1．如圖，是以原點(diǎn)為圓心的單位圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),若它們同時(shí)從點(diǎn) 出發(fā)，沿逆時(shí)針?lè)较蜃鲃蚪撬俣冗\(yùn)動(dòng),其角速度分別為 （單位：弧度/秒），為線(xiàn)段 的中點(diǎn)，記經(jīng)過(guò)秒后(其中 )，
(I)求的函數(shù)解析式；
(II)將圖象上的各點(diǎn)均向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到 的圖象，求函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間．
【答案】（Ⅰ）f（x）＝csx，（0≤x≤6），（Ⅱ）[2，8]．
【分析】（Ⅰ）依題意可知∠POAx，∠QOAx，∠MOQx，從而求得f（x）＝|OM|＝cs∠MOQ 的解析式；
（Ⅱ）依題意可知g（x）＝cs（x）（2≤x≤8），由2kπx2kπ+π，求得x的范圍，可得函數(shù)y＝g（x）在[2，8]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
【詳解】解：（Ⅰ）依題意可知∠POAx，∠QOAx．
∵|OP|＝|OQ|＝1，∴|OM|＝|OQ|?cs∠MOQ＝cs∠MOQ，
∴∠MOQx，∴f（x）＝|OM|＝csx（0≤x≤6），
即 f（x）＝csx，（0≤x≤6）．
（Ⅱ）依題意可知g（x）＝cs（x﹣2）＝cs（x）（2≤x≤8），
由2kπx2kπ+π，得 24k+2≤x≤24k+14，
故函數(shù)y＝g（x）在[2，8]上的單調(diào)遞減區(qū)間為[2，8]．
【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形中的邊角關(guān)系，余弦函數(shù)的單調(diào)性，考查轉(zhuǎn)化能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
2．設(shè)函數(shù)，.
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；
（Ⅱ）已知函數(shù)的圖象與直線(xiàn)有交點(diǎn)，求相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的最短距離.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【詳解】試題分析：（Ⅰ）先根據(jù)兩角差正弦公式、二倍角公式、配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)再根據(jù)基本三角函數(shù)性質(zhì)求其值域；（Ⅱ）先根據(jù)方程解出交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)交點(diǎn)間距離求最小值
試題解析：（Ⅰ）解：因?yàn)?

=，
因?yàn)?，
所以，
所以 ，
即，
其中當(dāng)時(shí)，取到最大值2；當(dāng)時(shí)，取到最小值，
所以函數(shù)的值域?yàn)?
（Ⅱ）依題意，得，，
所以或 ，
所以或 ，
所以函數(shù)的圖象與直線(xiàn)的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)間的最短距離為.
考點(diǎn)：兩角差正弦公式、二倍角公式、配角公式，三角函數(shù)性質(zhì)
3．已知，且是第三象限角，
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】(1);(2).
【解析】（1）由同角三角函數(shù)的關(guān)系可得，結(jié)合，是第三象限角可得，的值；
（2）利用誘導(dǎo)公式將原式化簡(jiǎn)，代入，的值可得答案.
【詳解】解：(1)由，可得，即，
可得，由是第三象限角，可得，
故的值為;
(2) ,
代入，的值，
可得原式.
【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用及誘導(dǎo)公式，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性，屬于基礎(chǔ)題型.
4．如圖，某市準(zhǔn)備在道路EF的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)比賽道，賽道的前一部分為曲線(xiàn)段FBC．該曲線(xiàn)段是函數(shù)時(shí)的圖象，且圖象的最高點(diǎn)為B賽道的中間部分為長(zhǎng)千米的直線(xiàn)跑道CD，且CD∥EF；賽道的后一部分是以為圓心的一段圓弧DE．
(1)求的值和∠DOE的大??；
(2)若要在圓弧賽道所對(duì)應(yīng)的扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個(gè)“矩形草坪”，矩形的一邊在道路EF上，一個(gè)頂點(diǎn)在半徑OD上，另外一個(gè)頂點(diǎn)P在圓弧DE上，求“矩形草坪”面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)的位置．
【答案】（1）； （2）；
【分析】(1)依題意,得，根據(jù)周期公式可得,把B的坐標(biāo)代入結(jié)合已知可得，從而可求的大小
(2)由(1)可知，矩形草坪的面積S關(guān)于的函數(shù)，有，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求S取得最大值
【詳解】(1)由條件可得，，，，曲線(xiàn)段FBC的解析式為，當(dāng)時(shí)，，又，
(2)由(1)，可知，又易知當(dāng)“矩形草坪”的面積最大時(shí)，點(diǎn)P在弧DE上，
故，設(shè)， “矩形草坪”的面積為
,故當(dāng)時(shí)，時(shí)，取得最大值，
此時(shí)
故面積最大值為：，點(diǎn)坐標(biāo)為（）
【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)際問(wèn)題中，由的部分圖象確定函數(shù)的解析式，常規(guī)步驟為：由函數(shù)的最值確定A的值，由函數(shù)所過(guò)的特殊點(diǎn)確定周期T，利用周期公式求，再把函數(shù)所給的點(diǎn)(一般用最值點(diǎn))的坐標(biāo)代入求，從而求出函數(shù)的解析式；還考查了實(shí)際問(wèn)題中的最值的求解，解題關(guān)鍵是要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)求解
5． 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值.
【答案】(Ⅰ) ；
(Ⅱ) .
【分析】(Ⅰ)由題意結(jié)合正弦定理得到的比例關(guān)系，然后利用余弦定理可得的值
(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用兩角和的正弦公式可得的值.
【詳解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，
又由，得，即.
又因?yàn)?，得到?
由余弦定理可得 .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，
從而，.
故.
【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及正弦定理?余弦定理等基礎(chǔ)知識(shí).考查計(jì)算求解能力.
6．已知函數(shù)，直線(xiàn)是函數(shù)f(x)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸.
（1）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
（2）已知函數(shù)y=g(x)的圖象是由y=f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，然后再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，若求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）首先化簡(jiǎn)函數(shù)，再根據(jù)是函數(shù)的一條對(duì)稱(chēng)軸，代入求，再求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）先根據(jù)函數(shù)圖象變換得到，并代入后，得，再利用角的變換求的值.
【詳解】（1），
當(dāng)時(shí)，，得，
，，
即，令，
解得：，，
函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；
（2），
，得，
，，，

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的圖象變換，以及的性質(zhì)，屬于中檔題型，的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（或縮短）到原來(lái)的倍，得到函數(shù)的解析式是，若向右（或左）平移（）個(gè)單位，得到函數(shù)的解析式是或.
7．已知函數(shù)．
(1)若，，求的對(duì)稱(chēng)中心；
(2)已知，函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，是的一個(gè)零點(diǎn)，若函數(shù)在（且）上恰好有10個(gè)零點(diǎn)，求的最小值；
(3)已知函數(shù)，在第（2）問(wèn)條件下，若對(duì)任意，存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)或;
(2);
(3).
【分析】（1）由，可求得函數(shù)的最小正周期，進(jìn)而確定參數(shù)的值，再由整體代換即可求得對(duì)稱(chēng)中心；（2）由三角函數(shù)的平移變換求得的解析式，再由零點(diǎn)的定義確定參數(shù)的值，結(jié)合圖象可得的最小值；（3）將所給條件轉(zhuǎn)化為和的值域的包含關(guān)系，即可求得參數(shù)的取值范圍．
【詳解】（1）∵的最小正周期為，
又∵，，∴的最小正周期是，
故，解得，
當(dāng)時(shí)，，由，的對(duì)稱(chēng)中心為；
當(dāng)時(shí)，，由，的對(duì)稱(chēng)中心為；
綜上所述，的對(duì)稱(chēng)中心為或.
（2）∵函數(shù)圖象向右平移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象，
∴.
又∵是的一個(gè)零點(diǎn)，
，即，
∴或，
解得或，
由可得
∴，最小正周期.
令，則
即或，解得或，；
若函數(shù)在（且）上恰好有10個(gè)零點(diǎn)，故
要使最小，須、恰好為的零點(diǎn)，故.
（3）由（2）知，對(duì)任意，存在，使得成立，則，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
由可得，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】本題第（3）小問(wèn)為不等式的恒成立問(wèn)題，解決方法如下：
一般地，已知函數(shù)，
（1）若，，總有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，則的值域是值域的子集．
8．已知函數(shù)，，從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求：
(1)的最小正周期；
(2)在區(qū)間上的最小值.
【答案】(1)選條件①；選條件②
(2)選條件①；選條件②
【分析】選條件①：；
（1）利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)可得 ，
由周期公式可得答案；
（2）根據(jù)的范圍求得的范圍可得答案；
選條件②：.
（1）利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)可得 ，
由周期公式可得答案；
（2）根據(jù)的范圍求得的范圍可得答案.
【詳解】（1）選條件①：；
（1）
，
所以的最小正周期是.
選條件②：.

，
所以最小正周期是.
（2）選條件①：；
因?yàn)椋?br>所以≤≤，
所以≤≤，
所以≤≤，
當(dāng)，即時(shí)，有最小值.
選條件②：.
因?yàn)椋?br>所以≤≤，
所以≤≤，
當(dāng)，即時(shí)，有最小值.
9．在 中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且．
(1)求；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先利用正弦定理將邊化角，再根據(jù)兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；
（2）利用正弦定理將邊化角即可得到，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，最后根據(jù)利用兩角和的正弦公式計(jì)算可得；
【詳解】（1）解：因?yàn)椋?br>即，由正弦定理可得，
又，
即，
所以，
即，因?yàn)?，所以，又，所?br>（2）解：因?yàn)?，所以?br>因?yàn)?，所以?br>所以
10．已知函數(shù)，是函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，且在區(qū)間上單調(diào)．
(1)從條件①、條件②、條件③中選一個(gè)作為已知，使得的解析式存在，并求出其解析式；
條件①：函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)；
條件②：是的對(duì)稱(chēng)中心；
條件③：是的對(duì)稱(chēng)中心.
(2)根據(jù)（1）中確定的，求函數(shù)的值域．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意得到和，
再根據(jù)選擇的條件得到第三個(gè)方程，分析方程組即可求解；
（2）先求出所在的范圍，再根據(jù)圖像求出函數(shù)值域即可.
【詳解】（1）因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)，所以，
因?yàn)?，且，解得；又因?yàn)槭呛瘮?shù)的對(duì)稱(chēng)軸，
所以；
若選條件①：因?yàn)楹瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，
因?yàn)?，所以?所以，即，
當(dāng)時(shí)，，滿(mǎn)足題意，故.
若選條件②：因?yàn)槭堑膶?duì)稱(chēng)中心，所以，
所以，此方程無(wú)解，故條件②無(wú)法解出滿(mǎn)足題意得函數(shù)解析式.
若條件③：因?yàn)槭堑膶?duì)稱(chēng)中心，所以，
所以，解得，所以.
（2）由（1）知，，
所以等價(jià)于，，
所以，所以，
即函數(shù)的值域?yàn)椋?
11．已知向量．
(1)當(dāng)時(shí)，求的值；
(2)設(shè)函數(shù)，已知在△ ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為，若，求 ()的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由，可得，化簡(jiǎn)可得，再代值計(jì)算即可，
（2）由題意利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角函數(shù)恒等變換公式化簡(jiǎn)可得，再利用正弦定理可求得，從而可得 ，由，得，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求得其范圍
【詳解】（1）因?yàn)?，?br>所以，所以，
所以
（2）因?yàn)椋?br>所以，
所以
，
在△ ABC中，，
所以由正弦定理得，，得，
因?yàn)?，所以角為銳角，所以，
所以
，
因?yàn)?，所以?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
所以 ()的取值范圍為
12．已知， .
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求 .的值
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)可得，解方程并結(jié)合角的范圍求得；
（2）利用弦化切，將化為，可得答案；
（3）利用，將化為，繼而化為，求得答案.
【詳解】（1）由得，
解得或 ，
因?yàn)?，故，則；
（2）；
（3）
.
13．已知函數(shù)．
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）的解析式可化簡(jiǎn)為，令，即可解得的單調(diào)遞增區(qū)間
（2）對(duì)恒成立的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化后，結(jié)合的范圍可得，從而解得的范圍
【詳解】（1）
令
解之得
∴的單調(diào)遞增區(qū)間為
（2）對(duì)任意，都有，
∵，
∴，
∴，
∴實(shí)數(shù)的范圍為．
14．已知函數(shù)
(1)求函數(shù)的最小正周期及對(duì)稱(chēng)軸方程；
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變?橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，得到函數(shù)的圖象，求在[0，2π]上的單調(diào)遞減區(qū)間.
【答案】(1)最小正周期為，對(duì)稱(chēng)軸方程為，
(2)
【分析】（1）利用兩角和差的正余弦公式與輔助角公式化簡(jiǎn)可得，再根據(jù)周期的公式與余弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸公式求解即可；
（2）根據(jù)三角函數(shù)圖形變換的性質(zhì)可得，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解即可.
【詳解】（1），
，
所以函數(shù)的最小正周期為，
令，，得函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸方程為，
（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后所得圖象的解析式為，
所以，
令，
所以.又，
所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間為.
15．已知函數(shù)，其中向量，．
(1)求的解析式及對(duì)稱(chēng)中心和單調(diào)減區(qū)間；
(2)不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】(1)，對(duì)稱(chēng)中心為，單調(diào)減區(qū)間是
(2)
【分析】(1)利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和正余弦的二倍角公式可得，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
(2)由題意可得：在上恒成立，求出的最值，轉(zhuǎn)化為，解之即可.
【詳解】（1）

令，對(duì)稱(chēng)中心
又令，
所以單調(diào)減區(qū)間是
（2）不等式在上恒成立，
，即在上恒成立，
，
因?yàn)?，所以，
當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，
最小值為，
當(dāng)，即時(shí)，取得最大值，
最大值為，
即，得，
即實(shí)數(shù)m的取值范圍是
16．已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心及最小正周期；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，，函數(shù)的最小正周期為；
(2).
【分析】(1)根據(jù)三角恒等變換公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心及最小正周期；(2)由(1)可得，結(jié)合兩角差正弦函數(shù)，二倍角公式，同角關(guān)系化簡(jiǎn)可求.
【詳解】（1）

，
，
，
令，，可得，，
又，
所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心為，，
函數(shù)的最小正周期；
（2）因?yàn)?，所以?br>所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
因?yàn)?，所以?br>故，
所以，
所以或，
又，故.
17．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.當(dāng)時(shí)，方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍以及的值.
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）由三角函數(shù)圖象的最大值與最小值，求出，得到最小正周期，求出，再代入特殊點(diǎn)的坐標(biāo)，求出，得到函數(shù)解析式；
（2）先根據(jù)平移變換和伸縮變換得到，令，換元后利用整體法求出函數(shù)的單調(diào)性和端點(diǎn)值，得到，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)性得到，相加后得到，求出答案.
【詳解】（1）由圖示得：，解得：，
又，所以，所以，
所以.
又因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以，即，
所以，解得，
又，所以，所以.
（2）圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到，
將所得圖象上每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到，
當(dāng)時(shí)，，
令，則，
令，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，
且，
,
所以時(shí)，.當(dāng)時(shí)，方程恰有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
因?yàn)橛腥齻€(gè)不同的實(shí)數(shù)根，
且關(guān)于對(duì)稱(chēng)，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
則，
兩式相加得：，
即，所以.
18．已知為奇函數(shù)，其中.
(1)求函數(shù)的最小正周期和的表達(dá)式；
(2)若，求的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)列關(guān)于的等式，即可求出解析式，得到周期；
（2）根據(jù)，求出，與然后再求解.
【詳解】（1）因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，
所以，
化簡(jiǎn)得到求出
，所以
，最小正周期是；
（2）若
所以
19．已知函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足下列四個(gè)條件中的三個(gè)：①；②；③最大值為2；④最小正周期為.
(1)給出函數(shù)的解析式，并說(shuō)明理由；
(2)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.
【答案】(1)，理由見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）由可以排除條件②，再利用條件①③④根據(jù)特殊值、最值與周期公式即可求解；
（2）運(yùn)用整體思想直接代入正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間即可求解.
【詳解】（1）依題意，
若函數(shù)滿(mǎn)足條件②，則，
這與矛盾，所以不能滿(mǎn)足條件②，
所以應(yīng)滿(mǎn)足條件①③④
由條件④得，且，所以，
由條件③得，
再由條件①得，
且， 所以，
所以；
（2）由，
得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.
20．已知函數(shù)（，）的部分圖象如圖所示.
(1)求的解析式，并求的單調(diào)遞增區(qū)間；
(2)若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，單調(diào)遞增區(qū)間為
(2)
【分析】（1）先求出的周期，再代點(diǎn)進(jìn)去求出，從而得到的解析式后，進(jìn)而利用整體法即可求得的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）先根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)絕對(duì)值內(nèi)的表達(dá)式，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解不等式即可.
【詳解】（1）由圖象可得的最小正周期，∴，又可知，
由，解得，，
又因?yàn)?，得，?
由，，解得，，
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）
.
由得，.
∵，∴，
作出的部分圖像如下：
結(jié)合圖像可知：，解得.
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
二、三角恒等變換
21．已知函數(shù)．
(1)如果，試求的值；
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
【答案】(1)；
(2)遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.
【分析】（1）利用二倍角公式、和角的正弦公式及輔助角公式變形函數(shù)，再利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式求解作答.
（2）根據(jù)給定函數(shù)的定義域，結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性求解作答.
【詳解】（1）函數(shù)中，，即，
，由，得，
所以.
（2）由（1）知，函數(shù)的定義域?yàn)?，即有?br>由，得，
由，得，
所以函數(shù)的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.
22．設(shè).
(1)判斷函數(shù)的奇偶性，并寫(xiě)出最小正周期；
(2)求函數(shù)在上的最大值.
【答案】(1)非奇非偶函數(shù)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)，結(jié)合函數(shù)奇偶性的定義以及正弦函數(shù)的周期，即可求得答案；
（2）化簡(jiǎn)，結(jié)合，求得，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意得，
故
，令，,
由于不恒等于，也不等于，
故為非奇非偶函數(shù)，
其最小正周期為；
（2）由題意可得
，
因?yàn)?，所以，故?br>故的最大值為，
即函數(shù)在上的最大值為.
23．設(shè)函數(shù)，從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知，使得存在.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)當(dāng)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.
條件①：；
條件②：的最小值為；
條件③：的圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為.
【答案】(1)選擇條件②③，
(2)
【分析】（1）由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的奇偶性可排除條件①，先利用輔助角公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求解；
（2）根據(jù)的取值范圍得到的取值范圍，再求出函數(shù)在上的單調(diào)性，依題意的圖象與直線(xiàn)在上有兩個(gè)交點(diǎn)，即可求出參數(shù)的取值范圍.
【詳解】（1）若選擇條件①，
因?yàn)?，所以?br>由可得對(duì)恒成立，與矛盾，
所以選擇條件②③.
由題意可得，
其中，，
因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以，解得?br>所以，設(shè)，則，
由的圖象的相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為，可得，
所以，解得，
所以.
（2）當(dāng)時(shí)，，
令，解得，所以在上單調(diào)遞增，
且，則，
令，解得，所以在上單調(diào)遞減，
且，則，
因?yàn)楹瘮?shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，所以與在上有兩個(gè)交點(diǎn)，
所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
24．已知函數(shù)，其圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸與相鄰對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)相差，______，從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在空白橫線(xiàn)中.①函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)且；②函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為且.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，求t的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)可得，根據(jù)最小正周期求出，若選①，則根據(jù)三角函數(shù)的圖象平移變換求得，可得解析式；若選②，則根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性求得，即得解析式；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的伸縮變換可得，結(jié)合x(chóng)的取值范圍，確定，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可求得t的取值范圍.
【詳解】（1）由題意可得
，
，
由于其圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸與相鄰對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)相差，故,
故.
若選①，函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，
由題意知該函數(shù)為偶函數(shù)，故，
由于且，即，故，
故；
若選②，函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為且，
則，
由于且，即，故，
故；
（2）由題意可得，
由于在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)，故，
即.
25．設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，其中為常數(shù)且
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)在中，已知，且，求的值．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）應(yīng)用倍角正余弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸有且，結(jié)合參數(shù)范圍求參數(shù)值，即可得函數(shù)解析式；
（2）由題設(shè)得求得，根據(jù)已知求得，然后利用三角恒等變換結(jié)合條件即得.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>所以，
由題意且，則且，
由，則，故，
所以.
（2）由，則，，
所以，故，可得，
所以，而，故，
所以，且，
所以，
所以.
26．已知扇形OAB的半徑為1，，P是圓弧上一點(diǎn)（不與A，B重合），過(guò)P作，M，N為垂足．

(1)若，求PN的長(zhǎng)；
(2)設(shè)，PM，PN的線(xiàn)段之和為y，求y的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）在直角與直角中，利用銳角三角函數(shù)的定義求解作答.
（2）由（1）中信息，把y用x的函數(shù)表示出，再借助正弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.
【詳解】（1）在中，，則，顯然，
則，從而，
在中，，所以.
（2）依題意，
，
因此，
顯然，于是，
所以y的取值范圍是.
27．設(shè)函數(shù)，其中.
(1)若的最小正周期為，求的單調(diào)增區(qū)間；
(2)若函數(shù)圖像在上存在對(duì)稱(chēng)軸，求的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式，然后根據(jù)最小正周期公式算出，然后利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求解；
（2）利用正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸公式求參數(shù)的范圍.
【詳解】（1）由題意，，
又，于是，則，則，
根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，令，
解得，,即為的單調(diào)遞增區(qū)間.
（2）當(dāng)，，
注意到題干，則，
根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸，
顯然只有時(shí)一條對(duì)稱(chēng)軸，
于是，解得，
結(jié)合可得
28．在①函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)；
②函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；
③函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)；
這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并解答．
問(wèn)題：已知函數(shù)最小正周期為，
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)函數(shù)在上的最大值和最小值．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）首先得出，根據(jù)最小正周期為得出，選①：根據(jù)的對(duì)稱(chēng)軸，結(jié)合的范圍即可求得；選②：根據(jù)的對(duì)稱(chēng)中心，結(jié)合的范圍即可求得；選③：將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得出，再結(jié)合的范圍即可求得；
（2）根據(jù)函數(shù)解析式，求出的范圍，結(jié)合的圖像，即可求出的最大值與最小值．
【詳解】（1）由題意得，
因?yàn)?最小正周期為，
所以，即，
選①：函數(shù)的圖像關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，
則，即，
又因?yàn)椋?br>所以，即；
選②：函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，
則，即
又因?yàn)椋?br>所以，即；
選③：函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
則，即，
所以，
又因?yàn)椋?br>所以，即，
綜上所述，選①；選②；選③．
（2）選①，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以函數(shù)在上的最大值為和最小值為；
選②，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以函數(shù)在上的最大值為和最小值為；
選③，，
當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以函數(shù)在上的最大值為和最小值為；
綜上所述，選①，函數(shù)在上的最大值為和最小值為；
選②，函數(shù)在上的最大值為和最小值為；
選③，函數(shù)在上的最大值為和最小值為．
29．已知函數(shù) ，其圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸與相鄰對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)相差，______，從以下兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在空白橫線(xiàn)中.
①函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)且；
②函數(shù)的圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為且.
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)若關(guān)于x的方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，由三角恒等變換化簡(jiǎn)，然后由條件可得，根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即可求得；
（2）根據(jù)題意，將方程根問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，再結(jié)合換元法求得 的值域，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)?br>，
又其圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸與相鄰對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)相差，
所以，即，所以，即，
若選①，則函數(shù)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后為，
又其為偶函數(shù)，所以，即，
又因?yàn)?，且，所以，所以?br>若選②，因?yàn)楹瘮?shù)的圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為，
則，即，所以，
又因?yàn)?，且，所以，所以?br>故無(wú)論選①還是選②，都有
（2）因?yàn)?br>，令，則，
即，則
則方程有實(shí)根，即與有交點(diǎn)，所以，則
30．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且其圖象相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為.
(1)求和；
(2)當(dāng)時(shí)，記方程的根為，，，求的范圍.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根據(jù)三角恒等變換得，再利用相鄰對(duì)稱(chēng)軸的距離求出，根據(jù)其為奇函數(shù)，利用即可求出；
（2）由（1）得，利用整體換元法和三角函數(shù)圖象知，再根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性和周期性得，，最后即可得其范圍.
【詳解】（1）
，
因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為，所以，可得.
又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，
所以，則，，解得.
由得.
此時(shí)，易知其為奇函數(shù).
（2）由（1）知，，即.
因?yàn)?，可得?br>結(jié)合正弦函數(shù)圖象知，，即.
且，，
則，，
故.
31．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的定義域；
(2)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【答案】(1)
(2)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
【分析】（1）先列出關(guān)于x的不等式組，解之即可求得函數(shù)的定義域；
（2）先化簡(jiǎn)的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【詳解】（1），即，則，即，
又有意義，則，，
綜上可得，，，則函數(shù)的定義域?yàn)?br>（2）


∵，則，
由，解得，
由，解得，
即的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
32．在銳角中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知.
(1)求角的大??；
(2)求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)兩角和的正切公式和誘導(dǎo)公式即可求解，
（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1），
又,所以,
由于為三角形的內(nèi)角，所以,
（2）由于，所以,
故,
由于為銳角三角形，所以且，故，
則，故，
故的取值范圍為
33．已知，．
(1)若函數(shù)圖象的兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，求的值；
(2)若函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，且函數(shù)在上單調(diào)，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，依題意，即可求出，從而得到函數(shù)解析式，再代入計(jì)算可得；
（2）由對(duì)稱(chēng)性得到，，再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性求出的范圍，即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)椋?br>因?yàn)楹瘮?shù)圖象的兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為，
所以，則，所以，解得，
所以，所以.
（2）由，函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，
所以，，所以，，
由，，則，
又函數(shù)在上單調(diào)，所以，解得，
所以當(dāng)時(shí).
34．已知函數(shù)，且．
(1)求的值和的最小正周期；
(2)求在上的單調(diào)遞增區(qū)間．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）根據(jù)代入求出，再利用三角恒等變換公式化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；
（2）由正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)?，且?br>所以，解得，
所以
，
即，所以的最小正周期；
（2）由，，
解得，，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，，
當(dāng)時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
當(dāng)時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，
所以在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，.
35．已知
(1)若且 時(shí)，與的夾角為鈍角，求的取值范圍；
(2)若函數(shù)，求的最小值.
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積及共線(xiàn)向量的坐標(biāo)表示列式，求出范圍作答.
（2）利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出函數(shù)，再利用換元法結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解作答.
【詳解】（1）當(dāng) 時(shí)， ，與的夾角為鈍角，
于是，且與不共線(xiàn)，
則 ，解得，又，即，
則有，又當(dāng)與共線(xiàn)時(shí)，，解得，
因此與不共線(xiàn)時(shí)，，
所以的取值范圍是.
（2）依題意，當(dāng)時(shí)，
，
令，則，
于是，而函數(shù)在上為增函數(shù)，
則當(dāng)時(shí)，y有最小值，
所以的最小值為
36．在中，對(duì)應(yīng)的邊分別為，且．且
(1)求；
(2)若，上有一動(dòng)點(diǎn)（異于B、C），將沿AP折起使BP與CP夾角為，求與平面所成角正弦值的范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方法一：邊角轉(zhuǎn)化得到之后，分類(lèi)討論和的大小；
（2）方法一：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量來(lái)求線(xiàn)面角；
方法二：利用等體積法結(jié)合幾何體中的數(shù)據(jù)關(guān)系表示出線(xiàn)面角的正弦進(jìn)行求解.
【詳解】（1）方法一：由，結(jié)合二倍角公式可得，，
即.
若，則，于是，
根據(jù)正弦函數(shù)在上遞增可得，
，類(lèi)似的有，
于是，
這與矛盾；
若，則，于是，
根據(jù)正弦函數(shù)在上遞增可得，
，
類(lèi)似的有，于是，
這與矛盾；
若，即，此時(shí)確實(shí)成立.
綜上所述，.
方法二：將代入可得
，
再利用兩角和的正弦公式和二倍角的余弦公式，化簡(jiǎn)即可得
所以，
即，
再由和差化積公式可得：
，
所以
不妨設(shè)，則，
所以，
即，又，所以，
可得，所以.
（2）
由題意，折疊后的幾何體如下，設(shè)，則
在中，若，由余弦定理得，.
下以為原點(diǎn)，分別為軸，過(guò)垂直于平面的直線(xiàn)為軸.
設(shè)，則，，由
①
②
③，
由①②解得：，
由①③解得：，
根據(jù)線(xiàn)面角的定義，（不妨取是正數(shù)），
則與平面所成角正弦值為.
記，則 ，
注意到，于是，
又
，而，
故，故，
根據(jù)多項(xiàng)式除法，約去因式，
得到，即，
根據(jù)求根公式可得，的正實(shí)根為，
故在上遞增，在上遞減，
經(jīng)計(jì)算得到，故在上的值域?yàn)?，注意到?br>故，于是，故，即，
于是直線(xiàn)與平面所成角正弦值的范圍是.
在中，若，同理可得，直線(xiàn)與平面所成角正弦值的范圍是.
方法二：
作底面，垂足為，連接，設(shè)到平面的距離為，到平面的距離為，，由題意知.
先說(shuō)明和平面不可能垂直，否則由平面可得，由，可得，這與矛盾，于是是平面的斜線(xiàn)，即.
由可得，，即.
設(shè)，根據(jù)線(xiàn)面角的定義，即為與平面所成角.
于是，即.
37．已知函數(shù).在下面兩個(gè)條件中選擇其中一個(gè)，完成下面兩個(gè)問(wèn)題：
條件①：在圖象上相鄰的兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的距離為；
條件②：的一條對(duì)稱(chēng)軸為.
(1)求ω；
(2)將的圖象向右平移個(gè)單位（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求函數(shù)在上的值域.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由三角函數(shù)的恒等變換對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，再分別由條件①②求的值．
（2）由三角函數(shù)的平移變換得的解析式，再由函數(shù)的定義域求值域即可．
【詳解】（1）
選①：圖象上相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的距離為，
則，則，
選②：的一條對(duì)稱(chēng)軸為，
則，
，又，則，
于是
（2）將的圖象向右移個(gè)單位長(zhǎng)度（縱坐標(biāo)不變），
得到函數(shù)的圖象
，
，
，
的值域?yàn)椋?br>38．正弦信號(hào)是頻率成分最為單一的信號(hào)，復(fù)雜的信號(hào)，例如電信號(hào)，都可以分解為許多頻率不同、幅度不等的正弦型信號(hào)的疊加.正弦信號(hào)的波形可以用數(shù)學(xué)上的正弦型函數(shù)來(lái)描述：，其中表示正弦信號(hào)的瞬時(shí)大小電壓V（單位：V）是關(guān)于時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)，而表示正弦信號(hào)的幅度，是正弦信號(hào)的頻率，相應(yīng)的為正弦信號(hào)的周期，為正弦信號(hào)的初相.由于正弦信號(hào)是一種最簡(jiǎn)單的信號(hào)，所以在電路系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，科學(xué)家和工程師們經(jīng)常以正弦信號(hào)作為信號(hào)源（輸入信號(hào)）去研究整個(gè)電路的工作機(jī)理.如圖是一種典型的加法器電路圖，圖中的三角形圖標(biāo)是一個(gè)運(yùn)算放大器，電路中有四個(gè)電阻，電阻值分別為，，，（單位：Ω）.和是兩個(gè)輸入信號(hào)，表示的是輸出信號(hào)，根據(jù)加法器的工作原理，與和的關(guān)系為：.例如當(dāng)，輸入信號(hào)，時(shí)，輸出信號(hào)：.
(1)若，輸入信號(hào)，，求的最大值；
(2)已知，，，輸入信號(hào)，.若（其中），求；
(3)已知，，，且，.若的最大值為，求滿(mǎn)足條件的一組電阻值，.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用輔助角公式計(jì)算即可；
（2）將數(shù)值代入公式，待定系數(shù)法求值；
（3）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得：，再由條件確定一組，即可.
【詳解】（1）由題意得，，則的最大值為；
（2）由題意知，，
整理得，
即，則，解得；
（3）由題意得，
，
又，則，當(dāng)時(shí)，取得最大值，
則，整理得，即，解得，
又，則，取即滿(mǎn)足題意，則（答案不唯一）.
39．如圖是函數(shù)的部分圖象，已知．
(1)求；
(2)若，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)，則，再根據(jù)求得周期，即解；
（2）根據(jù)結(jié)合三角恒等變換化簡(jiǎn)計(jì)算即可的解.
【詳解】（1）設(shè)，函數(shù)的最小正周期為T(mén)，則，
則，
故，解得(負(fù)值舍去)，
所以，所以；
（2）由（1）得，
，得，
即，
所以，
又因，則，
所以，所以.
40．在①；②；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并解答．
問(wèn)題：已知函數(shù)______．
(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；
(2)在中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，S為的面積．若在處有最小值，求面積的最大值．
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
【答案】(1)最小正周期，單調(diào)遞減區(qū)間為
(2)
【分析】（1）三個(gè)條件中任選一個(gè)，利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求解；
（2）根據(jù)的解析式及三角函數(shù)的性質(zhì)求得，．由余弦定理結(jié)合基本不等式可得，從而可得面積的最大值．
【詳解】（1）選擇條件①：
．
所以函數(shù)的最小正周期．
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．
選擇條件②：
，
所以函數(shù)的最小正周期．
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．
選擇條件③：

，
所以函數(shù)的最小正周期．
令，解得，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）因?yàn)椋?br>所以當(dāng)，即時(shí)，．
因?yàn)樵谔幱凶钚≈?，且，所以，?br>由余弦定理可得，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故面積的最大值為．

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