考法一：分式型裂項(xiàng)
例題分析
【例 1】已知在等差數(shù)列中，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)和通項(xiàng)公式可求得公差，代入通項(xiàng)公式即可求得；
（2）采用裂項(xiàng)相消法可求得.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
，，，
.
（2）由（1）得：，
.
滿分秘籍
利用裂項(xiàng)相消法求和的注意事項(xiàng)
抵消后不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能是前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)，也有可能是間隔開的項(xiàng)剩下，一般來說是對稱的。
將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，一定要注意調(diào)整前面的系數(shù)，避免失誤。
掌握常見的分式型裂項(xiàng)相消的公式：
公式一：；公式二：
公式三：
變式訓(xùn)練
【變式1-1】記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，對任意，有．
(1)證明：為等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)，令得到，令最終得到，結(jié)合等差數(shù)列定義即可證明；
（2）根據(jù)等差數(shù)列定義得到，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時，，所以，
當(dāng)時，，
兩式相減得，
即，
即，
因?yàn)?，所以為常?shù)，
所以是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列
（2）由（1）知，，
所以，
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.
【變式1-2】記為數(shù)列的前項(xiàng)和．
(1)從下面兩個條件中選一個，證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
①數(shù)列是等差數(shù)列；②
(2)若數(shù)列為等差數(shù)列，且，，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）選擇條件①，利用與的關(guān)系式和等差中項(xiàng)的性質(zhì)即可得證；選擇條件②，設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，求出，表示出，即可得證.
（2）由（1）根據(jù)已知得出，然后利用裂項(xiàng)相消法即可求解.
【詳解】（1）選擇條件①：，
，
兩式相減可得，
即，
，
兩式相減可得，
化簡可得，
，數(shù)列是等差數(shù)列．
選擇條件②：設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
則，故，
當(dāng)時，
，
當(dāng)時，，，
又．
數(shù)列是等差數(shù)列．
（2）數(shù)列是等差數(shù)列，且公差，
．
，
故
．
【變式1-3】已知等差數(shù)列滿足，，等比數(shù)列滿足，．
(1)求與的通項(xiàng)公式；
(2)若，設(shè)，求的前項(xiàng)和．
【答案】(1)答案見解析
(2)
【分析】（1）設(shè)的公差為，由題意可得，求得， ，進(jìn)而可求；設(shè)的公比為，由題意可得，求得或，再分，兩種情況求解即可.
（2）利用裂項(xiàng)相消法和分組求和法即可求解.
【詳解】（1）設(shè)的公差為，因?yàn)?，?br>所以，解得，從而，
所以．
設(shè)的公比為，因?yàn)?，則有
，，解得或，
當(dāng)時，因?yàn)?，所以，所以?br>當(dāng)時，因?yàn)?，所以，所以?br>（2）由（1）可知，若，則．
因?yàn)椋裕?br>所以，
所以．
【變式1-4】已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且，若16和26分別是中的項(xiàng).
(1)當(dāng)取最大值時，求通項(xiàng)；
(2)在（1）的條件下，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，找到與的關(guān)系，進(jìn)而找到取最大值時，通項(xiàng)；
（2）裂項(xiàng)相消即可.
【詳解】（1）由已知得，數(shù)列單調(diào)遞增，不防設(shè)，且，
∴即，∴，
∵與越小，越大，
∴，∴，∴，∴
（2）由（1）知：，∴ ，
∴
考法二：根式型裂項(xiàng)
例題分析
【例2】已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：當(dāng)時，．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)公差為，利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式列式，求出和，可得；
（2）分母有理化化簡，利用裂項(xiàng)求和求出，作差比較可證不等式成立.
【詳解】（1）設(shè)公差為，則，即，解得，
所以.
（2）
，
所以
，
所以，
所以 ，
當(dāng)時， ，
所以當(dāng)時，.
滿分秘籍
根式型裂項(xiàng)常見公式：
公式一：)
公式二：)
變式訓(xùn)練
【變式2-1】已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個等差數(shù)列，記插入的這個數(shù)之和為，若不等式對一切恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)記，求證：.
【答案】(1)
(2)
(3)詳見解析.
【分析】（1）根據(jù)和的關(guān)系即可求解；（2）根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出代入化簡即可解決；（3）求出，進(jìn)行適當(dāng)放縮后用裂項(xiàng)相消求和解決.
【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
當(dāng)時，有，則 ①
當(dāng)時，，兩式相減可得：，
整理得，可知，代入①可得，
所以等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為（）.
（2）由已知在與之間插入個數(shù)，組成以為首項(xiàng)的等差數(shù)列，
所以，
則，
設(shè)，則是遞增數(shù)列，
當(dāng)為偶數(shù)時，恒成立，即，所以；
當(dāng)為奇數(shù)時，恒成立，即，所以；
綜上所述，的取值范圍是.
（3）證明：由（1）得，
則有
.
,原不等式得證.
【變式2-2】已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，.
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由題，利用累乘法即可求解，進(jìn)而可得，進(jìn)而可證等差；
（2）由（1）得，由裂項(xiàng)求和即可求解.
【詳解】（1）由題可得，
所以當(dāng)時，
，
易知滿足，所以.
所以，
所以是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列.
（2）由（1）可得，
所以
.
所以.
【變式2-3】在正項(xiàng)數(shù)列中，，．
(1)求；
(2)證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）由，可得，令，則，可得為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，可得，進(jìn)而求解；
（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消求和，進(jìn)而即可得證.
【詳解】（1）由，
得，
令，則，且，
∴為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，
∴，
又，
∴．
（2）證明：．
【變式2-4】在①；②；③，這三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面橫線上，并解答問題．
已知數(shù)列的前n項(xiàng)和．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)若，設(shè)___________，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）利用數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系證明.
（2）利用裂項(xiàng)相消法、錯位相減法計算求解.
【詳解】（1）因?yàn)棰伲?br>所以②，
②①得，
整理得，
由等差數(shù)列的定義可知是等差數(shù)列．
（2）由（1）得的公差，
又因?yàn)?，所以?
若選①：
,
所以
．
若選②：
，
所以
．
若選③：
，
則，
兩式作差得
．
所以．
考法三：指數(shù)型裂項(xiàng)
例題分析
【例3】已知是數(shù)列的前項(xiàng)和，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系求解即可；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求解即可.
【詳解】（1）時，，
時，
經(jīng)驗(yàn)證時滿足，
；
（2），
.
滿分秘籍
指數(shù)型裂項(xiàng)常見公式
公式一：-
公式二： -
公式三：
變式訓(xùn)練
【變式3-1】已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由與的關(guān)系求通項(xiàng)；
（2）先求出，再用裂項(xiàng)相消法求.
【詳解】（1）由已知①，
當(dāng)時，，即，解得，
當(dāng)時，②，
①②得，即，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以；
（2）因?yàn)椋?br>所以
.
【變式3-2】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由與的關(guān)系可求出通項(xiàng)公式；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和即可.
【詳解】（1）當(dāng)時，，得，
當(dāng)時，，得，
所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公比為3的等比數(shù)列，
所以.
（2）由（1）可得，
所以，
所以
【變式3-3】已知為數(shù)列的前項(xiàng)和，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，記的前項(xiàng)和為，證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式可得，采用兩式相減的方法可得，從而構(gòu)造數(shù)列，可求得的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）的結(jié)論可得的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)求和法，可得答案.
【詳解】（1）當(dāng)時，，則，
因?yàn)椋?br>所以，
兩式相減得： ，
所以，，
，，則，即也適合上式，
所以是以5為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，
故：，
故；
（2）由（1）得
，
故
，
當(dāng)時，，故.
【變式3-4】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，.
(1)求，及的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對任意的恒成立，求的最小值.
【答案】(1)，，
(2)
【分析】（1）根據(jù)遞推公式和的值，即可求出，及的通項(xiàng)公式；
（2）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，得出數(shù)列的前項(xiàng)和，由不等式的恒成立，還可求出的最小值.
【詳解】（1）由題意，
在數(shù)列中，，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時上式也符合，
∴，，.
∴當(dāng)時，；當(dāng)時，上式也符合.
∴的通項(xiàng)公式為.
（2）由題意及（1）得，,
在數(shù)列中，，
數(shù)列中，,
∴.
∵，
∴.
∵.
∴的最大值為，.
∴的最小值為.
考法四：對數(shù)型裂項(xiàng)
例題分析
【例4】已知數(shù)列滿足
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列：
(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）對進(jìn)行整理得到，即可說明數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）將變形為或，然后求和即可.
【詳解】（1）法1：由，
兩邊同除以得，，（）為常數(shù)，
∴數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差為1，
法2：由得，
∴（）為常數(shù)，
∴數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差為1.
（2）由，∴，
法1：，
則
.
法2：，
則
.
滿分秘籍
對數(shù)型裂項(xiàng)常見公式
變式訓(xùn)練
【變式4-1】已知數(shù)列的首項(xiàng)為2，且滿足（且），．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）因式分解可知為等比數(shù)列，然后可解；
（2）利用對數(shù)運(yùn)算裂項(xiàng)可解.
【詳解】（1）由得，
因?yàn)?，所以，所以，即?br>又，所以是以2為首項(xiàng)和公比的等比數(shù)列，所以．
（2）由得，
【變式4-2】已知為等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為，，是首項(xiàng)為2的等比數(shù)列，且公比大于0，，，.
(1)求和的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，，，求；
(3)設(shè)，其中.求的前2n項(xiàng)和.
【答案】(1)，；
(2)；
(3).
【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行求解即可；
（2）運(yùn)用累和法，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（3）根據(jù)（1）（2）的結(jié)論，結(jié)合裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.
(1)
設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
由，或舍去，所以；
，
，解得：，即，
所以有，；
(2)
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時，
有
，顯然當(dāng)時也適合，
即；
(3)
由（1）（2）可知：，，.
當(dāng)，時，，
當(dāng)，時，，
，
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用裂項(xiàng)相消法是解題的關(guān)鍵.
【變式4-3】已知數(shù)列，，已知對于任意，都有，數(shù)列是等差數(shù)列，，且，，成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；
(2)記．
（?。┣螅?br>（ⅱ）求．
【答案】(1)；
(2)（?。?；（ⅱ）
【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及等比中項(xiàng)的性質(zhì)即可求解；
（2）（ⅰ）利用裂項(xiàng)相消法求和即可，
（ⅱ）將相鄰兩項(xiàng)合并成一項(xiàng)，再利用錯位相減法求和即可.
【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為d，
∵，，成等比數(shù)列，且，
∴，即，解得，
則，
即，
（2）（ⅰ）由（1）可知，，
則
；
（ⅱ）由題意，對，
，
設(shè)的前n項(xiàng)為，
所以，則，
則
，
所以，
即．
【變式4-4】已知數(shù)列是首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且滿足，．設(shè)數(shù)列滿足．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)在①；②；③這三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面橫線上，并加以解答．已知數(shù)列滿足______，求的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】設(shè)出數(shù)列的公差d及數(shù)列的首項(xiàng)，由題列方程可求出d，，利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解；（2）結(jié)合（Ⅰ）若選①，利用錯位相減法即可求解；若選②，利用分組求和法即可求解；若選③，利用裂項(xiàng)相消法即可求解．
(1)
設(shè)數(shù)列的公差為d，數(shù)列的首項(xiàng)為．
由題意得，，
解得，，
則，，所以．
(2)
若選①，
即，
所以，
則，
兩式相減得
所以．
若選②，
即，
所以
．
若選③，
即，
所以
．
考法五：三角函數(shù)型裂項(xiàng)
例題分析
【例5】已知2n＋2個數(shù)排列構(gòu)成以為公比的等比數(shù)列，其中第1個數(shù)為1，第2n＋2個數(shù)為8，設(shè)．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見詳解
(2)
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)分析可得，再結(jié)合等差數(shù)列的定義分析證明；
（2）根據(jù)兩角差的正切公式整理得，結(jié)合裂項(xiàng)相消法運(yùn)算求解.
【詳解】（1）由題意可得：，且，可得，
所以，可得，
則，
所以數(shù)列是以公差為的等差數(shù)列.
（2）由（1）可得，
則，
整理得，
則
，
所以數(shù)列的前100項(xiàng)和.
滿分秘籍
三角函數(shù)型裂項(xiàng)常見公式
公式一：
公式二：
變式訓(xùn)練
【變式5-1】已知數(shù)列中，，，且．
(1)設(shè)，試用表示，并求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)提示將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可；
（2）根據(jù)兩角差的正弦公式可將化為裂項(xiàng)式求和.
【詳解】（1），，
所以，所以，
所以，.
（2），
所以
.
【變式5-2】在數(shù)1和100之間插入個實(shí)數(shù)，使得這個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這個數(shù)的乘積記作，再令 .
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【分析】（1）類比等差數(shù)列求和的倒序相加法，將等比數(shù)列前n項(xiàng)積倒序相乘，可求，代入即可求解.
（2）由（1）知，利用兩角差的正切公式，化簡，，得
，再根據(jù)裂項(xiàng)相消法，即可求解.
【詳解】（Ⅰ）由題意，構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，其中，則
①
②
①②，并利用等比數(shù)列性質(zhì)，得
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為
【點(diǎn)睛】（Ⅰ）類比等差數(shù)列，利用等比數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，推導(dǎo)等比數(shù)列前項(xiàng)積公式，創(chuàng)新應(yīng)用型題；（Ⅱ）由兩角差的正切公式，推導(dǎo)連續(xù)兩個自然數(shù)的正切之差，構(gòu)造新型的裂項(xiàng)相消的式子，創(chuàng)新應(yīng)用型題；本題屬于難題.
【變式5-3】已知數(shù)列中，，，且.
(1)設(shè)，證明數(shù)列是常數(shù)列；
(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列的的前項(xiàng)和；
(3)設(shè)，求數(shù)列的前2022項(xiàng)的和.
【答案】(1)證明見解析
(2)，
(3)
【分析】（1）根據(jù)遞推公式可得即，再由即可得證；
（2）由（1）可得，從而得到是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式計算可得；
（3）依題意可得，列出的前幾項(xiàng)，即可找到規(guī)律，從而得解；
【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?，?br>所以，又，即，，
又，所以，即是常數(shù)列；
（2）解：由（1）可得，即，又，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，
記數(shù)列的的前項(xiàng)和為，則；
（3）解：因?yàn)?br>所以
所以，，
，．
所以
同理可得，，，，
所以，
，
每經(jīng)過4個數(shù)循環(huán)一次，
且，，
所以，
記數(shù)列的前項(xiàng)和為，
所以，
，
【變式5-4】在正項(xiàng)等比數(shù)列中，已知，.
（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.
（2）利用裂項(xiàng)求和法求得.
【詳解】（1）正項(xiàng)等比數(shù)列，中，，
設(shè)公比為，則，所以
解得，.
所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為.
（2），
所以
則
.
真題專練
1．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，且數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求其前項(xiàng)和
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由題意求出，則，兩式相減化簡變形可得，從而得數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可求出通項(xiàng)公式；
（2）方法一：設(shè)，整理后與比較求出的值，則，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果；
方法二：利用錯位相減法求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?
所以由題意可得數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，
所以，即，
所以，
兩式作差得：，
化簡得：即，
所以，
所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公比的等比數(shù)列，
故數(shù)列的通項(xiàng)公式為；
（2）方法一：
設(shè)，
則有，比較系數(shù)得，
所以
所以，
所以，
所以.
方法二：
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以
，
所以.
2．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）利用與的關(guān)系變形給定的遞推公式，構(gòu)造常數(shù)列求出數(shù)列的通項(xiàng)，再利用等差數(shù)列定義推理作答.
（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和作答.
【詳解】（1）數(shù)列中，，當(dāng)時，，
兩式相減得，即，則，
于是，因此數(shù)列是常數(shù)列，則，
從而，即，
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.
（2）由（1）知，，
所以.
3．在等差數(shù)列中，，其前項(xiàng)和滿足.
(1)求實(shí)數(shù)的值，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，求證：數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)，
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意的，進(jìn)而得，即可得到數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）知，得，進(jìn)而得，利用等比數(shù)列的前項(xiàng)和裂項(xiàng)求和，即可得到數(shù)列的前項(xiàng)和．
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)椋?
所以，所以. …
所以，所以.
所以.
（2）由（1）知，
所以.
所以.
所以

由于為正整數(shù)，所以成立.
4．已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且成等比數(shù)列.
(1)求和.
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件設(shè)出等差數(shù)列的公差，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)列式求出公差，然后根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和求和公式即可得到答案；
（2）根據(jù)（1）中所求寫出數(shù)列通項(xiàng)公式，然后結(jié)合裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求和.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
因?yàn)?，成等比?shù)列，
所以，即，
得，
解得或（舍），
所以，
所以，
.
（2）由（1）得，，
所以.
5．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)積為，且滿足 ．
(1)求證：為等差數(shù)列；
(2)記，求數(shù)列的前2023項(xiàng)的和M．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)所給遞推公式及前項(xiàng)和、積的定義化簡，由等差數(shù)列定義可得證；
（2）求出，利用裂項(xiàng)相消法求和.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>當(dāng)時，，解得或，
又，所以，故，
由，可得，所以，
當(dāng)時，．
所以，即，
所以，所以
所以是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.
（2）所以，則，
因?yàn)椋?br>故．
6．已知數(shù)列滿足．
(1)證明為等差數(shù)列，并的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．
【答案】(1)證明見解析，
(2)
【分析】（1）根據(jù)等差差數(shù)列的定義證明即可，從而可得的通項(xiàng)公式；
（2）利用分式分離變形，結(jié)合分組求和與裂項(xiàng)求和即可得.
【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?，?br>所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，則，
所以；
（2）
.
7．已知數(shù)列的前項(xiàng)的積記為，且滿足.
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）分類討論與兩種情況，利用遞推式求得與，從而得證；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求解即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>當(dāng)時，，即，易知，則，
當(dāng)時，，所以，即，
故數(shù)列是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列.
（2）由（1）得，
則，
所以.
8．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求集合中元素的個數(shù).
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系及與的關(guān)系化簡得出，即可求出通項(xiàng)公式；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求出，再解不等式即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以?br>所以
所以，即.
又因?yàn)?，所以?br>所以.
（2）因?yàn)椋?br>所以
令，得，
所以集合中元素的個數(shù)為.
9．已知等差數(shù)列，首項(xiàng)，其前項(xiàng)和為，點(diǎn)在斜率為1的直線上．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：．
【答案】(1)
(2)證明詳見解析.
【分析】（1）求出，再根據(jù)與的關(guān)系求出即可；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法求和再求最值即可.
【詳解】（1）設(shè)斜率為1的直線為，則，
當(dāng)時，，所以，因?yàn)椋裕?br>所以，
當(dāng)時，，
所以，經(jīng)檢驗(yàn)，也成立.
所以.
（2）證明：由（1）可得，，
則
，
因?yàn)椋?br>所以數(shù)列是一個單調(diào)遞增數(shù)列，
又因?yàn)?，且?dāng)時，.
所以.
10．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求；
(2)記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）當(dāng)時，利用推出，由等差中項(xiàng)法得為等差數(shù)列，根據(jù)與求出公差，可得通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)進(jìn)行裂項(xiàng)求和可求出結(jié)果.
【詳解】（1）由，
當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，，
所以 ，
整理得：，①
所以有，②
①-②可得，
所以為等差數(shù)列，
因?yàn)?，所以公差為?br>所以.
（2），
∴
.
11．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足.
(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）對遞推式變形，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明；
（2）先由（1）的結(jié)論求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，再求出，最后利用裂項(xiàng)相消法求和即可.
【詳解】（1）由，可得，
又，所以是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列；
（2）由（1）知：，
所以，
所以，
所以
.
12．在公差不為0的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列．
(1)求的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和公式．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用已知條件和等比中項(xiàng)，求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求出通項(xiàng)公式；
（2）利用裂項(xiàng)相消法即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）公差不為零的等差數(shù)列中，，又成等比數(shù)列，
所以，即，
解得，
則，
.
（2）由（1）可知，，
可得數(shù)列的前項(xiàng)和
.
13．已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，.
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)證明見解析；
(2)
【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義可證等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得;
（2）根據(jù)裂項(xiàng)求和法可求出結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，?br>所以，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，
所以，所以.
（2） ,
所以
.
14．已知數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先把題干條件等價變成，然后用累加法進(jìn)行求解；
（2）結(jié)合特殊的三角函數(shù)值，利用分組求和進(jìn)行求解.
【詳解】（1）由得，，
所以時，，
故，又，則，當(dāng)時，成立，
所以，．
（2）由（1）知，，
所以，
，
因?yàn)椋?br>于是，
所以，．
故數(shù)列的前項(xiàng)和為．
15．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)已知_________，是的前項(xiàng)和，證明：．
從①，②中選取一個補(bǔ)充至題中并完成問題．
【答案】(1)
(2)條件選擇見解析，證明見解析
【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系化簡可得，，根據(jù)等比數(shù)列定義證明數(shù)列是等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式求解；
（2）選①，由，利用裂項(xiàng)相消法求的前項(xiàng)和，完成證明；
選②，由，利用裂項(xiàng)相消法求的前項(xiàng)和，完成證明；
【詳解】（1）當(dāng)時，，
∴，
∴，
當(dāng)時，∵，
∴，
∴，
∴，
∴．又．
∴數(shù)列是以3為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，
∴．
（2）選①：由，
知，
故．
選②：由，
知．
16．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件列出方程組求解；
（2）對裂項(xiàng)，用累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】（1）設(shè)的公差為，首項(xiàng)為，因?yàn)?br>所以，解得，
所以.
（2）由題設(shè)，
所以當(dāng)時，，
將上式累加可得：，
又，則.
又，也適合上式，故.
17．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)若，，成等比數(shù)列.從下面三個條件中選擇一個，求數(shù)列的前項(xiàng)和.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）
①；②；③.
【答案】(1)證明見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）依題意可得，根據(jù)，作差得到，當(dāng)時兩邊同除，即可得到為常數(shù)數(shù)列，從而求出，即可證明；
（2）設(shè)的公差為，根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到方程，求出，即可求出的通項(xiàng)，再根據(jù)所選條件，利用裂項(xiàng)相消法計算可得.
【詳解】（1）因?yàn)椋?，?dāng)時，解得，
當(dāng)時，所以，
即，
所以，
當(dāng)時上述式子恒成立，
當(dāng)時兩邊同除可得，
即，所以為常數(shù)數(shù)列，即，
所以，即，
當(dāng)時上述也成立，
所以，
所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.
（2）設(shè)的公差為，因?yàn)?，，成等比?shù)列，
所以，即，解得，所以；
若選①，則，
所以.
若選②，則，
所以.
若選③，則，
所以
.
18．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得，結(jié)合裂項(xiàng)相消求和法即可求解.
【詳解】（1）①，
當(dāng)時，，解得.
當(dāng)時，②，
①-②，得，所以，
又，符合上式，故.
（2）由（1）知，則，
所以，
則
.
19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足，等差數(shù)列中，，．
(1)求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；
(2)記，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
【答案】(1)，；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用與的關(guān)系求出，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出公差即可作答.
（2）由（1）求出，再利用裂項(xiàng)相消法求和作答.
【詳解】（1）當(dāng)時，，解得，
當(dāng)時，，則，
即，于是，因此是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，則，
等差數(shù)列中，，則公差，于是，
所以數(shù)列，的通項(xiàng)公式分別為：，.
（2）由（1）知，，，
則 ，
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和.
20．記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)下標(biāo)和定理及得出，結(jié)合即可求出，進(jìn)而寫出通項(xiàng)公式；
（2）首先寫出的表達(dá)式，由裂項(xiàng)相消法得出，由解出即可．
【詳解】（1）設(shè)的公差為d，因?yàn)椋?br>所以，解得，
又，所以．
所以．
（2）因?yàn)椋?br>所以
，
由，解得，
所以．

相關(guān)試卷

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題題型歸納訓(xùn)練第03講 分組法和并項(xiàng)法求數(shù)列前n項(xiàng)和（2份，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題題型歸納訓(xùn)練第03講 分組法和并項(xiàng)法求數(shù)列前n項(xiàng)和（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題題型歸納訓(xùn)練第03講分組法和并項(xiàng)法求數(shù)列前n項(xiàng)和原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題題型歸納訓(xùn)練第03講分組法和并項(xiàng)法求數(shù)列前n項(xiàng)和解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共65頁， 歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題題型歸納訓(xùn)練專題05 錯位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和（2份，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題題型歸納訓(xùn)練專題05 錯位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題題型歸納訓(xùn)練專題05錯位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題題型歸納訓(xùn)練專題05錯位相減法求數(shù)列前n項(xiàng)和解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共61頁， 歡迎下載使用。

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題題型歸納訓(xùn)練專題04 裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和（2份，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題題型歸納訓(xùn)練專題04 裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和（2份，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題題型歸納訓(xùn)練專題04裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和原卷版doc、新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題題型歸納訓(xùn)練專題04裂項(xiàng)相消法求數(shù)列前n項(xiàng)和解析版doc等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共61頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題題型歸納訓(xùn)練專題03 分組（并項(xiàng)）法求數(shù)列前n項(xiàng)和（2份，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題題型歸納訓(xùn)練專題03 分組（并項(xiàng)）法求數(shù)列前n項(xiàng)和（2份，原卷版+解析版）
專題01 數(shù)列求通項(xiàng)（數(shù)列前n項(xiàng)和Sn法、數(shù)列前n項(xiàng)積Tn法）(典型題型歸類訓(xùn)練)-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題解題技巧（新高考專用）

專題01 數(shù)列求通項(xiàng)（數(shù)列前n項(xiàng)和Sn法、數(shù)列前n項(xiàng)積Tn法）(典型題型歸類訓(xùn)練)-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)大題解題技巧（新高考專用）
【專項(xiàng)復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué)專題01 數(shù)列求通項(xiàng)（數(shù)列前n項(xiàng)和Sn法、數(shù)列前n項(xiàng)積Tn法）（題型訓(xùn)練）.zip

【專項(xiàng)復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué)專題01 數(shù)列求通項(xiàng)（數(shù)列前n項(xiàng)和Sn法、數(shù)列前n項(xiàng)積Tn法）（題型訓(xùn)練）.zip
數(shù)列求和（裂項(xiàng)相消法）(典型題型歸類訓(xùn)練)（原卷及解析版）

數(shù)列求和（裂項(xiàng)相消法）(典型題型歸類訓(xùn)練)（原卷及解析版）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊
手機(jī)號碼

手機(jī)號格式錯誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機(jī)號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部