，
，
取得最大值，當且僅當即，①
此時，，
即，代入①式整理得，
即點的軌跡為橢圓 ，
且點為橢圓的左、右焦點，即 ，
故為定值.
12．已知橢圓的兩個焦點分別為，，離心率為，過的直線與橢圓交于，兩點，且的周長為8．
（1）求橢圓的方程；
（2）若一條直線與橢圓分別交于，兩點，且，試問點到直線的距離是否為定值，證明你的結論．
【答案】（1）；（2）為定值，證明見解析．
【分析】
（1）由的周長為8，求得，再由橢圓離心率，解求得，即可求得橢圓的標準方程；
（2）當直線的斜率不存在時，求得點到直線的距離；當直線的斜率存在時，設直線的方程為，聯(lián)立方程組，利用根與系數(shù)的關系，求得，結合向量的數(shù)量積的運算，求得，進而得到點到直線的距離，即可得到結論.
【詳解】
（1）由題意，的周長為8，可得，解得，
由橢圓離心率，解得．
所以橢圓的方程．
（2）由題意，當直線的斜率不存在時，此時不妨設，．
又，兩點在橢圓上，∴，，
∴點到直線的距離．
當直線的斜率存在時，設直線的方程為．
設，，聯(lián)立方程，
消去得．
由已知，，，
由，則，即，
整理得：，
∴，整理得，滿足．
∴點到直線的距離為定值．
綜上可知，點到直線的距離為定值．
13．已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點.
（1）求橢圓的方程.
（2）設為橢圓上非頂點的任意一點，若?分別為橢圓的左頂點和上頂點，直線交軸于，直線交軸于，，問：的值是不是定值？若為定值，求之，若不為定值，說明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，定值為.
【分析】
（1）由離心率得，再代入點的坐標可得參數(shù)值，得橢圓方程；
（2）設，，用表示，然后計算，并代入可得結論．
【詳解】
解：（1）設橢圓方程為，．
，
設橢圓方程為，
又橢圓過點，所以，解得，
故橢圓方程為.
（2）設，，由??共線可知，
由??共線可知.
，.
∴，
由于，
∴.
14．在圓上任取一點，過點作軸的垂線段，為垂足，當在圓上運動時，線段上有一點，使得，
（1）求的軌跡的方程；
（2）若直線與橢圓相交于，兩點，且以為直徑的圓經(jīng)過原點，求證：點到直線的距離為定值.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）先設，，根據(jù)題意，得到，，進而可求出結果；
（2）先設直線的方程為，，，根據(jù)題意得到，推出，聯(lián)立直線與橢圓方程，由韋達定理，以及題中條件，得出，再由點到直線距離公式，即可得出結果.
【詳解】
（1）設，，由題意可得，，，
則，代入，整理得；
即所求的軌跡的方程為；
（2）設直線的方程為，，，
因為以為直徑的圓經(jīng)過原點，所以，則，
即，即；
聯(lián)立消去得，整理得，
則，，即，
所以，整理得，則，
滿足，
又點到直線的距離為為定值.
15．在平面直角坐標系xOy中，已知R（x0，y0）是橢圓C：（a＞b＞0）上一點，從原點O向圓R：（x﹣x0）2+（y﹣y0）2＝8作兩條切線，分別交P、Q兩點．

（1）若R點在第一象限，且直線OP⊥OQ，求圓R的方程；
（2）若直線OP、OQ的斜率存在，并記為k1、k2，求k1?k2；
（3）試問OP2+OQ2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．
【答案】（1）（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8；（2）；（3）是定值，理由見解析.
【分析】
（1）根據(jù)直線OP，OQ互相垂直，且和圓R相切，得到|OR|＝r＝4，即x02+y02＝16，再根據(jù)點R在橢圓C上，即求解.
（2）根據(jù)直線OP：y＝k1x和OQ：y＝k2x都與圓R相切，得到，兩邊平方可得k1，k2為（x02﹣8）k2﹣2x0y0k+（y02﹣8）＝0的兩根求解.
（3）當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，設P（x1，y1），Q（x2，y2），由（2）知2k1k2+1＝0，即y12y22＝x12x22，再根據(jù)P（x1，y1），Q（x2，y2）在橢圓C上，得到x12+x22進而得到y(tǒng)12+y22由兩點間距離公式求解.
【詳解】
（1）由圓R的方程知圓R的半徑r＝2，
因為直線OP，OQ互相垂直，且和圓R相切，
所以|OR|＝r＝4，即x02+y02＝16①
又點R在橢圓C上，所以②
聯(lián)立①②，解得x0＝y(tǒng)0＝2，
所以，所求圓R的方程為（x﹣2）2+（y﹣2）2＝8；
（2）因為直線OP：y＝k1x和OQ：y＝k2x都與圓R相切，
所以 ，
兩邊平方可得k1，k2為（x02﹣8）k2﹣2x0y0k+（y02﹣8）＝0的兩根，
可得k1?k2＝，
因為點R（x0，y0）在橢圓C上，
所以，即y02＝12﹣x02，
所以k1k2＝＝﹣；
（3）①當直線OP，OQ不落在坐標軸上時，
設P（x1，y1），Q（x2，y2），
由（2）知2k1k2+1＝0，
所以+1＝0，故y12y22＝x12x22，
因為P（x1，y1），Q（x2，y2）在橢圓C上，
所以，，
即y12＝12﹣x12，y22＝12﹣x22，
所以（12﹣x12）（12﹣x22）＝x12x22，
整理得x12+x22＝24，
所以y12+y22＝（12﹣x12）+（12﹣x22）＝12，
所以OP2+OQ2＝x12+y12+x22+y22＝（x12+x22）+（y12+y22）＝36．
②當直線OP，OQ落在坐標軸上時，顯然有OP2+OQ2＝36．
綜上可得，OP2+OQ2為定值36．
16．已知雙曲線的方程為：，其左右頂點分別為：，，一條垂直于軸的直線交雙曲線于，兩點，直線與直線相交于點.
（1）求點的軌跡的方程；
（2）過點的直線，與軌跡交于，兩點，線段的垂直平分線交軸于點，試探討是否為定值.若為定值，求出定值，否則說明理由.
【答案】（1）；（2）為定值，.
【分析】
（1）設直線為：，，，以及，利用三點共線得到，，兩式相乘化簡得，再利用點在雙曲線上代入整理即可得到答案；（2）顯然直線不垂直軸，①當時，易證，②當時，利用點斜式設出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程消，得到關于的一元二次方程，利用韋達定理以及弦長公式求出，求出的中點坐標，利用點斜式求出線段的垂直平分線的方程，求出點的坐標，利用兩點間的距離公式求解，即可得出答案.
【詳解】
（1）由題意知：，，
設直線為：，，，以及，
由三點以及三點共線，則
，，
兩式相乘化簡得：，
又，
代入上式得軌跡的方程：.
（2）顯然直線不垂直軸，
①當時，直線的方程為：，
線段為橢圓的長軸，線段的垂直平分線交軸于點，
則，,,
所以；
②當時，設方程為：，
聯(lián)立方程得，
化簡整理得：，
設，，
，
，
線段的中點的坐標為，
線段的垂直平分線的方程為：，
令，則，
，
∴.
綜上：.
17．已知動點(其中)到定點的距離比點到軸的距離大1.
（1）求點的軌跡的方程；
（2）過橢圓的右頂點作直線交曲線于?兩點，其中為坐標原點
①求證：；
②設?分別與橢圓相交于點?，證明：原點到直線的距離為定值.
【答案】（1）；（2）①證明見解析；②證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)題意有，化簡可得答案.
（2）直線的方程為,與拋物線方程聯(lián)立，
①由，將韋達定理代入可證明.
②由①可得，設?，直線的方程為，則，由方程聯(lián)立，韋達定理可得，再由點到直線的距離公式可證明.
【詳解】
（1）設由題意，
兩邊平方，整理得：
所以所求點的軌跡方程為.
（2）①設過橢圓的右頂點的直線的方程為.
代入拋物線方程，得.
設?，則
∴.
∴.
②設?，直線的方程為，
代入，得.
于是，.
從而
∵，∴.
代入，整理得.
∴原點到直線的距離為定值.
18．已知橢圓的左，右焦點分別是，，離心率為，直線被橢圓截得的線段長為.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點且斜率為的直線交橢圓于，兩點，交軸于點，點關于軸的對稱點為，直線交軸于點.求證：為坐標原點）為常數(shù).
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）利用已知條件，解得，.然后推出橢圓方程.
（2）直線的方程為，則的坐標為.設，，，，則，，直線的方程為，求出坐標，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理，轉化求解即可.
【詳解】
（1）設橢圓的焦距為，則，
由直線被橢圓截得的線段長為可知，點在橢圓上，
從而.結合，可解得，.
故橢圓的方程為.
（2）證明：依題意，直線的方程為，則的坐標為.
設，，，，則，，
直線的方程為，
令，得點的橫坐標為.①
又由，得，
，
得，
代入①得，
得，所以為常數(shù)4.
19．已知橢圓的長軸長為4，上頂點為，左、右焦點分別為，，且，為坐標原點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設點，為橢圓上的兩個動點，，問：點到直線的距離是否為定值？若是，求出的值；若不是．請說明理由．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）點到直線的距離是，是定值．
【分析】
（Ⅰ）由題可得，再根據(jù)可在中求出，即得橢圓方程；
（Ⅱ）分直線的斜率不存在和直線的斜率存在兩種情況進行討論，可設直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程即可證得定值.
【詳解】
（Ⅰ）設橢圓的半焦距為．
由已知可得，解得．
因為，
易得在中，，，，
．
所以，解得．
所以橢圓的方程為．
（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，軸．
由可得．
結合橢圓的對稱性，可設，，則．
將點代入橢圓的方程，得，
解得，所以．
當直線的斜率存在時，設直線的方程為，
此時點到直線的距離，即．
設，，
由，可得，
則，得．
所以，．
所以


．
又因為，所以，
即，解得．
所以，得．
綜上所述，點到直線的距離是，是定值．
20．已知、是橢圓的左、右焦點，離心率為，點在橢圓上，且的周長為．
（1）求橢圓的方程：
（2）若點為橢圓的上頂點，過點且與軸不垂直的直線與橢圓交于兩個不同的點、，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求證：為定值．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)已知條件求得、、的值，進而可得出橢圓的標準方程；
（2）設直線的方程為，設點、、、，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，列出韋達定理，求出點、的坐標，結合韋達定理可計算出的值，進而得解.
【詳解】
（1）由題意可得，解得，，，
因此，橢圓的方程為；
（2）如下圖所示：

設直線的方程為，設點、、、，
聯(lián)立，消去并整理得，
，可得.
由韋達定理可得，，
易知點，直線的斜率為，直線方程為，
由于直線交軸于點，可得，解得，同理可得，
，
因此，.
21．已知橢圓C：的的離心率為，且其右頂點到右焦點的距離為1.
（1）求C的方程；
（2）點M、N在C上，且，證明：存在定點P，使得P到直線的距離為定值.
【答案】（1），（2）證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)已知列出方程組，解方程即可求得結果；
（2）若直線與x軸垂直，求得的坐標，若直線不與x軸垂直，設直線的方程為與橢圓方程聯(lián)立，由可得，利用韋達定理化簡可得，則有，即可證得存在點符合條件.
【詳解】
（1）由題意得，解得，，所以橢圓C的方程為；
（2）①若直線與x軸垂直，由對稱性可知，
將點代入橢圓方程中，解得；
②若直線不與x軸垂直，設直線的方程為，
，，由，消去y整理得，

所以，，
又，則，
即，
所以，
整理得，
即，故存在定點.
綜上所述，存在定點，使得P到直線的距離為定值.
22．已知點P是圓上任意一點，定點，線段的垂直平分線l與半徑相交于M點，P在圓周上運動時，設點M的運動軌跡為.
（1）求點M的軌跡的方程；
（2）若點N在雙曲線(頂點除外)上運動，過點N，R的直線與曲線相交于，過點的直線與曲線相交于，試探究是否為定值，若為定值請求出這個定值，若不為定值，請說明理由.
【答案】（1）；（2）存在，定值為：.
【分析】
（1）根據(jù)橢圓定義即可求出結果；（2）設得直線的斜率乘積，利用點斜式方程設出直線NR，NQ的方程，與（1）的方程聯(lián)立，寫出根與系數(shù)的關系，利用弦長公式求出|AB|，|CD|的長度，然后求和，通過計算可得出結果．
【詳解】
（1）依題意：，
且，
由橢圓定義知點M的軌跡為以R，Q為焦點，長軸長為，焦距為4的橢圓，
即：，
故.
（2）設，則，
∴直線的斜率都存在，分別設為，
則，
將直線的方程代入得，
設，則，
∴，
同理可得，

23．設橢圓的左?右焦點分別為，下頂點為為坐標原點，點到直線的距離為為等腰三角形.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若傾斜角為的直線經(jīng)過橢圓的右焦點，且與橢圓交于兩點(點在點的上方)求線段與的長度之比.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）設出直線的方程，表示出點到直線的距離，結合，，即可求出、、的值，從而得出橢圓的標準方程；
（2）由題意知過右焦點的直線為，與橢圓方程聯(lián)立，可以解出兩點坐標，即可求解.
【詳解】
（1）由題意知，、、，
所以直線的方程為，
即，
則，
因為為等腰三角形，所以，
又，
所以橢圓的方程為；
（2）由題意知過右焦點的傾斜角為的直線為，
、
聯(lián)立或，
所以
24．已知橢圓E：過點，離心率為．
（1）求橢圓方程；
（2）已知不過原點的直線與橢圓相交于兩點，點關于軸的對稱點為，直線分別與軸相交于點，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)題意得，再離心率即可解得答案；
（2）設，則，將直線與橢圓方程聯(lián)立得，故，，進而得，，故
【詳解】
解：（1）因為橢圓過點，所以；
又，所以.
即橢圓方程為.
（2）法一：設，則
由，得，
所以，
在直線中，令，則，即，
直線，令，
則，即，
所以，
即
（2）法二：設，
則，
由A，B，P三點共線，則有，即
所以；
由B，M，Q三點共線，則有，即
所以
所以
因為A，B在橢圓E上，
所以，所以，同理，
代入（1）中，得
即
25．已知橢圓M：，圓N是橢圓M長軸和短軸四個端點連接而成的四邊形的內切圓.
（1）求圓N的方程；
（2）過圓N上的任一點A作圓N的切線交橢圓M于B，C兩點，求證為定值.
【答案】（1）；（2）證明見詳解.
【分析】
（1）根據(jù)橢圓的方程得到右頂點和上頂點所在的直線方程，利用直線與圓心在原點的圓相切求解出圓的半徑，從而求解出圓的方程；
（2）先根據(jù)條件分析出的位置關系，根據(jù)的位置關系結合三角形中線段長度關系證明為定值.
【詳解】
（1）取橢圓的上頂點，右頂點，所以，
又因為與圓相切且圓心在坐標原點，所以圓的半徑為，
所以圓的方程為：；
（2）當?shù)男甭蚀嬖跁r，設，，
因為與圓相切，所以，所以，
又，所以，
所以，所以，
所以，所以，
又因為，所以可得∽，所以，所以，所以為定值；
當?shù)男甭什淮嬖跁r，此時，所以的坐標為或，
所以，
綜上可知：為定值.









類型四:向量關系為定值1-10題
1．設拋物線，為的焦點，過的直線與交于兩點.
（1）設的斜率為，求的值；
（2）求證：為定值.
【答案】（1）5；（2）證明見解析.
【分析】
（1）求出直線方程為，聯(lián)立直線與拋物線，由即可求解；
（2）設直線方程為，由韋達定理表示出，即可得出定值.
【詳解】
（1）依題意得，
所以直線的方程為.
設直線與拋物線的交點為，，
由得，，
所以，.
所以.
（2）證明：設直線的方程為，
直線與拋物線的交點為，，
由得，，
所以，.
因為
.
所以為定值.
2．如圖，過點的直線與拋物線交于兩點.

（1）若，求直線的方程;
（2）記拋物線的準線為，設直線分別交于點，求的值.
【答案】（1）；（2）-3.
【分析】
(1) 設直線的方程為，,方程聯(lián)立得到，由直線方程求出，由條件可得，從而求出答案.
(2) 由直線分別交于點，則,可得，同理可得，由，結合（1）中的可得答案.
【詳解】
(1) 設直線的方程為，
由 ，得
所以
則
由拋物線的性質可得
解得，所以直線的方程為：
（2）由題意可得直線：，設
由（1）可得，
由直線分別交于點，則,
即，所以
由直線分別交于點，則,
即，所以

3．已知橢圓方程為，直線與軸的交點記為，過右焦點的直線與橢圓交于，兩點.

（1）設若且交直線于，線段中點為，求證：，，三點共線；
（2）設點的坐標為，直線與直線交于點，試問是否為定值，若是，求出這個定值，若不是，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）是；為定值0.
【分析】
（1）由題意設的方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和與兩根之積，進而求出的中點坐標，代入直線中，符合，則可得在直線上；
（2）分直線的斜率存在與不存在兩種情況討論，設直線與橢圓聯(lián)立，求出兩根之和與兩根之積，設直線求出交點，再求數(shù)量積得為定值0
【詳解】
（1）由橢圓方程為知，右焦點坐標，
橢圓的右準線方程為，點坐標.
由知，直線的斜率不為0，故設直線的方程為，
從而，直線的方程為，令得，點坐標為，
故直線的方程為.
聯(lián)立方程組，消去得：，
設，
即，，
從而，線段的中點，.
又線段的中點的坐標滿足直線方程，
所以點在直線上，綜上可知，，，三點共線；
（2）當直線的斜率為0時，點即為點，從而，故.
直線的斜率不為0時，由（1）知，，，
所以，則，
直線的方程為，又，
令，得，
所以點的坐標為，即，所以.
綜上可知，為定值0.

4．已知橢圓的右焦點為，離心率，點A、B分別是橢圓E的上、下頂點，O為坐標原點.
（1）求橢圓E的方程；
（2）過F作直線l分別與橢圓E交于C、D兩點，與y軸交于點P，直線AC和BD交于點Q，求的值.
【答案】（1）；（2）1.
【分析】
（1）先求出，，再求橢圓的方程；
（2）先聯(lián)立方程得到，再得到和，最后判斷出 ，即為定值1.
【詳解】
（1），，
，橢圓.
（2）易知l的斜率存在且不為0，
設，，，
由，
，設點，，
則，
由A、Q、C三點共線，，
由B、Q、D三點共線，，
上面兩式相除得：，


，
結合圖形易知與同號，
，
，即為定值1.
5．已知雙曲線，點的坐標為，過的直線交雙曲線于點.
（1）若直線又過的左焦點，求的值；
（2）若點的坐標為，求證：為定值.
【答案】
（1）；
（2）證明見解析.
【分析】
（1）求出左焦點的坐標，設，，求出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，可得，，由兩點間距離公式計算即可求解；
（2）設直線，與雙曲線方程聯(lián)立可得，，利用向量的坐標表示，整理即可求證.
（1）
由雙曲線可得，，所以，
所以，設，，
，所以直線的方程為，
由聯(lián)立得：，
所以，

.
（2）
由題意知直線的斜率存在，不妨設直線，
由可得：，
所以，，，，


.
所以為定值.
6．已知橢圓，離心率為，短軸長為．為橢圓的左右頂點，P為橢圓上任一點（不同于），直線分別與直線交于兩點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若F為橢圓右焦點，試判斷是否為定值，若為定值，求出該值；若不為定值，請說明理由．
【答案】（1）；（2）是，定值為0.
【分析】
（1）結合，，即得解；
（2）分別設直線，，表示兩點，可得，再用表示，結合橢圓方程，即得證
【詳解】
（1）， ，

橢圓方程為：
（2）由（1）可得：，設，
設，聯(lián)立方程解得：，
同理：設，聯(lián)立方程可得：，
，
，
，
，
在橢圓上，所以 ，
，
，
所以為定值.
7．已知拋物線的焦點為，且點與圓上點的距離的最大值為.
（1）求；
（2）若為坐標原點，直線與相交于，兩點，問：是否為定值？若為定值，求出該定值;若不為定值，試說明理由
【答案】（1）2；（2）的值為定值.
【分析】
（1）根據(jù)圓上的點與定點之間距離的最大值等于圓心與定點的距離加半徑得到等量關系，從而解方程即可求出結果；
（2）聯(lián)立直線的方程與拋物線，結合韋達定理化簡整理即可求出結果.
【詳解】
解：（1）由題得，圓的圓心，
拋物線的焦點為，，
所以與圓上點的距離的最大值為，
解得.
（2）設，，
由得，
所以，且，，
，，
所以.
所以的值為定值.
8．設雙曲線C：，其右焦點為F，過F的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點.
（1）求直線l傾斜角θ的取值范圍；
（2）直線l交直線于點P，且點A在點P，F(xiàn)之間，試判斷是否為定值，并證明你的結論.
【答案】（1）；（2）是定值，證明見解析.
【分析】
(1)由已知可得直線l斜率不為0，設其方程為，聯(lián)立方程組化簡，由直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點，可得方程有兩個不同的解，設，則，，列方程求m的范圍，由此可求傾斜角的取值范圍，
(2)求點P的坐標，利用(1)的結論化簡可證為定值.
【詳解】
解：（1）由雙曲線得，
則右焦點，顯然直線的斜率不為0，
設直線的方程為，
由得
因為直線與雙曲線的右支交于兩點，
設，

則
解得，
當時，直線傾斜角，
當時，直線的斜率或，
綜上，直線傾斜角的取值范圍為.
（2）由得
不妨假設，
則
，
又，
代入上式，得

所以為定值1.
9．已知橢圓E：（）的焦點為，，且點在E上．
（1）求E的方程；
（2）已知過定點的動直線l交E于A，B兩點，線段的中點為N，若為定值，試求m的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由橢圓的定義可得，再由，結合即可求解.
（2）討論直線l的斜率是否存在，當直線l的斜率存在，設其方程為，將直線與橢圓聯(lián)立，，利用韋達定理即可求解.
【詳解】
解：（1）由題意可知，∴，而，
∴，∴橢圓E的方程為．
（2）①若直線l的斜率不存在，易得，
②若直線l的斜率存在，設其方程為，，，
則，聯(lián)立得
，
且，，





要使上式為常數(shù)，必須且只需，即，
此時易知恒成立，且，符合題意．
綜上所述，．
10．已知橢圓：（）上的點到的兩焦點的距離之和為6，的離心率為．
（1）求的標準方程；
（2）設坐標原點為，點在上，點滿足，且直線，的斜率之積為，證明：為定值．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）利用橢圓的定義與橢圓的離心率，即可得，，由可求出的值，從而得的標準方程．（2）法一：當直線的斜率不存在時，求出的值；當直線的斜率存在時，設出直線的方程，利用直線與橢圓的位置關系、根與系數(shù)的關系及向量的線性運算求出的值，從而得到結論．法二： 設出，的坐標，利用，的斜率之積為，得，兩點的橫坐標和縱坐標之間的關系式，將，的坐標代入的方程，分別求出，兩點的橫坐標和縱坐標之間的關系式，由向量的線性運算和數(shù)量積可證出為定值．
【詳解】
解：（1）因為橢圓：（）上的點到的兩焦點的距離之和為6，所以，解得，
又的離心率為，所以，，
又，所以，所以的標準方程為；
（2）法一：設，當直線的斜率不存在時，，
因為直線，的斜率之積為，所以，即，
又，在橢圓上，所以，．
因為，所以

；
當直線的斜率存在時，設直線的方程為（），
聯(lián)立方程得消去，得，
，
設，則，．
因為直線，的斜率之積為，
所以，
即，得，滿足．
因為，
所以


．
綜上，為定值．
法二：設，，因為直線，的斜率之積為，
所以，即．
因為M，在橢圓：上，
所以，，
可得 ①，
②，
由①②得，所以，即．
由①②得，得．
因為，
所以



，因此為定值．





類型五:角度關系為定值1-10題
1．已知橢圓中心為原點，離心率，焦點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過定點且斜率為的直線與橢圓交于，兩點，在軸上是否存在點，使得當變動時，總有？說明理由.
【答案】（1）；（2）存在；答案見解析.
【分析】
（1）根據(jù)焦點坐標及離心率可確定，，然后解出便可得出橢圓的方程；
（2）假設存在點，使得當變動時，總有，則可知直線與的傾斜角互補，斜率互為相反數(shù)．設直線為，，，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，得到與，然后表示出，使恒成立求解的值.
【詳解】
解：（1），，∴，
所以橢圓的標準方程：.
（2）假設存在這樣的點，且設，
直線，聯(lián)立得，.
設，，則，.
若成立，則直線與的傾斜角互補，斜率互為相反數(shù)，
，即.
即，整理得：，
所以，則，即.
若與無關，
則.
故在軸上存在點，使得當變動時，總有.
2．已知橢圓的中心為原點，離心率，焦點，斜率為的直線與交于兩點．
（1）若線段的中點為為上一點，且成等差數(shù)列，求點的坐標；
（2）若過點軸上是否存在點，使得當變動時，總有？說明理由．
【答案】（1）；（2）存在這樣的點Q滿足題意，且坐標為，理由見解析．
【分析】
（1）根據(jù)幾何性質求出橢圓的標準方程，設，利用分別表示，根據(jù)以及成等差數(shù)列可求得結果.
（2）假設存在這樣的點，且設，又，聯(lián)立直線與橢圓，得到，，將轉化為，根據(jù)斜率公式以及，化簡變形可得，從而可得結果.
【詳解】
（1）依題意設橢圓的標準方程為，又，，
所以，，所以，
設，則
，
因為，所以，
同理，
所以，
又成等差數(shù)列，故，
.
（2）假設存在這樣的點，且設，又，
聯(lián)立消去并整理得，
所以，即，
，
因為，所以與傾斜角互補，
所以，
，
，
，
，
對任意實數(shù)恒成立，所以，故存在這樣的點，且．
3．已知雙曲線的方程.
（1）求點到雙曲線C上點的距離的最小值；
（2）已知圓的切線(直線的斜率存在)與雙曲線C交于A，B兩點，那么∠AOB是否為定值?如果是，求出定值；如果不是，請說明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，.
【分析】
（1）設雙曲線上任意一點為，則，利用兩點間的距離公式求出，利用二次函數(shù)求最值即可；（2）設直線的方程為：，利用直線與圓相切可得到，設，直線與雙曲線的方程聯(lián)立消，利用韋達定理得到
，再求出，最后利用得出結論即可.
【詳解】
（1）設雙曲線上任意一點為，
則，

，
當時，等號成立，
即點到雙曲線C上點的距離的最小值為；
（2）設直線的方程為：，
因為直線與圓相切，
所以圓的圓心到直線的距離等于圓的半徑，
即，①
設，
由消得，
，
由題意知：，
，
由韋達定理得，
由①得：，
則，
因為，
所以為定值.
4．已知橢圓的離心率為，右焦點為F，以原點O為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，過定點的直線l交橢圓C于A，B兩點，連接并延長交C于M，求證：.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）設圓O的方程為，根據(jù)圓O與直線相切，求得，再根據(jù)和，求得，即可得到橢圓C的方程；
（2）設直線，聯(lián)立方程組，求得，根據(jù)斜率公式，化簡，得到，代入即可求解.
【詳解】
（1）由題意，以原點O為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓，
可得圓O的方程為，
因為圓O與直線相切，所以，
由及，解得，
所以橢圓C的方程為.
（2）由題意可知直線l的斜率必存在，設直線，
聯(lián)立方程組，消去y得，
有，整理得，
設，，則，，
有
其中
所以，所以.
5．設橢圓的離心率為，圓與軸正半軸交于點，圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設圓上任意一點處的切線交橢圓于點、，求證：為定值．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）由離心率為，得，再根據(jù)圓在點處的切線被橢圓截得的弦長為，得到點在橢圓上，解方程組即得橢圓的標準方程．
（2）先證明當過點與圓相切的切線斜率不存在時，，再證明當過點與圓相切的切線斜率存在時，，即得證．
【詳解】
解：（1）設橢圓的半焦距為，由橢圓的離心率為，
由題知，，
橢圓的方程為，
解得，點在橢圓上，
，解得，，
橢圓的方程為．
證明：（2）當過點與圓相切的切線斜率不存在時，不妨設切線的方程為，
由（1）知，，，
，，
，，
當過點與圓相切的切線斜率存在時，可設切線的方程為，，，，，
，即，
聯(lián)立直線和橢圓的方程得，
，
得△，
且，，
，，，，




，
，
綜上所述，圓上任意一點、、處的切線交橢圓于點，都有．
6．已知橢圓的離心率為，右焦點為，點，且.
（1）求橢圓的方程；
（2）過點的直線(不與軸重合)交橢圓于點?，直線?分別與直線交于點?，求的大小.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由題可知且，即可由此求出，寫出橢圓方程；
（2）設直線的方程為，設點?，聯(lián)立直線與橢圓，結合韋達定理表示出，可以求出，從而求出角的大小.
【詳解】
（1）由題意得，解得，，從而，
所以橢圓的方程為；

（2）設直線的方程為，設點?，
聯(lián)立，消去得，則恒成立，
由韋達定理得，，
設點，，，
由得，可得，即點，
同理可得點，，，
，
因此，.
7．如圖，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的離心率為，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，A為橢圓C上一點，AF1與y軸相交于點B，|AB|＝|F2B|，|OB|＝.

（1）求橢圓C的標準方程；
（2）設橢圓C的左、右頂點分別為A1，A2，過A1，A2分別作x 軸的垂線l1，l2，橢圓C的一條切線l：y＝kx＋m(k≠0)與l1，l2分別交于M，N兩點，求證：∠MF1N＝∠MF2N.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）連接AF2，由題意得|AB|＝|F2B|＝|F1B|，所以BO為△F1AF2的中位線，結合離心率可得a2＝9，b2＝8，即可得答案；
（2）由題可知，l1的方程為x＝－3，l2的方程為x＝3，直線l的方程分別與直線l1，l2的方程聯(lián)立得M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，利用向量證明∠MF1N＝，∠MF2N＝，即可得答案；
【詳解】
解：（1）連接AF2，由題意得|AB|＝|F2B|＝|F1B|，所以BO為△F1AF2的中位線．

又因為BO⊥F1F2，所以AF2⊥F1F2，且|AF2|＝2|BO|＝.
又離心率e＝，a2＝b2＋c2，得a2＝9，b2＝8，
故所求橢圓C的標準方程為.
（2）證明：由題可知，l1的方程為x＝－3，l2的方程為x＝3.
直線l的方程分別與直線l1，l2的方程聯(lián)立得M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，
所以＝(－2，－3k＋m)， ＝(4,3k＋m)，所以·＝－8＋m2－9k2.
聯(lián)立得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0.
因為直線l與橢圓C相切，所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0，
化簡得m2＝9k2＋8.
所以·＝－8＋9k2＋8－9k2＝0，所以⊥，故∠MF1N＝.
同理＝(－4，－3k＋m)， ＝(2,3k＋m)，
所以⊥，∠MF2N＝.故∠MF1N＝∠MF2N.
8．已知動圓Q經(jīng)過定點，且與定直線相切（其中a為常數(shù)，且）.記動圓圓心Q的軌跡為曲線C.
（1）求C的方程，并說明C是什么曲線？
（2）設點P的坐標為，過點P作曲線C的切線，切點為A，若過點P的直線m與曲線C交于M，N兩點，證明：.
【答案】（1），它是以F為焦點，以直線為準線的拋物線；（2）證明見解析.
【分析】
（1）設，由題意得，化簡即得解；
（2）不妨設，先證明軸，再利用韋達定理證明即得解.
【詳解】
（1）設，由題意得，化簡得，
所以動圓圓心Q的軌跡方程為，
它是以F為焦點，以直線為準線的拋物線.
（2）不妨設.
因為，所以，
從而直線的斜率為，解得，即，
又，所以軸.
要使，只需.
設直線m的方程為，代入并整理，
得.
所以，解得或.
設，，
則，.


.
故存在直線m，使得，
此時直線m的斜率的取值范圍為.
9．已知拋物線的焦點為．點在上， ．
（1）求;
（2）過作兩條互相垂直的直線，與交于兩點，與直線交于點，判斷是否為定值?若是，求出其值；若不是，說明理由．
【答案】(1) ；（2）是定值，.
【分析】
（1）由題知 ①，由焦半徑公式得 ②，兩式聯(lián)立即可求得答案；
（2）先討論當直線與軸平行時得，再討論當直線與軸不平行且斜率存在時，證明，再設方程，聯(lián)立方程，利用向量方法求即可.
【詳解】
解：（1）因為點在上，所以 ①，
因為，所以由焦半徑公式得 ②，
由①②解得
所以.
（2）由（1）知拋物線的方程為，焦點坐標為，
當直線與軸平行時，此時的方程為，的方程為，，此時為等腰直角三角形且，故.
當直線與軸不平行且斜率存在時，若為定值，則定值比為，下面證明.
要證明，只需證明，
只需證，即，
設直線的斜率為，則直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立方程得，設，
則，所以，，
聯(lián)立方程得，
所以，
所以，
所以，即，
所以.
綜上，為定值，.
10．在平面直角坐標系xOy中，已知點E(0，2)，以OE為直徑的圓與拋物線C∶x2=2py(p>0)交于點M，N(異于原點O)，MN恰為該圓的直徑，過點E作直線交拋物線與A，B兩點，過A，B兩點分別做拋物線C的切線交于點P.
（1）求證∶點P的縱坐標為定值；
（2）若F是拋物線C的焦點，證明∶∠PFA=∠PFB.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】
（1）由題意易得拋物線方程x2=y，設A，B，根據(jù)兩點寫出直線方程得，由于直線過E點，所以，再根據(jù)直線PA，PB直線方程解得點P坐標，進而得證.
（2）轉化為證明向量分別與向量的夾角相等,應用向量夾角余弦公式，即可證明結論.
【詳解】
（1）以OC為直徑的圓為x2+(y-1)2=1.
由題意可知該圓與拋物線交于一條直徑，
由對稱性可知交點坐標為(1，1)，(-1，1)
代入拋物線方程可得2p=1.
所以拋物線的方程為x2=y.
設A，B，
所以
所以直線AB的方程為，
即
因為直線AB過點C(0，2)，
所以，所以①.
因為，所以直線PA的斜率為，直線PB的斜率為
直線PA的方程為，
即，
同理直線PB的方程為
聯(lián)立兩直線方程，可得P
由①可知點P的縱坐標為定值-2.
（2），，
注意到兩角都在內，
可知要證， 即證，
，，
所以，
又，所以，
同理式得證.

















類型六:坐標關系為定值1-10題
1．已知P為圓：上一動點，點坐標為，線段的垂直平分線交直線于點Q.
（1）求點Q的軌跡方程；
（2）已知，過點作與軸不重合的直線交軌跡于兩點，直線分別與軸交于兩點.試探究的橫坐標的乘積是否為定值，并說明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，理由見解析.
【分析】
（1）由中垂線可知，所以Q點的軌跡為橢圓；
（2）設兩點的坐標，利用直線方程用兩點坐標表示的橫坐標；再把直線代入橢圓方程消元，韋達定理，整理的橫坐標的乘積可得結論.
【詳解】
由已知線段的垂直平分線交直線于點Q.得，,
又P為圓：上一動點，
所以，
點的軌跡為以為焦點，長軸為4的橢圓
橢圓方程：
設，則直線方程: ，
令，得，同理可得
由題設直線：，代入方程整理得
，且
，，


故（定值）
2．設橢圓，橢圓的右焦點恰好是拋物線的焦點．橢圓的離心率為．
（1）求橢圓E的標準方程；
（2）設橢圓E的左、右頂點分別為A，B，過定點的直線與橢圓E交于C，D兩點（與點A，B不重合），證明：直線AC，BD的交點的橫坐標為定值．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)焦點為，且離心率，可得，，即可得解；
（2）顯然斜率不為，設過點的直線為，設，．聯(lián)立整理，得，則有，，設直線AC的方程為，直線BD的方程為，聯(lián)立結合韋達定理即可得解.
【詳解】
（1）∵拋物線的焦點為，∴．
又∵，∴，∴．
∴橢圓E的標準方程為．
（2）由（1）可得，．設過點的直線為，設，．
聯(lián)立整理，得，
，∴，．
設直線AC的方程為，直線BD的方程為，
聯(lián)立兩條直線方程，解得①，
將，代入①，得②，
將，代入②，得．，
∴直線AC，BD的交點的橫坐標為定值－4．
3．已知直線與拋物線交于，兩點，且，過橢圓的右頂點的直線l交于拋物線于，兩點.

（1）求拋物線的方程；
（2）若射線，分別與橢圓交于點，，點為原點，，的面積分別為，，問是否存在直線使？若存在求出直線的方程，若不存在，請說明理由；
（3）若為上一點，，與軸相交于，兩點，問，兩點的橫坐標的乘積是否為定值？如果是定值，求出該定值，否則說明理由.
【答案】（1）（2）不存在，理由見解析；（3）是定值，且定值為，理由見解析.
【分析】
（1）聯(lián)立直線與拋物線方程求出，兩點坐標，由兩點間距離公式列方程即可求解；
（2）設直線，，，聯(lián)立直線與拋物線方程聯(lián)立可得，，設，，射線：與橢圓方程聯(lián)立可得，同理可得，，計算即可求解；
（3）設，，令可得：，同理可得，兩式相乘整理，再討論點在不在直線上，即可得定值.
【詳解】
（1）設，，由可得，
所以，，所以，，
所以，因為，所以，
所以拋物線的方程為；
（2）橢圓的右頂點為，設直線，，，
將代入可得：，
所以，，
假設存在，設，，
射線： ，
由 可得：，同理可得，
，，
所以 ，
所以
，
所以，所以不存在直線，使；
（3）設，則，
令可得：①，
同理可得：②，
兩式相乘可得


即，
所以，
即，
當點不在直線上時，，所以，
當點在直線上時，，所以，
綜上所述：是定值，且定值為.
4．如圖，橢圓的離心率為，右焦點到相應準線的距離為1，點A， B，C分別為橢圓的左頂點、右頂點和上頂點，過點C的直線交橢圓于點D，交x軸于點M（x1，0），直線AC與直線BD交于點N（x2，y2）.

（1）求橢圓的標準方程；
（2）若，求直線的方程；
（3）求證：為定值.
【答案】（1）；（2）或；（3）證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)橢圓的離心率為，右焦點到對應準線的距離為1，由求解；
（2）由（1）知，設，再由點M（x1，0），根據(jù)，結合橢圓方程求得D點坐標，寫出直線方程；
（3）法一：設D坐標為（x3，y3），寫出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得求得D點坐標，再由，得直線BD的方程與直線AC方程聯(lián)立即可；法2：設D坐標為（x3，y3），由C，M，D三點共線得，再由B，D，N三點共線得，兩式相乘即可.
【詳解】
（1）由橢圓的離心率為，右焦點到對應準線的距離為1.
得 解得
所以，橢圓的標準方程為.
（2）由（1）知，設，
因為，得，
所以，
代入橢圓方程得或，
所以或，
所以的方程為：或.
（3）設D坐標為（x3，y3），由，M（x1，0）可得直線的方程，
聯(lián)立橢圓方程得：解得，.
由，得直線BD的方程：， ①
直線AC方程為， ②聯(lián)立①②得，
所以=2為定值.
解法2：設D坐標為（x3，y3），
由C，M，D三點共線得，所以， ①
由B，D，N三點共線得，將 代入可得， ②
①和②相乘得，
.
5．在直角坐標系中，曲線的點均在外，且對上任意一點，到直線的距離等于該點與圓上點的距離的最小值．
（1）求曲線的方程；
（2）設為圓外一點，過作圓的兩條切線，分別與曲線相交于點、和、．證明：當在直線上運動時，四點、、、的縱坐標之積為定值．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）分析可知，曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，進而可求得曲線的方程；
（2）設的坐標為，設過且與圓相切的直線的斜率存在且不為，分析可知切線、的斜率、為關于的二次方程的兩根，可得出，設四點、、、的縱坐標分別為、、、，聯(lián)立直線與拋物線的方程，可得出的表達式，進一步可得出的表達式，由此可計算得出結果.
【詳解】
（1）由題設知，曲線上任意一點M到圓心的距離等于它到直線的距離，因此，曲線是以為焦點，直線為準線的拋物線，
故曲線的方程為；
（2）當點在直線上運動時，的坐標為，又，
則過且與圓相切的直線的斜率存在且不為，
每條切線都與拋物線有兩個交點，切線方程為，即，
于是，整理得，①
設過所作的兩條切線、的斜率分別為、，
則、是關于的方程的兩個實根，
故②，
由，得③，
設四點、、、的縱坐標分別為、、、，
則、是方程③的兩個實根，所以④，同理可得⑤，
于是由②④⑤三式得
．
所以當在直線上運動時，四點、、、的縱坐標之積為定值．
6．已知橢圓：的焦距為，點關于直線的對稱點在橢圓上.
（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，橢圓的上、下頂點分別為，，過點的直線與橢圓相交于兩個不同的點，.

求面積的最大值
②當與相交于點時，試問：點的縱坐標是否是定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.
【答案】（1）；（2）①；②是，1.
【分析】
（1）求出點關于直線的對稱點，由橢圓的性質得出，進而得出橢圓的方程；
(2) ①設直線的方程為，，，聯(lián)立橢圓方程，表示出三角形的面積，利用基本不等式求解面積的最大值；
②設出直線，直線的方程，聯(lián)立兩直線方程求出點的縱坐標，利用韋達定理代入化簡即可得出的縱坐標是定值.
【詳解】
解：（1）因為點關于直線的對稱點為，
且在橢圓上，所以，
又，∴
則，
所以橢圓的方程為；
（2）①設直線的方程為，，，
點到直線的距離為.
消去整理得：，
由，可得，
且，
∴
設，則
當且僅當即時等號成立，
∴的面積的最大值為；
②由題意得，：，：，
聯(lián)立方程組，消去得，
又∵，，
解得
故點的縱坐標為定值1.
7．在平面直角坐標系中，已知點，P是動點，且三角形的三邊所在直線的斜率滿足．
（Ⅰ）求點P的軌跡的方程；
（Ⅱ）若Q是軌跡上異于點的一個點，且，直線與交于點M，試探
究：點M的橫坐標是否為定值？并說明理由．
【答案】（1）（且）；（2）點M的橫坐標為定值．
【詳解】
第一問利用已知的斜率關系式，設點的坐標代入即可得到軌跡方程．
第二問中，由由可知直線，則，然后設出點P,Q的坐標，然后表示一個關系式，然后利用由三點共線可知，同理得到關系式，聯(lián)立解得．
解：（Ⅰ）設點為所求軌跡上的任意一點，則由得

，　
整理得軌跡的方程為（且），
（Ⅱ）設，
由可知直線，則，
故，即，　
由三點共線可知，與共線，
∴　，
由（Ⅰ）知，故，
同理，由與共線，
∴　，即，
由（Ⅰ）知，故，
將，代入上式得，
整理得，
由得，即點M的橫坐標為定值．
（方法二）
設
由可知直線，則，
故，即，　　
∴直線OP方程為： ①；　
直線QA的斜率為：，　　
∴直線QA方程為：，即 ②；
聯(lián)立①②，得，∴點M的橫坐標為定值．　
8．已知橢圓過點，過右焦點且垂直于軸的直線截橢圓所得弦長是1．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設點分別是橢圓的左，右頂點，過點的直線與橢圓交于兩點（與不重合），證明：直線和直線交點的橫坐標為定值．
【答案】（1）橢圓的標準方程是；（2）見解析.
【解析】
試題分析：（1）由已知可知，點及點在橢圓上，代入，由即可解得則橢圓方程可求；（2）由（1）知點，設，聯(lián)立方程，消去得，
進而得到，設直線聯(lián)立方程，解得，將，可得，即直線和直線交點的橫坐標為定值4．
試題解析：（1）由題知，解得，故橢圓的標準方程是
（2）由（1）知點，設，聯(lián)立方程，消去得，
所以則直線聯(lián)立方程，消去得．
解得因為，所以，即，所以，即直線和直線交點的橫坐標為定值4．
9．過拋物線上一定點作兩條直線分別交拋物線于，，
（1）若橫坐標為的點到焦點的距離為1，求拋物線方程；
（2）若為拋物線的頂點，，試證明：過、兩點的直線必過定點；
（3）當與的斜率存在且傾斜角互補時，求的值，并證明直線的斜率是非零常數(shù).
【答案】（1）；（2）證明見解析；（3），證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)拋物線的定義，結合題中條件，列出關于的方程，求解，即可得出結果；
（2）先由題意得，直線斜率不為零；設直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，根據(jù)韋達定理，得到，，再由，得，求出，即可證明結論成立；
（3）根據(jù)題中條件，先得到，；由作差整理，可得；同理可得；再由兩傾斜角互補，即可求出；由作差整理，可表示出，進而可判斷其為非零常數(shù).
【詳解】
（1）因為拋物線的焦點坐標為，準線方程為；
又橫坐標為的點到焦點的距離為1，
所以，即，
故拋物線方程為；
（2）若為拋物線的頂點，則；
因為，為拋物線上的點，所以直線斜率不為零；
可設直線的方程為，
由得，
則，，
所以，
又，則；
所以，即，所以，
即直線的方程為，
因此，過、兩點的直線必過定點；
（3）因為，，都是拋物線上的點，且與的斜率存在，則，；
由可得，所以；
由可得，所以；
又因為與的傾斜角互補，所以，即，
整理得，
要求的值，顯然；所以，
要證明直線的斜率是非零常數(shù)，顯然直線的斜率存在；
由可得，
所以，
因為，，所以是非零常數(shù)，
即直線的斜率是非零常數(shù).
10．已知，分別是橢圖：的左，右焦點，的頂點都在橢圓上，且邊，分別經(jīng)過點，.當點在軸上時，為直角三角形且面積為.
（1）求的方程；
（2）設、兩點的橫坐標分別為、，求證：為定值.
【答案】
（1）
（2）證明見解析
【分析】
（1）由題意可得為等腰直角三角形，且點為橢圓的上頂點，，再結合的面積為1，可求出的值，從而可求出，進而可求出橢圓方程，
（2）先討論直線或的斜率不存在的情況 ，再設，直線為，代入橢圓方程中消去，再由根與系數(shù)的關系可得，再結合表示出，從而可得，同理可得，代入中化簡可得結論
（1）
由題意可得為等腰直角三角形，且點為橢圓的上頂點，，
因為的面積為1，所以，解得，則，，
所以橢圓方程為
（2）
若直線的斜率不存在，則直線為，將代入橢圓方程得
，，不妨設，則，即，
此時直線的斜率為，直線的方程為，代入橢圓方程得，所以，得，
所以，
同理可得直線的斜率不存在時，可得，
若直線的斜率存在，設，直線為，代入橢圓方程得
，
所以，
因為點在橢圓上，所以，所以，
所以，
所以，
所以，
同理可得，
所以

所以為定值




類型七:系數(shù)關系為定值1-10題
1．已知橢圓C：()的離心率為，短軸一個端點到右焦點F的距離為.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過點F的直線l交橢圓于A?B兩點，交y軸于P點，設，，試判斷是否為定值？請說明理由.
【答案】（1）；（2）存在，定值為.
【分析】
（1）由題意可得，，，可求得橢的圓方程；
（2）設直線的方程為，與橢圓的方程聯(lián)立整理得：，設，， 由一元二次方程的根與系數(shù)的關系可得，再根據(jù)向量的坐標運算表示出， ，代入計算可求得定值.
【詳解】
（1）由題可得，
又，所以

因此橢圓方程為
（2）由題可得直線斜率存在，設直線l的方程為，
由消去y，整理得：，
設，，則，
又，，則，，
由可得，所以
同理可得，
所以

所以，為定值.
2．已知橢圓經(jīng)過點，且右焦點.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過且斜率存在的直線交橢圓于，兩點，記，若的最大值和最小值分別為，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)焦點坐標得出的值，由，將點代入橢圓的方程，解出，即可得出橢圓的標準方程；
（2）設直線的方程為，將其代入橢圓方程，由韋達定理以及向量的數(shù)量積公式得出，利用判別式法得出，最后由韋達定理得出的值．
【詳解】
（1）由橢圓的右焦點為，知，即，則，．
又橢圓過點，∴，又，∴．
∴橢圓的標準方程為．
（2）設直線的方程為，，
由得，即
∵點在橢圓內部，∴
∴由韋達定理可得：（*）
則



將（*）代入上式得：，
即，，則
∴，即
由題意知，是的兩根
∴．
3．已知橢圓的離心率為，且橢圓C經(jīng)過點．
（Ⅰ）求橢圓C的方程;
（Ⅱ）已知過點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，與直線交于點Q，設，，求證：為定值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析
【分析】
（Ⅰ）由離心率得，由橢圓過一點．得，兩者結合可解得，得橢圓方程；
（Ⅱ）設直線方程為，設，直線方程代入橢圓方程后可得，由，，把用表示，然后計算并代入即可得證．
【詳解】
（Ⅰ）由題意，解得，
∴橢圓方程為；
（Ⅱ）易知直線斜率存在，設其方程為，設，
由，消元整理得，
∴，，
把代入得，即，
由，得，，
由，得，，
∴，
∴為定值．
4．已知直線與圓相切，動點到與兩點的距離之和等于、兩點到直線的距離之和．
（1）求動點的軌跡的方程；
（2）過點的直線交軌跡于不同兩點、，交軸于點，已知，，試問是否等于定值，并說明理由．
【答案】（1）；（2）是定值，為，理由詳見解析.
【分析】
（1）由得動點的軌跡是以、為焦點，長軸長為6的橢圓可得答案；
（2）直線斜率存在取特殊情況可證明，不存時直線與橢圓聯(lián)立，利用韋達定理結合向量可得答案.
【詳解】
是定值，為，理由如下：
（1）設、、三點到直線的距離分別為、、，為的中點，
∵直線與圓相切，∴
∴
∴動點的軌跡是以、為焦點，長軸長為6的橢圓
∴，，，
所以動點的軌跡.
（2）①當斜率為0時，，，不妨取，，
∴，，則，
，，則，∴．
②當斜率不為0時，
設，、，則．
則
由，同理可得
由，得，
∴，，
∴，
綜上，為定值．
5．已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點，
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）過橢圓C的右焦點作直線l交橢圓C于A、B兩點，交y軸于M點，若為定值．
【答案】(1) (2)-10
【分析】
試題分析：（Ⅰ）要求橢圓標準方程，要有兩個獨立的條件，本題中拋物線的焦點是，這樣有，另外由離心率，就可求得 ，得標準方程；
（Ⅱ）本題是解析幾何中定值問題，設出直線方程為 ，同時設交點為，由直線方程與橢圓方程聯(lián)立后消元后可得，利用已知求得 （用表示），然后計算可證得結論．
試題解析：（I）設橢圓C的方程為，
因為拋物線的焦點坐標是 所以由題意知b = 1．
又有
∴橢圓C的方程為
（II）方法一：設A、B、M點的坐標分別為
易知右焦點的坐標為（2，0）．

將A點坐標代入到橢圓方程中，得
去分母整理得


方法二：設A、B、M點的坐標分別為
又易知F點的坐標為（2，0）．
顯然直線l存在的斜率，設直線l的斜率為k，則直線l的方程是
將直線l的方程代入到橢圓C的方程中，消去y并整理得


又

6．焦點在x軸上的橢圓C：經(jīng)過點，橢圓C的離心率為．，是橢圓的左、右焦點，P為橢圓上任意點．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若點M為的中點（O為坐標原點），過M且平行于OP的直線l交橢圓C于A，B兩點，是否存在實數(shù)，使得；若存在，請求出的值，若不存在，請說明理由．
【答案】（1）（2）存在滿足條件,詳見解析
【分析】
（1）根據(jù)所給條件列出方程組，求解即可．
（2）對直線的斜率存在與否分類討論，當斜率存在時，設直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達定理，即可表示出、、，則可求．
【詳解】
解：（1）由已知可得，解得，，
所以橢圓的標準方程為．
（2）若直線的斜率不存在時，，，
所以；
當斜率存在時，設直線的方程為，，．
聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y，得，
所以．
因為，設直線的方程為，
聯(lián)立直線與橢圓方程，消去，得，解得．
，
，
同理，，
因為，
，故，存在滿足條件，
綜上可得，存在滿足條件．
7．已知拋物線：的焦點為，為坐標原點．過點的直線與拋物線交于，兩點．
（1）若直線與圓：相切，求直線的方程；
（2）若直線與軸的交點為．且，，試探究：是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，試說明理由．
【答案】（1）；（2），理由見解析；
【分析】
（1）由直線過焦點，且與半徑為，圓心的圓相切知圓心到直線的距離即可求直線斜率，進而得到直線方程；（2）由直線與拋物線、軸的交點情況知斜率存在且，令，聯(lián)立方程得，又，，應用向量共線的坐標表示有即可確定是否為定值.
【詳解】
（1）由題意知：且圓的半徑為，圓心，即有在圓外，
∴設直線為，則圓心到直線的距離，
解之得：，即直線的方程為.
（2）由過的直線與拋物線交于，兩點，與軸的交點為，即斜率存在且，設直線為，有，
聯(lián)立直線方程與橢圓方程，有，可得，
設，，即有，
，，，，
由，，可得，，
∴，即可得為定值
8．已知點在拋物線上，過點的直線與拋物線C有兩個不同的交點A、B，且直線PA交軸于M，直線PB交軸于N.
（1）求拋物線C的方程；
（2）求直線的斜率的取值范圍；
（3）設O為原點，，求證：為定值.
【答案】
（1）
（2）
（3）定值為2
【分析】
(1)將點P的坐標代入即可求出拋物線C的方程.
(2)設出直線l方程，聯(lián)立直線l與拋物線C的方程，借助判別式即可計算得解.
(3)利用給定的向量關系，用點M，N的縱坐標表示和，結合(2)的信息并借助韋達定理即可計算作答.
（1）
因點在拋物線上，則，解得，
所以拋物線C的方程為.
（2）
令直線的斜率為k，則直線方程為：，
由消去y并整理得：，
因直線與拋物線C有兩個不同的交點A、B，則，解得且，
又直線PA，PB與相交，而點(1，-2)在拋物線C上，則直線不能過點(1，-2)，
否則PA或PB之一平行于y軸，矛盾，因此，
綜上得：，且，
所以直線的斜率的取值范圍.
（3）
設點，，，而，則，同理，
設，由(2)知，
直線方程：，即，則，
令，得，同理，
于是得
，
所以為定值2.
9．已知橢圓的長軸長與短軸長之比為2，過點且斜率為1的直線與橢圓相切．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點的直線與橢圓交于，兩點，與直線交于點，若，．證明：為定值．
【答案】（1）；（2）證明見解析．
【分析】
（1）得到以及切線方程，然后假設橢圓方程為：，聯(lián)立切線與橢圓方程使用可得結果.
（2）討論直線為軸與不是軸，假設直線方程，并與橢圓聯(lián)立，使用韋達定理，然后得到，最后代入數(shù)據(jù)計算即可.
【詳解】
（1）由題意知：，，切線方程為，
設橢圓方程為：，
直線與橢圓聯(lián)立：
得，
，即，得，
∴橢圓方程為：
（2）當為軸時，易得，，．
當不為軸時，設直線，，
直線與橢圓聯(lián)立：，得，
，，
直線，令，則，即
，，，
，，
，，，
，，

將（*）代入得：
．
（設直線的方程為時可以不用討論）
10．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，點，直線的傾斜角為60°，原點到直線的距離是．
（1）求的方程；
（2）過上任一點作直線，分別交于，（異于的兩點），且，，探究是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．
【答案】（1）；（2）是定值，定值為6．
【分析】
（1）先求出，然后由點到直線的距離列出關于的方程，求出的值，進而得到的值，從而得到的方程；
（2）①當點為橢圓右頂點時，求出；②當點為橢圓左頂點時，求出；③當點不為橢圓頂點，即直線，的斜率均不為零時，設直線，的方程，分別與橢圓方程聯(lián)立，得到韋達定理，然后利用向量的關系，求出，，即可得到答案．
【詳解】
（1）由題意，點，直線的傾斜角為60°，所以，
在中，求得點到直線的距離是，
又由原點到直線的距離是，則，所以，
故的標準方程為.
（2）①當點為橢圓右頂點時，，，所以；
②當點為橢圓左頂點時，同理可得；
③當點不為橢圓頂點，即直線，的斜率均不為零時，
設直線的方程是，直線的方程是，
分別代入橢圓方程，
可得和，
設，，，則，，
由，可得，則，
由直線的方程，可得，
所以，
由，同理可得，所以為定值．
綜上所述，為定值6．



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