1、定值問題
解析幾何中定值問題的證明可運用函數(shù)的思想方法來解決．證明過程可總結(jié)為“變量—函數(shù)—定值”，具體操作程序如下：
（1）變量----選擇適當(dāng)?shù)牧繛樽兞浚?br>（2）函數(shù)----把要證明為定值的量表示成變量的函數(shù)．
（3）定值----化簡得到的函數(shù)解析式，消去變量得到定值．
2、求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊情況入手，求出定值，再證明該定值與變量無關(guān)；
（2）直接推理、計算，并在計算推理過程中消去變量，從而得到定值．
常用消參方法：
①等式帶用消參：找到兩個參數(shù)之間的等式關(guān)系，用一個參數(shù)表示另外一個參數(shù)，即可帶用其他式子，消去參數(shù)．
②分式相除消參：兩個含參數(shù)的式子相除，消掉分子和分母所含參數(shù)，從而得到定值．
③因式相減消參：兩個含參數(shù)的因式相減，把兩個因式所含參數(shù)消掉．
④參數(shù)無關(guān)消參：當(dāng)與參數(shù)相關(guān)的因式為時，此時與參數(shù)的取值沒什么關(guān)系，比如：
，只要因式，就和參數(shù)沒什么關(guān)系了，或者說參數(shù)不起作用．
3、求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標(biāo)的方程組，以這個方程組的解為坐標(biāo)的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明．
一般解題步驟：
①斜截式設(shè)直線方程：，此時引入了兩個參數(shù)，需要消掉一個．
②找關(guān)系：找到和的關(guān)系：，等式帶入消參，消掉．
③參數(shù)無關(guān)找定點：找到和沒有關(guān)系的點．
【題型歸納目錄】
題型一：面積定值
題型二：向量數(shù)量積定值
題型三：斜率和定值
題型四：斜率積定值
題型五：斜率比定值
題型六：線段定值
題型七：直線過定點
題型八：動點在定直線上
題型九：圓過定點
題型十：角度定值
【典例例題】
題型一：面積定值
例1．已知雙曲線的焦距為，且過點，，直線與曲線右支相切（切點不為右頂點），且分別交雙曲線的兩條漸近線與，兩點，為坐標(biāo)原點．
（1）求雙曲線的方程；
（2）求證：面積為定值，并求出該定值．
【解析】解：（1）設(shè)雙曲線的焦距為，由題意可得：，解得：，，
所以雙曲線的方程為：；
（2）證明：設(shè)直線的方程：，直線與曲線的右支相切（切點不為右頂點）
則，整理可得：，
△，可得，①
設(shè)直線與軸交于一點，則，
，
雙曲線的漸近線的方程為，
聯(lián)立，可得，，
同理可得，，
則，
由①及直線與曲線右支相切，與異號，
則．
例2．已知雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為，其中一條漸近線的傾斜角的正切值為，為坐標(biāo)原點．
（1）求雙曲線的方程；
（2）直線與軸正半軸相交于一點，與雙曲線右支相切（切點不為右頂點），且分別交雙曲線的兩條漸近線于，兩點，證明：的面積為定值，并求出該定值．
【解析】（1）解：由雙曲線的一個焦點坐標(biāo)為，其中一條漸近線的傾斜角的正切值為，
得，解得，則雙曲線的方程為．
（2）證明：由于直線與雙曲線右支相切（切點不為右頂點）則直線的斜率在不為0．
設(shè)直線的方程為，，
聯(lián)立，消去，得，．
由直線與雙曲線右支相切得，△，即．
由于直線與軸正半軸交于一點，令，代入直線方程得，即．
所以，
雙曲線兩條漸近線方程為，
聯(lián)立，所以，
聯(lián)立，所以，
，
故的面積為定值．
例3．已知橢圓的離心率為，過橢圓的焦點且與長軸垂直的弦長為1．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)點為橢圓上位于第一象限內(nèi)一動點，，分別為橢圓的左頂點和下頂點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，求四邊形的面積．
【解析】解：（1）因為離心率為，過橢圓的焦點且與長軸垂直的弦長為1，
所以，解得，，
所以橢圓的方程為．
（2）因為橢圓的方程為，
所以，，
設(shè)，，，
則，即，
則直線的方程為，
令，得，
同理，直線的方程為，
令，得，
所以
，
所以四邊形的面積為定值2．
變式1．已知橢圓，離心率為，點與橢圓的左、右頂點可以構(gòu)成等腰直角三角形．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線與橢圓交于，兩點，為坐標(biāo)原點直線，的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由．
【解析】解：（1）橢圓離心率為，即，
點與橢圓的左、右頂點可以構(gòu)成等腰直角三角形，
，，，故橢圓方程為．
（2）由直線與橢圓交于，兩點，
聯(lián)立，得，
設(shè)，，，，則△，
，，
所以，
，
，
原點到的距離，
為定值．
變式2．已知橢圓的左、右焦點分別為、且橢圓上的點到、兩點的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若直線與橢圓交于、兩點，為坐標(biāo)原點直線、的斜率之積等于，試探求的面積是否為定值，并說明理由．
【解析】解：（Ⅰ）由已知，，又點在橢圓上，
，，故橢圓方程為
（Ⅱ）設(shè)，，，，
由得：
△且，
直線，的斜率之積等于，
，即：
又到直線的距離為，，
所以（定值）．
變式3．已知橢圓的左、右焦點分別為，，離心率為，點是橢圓上一點，△的周長為．
（1）求橢圓的方程；
（2）直線與橢圓交于，兩點，且四邊形為平行四邊形，求證：四邊形的面積為定值．
【解析】解：（1）由題意可知且，
解得，，
，
所以橢圓方程為；
（2）證明：設(shè)，，，，，，直線設(shè)為，
聯(lián)立方程，得，
，，
，
四邊形為平行四邊形，
，得，
將點坐標(biāo)代入橢圓方程得，
點到直線的距離為，，
所以平行四邊形的面積為：
．
變式4．已知橢圓的離心率為，且過點，．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線與橢圓交于，兩點，為橢圓上的點，且滿足，求證：四邊形的面積為定值．
【解析】解：（1）因為橢圓的離心率為,且過點,,
所以,
解得,,
所以橢圓的方程為．
（2）證明：設(shè),,,,
聯(lián)立,得,
所以,,
,
因為,
所以,,即,,
因為點在橢圓上，
所以,
化簡得,
所以
,
所以原點到直線的距離,
所以
．
變式5．已知橢圓的焦距為，，為其左右焦點，為橢圓上一點，且，
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線與橢圓相交于、兩點，以線段，為鄰邊作平行四邊形，其中頂點在橢圓上，為坐標(biāo)原點，求證：平行四邊形的面積為定值．
【解析】解：（1）由題意可知，，即，設(shè)，，
在△中，，（2分）
解得：，（4分）
橢圓方程為．（5分）
（2）證明：由直線與橢圓相交于、兩點，設(shè)，，，，
聯(lián)立，消可得，（6分）
△，則，
則，（8分）
，
而，
（9分）
點在橢圓上，
代入橢圓方程：，
整理可得：，滿足△，（10分）
又（11分）
設(shè)到直線的距離為，則，（12分）
，
平行四邊形的面積為定值．（13分）
變式6．已知橢圓的左、右焦點分別為，，點在橢圓上，，橢圓的離心率．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2），是橢圓上與點不重合的任意兩點，若的重心是坐標(biāo)原點，試證明：的面積為定值，并求出該定值．
【解析】解：（1），，，
，，
，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；
（2）最多只有1條邊所在直線與軸垂直，
不妨設(shè)所在直線與軸不垂直，其方程為
的重心是，不在直線上，
由得，
設(shè)，、，，則
△，
且，，
從而，
設(shè)，，的重心是坐標(biāo)原點，
，
，
，
點，在橢圓上，
即，且符合△，
點，到直線的距離為：
，
的面積，
由即，得
為常數(shù)．
題型二：向量數(shù)量積定值
例4．己知橢圓的左、右焦點分別為，左頂點為，離心率為．
(1)求的方程；
(2)若直線與交于點，線段的中點分別為．設(shè)過點且垂直于軸的直線為，若直線與直線交于點，直線與直線交于點，求證：為定值．
【解析】（1）橢圓左頂點為，，又離心率，，
，的方程為：.
（2）設(shè)，，則，，
由得：，
則，
，；
直線方程為：，，；
同理可得：，又，
，，
，
為定值.
例5．已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．
（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過點的動直線交橢圓于另一點，設(shè)，過橢圓中心作直線的垂線交于點，求證：為定值．
【解析】解：（Ⅰ）橢圓：橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．
，，．
，．
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，．
代入，整理可得．
解得，于是，
直線的斜率為．
，直線的方程為．
由，解得
（定值）．
例6．已知，分別是橢圓的左、右焦點，為橢圓的上頂點，△是面積為4的直角三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)圓上任意一點處的切線交橢圓于點，，問：是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由．
【解析】解：（1）由為橢圓的上頂點，△是面積為4的直角三角形．
可得：，且，
解得：，所以，
所以橢圓的方程為：；
（2）當(dāng)切線的斜率不存在時，其方程，
將代入橢圓的方程：得，設(shè)，，，，
又，，所以，
同理可得，也有，
當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)方程為：，設(shè)，，，，
直線與圓相切，所以，即，聯(lián)立，整理可得：，
，，
又，
因為，
所以，所以是直角三角形，
所以．
綜上所述：．
題型三：斜率和定值
例7．已知橢圓的兩個焦點，點在此橢圓上．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點的直線與橢圓相交于，兩點，設(shè)點，記直線，的斜率分別為，，求證：為定值．
【解析】解：（Ⅰ）依題意知：，
橢圓方程為；
（Ⅱ）直線過點，設(shè)直線的方程為，再設(shè)，，，，
由，消得：，
，
，，
為定值．
例8．已知橢圓的離心率為，且過點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）已知點，，過點的直線交橢圓于，兩點，直線，的斜率分別為，，求證：為定值．
【解析】解：（Ⅰ）由題意可知橢圓的，橢圓過點，則，則，
橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；
（Ⅱ）設(shè)直線的方程為，，，，．
聯(lián)立，消去，整理得，△，整理得：．
則，，，，
直線，的斜率分別為，，，
，
為定值2．
例9．已知橢圓的左?右焦點為，，且左焦點坐標(biāo)為，為橢圓上的一個動點，的最大值為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過點的直線與橢圓交于兩點，點，記直線的斜率為，直線的斜率為，證明：.
【解析】（1）因為左焦點坐標(biāo)為，所以，
當(dāng)點在上?下頂點時，最大，又的最大值為.
所以，
由得，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）當(dāng)直線的斜率為0時，直線的方程為，
直線與橢圓沒有交點，與條件矛盾，
故可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立直線的方程與橢圓方程可得，，
化簡可得，
所以，
由已知方程的判別式，
又直線過點，所以，
所以，所以，
設(shè)，
則，，
因為
所以，
所以
方法二：設(shè)直線的方程為，
由橢圓的方程，得.
聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，得，
即，
，
所以.
因為直線過定點，所以，代入，
得.
題型四：斜率積定值
例10．已知橢圓：的離心率為，短軸長為2.
(1)求的方程；
(2)過點且斜率不為0的直線與自左向右依次交于點，，點在線段上，且，為線段的中點，記直線，的斜率分別為，，求證：為定值.
【解析】（1）由橢圓：的離心率為，短軸長為2，
可知 ，則 ，
故的方程為；
（2）證明：由題意可知直線的斜率一定存在，故設(shè)直線的方程為，
設(shè)，
聯(lián)立，可得，
，
則，
所以，
又，所以，
解得，
從而 ，
故，即為定值.
例11．已知分別是橢圓的左?右頂點，分別是的上頂點和左焦點.點在上，滿足.
(1)求的方程；
(2)過點作直線（與軸不重合）交于兩點，設(shè)直線的斜率分別為，求證：為定值.
【解析】（1）因為，故可設(shè)，因為，故，即，解得.
又在橢圓上，故，解得，故.
又，故，故，.
故的方程為.
（2）因為橢圓方程為，故，當(dāng)斜率為0時或重合，不滿足題意，故可設(shè)：.
聯(lián)立可得，設(shè)，則.
故
故定值為
例12．已知橢圓的焦距為2，點在橢圓C上．
(1)求橢圓C的方程；
(2)點P為橢圓C上異于頂點的任意一點，點M、N分別與點P關(guān)于原點、y軸對稱．連接MN與x軸交于點E，并延長PE交橢圓C于點Q．試問：是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．
【解析】（1）由已知，，
所以，解得，
橢圓方程為；
（2）設(shè)，，則，，所以，,
直線方程為，代入橢圓方程得，
顯然是此方程的一個解，另一解為，而，即為點的橫縱坐標(biāo)，
,
所以．
所以為定值．
變式7．已知橢圓的左?右焦點分別為，，，面積為的正方形ABCD的頂點都在上.
(1)求的方程；
(2)已知P為橢圓上一點，過點P作的兩條切線和，若，的斜率分別為，，求證：為定值.
【解析】（1）根據(jù)對稱性，不妨設(shè)正方形的一個頂點為，
由，得，
所以，整理得.①
又，②
由①②解得，，
故所求橢圓方程為.
（2）由已知及（1）可得，
設(shè)點，則.
設(shè)過點P與相切的直線l的方程為，
與聯(lián)立消去y整理可得，
令，
整理可得，③
根據(jù)題意和為方程③的兩個不等實根，
所以，
即為定值.
變式8．已知橢圓的右頂點為，上頂點為，為坐標(biāo)原點，，的面積為1．
（1）求橢圓的方程；
（2）若，是橢圓上兩點，且，記直線，的斜率分別為，，證明：為定值．
【解析】解：（1）由題意可得，，
所以，且，解得，，
所以橢圓的方程為；
（2）證明：由（1）可得，，所以，
設(shè)，，，直線的方程為，
聯(lián)立直線與橢圓的方程，整理可得，
則△，即，
且，，所以，
所以
，
所以為定值．
題型五：斜率比定值
例13．已知橢圓的一個焦點為，過點且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點.
(1)若線段中點的橫坐標(biāo)為，求直線的方程；
(2)設(shè)直線與直線交于點，點滿足軸，軸，試求直線的斜率與直線的斜率的比值.
【解析】（1）若直線的斜率不存在時，線段中點的橫坐標(biāo)為，與已知矛盾；
設(shè)，，則，
，，
所以，
記線段中點為，設(shè)的縱坐標(biāo)為，由已知可得點的坐標(biāo)為，
所以，，
所以，
因為直線過點，，所以，
所以，所以，
當(dāng)時，，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，
因為直線： 與的交點坐標(biāo)為，點在橢圓內(nèi)，故直線與橢圓相交，滿足條件，
當(dāng)時，，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，因為直線： 與的交點坐標(biāo)為，點在橢圓內(nèi)，故直線與橢圓相交，滿足條件，
所以直線的方程為或；
（2）設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，化簡可得，所以，方程的判別式，所以或，
設(shè)，，則，，
聯(lián)立，化簡可得，所以點的坐標(biāo)為，
因為軸，軸，所以點的坐標(biāo)為，
所以直線的斜率，
直線的斜率，
所以，
又，
所以，
例14．設(shè)為橢圓的右焦點，過點的直線與橢圓交于，兩點．
（1）若點為橢圓的上頂點，求直線的方程；
（2）設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：為定值．
【解析】解：（1）若為橢圓的上頂點，則，
又過點，故直線，
代入橢圓，可得，
解得，，
即點，，從而直線；
（2）證明：設(shè)，，，，直線，
代入橢圓方程可得：，△，
所以，，
故，
又，均不為0，故，即為定值．
例15．已知動點到點，的距離比它到直線的距離小2．
（Ⅰ）求動點的軌跡方程；
（Ⅱ）記點的軌跡為，過點斜率為的直線交于，兩點，，延長，與交于，兩點，設(shè)的斜率為，證明：為定值．
【解析】（Ⅰ）解：動點到點，的距離比它到直線的距離小2，
動點到點，的距離與它到直線的距離相等，
動點的軌跡是以點，為焦點的拋物線，
動點的軌跡方程為；
（Ⅱ）證明：設(shè)，，，，，，，，
則直線的方程為，代入拋物線方程中，得，
，
直線，過點，同理可得，
，，
，
．
題型六：線段定值
例16．如圖，中心在原點O的橢圓的右焦點為，右準(zhǔn)線l的方程為：．
(1)求橢圓的方程；
(2)在橢圓上任取三個不同點，使，證明：為定值，并求此定值．
【解析】（1）設(shè)橢圓方程為．因焦點為，故半焦距，又右準(zhǔn)線的方程為，
從而由已知，因此，，
故所求橢圓方程為；
（2）
記橢圓的右頂點為A，并設(shè)（1，2，3），不失一般性，
假設(shè) ，且，．
又設(shè)點在上的射影為，因橢圓的離心率，從而有
．
解得 ．
因此，
而，
故為定值．
綜上，橢圓方程為；.
例17．已知橢圓的右頂點坐標(biāo)為A（2，0），左、右焦點分別為F1、F2，且|F1F2|＝2，直線l交橢圓Γ于不同的兩點M和N．
(1)求橢圓Γ的方程；
(2)若直線l的斜率為1，且以MN為直徑的圓經(jīng)過點A，求直線l的方程；
(3)若直線l與橢圓Γ相切，求證：點F1、F2到直線l的距離之積為定值．
【解析】（1）因為|F1F2|＝2c＝2，則c＝1，
因為a＝2，，
所以橢圓Γ的方程；
（2）因為直線l的斜率為1，故設(shè)直線l的方程為y＝x+m，設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），
由，消去y整理得，
則，，
因為以MN為直徑的圓經(jīng)過右頂點A，則，
所以，即
整理得
∴
整理得，解得或，
因為，
顯然當(dāng)或時，成立
所以直線l的方程為或；
（3）證明：橢圓Γ的左、右焦點分別為，
①當(dāng)直線l平行于y軸時，因為直線l與橢圓Γ相切，所以直線l的方程為x＝±2，
此時點F1、F2到直線l的距離分別為d1＝1，d2＝3，所以d1d2＝3，
②當(dāng)直線l不平行與y軸時，設(shè)直線l的方程為y＝kx+b，
聯(lián)立，消去y整理得，
所以，
因為直線l與橢圓Γ相切，則Δ＝0，所以，
因為到直線l的距離為，到直線l的距離為，
所以，
所以點F1、F2到直線l的距離之積為定值，且定值為3．
例18．已知橢圓的離心率為，若與圓相交于M，N兩點，且圓E在內(nèi)的弧長為．
(1)求的值；
(2)過橢圓的上焦點作兩條相互垂直的直線，分別交橢圓于A，B、C，D，求證：為定值．
【解析】（1）圓的圓心為，半徑為，
圓E在內(nèi)的弧長為，可得，即有，
設(shè)在第一象限，可得，，即為，
將代入橢圓方程可得，
聯(lián)立解得，
（2）由（1）可得橢圓的方程為，，上焦點為，
①當(dāng)直線（或）與軸平行時，可得，
將代入橢圓得，則，
則；
②當(dāng)直線（或）與軸不平行時，設(shè)，則，
聯(lián)立方程組，消去y并化簡得，
設(shè)點，，∴，，
即有，
將k換為，可得，
則，
綜上所述，為定值．
變式9．已知橢圓C：的離心率為，點在橢圓C上．
(1)求橢圓C的方程；
(2)若橢圓C的兩條切線交于點M（4，t），其中，切點分別是A、B，試?yán)媒Y(jié)論：在橢圓上的點處的橢圓切線方程是，證明直線AB恒過橢圓的右焦點；
(3)試探究的值是否恒為常數(shù)，若是，求出此常數(shù)；若不是，請說明理由．
【解析】（1）∵橢圓C：的離心率為，點在橢圓C上．
∴，①
，②，
由①②得：，，∴橢圓C的方程為．
（2）證明：設(shè)切點坐標(biāo)，，則切線方程分別為，．
又兩條切線交于點M（4，t），即，，即點A、B的坐標(biāo)都適合方程，令，可得
故對任意實數(shù)t，點（1，0）都適合這個方程，故直線AB恒過橢圓的右焦點．
（3）將直線AB的方程，代入橢圓方程，得
，即，
∴，，
不妨設(shè)，，，
同理，
∴，
∴的值恒為常數(shù)．
變式10．已知橢圓過點．，分別為左右焦點，為第一象限內(nèi)橢圓上的動點，直線，與直線分別交于，兩點，記和的面積分別為，．
(1)試確定實數(shù)的值，使得點到的距離與到直線的距離之比為定值，并求出的值；
(2)在（1）的條件下，若，求的值．
【解析】（1）設(shè)橢圓的焦距為，則，即，
所以，，
則，，
所以橢圓的方程為，
設(shè)，（，），
則，
又，即，
所以，
因為為定值，所以，解得，
所以；
（2）由（1）得，直線：，
又，，，
則直線：，令，則，所以，
同理直線：，令，則，所以，
所以，
所以，
化簡可得或，
解得或（舍），
所以，，
則，，，，
所以.
變式11．已知橢圓過點且離心率為．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)橢圓的左、右頂點分別為、，左焦點為，過的直線與交于、兩點和均不在坐標(biāo)軸上），直線、分別與軸交于點、，直線、分別與軸交于點、，求證：為定值，并求出該定值．
【解析】解：（1）由題意知：，，，解得：，，
所以橢圓的方程為：；
（2）證明：由（1）得：，，，由題意顯然的斜率不為0，
所以設(shè)直線的方程為：，設(shè)，，
聯(lián)立與橢圓的方程整理得：，，，
直線的方程為：令，，所以，同理可得點，
所以；
直線，令，，即，同理可得所以同理可得，
為定值．
所以為定值．
變式12．已知橢圓的離心率為，點在上．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點作直線交橢圓于另外一點，交軸于點，為橢圓上一點，且，求證：為定值．
【解析】解：（Ⅰ） 根據(jù)題意，橢圓的離心率為，
則，則有，即，
又由點在橢圓上，則有，
解可得：，
所以橢圓程為．
（Ⅱ） 設(shè)直線，，
，
可得韋達(dá)定理：，
則，
令直線為且令，，得，
可得韋達(dá)定理：，
所以，則，
所以定值為2．
變式13．已知橢圓，其上頂點與左、右焦點、圍成的是面積為的正三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）過橢圓的右焦點的直線的斜率存在）交橢圓于，兩點，弦的垂直平分線交軸于點，問：是否是定值？若是，求出定值；若不是，說明理由．
【解析】解：（1）因為△為正三角
所以，解得，
由對稱性可得，
，
所以，即，
所以，
所以，
所以橢圓的方程為．
（2）當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)其方程為，，，，，
聯(lián)立，得，
所以，且，
所以弦的中點的坐標(biāo)為，，
則弦的垂直平分線方程為，
令，得，
所以，
所以
，
所以，
當(dāng)直線的斜率為0時，，，
所以，
綜上所述，是定值且為4．
題型七：直線過定點
例19．已知分別為橢圓的左、右焦點，過點且與軸不重合的直線與橢圓交于兩點，的周長為8.
(1)若的面積為，求直線的方程；
(2)過兩點分別作直線的垂線，垂足分別是，證明：直線與交于定點.
【解析】（1）因的周長為8，由橢圓定義得，即，而半焦距，又，則，橢圓的方程為，
依題意，設(shè)直線的方程為，由消去x并整理得，
設(shè)，，則，，
，
因此，解得，
所以直線的方程為或.
（2）由（1）知，，則，，設(shè)直線與交點為，
則，，
而，，則，，
兩式相加得：，而，
則，因此，兩式相減得：
，而，則，即，
所以直線與交于定點.
例20．在平面直角坐標(biāo)系中， 橢圓：的左，右頂點分別為、，點是橢圓的右焦點，，．
(1)求橢圓的方程；
(2)不過點的直線交橢圓于、兩點，記直線、、的斜率分別為、、.若，證明直線過定點， 并求出定點的坐標(biāo)．
【解析】（1）由題意知，，，，
∵，，
∴，解得，從而，
∴橢圓的方程為.
（2）設(shè)直線的方程為，，．
直線不過點，因此．
由 ，得，
時，，，
∴
，
由，可得，即，
故的方程為，恒過定點．
例21．已知，是橢圓上的兩點．
(1)求橢圓E的方程；
(2)過橢圓E的上頂點A和右焦點F的直線與橢圓E交于另一個點B，P為直線上的動點，直線，分別與橢圓E交于C（異于點A），D（異于點B）兩點，證明：直線經(jīng)過點F．
【解析】（1）由題意可得 ,解得 ，
故橢圓E的方程為．
（2）證明：由（1）可知，，則直線的方程為
聯(lián)立方程組,整理得，解得或，則，
設(shè)，直線的方程為，直線的方程為，
設(shè)，
聯(lián)立方程組 ，整理得，
可得，
聯(lián)立方程組 ，整理得，
則，從而．
因為，，即,
所以直線經(jīng)過點F．
變式14．已知橢圓過點．右焦點為，縱坐標(biāo)為的點在上，且．
(1)求的方程：
(2)設(shè)過與軸垂直的直線為，縱坐標(biāo)不為的點為上一動點，過作直線的垂線交于點，證明：直線過定點．
【解析】（1）設(shè)點，其中，則，
因為橢圓過點，則，
將點的坐標(biāo)代入橢圓的方程，可得可得，解得，
因此，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）證明：由對稱性可知，若直線過定點，則點必在軸上，設(shè)點，
設(shè)點，則，
所以，直線的垂線的斜率為，
故直線的方程為，
在直線的方程中，令，可得，即點，
所以，直線的方程為，
因為點在直線上，所以，，
即，①
又因為，所以，，②
將②代入①可得，即，
，則，所以，直線過定點.
變式15．已知橢圓C：的右頂點是M（2，0），離心率為．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
(2)過點T（4，0）作直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，點B關(guān)于x軸的對稱點為D，問直線AD是否過定點？若是，求出該定點的坐標(biāo)；若不是，請說明理由．
【解析】（1）由右頂點是M（2，0），得a＝2，又離心率，所以，
所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）設(shè)，，顯然直線l的斜率存在．
直線l的方程為，聯(lián)立方程組
消去y得，由，得，
所以，．
因為點，所以直線AD的方程為．
又，
所以直線AD的方程可化為，
即，
所以直線AD恒過點（1，0）．
（方法二）設(shè)，，直線l的方程為，
聯(lián)立方程組消去x得，
由，得或，所以，．
因為點，則直線AD的方程為．
又，
所以直線AD的方程可化為
，
此時直線AD恒過點（1,0），
當(dāng)直線l的斜率為0時，直線l的方程為y＝0，也過點（1，0）．
綜上，直線AD恒過點（1，0）．
題型八：動點在定直線上
例22．已知為的兩個頂點，為的重心，邊上的兩條中線長度之和為6.
(1)求點的軌跡的方程.
(2)已知點，直線與曲線的另一個公共點為，直線與交于點，試問：當(dāng)點變化時，點是否恒在一條定直線上？若是，請證明；若不是，請說明理由.
【解析】（1）因為為的重心，且邊上的兩條中線長度之和為6，
所以，
故由橢圓的定義可知的軌跡是以為焦點的橢圓（不包括長軸的端點），
且，所以，
所以的軌跡的方程為；
（2）設(shè)直線的方程為：，，，
聯(lián)立方程得：，
則，，
所以，
又直線的方程為：，
又直線的方程為：，
聯(lián)立方程，解得，
把代入上式得：，
所以當(dāng)點運動時，點恒在定直線上
例23．已知直線l經(jīng)過橢圓C：（a＞b＞0）的右焦點（1，0），交橢圓C于點A，B，點F為橢圓C的左焦點，△ABF的周長為8．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線m與直線l的傾斜角互補，且交橢圓C于點M，N，，求證：直線m與直線l的交點P在定直線上．
【解析】（1）由已知，得， ，，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）證明：若直線的斜率不存在，則直線的斜率也不存在，這與直線與直線相交于點矛盾，∴直線的斜率存在,又因為兩直線傾斜角互補，所以直線斜率不為0.
設(shè)，，
，，，．
將直線的方程代入橢圓方程聯(lián)立得，，
，，
．
同理，．由得化簡得，
即，，，
此時，，∴直線，
聯(lián)立直線方程解得，即點在定直線上．
例24．已知橢圓C:的上下頂點分別為，過點P且斜率為k(k

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