1．在二十大報(bào)告中，體育?健康等關(guān)鍵詞被多次提及，促進(jìn)群眾體育和競技體育全面發(fā)展，加快建設(shè)體育強(qiáng)國是全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家的一個重要目標(biāo).某校為豐富學(xué)生的課外活動，加強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)健康，擬舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取局勝制，每局都是單打模式，每隊(duì)有名隊(duì)員，比賽中每個隊(duì)員至多上場一次且是否上場是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響.經(jīng)過小組賽后，最終甲、乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)種子選手對乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為，甲隊(duì)其余名隊(duì)員對乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為.（注：比賽結(jié)果沒有平局）
(1)求甲隊(duì)最終獲勝且種子選手上場的概率；
(2)已知甲隊(duì)獲得最終勝利，求種子選手上場的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)事件“種子選手第局上場”，事件“甲隊(duì)最終獲勝且種子選手上場”，求出、的值，利用全概率公式可求得的值；
（2）設(shè)事件“種子選手未上場”，事件“甲隊(duì)獲得勝利”，計(jì)算出、的值，利用貝葉斯公式可求得的值.
【詳解】（1）解：設(shè)事件“種子選手第局上場”，
事件“甲隊(duì)最終獲勝且種子選手上場”.
由全概率公式知，
因?yàn)槊棵?duì)員上場順序隨機(jī)，故，
，，.
所以，
所以甲隊(duì)最終獲勝且種子選手上場的概率為.
（2）解：設(shè)事件“種子選手未上場”，事件“甲隊(duì)獲得勝利”，
，，，
，
因?yàn)?
由（1）知，所以.
所以，已知甲隊(duì)獲得最終勝利，種子選手上場的概率為.
2．（1）若和是兩個互斥事件，求證：；
（2）在孟德爾豌豆試驗(yàn)中，子二代的基因型為，其中為顯性基因，為隱性基因，且這三種基因型的比為，如果在子二代中任意選取株豌豆進(jìn)行雜交試驗(yàn)，試求出子三代中基因型為的概率.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）根據(jù)互斥事件的概率公式及條件概率公式證明即可；
（2）子二代基因配型有六種情況：分別記為事件，“子三代中基因型為”記為事件，利用全概率公式求解即可.
【詳解】（1）已知事件與事件互斥，所以事件與事件互斥，有
所以
（2）子二代基因配型有六種情況：分別記為事件，
“子三代中基因型為”記為事件，則
.
所以子三代中出現(xiàn)基因型為的概率是.
3．某地區(qū)舉行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測評，要求以學(xué)校為單位參賽，最終學(xué)校和學(xué)校進(jìn)入決賽．決賽規(guī)則如下：現(xiàn)有甲、乙兩個紙箱，甲箱中有4道選擇題和2道填空題，乙箱中有3道選擇題和3道填空題，決賽由兩個環(huán)節(jié)組成，環(huán)節(jié)一：要求兩校每位參賽同學(xué)在甲或乙兩個紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答，作答后放回原箱；環(huán)節(jié)二：由學(xué)校和學(xué)校分別派出一名代表進(jìn)行比賽．兩個環(huán)節(jié)按照相關(guān)比賽規(guī)則分別累計(jì)得分，以累計(jì)得分的高低決定名次．
(1)環(huán)節(jié)一結(jié)束后，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道從學(xué)校抽取12人，其答對題目的平均數(shù)為1，方差為1，從學(xué)校抽取8人，其答對題目的平均數(shù)為1.5，方差為0.25，求這20人答對題目的均值與方差；
(2)環(huán)節(jié)二，學(xué)校代表先從甲箱中依次抽取了兩道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入乙箱中，然后學(xué)校代表再從乙箱中抽取題目，已知學(xué)校代表從乙箱中抽取的第一題是選擇題，求學(xué)校代表從甲箱中取出的是兩道選擇題的概率．
【答案】(1)這20人答對題目的均值為，方差為
(2)
【分析】（1）根據(jù)均值和方差公式計(jì)算可得結(jié)果；
（2）根據(jù)貝葉斯公式可求出結(jié)果.
【詳解】（1）設(shè)學(xué)校答對題目的樣本數(shù)據(jù)為，學(xué)校答對題目的樣本數(shù)據(jù)為，
由題意得，由題意得，
所以這20人答對題目的均值為，
由，得，
由，得，

，

，
這20人答對題目的方差為 .
（2）記“學(xué)校代表從乙箱中抽取的第一道題是選擇題”，
“學(xué)校代表先從甲箱中依次抽取了兩道選擇題”，
“學(xué)校代表先從甲箱中依次抽取了一道選擇題，一道填空題”，
“學(xué)校代表先從甲箱中依次抽取了兩道填空題”，
易知彼此互斥，，
，，，
，，，
，
.
所以學(xué)校代表從甲箱中取出的是兩道選擇題的概率為.
4．一只不透朋的袋中裝有10個相同的小球，分別標(biāo)有數(shù)字0~9，先后從袋中隨機(jī)取兩只小球.用事件A表示“第二次取出小球的標(biāo)號是2”，事件B表示“兩次取出小球的標(biāo)號之和是m”.
(1)若用不放回的方式取球，求；
(2)若用有放回的方式取球，求證：事件A與事件B相互獨(dú)立的充要條件是.
【答案】(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用全概率公式計(jì)算作答.
（2）利用列舉法求出概率，結(jié)合獨(dú)立性推理判斷充分性，再利用條件概率公式推理判斷必要性作答.
【詳解】（1）用C表示“第一次取出小球的標(biāo)號是2”，則，，，，
所以
.
（2）記第一次取出的球的標(biāo)號為x，第二次的球的標(biāo)號為y，用數(shù)組兩次取球，則，
充分性：當(dāng)時，
事件B發(fā)生包含的樣本點(diǎn)為，
因此，事件AB發(fā)生包含的樣本點(diǎn)為，則，
又，于是，所以事件A與事件B相互獨(dú)立；
必要性
因?yàn)槭录嗀與事件B相互獨(dú)立，則，即，
而，，于是，
事件AB發(fā)生包含的樣本點(diǎn)為，即，則，
又，，，
因此關(guān)于x的不等式組，有10組整數(shù)解，
即關(guān)于x的不等式組，有10組整數(shù)解，從而，得，
所以事件A與事件B相互獨(dú)立的充要條件是.
5．有3臺車床加工同一型號的零件，第1臺加工的次品率為6%，第2，3臺加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.
(1)任取一個零件，計(jì)算它是次品的概率；
(2)如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第1臺車床所加工的概率（結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）；
(3)參照第（2）問給出判斷，求第1，2，3臺車床操作員對加工次品分別應(yīng)承擔(dān)的份額.
【答案】(1)0.0525
(2)
(3)第1，2臺車床操作員應(yīng)承擔(dān)，第3臺車床操作員應(yīng)承擔(dān).
【分析】（1）設(shè)“任取一零件為次品”，“零件為第i臺車床加工”，
則，且，，兩兩互斥，求出、、，以及、、，由全概率公式得；
（2）“求次品為第1臺車床所加工的概率”，就是計(jì)算在B發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率由條件概率公式計(jì)算可得答案；
（3）由條件概率公式計(jì)算可得答案；
【詳解】（1）設(shè)“任取一零件為次品”，“零件為第i臺車床加工”，
則，且，，兩兩互斥，根據(jù)題意得，
，，，
，，，
由全概率公式，得
；
（2）“求次品為第1臺車床所加工的概率”，就是計(jì)算在B發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的概率，
；
（3）根據(jù)（2）
，
，
故第1，2臺車床操作員應(yīng)承擔(dān)，第3臺車床操作員應(yīng)承擔(dān).
6．某轄區(qū)組織居民接種新冠疫苗，現(xiàn)有四種疫苗且每種都供應(yīng)充足.前來接種的居民接種與號碼機(jī)產(chǎn)生的號碼對應(yīng)的疫苗，號碼機(jī)有四個號碼，每次可隨機(jī)產(chǎn)生一個號碼，后一次產(chǎn)生的號碼由前一次余下的三個號碼中隨機(jī)產(chǎn)生，張醫(yī)生先接種與號碼機(jī)產(chǎn)生的號碼對應(yīng)的種疫苗后，再為居民們接種，記第位居民（不包含張醫(yī)生）接種四種疫苗的概率分別為.
(1)第2位居民接種哪種疫苗的概率最大；
(2)張醫(yī)生認(rèn)為，一段時間后接種四種疫苗的概率應(yīng)該相差無幾，請你通過計(jì)算第10位居民接種四種的概率，解釋張醫(yī)生觀點(diǎn)的合理性.
參考數(shù)據(jù)：.
【答案】(1)疫苗
(2)答案見解析
【分析】（1）分類討論，根據(jù)全概率公式計(jì)算；
（2）根據(jù)（1）的邏輯，討論的通項(xiàng)公式，運(yùn)用等比數(shù)列求出第10為居民使用A，B，C，D疫苗的概率即可.
【詳解】（1）第1位居民接種疫苗的概率分別為，
若第2位居民接種疫苗，則第1位居民接種B，C，D疫苗，，
第2位居民接種疫苗，則第1位居民接種C，D疫苗，
同理，第2位居民接種疫苗的概率也等于，
故第2位居民接種疫苗的概率最大；
（2）因?yàn)椋?br>所以，
故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.
又，所以
即，
從而，
同理，
，
所以 ，
第10位居民接種疫苗概率應(yīng)該相差無幾.
第位居民接種疫苗概率應(yīng)該相差將會更小，所以張醫(yī)生的話合理.
7．在一個抽獎游戲中，主持人從編號為的四個外觀相同的空箱子中隨機(jī)選擇一個，放入一件獎品，再將四個箱子關(guān)閉.主持人知道獎品在哪個箱子里.游戲規(guī)則是主持人請抽獎人在這四個箱子中選擇一個，若獎品在此箱子里，則獎品由獲獎人獲得.現(xiàn)有抽獎人甲選擇了2號箱，在打開2號箱之前，主持人先打開了另外三個箱子中的一個空箱子.按游戲規(guī)則，主持人將隨機(jī)打開甲的選擇之外的一個空箱子.
(1)計(jì)算主持人打開4號箱的概率；
(2)當(dāng)主持人打開4號箱后，現(xiàn)在給抽獎人甲一次重新選擇的機(jī)會，請問他是堅(jiān)持選2號箱，還是改選1號或3號箱？（以獲得獎品的概率最大為決策依據(jù)）
【答案】(1)
(2)甲應(yīng)該改選1號或3號箱.
【分析】（1）設(shè)出事件，根據(jù)已知條件得出事件的概率以及條件概率，然后根據(jù)全概率公式即可得出答案；
（2）根據(jù)條件概率公式，求出抽獎人甲選擇各個箱子，獲得獎品的概率，即可得出答案.
【詳解】（1）設(shè)分別表示1，2，3，4號箱子里有獎品，
設(shè)分別表示主持人打開號箱子，
則，且兩兩互斥.
由題意可知，事件的概率都是，，，，.
由全概率公式，得.
（2）在主持人打開4號箱的條件下，1號箱?2號箱?3號箱里有獎品的條件概率分別為，
，
，
通過概率大小比較，甲應(yīng)該改選1號或3號箱.
8．杭州2022年第19屆亞運(yùn)會（The 19th Asian Games Hangzhu 2022）將于2023年9月23日至10月8日舉辦．本屆亞運(yùn)會共設(shè)40個競賽大項(xiàng)，包括31個奧運(yùn)項(xiàng)目和9個非奧運(yùn)項(xiàng)目．同時，在保持40個大項(xiàng)目不變的前提下，增設(shè)了電子競技項(xiàng)目．與傳統(tǒng)的淘汰賽不同，近年來一個新型的賽制“雙敗賽制”贏得了許多賽事的青睞．
傳統(tǒng)的淘汰賽失敗一場就喪失了冠軍爭奪的權(quán)利，而在雙敗賽制下，每人或者每個隊(duì)伍只有失敗了兩場才會淘汰出局，因此更有容錯率．假設(shè)最終進(jìn)入到半決賽有四支隊(duì)伍，淘汰賽制下會將他們四支隊(duì)伍兩兩分組進(jìn)行比賽，勝者進(jìn)入到總決賽，總決賽的勝者即為最終的冠軍．雙敗賽制下，兩兩分組，勝者進(jìn)入到勝者組，敗者進(jìn)入到敗者組，勝者組兩個隊(duì)伍對決的勝者將進(jìn)入到總決賽，敗者進(jìn)入到敗者組．之前進(jìn)入到敗者組的兩個隊(duì)伍對決的敗者將直接淘汰，勝者將跟勝者組的敗者對決，其中的勝者進(jìn)入總決賽，最后總決賽的勝者即為冠軍．雙敗賽制下會發(fā)現(xiàn)一個有意思的事情，在勝者組中的勝者只要輸一場比賽即總決賽就無法拿到冠軍，但是其它的隊(duì)伍卻有一次失敗的機(jī)會，近年來從敗者組殺上來拿到冠軍的不在少數(shù)，因此很多人戲謔這個賽制對強(qiáng)者不公平，是否真的如此呢？
這里我們簡單研究一下兩個賽制．假設(shè)四支隊(duì)伍分別為，其中對陣其他三個隊(duì)伍獲勝概率均為，另外三支隊(duì)伍彼此之間對陣時獲勝概率均為．最初分組時同組，同組．
(1)若，在淘汰賽賽制下，獲得冠軍的概率分別為多少？
(2)分別計(jì)算兩種賽制下獲得冠軍的概率（用表示），并據(jù)此簡單分析一下雙敗賽制下對隊(duì)伍的影響，是否如很多人質(zhì)疑的“對強(qiáng)者不公平”？
【答案】(1)；；
(2)淘汰賽制獲得冠軍概率為，雙敗賽制獲得冠軍概率為；雙敗賽制下，會使得強(qiáng)者拿到冠軍概率變大，弱者拿到冠軍的概率變低，更加有利于篩選出“強(qiáng)者”，人們“對強(qiáng)者不公平”的質(zhì)疑是不對的．
【分析】（1）若拿冠軍則只需要連贏兩場，對于想拿到冠軍，首先得戰(zhàn)勝，然后戰(zhàn)勝中的勝者，然后根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式計(jì)算即可；
（2）根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式分別算出在不同賽制下拿冠軍的概率，然后作差進(jìn)行比較.
【詳解】（1）記拿到冠軍分別為事件淘汰賽賽制下，只需要連贏兩場即可拿到冠軍，因此，
對于想拿到冠軍，首先得戰(zhàn)勝，然后戰(zhàn)勝中的勝者，
因此．
（2）記兩種寒制下獲得冠軍的概率分別為，則.
而雙敗賽制下，獲得冠軍有三種可能性：
（1）直接連贏三局；（2）從勝者組掉入敗者組然后殺回總決賽；（3）直接掉入敗者組拿到冠軍.
因此，，.
則不論哪種賽制下，獲得冠軍的概率均小于，.
若，雙敗賽制下，隊(duì)伍獲得冠軍的概率更大，其他隊(duì)伍獲得冠軍的概率會變小，
若，雙敗賽制下，以伍獲得冠軍的概率更小，其他隊(duì)伍獲得冠軍的概率會變大，
綜上可知：雙敗賽制下，會使得強(qiáng)者拿到冠軍概率變大，弱者拿到冠軍的概率變低，更加有利于篩選出“強(qiáng)者”，人們“對強(qiáng)者不公平”的質(zhì)疑是不對的．
9．甲袋中裝有3個紅球，2個白球，乙袋中裝有5個紅球，5個白球，兩個袋子均不透明，其中的小球除顏色外完全一致.現(xiàn)從甲袋中一次性抽取2個小球，記錄顏色后放入乙袋，混勻后從乙袋一次性抽取3個小球，記錄顏色.設(shè)隨機(jī)變量表示在甲袋中抽取出的紅球個數(shù)，表示時，在乙袋中抽取出的紅球個數(shù)，表示在乙袋中抽取出的紅球個數(shù).
(1)求的分布列；
(2)求的數(shù)學(xué)期望（用含的代數(shù)式表示）；
(3)記的所有可取值為，證明：，并求.
【答案】(1)分布列見解析；
(2)；
(3)證明見解析，.
【分析】（1）根據(jù)題意，求得的取值，再求對應(yīng)概率，即可求得分布列；
（2）服從超幾何分布，直接寫出期望即可；
（3）根據(jù)全期望公式，結(jié)合條件概率的和全概率公式，整理化簡即可證明，再根據(jù)所證結(jié)論，直接計(jì)算即可.
【詳解】（1）的所有可能取值為
，
所以的分布列為
（2）依題意，服從超幾何分布，且，
故.
（3）的所有可能取值為0，1，2，3，則由全概率公式，

，；
因此
，
故.
【點(diǎn)睛】本題屬于中檔題，考查隨機(jī)變量的分布列、期望、全概率公式.同四省聯(lián)考一樣，本題直接考查超幾何分布的期望.作為重要的離散型隨機(jī)變量之一，超幾何分布的參數(shù)含義、均值一定要熟記，方差課本上不做要求，如果對自己要求較高的同學(xué)應(yīng)掌握推導(dǎo)過程，具體證明可參見2023屆“星云”五一聯(lián)考22題.本題第（3）問的背景是重期望（或全期望）公式：對隨機(jī)變量和，總有.
10．某車間在三天內(nèi)，每天生產(chǎn)6件某產(chǎn)品，其中第一天、第二天、第三天分別生產(chǎn)出了2件、1件、1件次品，質(zhì)檢部門每天要從生產(chǎn)的6件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取3件進(jìn)行檢測，若發(fā)現(xiàn)其中有次品，則當(dāng)天的產(chǎn)品不能通過.
(1)求第一天的產(chǎn)品通過檢測的概率；
(2)求這三天內(nèi)，恰有兩天能通過檢測的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由古典概型公式計(jì)算第一天通過檢查的概率；
（2）由古典概型公式求出第i天的產(chǎn)品能通過檢測的概率為（，2，3），利用獨(dú)立事件乘法公式計(jì)算三天內(nèi)，恰有兩天能通過的概率；
【詳解】（1）因?yàn)榈谝惶煊?件正品，隨意抽取3件產(chǎn)品檢查，第一天通過檢查的概率為.
（2）依題意知，記第i天的產(chǎn)品能通過檢測的概率為（，2，3），
則，，
則三天中恰有兩天能通過的檢測的概率是.
11．在數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)課程上，老師和班級同學(xué)玩了一個游戲.老師事先準(zhǔn)備3張一模一樣的卡片，編號為1、2、3后，放入一個不透明的袋子中，再準(zhǔn)備若干枚1元硬幣與5角硬幣和一個儲蓄罐；然后邀請同學(xué)從袋子中有放回地抽取1張卡片，若抽到的卡片編號為1或2，則將1枚1元硬幣放入儲蓄罐中，若抽到的卡片編號為3，則將2枚5角硬幣放入儲蓄罐中，如此重復(fù)k次試驗(yàn)后，記儲蓄罐中的硬幣總數(shù)量為.
(1)若，求的概率；
(2)若，記第n次抽卡且放置硬幣后，5角硬幣的數(shù)量為，1元硬幣的數(shù)量為，求在的條件下的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)對立事件，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式即可求解.
（2）分兩種情況，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率乘法計(jì)算公式即可求解.
【詳解】（1）“”表示儲蓄罐中有4枚1元硬幣或3枚1元硬幣和2枚5角硬幣，
故所求概率.
（2）依題意，的概率為.
若有2次抽到3號卡，即2次放置5角硬幣，3次放置1元硬幣，則在前3次中放了2次1元和1次5角，后2次放了1次1元和1次5角，即2次放5角，一次在前3次，另一次在后2次，
故其概率為；
若有3次抽到3號卡，即3次放置5角硬幣，2次放置1元硬幣，必須在前3次放了2次1元和1次5角，后2次放了2次5角，即2次放1元都在前3次，故所求概率為，其他情況不可能使得，
故.
12．果酒由水果本身的糖分被酵母菌發(fā)酵而成.研究表明，果酒中的芳香氣味主要來自于酯類化合物.某學(xué)習(xí)小組在實(shí)驗(yàn)中使用了3種不同的酵母菌（A型，B型，C型）分別對三組（每組10瓶）相同的水果原液進(jìn)行發(fā)酵，一段時間后測定發(fā)酵液中某種酯類化合物的含量，實(shí)驗(yàn)過程中部分發(fā)酵液因被污染而廢棄，最終得到數(shù)據(jù)如下（“X”表示該瓶發(fā)酵液因廢棄造成空缺）：
根據(jù)發(fā)酵液中該酯類化合物的含量t（μg/L）是否超過某一值來評定其品質(zhì)，其標(biāo)準(zhǔn)如下：
假設(shè)用頻率估計(jì)概率
(1)從樣本未廢棄的發(fā)酵液中隨機(jī)抽取一瓶，求其品質(zhì)高的概率；
(2)設(shè)事件D為“從樣本含A型，B型,C型酵母菌的未廢棄的發(fā)酵液中各隨機(jī)抽取一瓶，這三瓶中至少有一瓶品質(zhì)高”，求事件D發(fā)生的概率；
(3)設(shè)事件E為“從樣本未廢棄的發(fā)酵液中不放回地隨機(jī)抽取三瓶，這三瓶中至少有一瓶品質(zhì)高”試比較事件E發(fā)生的概率與（2）中事件D發(fā)生的概率的大小.（結(jié)論不要求證明）
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求未廢棄的發(fā)酵液總數(shù)，再求品質(zhì)高的瓶數(shù)，結(jié)合古典概率求解可得答案；
（2）設(shè)出事件，利用對立事件求解概率可得答案；
（3）先求事件E的概率，比較大小可得答案.
【詳解】（1）設(shè)事件“從樣本未廢棄的發(fā)酵液中隨機(jī)抽取一瓶，其品質(zhì)高”，
由題可知，未廢棄的發(fā)酵液共有6+4+5=15瓶，其品質(zhì)高的有9瓶，
所以.
（2）事件“從樣本含A型酵母菌的未廢棄的發(fā)酵液中隨機(jī)抽取一瓶，其品質(zhì)高”，
事件“從樣本含B型酵母菌的未廢棄的發(fā)酵液中隨機(jī)抽取一瓶，其品質(zhì)高”，
事件“從樣本含C型酵母菌的未廢棄的發(fā)酵液中隨機(jī)抽取一瓶，其品質(zhì)高”，
由題意得;
.
（3）由題意，所以.
13．新冠病毒在傳播過程中會發(fā)生變異，現(xiàn)在已有多種變異毒株，傳播能力和重癥率都各不相同．某地衛(wèi)生部門統(tǒng)計(jì)了本地新冠確診病例中感染每種毒株的患者在總病例中的比例和各自的重癥率，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示．
已知當(dāng)?shù)貙柗?、貝爾塔、德爾塔三種類型病例全部集中收治在甲醫(yī)院，奧密克戎病例全部單獨(dú)收治在乙醫(yī)院．以頻率估計(jì)概率回答下列問題．
(1)某醫(yī)生從甲醫(yī)院新冠確診病例名單中任取1人，求其為重癥病例的概率；
(2)某醫(yī)生從乙醫(yī)院新冠確診病例名單中任取2人，已知2人中有重癥病例，求2人都是重癥病例的概率（結(jié)果保留4位小數(shù)）．
【答案】(1)
(2)0.0101
【分析】（1）設(shè)事件“甲醫(yī)院中任取1位病例為重癥病例”，事件“甲醫(yī)院中病例來自毒株類型”，，，，再利用利用條件概率公式和全概率公式即可得解；
（2）設(shè)事件“2人中有重癥”，事件“2人都是重癥”
則，因?yàn)?，所以，利用即可得?
【詳解】（1）設(shè)事件“甲醫(yī)院中任取1位病例為重癥病例”，
事件“甲醫(yī)院中病例來自毒株類型”，
其樣本空間，且，，兩兩互斥，根據(jù)題意得，
，
，
．
則，；
，；
，．
根據(jù)全概率公式得
（2）設(shè)事件“2人中有重癥”，事件“2人都是重癥”
則，因?yàn)?，所以?br>．
所以，已知2人中有重癥病例，2人都是重癥病例的概率為0.0101．
14．甲、乙兩個學(xué)校分別有位同學(xué)和n位同學(xué)參加某項(xiàng)活動，假定所有同學(xué)成功的概率都是，所有同學(xué)是否成功互不影響．記事件A＝“甲成功次數(shù)比乙成功次數(shù)多一次”，事件B＝“甲成功次數(shù)等于乙成功次數(shù)”．
(1)若，求事件A發(fā)生的條件下，恰有5位同學(xué)成功的概率；
(2)證明：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)已知求出及甲成功次數(shù)比乙成功次數(shù)多一次且有5位同學(xué)成功的概率，再利用條件概率公式求事件A發(fā)生的條件下恰有5位同學(xué)成功的概率
（2）根據(jù)題設(shè)寫出、，利用組合數(shù)的性質(zhì)證明結(jié)論即可.
【詳解】（1）由題設(shè)，甲乙學(xué)校分別有4個、3個學(xué)生參加活動，

，
而甲成功次數(shù)比乙成功次數(shù)多一次且有5位同學(xué)成功的概率為，
所以事件A發(fā)生的條件下，恰有5位同學(xué)成功的概率.
（2）由題設(shè)知：，
，
因?yàn)?，，所?
15．雙淘汰賽制是一種競賽形式，比賽一般分兩個組進(jìn)行，即勝者組與負(fù)者組.在第一輪比賽后，獲勝者編入勝者組，失敗者編入負(fù)者組繼續(xù)比賽.之后的每一輪，在負(fù)者組中的失敗者將被淘汰；勝者組的情況也類似，只是失敗者僅被淘汰出勝者組降入負(fù)者組，只有在負(fù)者組中再次失敗后才會被淘汰出整個比賽.A、B、C、D四人參加的雙淘汰賽制的流程如圖所示，其中第6場比賽為決賽.

(1)假設(shè)四人實(shí)力旗鼓相當(dāng)，即各比賽每人的勝率均為50%，求：
①隊(duì)伍A和D在決賽中過招的概率；
②D在一共輸了兩場比賽的情況下，成為亞軍的概率；
(2)若A的實(shí)力出類拔萃，即有A參加的比賽其勝率均為75%，其余三人實(shí)力旗鼓相當(dāng)，求D進(jìn)入決賽且先前與對手已有過招的概率.
【答案】(1)①；②.
(2)
【分析】（1）①隊(duì)伍A和D在第一輪對陣，若A和D在決賽也對陣，必然有1個隊(duì)伍在負(fù)者組對陣其他組都贏得比賽，且另一個隊(duì)伍和其他組比賽也都勝利.第一輪勝利者需要再勝1次，失敗者需要再勝兩次，才能會師決賽.②為條件概率，根據(jù)條件概率公式去入手解決問題.
（2）可通過分類把復(fù)雜事件分為幾個容易分析的事件，再解決問題.
【詳解】（1）解：假設(shè)四人實(shí)力旗鼓相當(dāng)，即各比賽每人的勝率均為50%，即概率為，
①由題意，第一輪隊(duì)伍A和隊(duì)伍D對陣，則獲勝隊(duì)伍需要贏得比賽3的勝利，失敗隊(duì)伍需要贏得比賽4和比賽5的勝利，他們才能在決賽中對陣，
所以A和D在決賽中過招的概率為；
②設(shè)表示隊(duì)伍D在比賽中勝利，表示隊(duì)伍D所參加的比賽中失敗，
則事件：隊(duì)伍D獲得亞軍，事件：隊(duì)伍D所參加所有比賽中失敗了兩場，
事件：包括，，，，五種情況.
其中這五種情況彼此互斥，可得:
，
其中積事件包括，兩種情況.
可得，
所以所求概率為.
（2）解：由題意，A獲勝的概率為，B、C、D之間獲勝的概率均為，
要使得D進(jìn)入決賽且先前與對手已有過招，可分為兩種情況：
①若A與D在決賽中相遇，分為A1勝，3勝，D1負(fù)4勝5勝，或A1負(fù)4勝5勝，D1勝，3勝，
可得概率為；
②若B與D決賽相遇，D1勝，3勝，B2勝3負(fù)5勝，或D1勝，3負(fù)，5勝，B2勝3勝，可得概率為，
③若C與D決賽相遇，同B與D在決賽中相遇，
可得概率為；
所以D進(jìn)入決賽且先前與對手已有過招的概率.
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：學(xué)會對復(fù)雜事件進(jìn)行分解是解決復(fù)雜事件的概率的基本思路.一般把復(fù)雜事件分解成互斥事件的和事件或相互獨(dú)立事件的積事件，另外要注意對立事件公式的運(yùn)用，即正難則反；另外要注意看清題目，準(zhǔn)確理解題目的意思.
16．某足球俱樂部舉辦新一屆足球賽,按比賽規(guī)則,進(jìn)入淘汰賽的兩支球隊(duì)如果在120分鐘內(nèi)未分出勝負(fù),則需進(jìn)行點(diǎn)球大戰(zhàn).點(diǎn)球大戰(zhàn)規(guī)則如下:第一階段,雙方各派5名球員輪流罰球,雙方各罰一球?yàn)橐惠?球員每罰進(jìn)一球則為本方獲得1分,未罰進(jìn)不得分,當(dāng)分差拉大到即使落后一方剩下的球員全部罰進(jìn)也不能追上的時候,比賽即宣告結(jié)束,剩下的球員無需出場罰球.若5名球員全部罰球后雙方得分一樣,則進(jìn)入第二階段,雙方每輪各派一名球員罰球,直到出現(xiàn)某一輪一方罰進(jìn)而另一方未罰進(jìn)的局面,則罰進(jìn)的一方獲勝.設(shè)甲、乙兩支球隊(duì)進(jìn)入點(diǎn)球大戰(zhàn),由甲隊(duì)球員先罰球,甲隊(duì)每位球員罰進(jìn)點(diǎn)球的概率均為,乙隊(duì)每位球員罰進(jìn)點(diǎn)球的概率均為.假設(shè)每輪罰球中,兩隊(duì)進(jìn)球與否互不影響,各輪結(jié)果也互不影響.
(1)求每一輪罰球中,甲、乙兩隊(duì)打成平局的概率;
(2)若在點(diǎn)球大戰(zhàn)的第一階段,甲隊(duì)前兩名球員均得分而乙隊(duì)前兩名球員均未得分,甲隊(duì)暫時以2:0領(lǐng)先,求甲隊(duì)第5個球員需出場罰球的概率.
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)每一輪罰球中兩隊(duì)打成平局的情況有兩種:甲、乙均未罰進(jìn)點(diǎn)球,或甲、乙均罰進(jìn)點(diǎn)球.
(2) 甲隊(duì)第5個球員需出場罰球,則前四輪罰球甲、乙兩隊(duì)分差不能超過1分,即四輪罰球結(jié)束時比分可能為2:1或2:2或3:2.
【詳解】（1）設(shè)每一輪罰球中,甲隊(duì)球員罰進(jìn)點(diǎn)球的事件為,未罰進(jìn)點(diǎn)球的事件為;乙隊(duì)球員罰進(jìn)點(diǎn)球的事件為,未罰進(jìn)點(diǎn)球的事件為.
設(shè)每一輪罰球中,甲、乙兩隊(duì)打成平局的事件為C,由題意,得在每一輪罰球中兩隊(duì)打成平局的情況有兩種:甲、乙均未罰進(jìn)點(diǎn)球,或甲、乙均罰進(jìn)點(diǎn)球,
則,
故每一輪罰球中,甲、乙兩隊(duì)打成平局的概率為.
（2）因?yàn)榧钻?duì)第5個球員需出場罰球,則前四輪罰球甲、乙兩隊(duì)分差不能超過1分,即四輪罰球結(jié)束時比分可能為2:1或2:2或3:2.
①比分為2:1的概率為
.
②比分為2:2的概率為.
③比分為3:2的概率為
.
綜上,甲隊(duì)第5個球員需出場罰球的概率為.
17．中學(xué)階段，數(shù)學(xué)中的“對稱性”不僅體現(xiàn)在平面幾何、立體幾何、解析幾何和函數(shù)圖象中，還體現(xiàn)在概率問題中．例如，甲乙兩人進(jìn)行比賽，若甲每場比賽獲勝概率均為，且每場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則由對稱性可知，在5場比賽后，甲獲勝次數(shù)不低于3場的概率為．現(xiàn)甲乙兩人分別進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，每人拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣．
(1)若兩人各拋擲3次，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率；
(2)若甲拋擲次，乙拋擲n次，，求拋擲結(jié)果中甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)的概率，根據(jù)對稱性可知則甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率和甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)的概率相等可得答案；
（2）分①出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)；②出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)；③出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)，由對稱性可得答案．
【詳解】（1）設(shè)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)的概率，
，
由對稱性可知則甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)的概率和甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)的概率相等，故；
（2）可以先考慮甲乙各拋賽n次的情形，
①如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)等于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為，則第次甲必須再拋擲出證明朝上，才能使得最終甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)；
②如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)小于乙正面朝上次數(shù)，則第次無論結(jié)果如何，甲正面朝上次數(shù)仍然不大于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為；
③如果出現(xiàn)甲正面朝上次數(shù)大于乙正面朝上次數(shù)，則第次無論結(jié)果如何，甲正面朝上次數(shù)仍然大于乙正面朝上次數(shù)，將該情形概率設(shè)為，由對稱性可知，
故，而由，
可得．
18．為豐富學(xué)生的課外活動，學(xué)校羽毛球社團(tuán)舉行羽毛球團(tuán)體賽，賽制采取5局3勝制，每局都是單打模式，每隊(duì)有5名隊(duì)員，比賽中每個隊(duì)員至多上場一次且上場順序是隨機(jī)的，每局比賽結(jié)果互不影響，經(jīng)過小組賽后，最終甲乙兩隊(duì)進(jìn)入最后的決賽，根據(jù)前期比賽的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，甲隊(duì)明星隊(duì)員對乙隊(duì)的每名隊(duì)員的勝率均為，甲隊(duì)其余4名隊(duì)員對乙隊(duì)每名隊(duì)員的勝率均為.（注：比賽結(jié)果沒有平局）
(1)求甲隊(duì)明星隊(duì)員在前四局比賽中不出場的前提下，甲乙兩隊(duì)比賽4局，甲隊(duì)最終獲勝的概率；
(2)求甲乙兩隊(duì)比賽3局，甲隊(duì)獲得最終勝利的概率；
(3)若已知甲乙兩隊(duì)比賽3局，甲隊(duì)獲得最終勝利，求甲隊(duì)明星隊(duì)員上場的概率.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）事件“甲乙兩隊(duì)比賽4局甲隊(duì)最終獲勝”，事件“甲隊(duì)第局獲勝”，利用互斥事件的概率求法求概率即可；
（2）討論上場或不上場兩種情況，應(yīng)用全概率公式求甲隊(duì)獲得最終勝利的概率；
（3）利用貝葉斯公式求甲隊(duì)明星隊(duì)員上場的概率.
【詳解】（1）事件“甲乙兩隊(duì)比賽4局甲隊(duì)最終獲勝”，
事件“甲隊(duì)第局獲勝”，其中 相互獨(dú)立.
又甲隊(duì)明星隊(duì)員前四局不出場，故，
，所以.
（2）設(shè)為甲3局獲得最終勝利，為前3局甲隊(duì)明星隊(duì)員上場比賽，
由全概率公式知，，
因?yàn)槊棵?duì)員上場順序隨機(jī)，故，
，
所以.
（3）由（2），.
19．馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用．其數(shù)學(xué)定義為：假設(shè)我們的序列狀態(tài)是…，，，，，…，那么時刻的狀態(tài)的條件概率僅依賴前一狀態(tài)，即．
現(xiàn)實(shí)生活中也存在著許多馬爾科夫鏈，例如著名的賭徒模型．
假如一名賭徒進(jìn)入賭場參與一個賭博游戲，每一局賭徒賭贏的概率為，且每局賭贏可以贏得1元，每一局賭徒賭輸?shù)母怕蕿椋屹€輸就要輸?shù)?元．賭徒會一直玩下去，直到遇到如下兩種情況才會結(jié)束賭博游戲：一種是手中賭金為0元，即賭徒輸光；一種是賭金達(dá)到預(yù)期的B元，賭徒停止賭博．記賭徒的本金為，賭博過程如下圖的數(shù)軸所示．
當(dāng)賭徒手中有n元（，）時，最終輸光的概率為，請回答下列問題：
(1)請直接寫出與的數(shù)值．
(2)證明是一個等差數(shù)列，并寫出公差d．
(3)當(dāng)時，分別計(jì)算，時，的數(shù)值，并結(jié)合實(shí)際，解釋當(dāng)時，的統(tǒng)計(jì)含義．
【答案】(1)，
(2)證明見解析；
(3)時，，當(dāng)時，，統(tǒng)計(jì)含義見解析
【分析】（1）明確和的含義，即可得答案；
（2）由全概率公式可得，整理為，即可證明結(jié)論；
（3）由（2）結(jié)論可得，即可求得，時，的數(shù)值，結(jié)合概率的變化趨勢，即可得統(tǒng)計(jì)含義.
【詳解】（1）當(dāng)時，賭徒已經(jīng)輸光了，因此.
當(dāng)時，賭徒到了終止賭博的條件，不再賭了，因此輸光的概率.
（2）記M：賭徒有n元最后輸光的事件，N：賭徒有n元上一場贏的事件,
,
即，
所以，
所以是一個等差數(shù)列，
設(shè)，則，
累加得，故，得，
（3），由得,即,
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，因此可知久賭無贏家，
即便是一個這樣看似公平的游戲，
只要賭徒一直玩下去就會的概率輸光．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：此題很新穎，題目的背景設(shè)置的雖然較為陌生復(fù)雜，但解答并不困難，該題將概率和數(shù)列知識綜合到了一起，解答的關(guān)鍵是要弄明白題目的含義，即審清楚題意，明確，即可求解,
20．某校舉行“強(qiáng)基計(jì)劃”數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)測評，要求以班級為單位參賽，最終高三一班（45人）和高三二班（30人）進(jìn)入決賽．決賽規(guī)則如下：現(xiàn)有甲、乙兩個紙箱，甲箱中有4個選擇題和2個填空題，乙箱中有3個選擇題和3個填空題，決賽由兩個環(huán)節(jié)組成，環(huán)節(jié)一：要求兩班級每位同學(xué)在甲或乙兩個紙箱中隨機(jī)抽取兩題作答，作答后放回原箱．并分別統(tǒng)計(jì)兩班級學(xué)生測評成績的相關(guān)數(shù)據(jù)；環(huán)節(jié)二：由一班班長王剛和二班班長李明進(jìn)行比賽，并分別統(tǒng)計(jì)兩人的測評成績的相關(guān)數(shù)據(jù)，兩個環(huán)節(jié)按照相關(guān)比賽規(guī)則分別累計(jì)得分，以累計(jì)得分的高低決定班級的名次．
(1)環(huán)節(jié)一結(jié)束后，按照分層抽樣的方法從兩個班級抽取20名同學(xué)，并統(tǒng)計(jì)每位同學(xué)答對題目的數(shù)量，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為：一班抽取同學(xué)答對題目的平均數(shù)為1，方差為1；二班抽取同學(xué)答對題目的平均數(shù)為1.5，方差為0.25，求這20人答對題目的均值與方差；
(2)環(huán)節(jié)二，王剛先從甲箱中依次抽取了兩道題目，答題結(jié)束后將題目一起放入乙箱中，然后李明再抽取題目，已知李明從乙箱中抽取的第一題是選擇題，求王剛從甲箱中取出的是兩道選擇題的概率．
【答案】(1)樣本均值為1.2，樣本方差為0.76
(2)
【分析】（1）首先求分層抽取的兩個班的人數(shù)，再根據(jù)兩個班抽取人數(shù)的平均數(shù)和方差，結(jié)合總體平均數(shù)和方差公式，代入求值；
（2）根據(jù)全概率公式和條件概率公式，即可求解.
【詳解】（1）一班抽取人，二班抽取人，
一班樣本平均數(shù)為，樣本方差為；二班樣本的平均數(shù)為，樣本方差為；總樣本的平均數(shù)為．
記總樣本的樣本方差為，
則．
所以，這20人答對題目的樣本均值為1.2，樣本方差為0.76．
（2）設(shè)事件A為“李明同學(xué)從乙箱中抽出的第1個題是選擇題”，
事件為“王剛同學(xué)從甲箱中取出2個題都是選擇題”，
事件為“王剛同學(xué)從甲箱中取出1個選擇題1個填空題"，
事件為“王剛同學(xué)從甲箱中取出2個題都是填空題”，
則、、，彼此互斥，且，
，，，
，，，
所求概率即是A發(fā)生的條件下發(fā)生的概率：
．
二、正態(tài)分布
21．抗體藥物的研發(fā)是生物技術(shù)制藥領(lǐng)域的一個重要組成部分，抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的關(guān)系成為研究抗體藥物的一個重要方面.某研究團(tuán)隊(duì)收集了10組抗體藥物的攝入量與體內(nèi)抗體數(shù)量的數(shù)據(jù)，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值，抗體藥物攝入量為x（單位：），體內(nèi)抗體數(shù)量為y（單位：）.

(1)根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，我們選擇作為體內(nèi)抗體數(shù)量y關(guān)于抗體藥物攝入量x的回歸方程，將兩邊取對數(shù)，得，可以看出與具有線性相關(guān)關(guān)系，試根據(jù)參考數(shù)據(jù)建立關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測抗體藥物攝入量為時，體內(nèi)抗體數(shù)量的值；
(2)經(jīng)技術(shù)改造后，該抗體藥物的有效率z大幅提高，經(jīng)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)得z服從正態(tài)分布，那這種抗體藥物的有效率超過0.54的概率約為多少？
附：①對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，；
②若隨機(jī)變量，則有，，；
③取.
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）用最小二乘法求解回歸直線方程，再求非線性回歸方程即可；
（2）根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解給定區(qū)間的概率即可.
【詳解】（1）將兩邊取對數(shù)，得，
設(shè)，，則回歸方程變?yōu)椋?br>由表中數(shù)據(jù)可知，，，
所以，，
所以，即，
故y關(guān)于x的回歸方程為，
當(dāng)時，.
（2）因?yàn)閦服從正態(tài)分布，其中，，
所以，
所以，
故這種抗體藥物的有效率z超過0.54的概率約為.
22．法國數(shù)學(xué)家龐加萊是個喜歡吃面包的人，他每天都會到同一家面包店購買一個面包.該面包店的面包師聲稱自己所出售的面包的平均質(zhì)量是，上下浮動不超過.這句話用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)就是：每個面包的質(zhì)量服從期望為，標(biāo)準(zhǔn)差為的正態(tài)分布.
(1)已知如下結(jié)論：若，從X的取值中隨機(jī)抽取個數(shù)據(jù)，記這k個數(shù)據(jù)的平均值為Y，則隨機(jī)變量，利用該結(jié)論解決下面問題.
（i）假設(shè)面包師的說法是真實(shí)的，隨機(jī)購買25個面包，記隨機(jī)購買25個面包的平均值為Y，求；
（ii）龐加萊每天都會將買來的面包稱重并記錄，25天后，得到的數(shù)據(jù)都落在上，并經(jīng)計(jì)算25個面包質(zhì)量的平均值為.龐加萊通過分析舉報(bào)了該面包師，從概率角度說明龐加萊舉報(bào)該面包師的理由；
(2)假設(shè)有兩箱面包（面包除顏色外，其他都一樣），已知第一箱中共裝有6個面包，其中黑色面包有2個；第二箱中共裝有8個面包，其中黑色面包有3個.現(xiàn)隨機(jī)挑選一箱，然后從該箱中隨機(jī)取出2個面包.求取出黑色面包個數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.
附：①隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，；
②通常把發(fā)生概率小于的事件稱為小概率事件，小概率事件基本不會發(fā)生.
【答案】(1)（i）；（ii）理由見解析
(2)分布列見解析，
【分析】(1)(i)由正態(tài)分布的對稱性及原則進(jìn)行求解；(ii)結(jié)合第一問求解的概率及小概率事件進(jìn)行說明；
(2)設(shè)取出黑色面包個數(shù)為隨機(jī)變量，則的可能取值為0,1,2，求出相應(yīng)的概率，進(jìn)而求出的分布列及數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）（i）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋?br>所以；
（ii）由第一問知，龐加萊計(jì)算25個面包質(zhì)量的平均值為978.72g，，而，為小概率事件，小概率事件基本不會發(fā)生，這就是龐加萊舉報(bào)該面包師的理由；
（2）設(shè)取出黑色面包個數(shù)為隨機(jī)變量，則的可能取值為0，1，2.
則，
，故分布列為：
其中數(shù)學(xué)期望.
23．為深入學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某學(xué)校團(tuán)委組織了“青 春向黨百年路，奮進(jìn)學(xué)習(xí)二十大”知識競賽活動，并從 中抽取了200 份試卷進(jìn)行調(diào)查，這200 份試卷的成績（卷 面共100分）頻率分布直方圖如右圖所示．
(1)用樣本估計(jì)總體，求此次知識競賽的平均分（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．
(2)可以認(rèn)為這次競賽成績 X 近似地服從正態(tài)分布 N??，?2? （用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差 s 分別作為 ? 、? 的近似值），已知樣本標(biāo)準(zhǔn)差 s ? 7.36 ，如有84%的學(xué)生的競賽 成績高于學(xué)校期望的平均分，則學(xué)校期望的平均分約為多少？（結(jié)果取整數(shù)）
(3)從得分區(qū)間?80，90 ? 和?90，100 ?的試卷中用分層抽樣的方法抽取10份試卷，再從這 10份樣本中隨機(jī)抽測3份試卷，若已知抽測的3份試卷來自于不同區(qū)間，求抽測3份試卷有2份來自區(qū)間?80，90 ? 的概率．
參考數(shù)據(jù)：若 X ~N? ?，?2? ，則 P? ? ?? ? X ? ? ?? ? ? 0.68 ，P? ? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.95 ， P? ? ? 3? ? X ? ? ? 3? ? ? 0.99 .
【答案】(1)
(2)73
(3)
【分析】（1）根據(jù)平均數(shù)的求法求得平均數(shù).
（2）根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求得正確答案.
（3）根據(jù)分層抽樣、條件概率知識求得正確答案.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，
平均分；
（2）由（1）可知
設(shè)學(xué)校期望的平均分約為m，則，
因?yàn)?，?br>所以，即，
所以學(xué)校期望的平均分約為73分；
（3）由頻率分布直方圖可知，分?jǐn)?shù)在和的頻率分別為0.35和0.15，
那么按照分層抽樣，抽取10人，其中分?jǐn)?shù)在，應(yīng)抽取人，
分?jǐn)?shù)在應(yīng)抽取人，
記事件：抽測的3份試卷來自于不同區(qū)間；事件B:取出的試卷有2份來自區(qū)間?80，90 ?，
則，，
則．
所以抽測3份試卷有2份來自區(qū)間?80，90 ? 的概率為.
24．隨著《2023年中國詩詞大會》在央視持續(xù)熱播，它將經(jīng)典古詩詞與新時代精神相結(jié)合，使古詩詞綻放出新時代的光彩，由此，它極大地鼓舞了人們學(xué)習(xí)古詩詞的熱情，掀起了學(xué)習(xí)古詩詞的熱潮.某省某校為了了解高二年級全部1000名學(xué)生學(xué)習(xí)古詩詞的情況，舉行了“古詩詞”測試，現(xiàn)隨機(jī)抽取100名學(xué)生，對其測試成績（滿分：100分）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這100名學(xué)生測試成績的平均數(shù)（單位：分）；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）
(2)若該校高二學(xué)生“古詩詞”的測試成績X近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，規(guī)定“古詩詞”的測試成績不低于87分的為“優(yōu)秀”，據(jù)此估計(jì)該校高二年級學(xué)生中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)；（取整數(shù)）
(3)現(xiàn)該校為迎接該省的2023年第三季度“中國詩詞大會”的選拔賽，在五一前夕舉行了一場校內(nèi)“詩詞大會”.該“詩詞大會”共有三個環(huán)節(jié)，依次為“詩詞對抗賽”“畫中有詩”“飛花令車輪戰(zhàn)”，規(guī)則如下：三個環(huán)節(jié)均參與，在前兩個環(huán)節(jié)中獲勝得1分，第三個環(huán)節(jié)中獲勝得4分，輸了不得分.若學(xué)生甲在三個環(huán)節(jié)中獲勝的概率依次為，，，假設(shè)學(xué)生甲在各環(huán)節(jié)中是否獲勝是相互獨(dú)立的.記學(xué)生甲在這次“詩詞大會”中的累計(jì)得分為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期.
（參考數(shù)據(jù)：若，則，，.
【答案】(1)74分
(2)159人
(3)分布列見解析，
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)進(jìn)行估值計(jì)算即可；
（2）根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求解概率即可；
（3）根據(jù)隨機(jī)變量的所有可能取值為：，分別求概率，即可得分布列與數(shù)學(xué)期望.
【詳解】（1）由頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)為：
（分）
（2）由題意可得測試成績X近似服從正態(tài)分布
所以，則
所以人
故該校高二年級學(xué)生中成績?yōu)閮?yōu)秀的人數(shù)約為人；
（3）隨機(jī)變量的所有可能取值為：
，
，
，
所以的分布列如下：
數(shù)學(xué)期望.
25．隨著網(wǎng)絡(luò)技術(shù)的迅速發(fā)展，各種購物群成為網(wǎng)絡(luò)銷售的新渠道．在鳳梨銷售旺季，某鳳梨基地隨機(jī)抽查了100個購物群的銷售情況，各購物群銷售鳳梨的數(shù)量情況如下：
(1)求實(shí)數(shù)的值，并用組中值估計(jì)這100個購物群銷售風(fēng)梨總量的平均數(shù)（盒）；
(2)假設(shè)所有購物群銷售鳳梨的數(shù)量服從正態(tài)分布，其中為（1）中的平均數(shù)，．若該鳳梨基地參與銷售的購物群約有1000個，銷售風(fēng)梨的數(shù)量在（單位：盒）內(nèi)的群為“一級群”，銷售數(shù)量小于266盒的購物群為“二級群”，銷售數(shù)量大于等于596盒的購物群為“優(yōu)質(zhì)群”．該鳳梨基地對每個“優(yōu)質(zhì)群”獎勵1000元，每個“一級群”獎勵200元，“二級群”不獎勵，則該風(fēng)梨基地大約需要準(zhǔn)備多少資金？（群的個數(shù)按四舍五入取整數(shù)）
附：若服從正態(tài)分布，則 ．
【答案】(1)，376
(2)186800元
【分析】（1）根據(jù)樣本容量列方程求出m，利用組中數(shù)求出平均數(shù)；
（2）根據(jù)正態(tài)分布的概率計(jì)算公式求出對應(yīng)的概率值，計(jì)算“優(yōu)質(zhì)群”和“一級群”的個數(shù)，求出獎勵金.
【詳解】（1）由題意得：，解得．
故平均數(shù)為.
（2）由題意，，
且，
故，
所以“優(yōu)質(zhì)群”約有個，
，
所以“一級群”約有個；
所以需要資金為，
故至少需要準(zhǔn)備186800元．
26．為了不斷提高教育教學(xué)能力，某地區(qū)教育局利用假期在某學(xué)習(xí)平臺組織全區(qū)教職工進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)．第一學(xué)習(xí)階段結(jié)束后，為了解學(xué)習(xí)情況，負(fù)責(zé)人從平臺數(shù)據(jù)庫中隨機(jī)抽取了300名教職工的學(xué)習(xí)時間（滿時長15小時），將其分成六組，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．

(1)求a的值；
(2)以樣本估計(jì)總體，該地區(qū)教職工學(xué)習(xí)時間近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本的平均數(shù)，經(jīng)計(jì)算知．若該地區(qū)有5000名教職工，試估計(jì)該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時間在內(nèi)的人數(shù)；
(3)現(xiàn)采用分層抽樣的方法從樣本中學(xué)習(xí)時間在內(nèi)的教職工中隨機(jī)抽取5人，并從中隨機(jī)抽取3人作進(jìn)一步分析，分別求這3人中學(xué)習(xí)時間在內(nèi)的教職工平均人數(shù)．（四舍五入取整數(shù)）
參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．
【答案】(1)
(2)估計(jì)該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時間在內(nèi)的人數(shù)約為4093
(3)這3人中學(xué)習(xí)時間在內(nèi)的教職工平均人數(shù)約為1
【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1即可求解，
（2）根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求解概率，進(jìn)而可求人數(shù)，
（3）求出超幾何分布的分布列，即可求解期望.
【詳解】（1）由題意得，
解得．
（2）由題意知樣本的平均數(shù)為 ，
所以．
又，所以 ．
則，
所以估計(jì)該地區(qū)教職工中學(xué)習(xí)時間在內(nèi)的人數(shù)約為4093．
（3）對應(yīng)的頻率比為，即為，
所以抽取的5人中學(xué)習(xí)時間在內(nèi)的人數(shù)分別為2，3，
設(shè)從這5人中抽取的3人學(xué)習(xí)時間在內(nèi)的人數(shù)為，
則的所有可能取值為0，1，2，
，，，
所以．
則這3人中學(xué)習(xí)時間在內(nèi)的教職工平均人數(shù)約為1．
27．某商場在五一假期間開展了一項(xiàng)有獎闖關(guān)活動，并對每一關(guān)根據(jù)難度進(jìn)行賦分，競猜活動共五關(guān)，規(guī)定：上一關(guān)不通過則不進(jìn)入下一關(guān)，本關(guān)第一次未通過有再挑戰(zhàn)一次的機(jī)會，兩次均未通過，則闖關(guān)失敗，且各關(guān)能否通過相互獨(dú)立，已知甲、乙、丙三人都參加了該項(xiàng)闖關(guān)活動.
(1)若甲第一關(guān)通過的概率為，第二關(guān)通過的概率為，求甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率；
(2)已知該闖關(guān)活動累計(jì)得分服從正態(tài)分布，且滿分為450分，現(xiàn)要根據(jù)得分給共2500名參加者中得分前400名發(fā)放獎勵.
①假設(shè)該闖關(guān)活動平均分?jǐn)?shù)為171分，351分以上共有57人，已知甲的得分為270分，問甲能否獲得獎勵，請說明理由；
②丙得知他的分?jǐn)?shù)為430分，而乙告訴丙：“這次闖關(guān)活動平均分?jǐn)?shù)為201分，351分以上共有57人”，請結(jié)合統(tǒng)計(jì)學(xué)知識幫助丙辨別乙所說信息的真?zhèn)?
附：若隨機(jī)變量，則；；.
【答案】(1)
(2)①能，理由見解析②假
【分析】（1）設(shè)為第次通過第一關(guān)，為第次通過第二關(guān)，計(jì)算即可；
（2）①由，且，計(jì)算，求出前400名參賽者的最低得分，與甲的得分比較即可；
②假設(shè)乙所說為真，由計(jì)算，求出，利用小概率事件即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）設(shè)：第i次通過第一關(guān)，：第i次通過第二關(guān)，甲可以進(jìn)入第三關(guān)的概率為，由題意知
.
（2）設(shè)此次闖關(guān)活動的分?jǐn)?shù)記為.①由題意可知，因?yàn)椋遥?br>所以，則；而，
且，
所以前400名參賽者的最低得分高于，而甲的得分為270分，所以甲能夠獲得獎勵；
②假設(shè)乙所說為真，則，
，
而，所以，從而，
而，
所以為小概率事件，即丙的分?jǐn)?shù)為430分是小概率事件，可認(rèn)為其一般不可能發(fā)生，但卻又發(fā)生了，所以可認(rèn)為乙所說為假.
28．2022年，隨著最低工資標(biāo)準(zhǔn)提高，商品價格上漲，每個家庭的日常消費(fèi)也隨著提高，某社會機(jī)構(gòu)隨機(jī)調(diào)查了200個家庭的日常消費(fèi)金額并進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)整理，得到數(shù)據(jù)如下表：
以頻率估計(jì)概率，如果家庭消費(fèi)金額可視為服從正態(tài)分布，分別為這200個家庭消費(fèi)金額的平均數(shù)及方差（同一區(qū)間的花費(fèi)用區(qū)間的中點(diǎn)值替代）．
(1)求和的值；
(2)試估計(jì)這200個家庭消費(fèi)金額為的概率（保留一位小數(shù)）；
(3)依據(jù)上面的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，現(xiàn)要在10個家庭中隨機(jī)抽取4個家庭進(jìn)行更細(xì)致的消費(fèi)調(diào)查，記消費(fèi)金額為的家庭個數(shù)為，求的分布列及期望．
參考數(shù)據(jù)：；
若隨機(jī)變量，則，，.
【答案】(1)4.3；2.06
(2)0.8
(3)分布列見解析，
【分析】（1）利用組中值和對應(yīng)的頻率可求和.
（2）利用正態(tài)分布的對稱性可求消費(fèi)金額為的概率.
（3）利用超幾何分布可求的分布列及期望．
【詳解】（1）由題意得

（2）由（1）得
所以
.
（3）由題意知這10個家庭中消費(fèi)金額在范圍內(nèi)的有8個家庭，
故X的所有取值為2，3，4，
，，，
所以X的分布列為
所以．
29．書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書日．某研究機(jī)構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨機(jī)抽樣調(diào)查了位年輕人，對這些人每天的閱讀時間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示．
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這位年輕人每天閱讀時間的平均數(shù)（單位：分鐘）；（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)值表示）
(2)若年輕人每天閱讀時間近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，求；
(3)為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組，，的年輕人中抽取10人，再從中任選3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到每天閱讀時間位于的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．
附參考數(shù)據(jù)：若，則①；②；③．
【答案】(1)
(2)
(3)分布列見解析；期望為
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖以及平均數(shù)的計(jì)算方法計(jì)算即可；
（2）依據(jù)，利用正態(tài)分布的對稱性計(jì)算即可；
（3）先由題意得到隨機(jī)變量的取值，并分別計(jì)算相應(yīng)的概率，然后列出分布列，并按期望公式計(jì)算即可.
【詳解】（1）根據(jù)頻率分布直方圖得：
．
（2）由題意知，即，
所以．
（3）由題意可知，和的頻率之比為：，
故抽取的10人中，和分別為：2人，4人，4人，
隨機(jī)變量的取值可以為，
，，
，，
故的分布列為：
所以.
30．為了了解學(xué)生的運(yùn)動情況，某中學(xué)對高中三個年級的學(xué)生運(yùn)動情況進(jìn)行了分層抽樣調(diào)查.調(diào)查的樣本中高一年級有的學(xué)生每周運(yùn)動總時間超過5小時，高二年級有的學(xué)生每周運(yùn)動總時間超過5小時，高三年級有的學(xué)生每周運(yùn)動總時間超過5小時，且三個年級的學(xué)生人數(shù)之比為，用樣本的頻率估計(jì)總體的概率.
(1)從該校三個年級中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，估計(jì)該學(xué)生每周運(yùn)動總時間超過5小時的概率；
(2)假設(shè)該校每名學(xué)生每周運(yùn)動總時間為隨機(jī)變量（單位：小時），且.現(xiàn)從這三個年級中隨機(jī)抽取5名學(xué)生，設(shè)這5名學(xué)生中每周運(yùn)動總時間為5至6小時的人數(shù)為，求隨機(jī)變量的期望.
【答案】(1)0.65；
(2)1.5.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用古典概率及全概率公式求解作答.
（2）由（1）的結(jié)論，結(jié)合正態(tài)分布的對稱性求出該校學(xué)生每周運(yùn)動總時間為5至6小時的概率，再利用二項(xiàng)分布求出期望作答.
【詳解】（1）記隨機(jī)抽取1名學(xué)生分別來自高一、高二、高三的事件為，抽取的1 名學(xué)生每周運(yùn)動總時間超過5小時的事件為，
于是，,
因此
，
所以該學(xué)生每周運(yùn)動總時間超過5小時的概率為0.65.
（2）該校每名學(xué)生每周運(yùn)動總時間為隨機(jī)變量（單位：小時），，
則有，由（1）知，，于是，
因此，即該校學(xué)生每周運(yùn)動總時間為5至6小時的概率為0.3，
依題意，，則,
所以隨機(jī)變量的期望為1.5.
31．2023年3月某學(xué)校舉辦了春季科技體育節(jié)，其中安排的女排賽事共有12個班級作為參賽隊(duì)伍，本次比賽啟用了新的排球用球已知這種球的質(zhì)量指標(biāo)（單位：g）服從正態(tài)分布，其中，.比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每支球隊(duì)進(jìn)行11場比賽，最后靠積分選出最后冠軍，積分規(guī)則如下（比賽采取5局3勝制）：比賽中以3：0或3：1取勝的球隊(duì)積3分，負(fù)隊(duì)積0分；而在比賽中以3：2取勝的球隊(duì)積2分，負(fù)隊(duì)積1分.9輪過后，積分榜上的前2名分別為1班排球隊(duì)和2班排球隊(duì)，1班排球隊(duì)積26分，2班排球隊(duì)積22分.第10輪1班排球隊(duì)對抗3班排球隊(duì)，設(shè)每局比賽1班排球隊(duì)取勝的概率為.
(1)令，則，且，求，并證明：；
(2)第10輪比賽中，記1班排球隊(duì)3：1取勝的概率為，求出的最大值點(diǎn)，并以作為的值，解決下列問題.
（?。┰诘?0輪比賽中，1班排球隊(duì)所得積分為，求的分布列；
（ⅱ）已知第10輪2班排球隊(duì)積3分，判斷1班排球隊(duì)能否提前一輪奪得冠軍（第10輪過后，無論最后一輪即第11輪結(jié)果如何，1班排球隊(duì)積分最多）？若能，求出相應(yīng)的概率；若不能，請說明理由.
參考數(shù)據(jù)：，則，，.
【答案】(1)0.02275；證明見解析.
(2)（?。┓植剂幸娊馕?br>（ⅱ）能，.
【分析】（1）利用正態(tài)分布的對稱性即可求得結(jié)果；
（2）先利用導(dǎo)數(shù)求出，再利用離散型隨機(jī)變量及其分布列即可求得結(jié)果.
【詳解】（1），又，
所以.
因?yàn)?，根?jù)正態(tài)曲線對稱性，，
又因?yàn)?，所?
（2），
.
令，得.
當(dāng)時，，在上為增函數(shù)；
當(dāng)時，，在上為減函數(shù).
所以的最大值點(diǎn)，從而.
（ⅰ）的可能取值為3，2，1，0.
，，
，，
所以的分布列為
（ⅱ）若，則1班10輪后的總積分為29分，2班即便第10輪和第11輪都積3分，
則11輪過后的總積分是28分，，所以，1班如果第10輪積3分，
則可提前一輪奪得冠軍，其概率為.
32．2020年受疫情影響，我國企業(yè)曾一度停工停產(chǎn)，中央和地方政府紛紛出臺各項(xiàng)政策支持企業(yè)復(fù)工復(fù)產(chǎn)，以減輕企業(yè)負(fù)擔(dān).為了深入研究疫情對我國企業(yè)生產(chǎn)經(jīng)營的影響，幫扶困難職工，在甲、乙兩行業(yè)里隨機(jī)抽取了200名工人進(jìn)行月薪情況的問卷調(diào)查，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)他們的月薪在2000元到8000元之間，具體統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)見下表.
將月薪不低于6000元的工人視為“I類收入群體”，低于6000元的工人視為“II類收入群體”，并將頻率視為概率.
(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表：
根據(jù)上述列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為“II類收入群體”與行業(yè)有關(guān).
附件：，其中.
(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)該地區(qū)工人的月薪X（單位：元）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本的平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值）.若X落在區(qū)間外的左側(cè)，則可認(rèn)為該工人“生活困難”，政府將聯(lián)系本人，咨詢月薪過低的原因，并提供幫助.
①已知工人王強(qiáng)參與了本次調(diào)查，其月薪為2500元，試判斷王強(qiáng)是否屬于“生活困難”的工人；
②某超市對調(diào)查的工人舉行了購物券贈送活動，贈送方式為：月薪低于的獲得兩次贈送，月薪不低于的獲得一次贈送.每次贈送金額及對應(yīng)的概率如下：
求王強(qiáng)獲得的贈送總金額的數(shù)學(xué)期望.
【答案】(1)列聯(lián)表見解析，沒有99%的把握
(2)①不屬于；②
【分析】（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)，補(bǔ)充列聯(lián)表，進(jìn)而計(jì)算即可判斷；
（2）①根據(jù)題意，計(jì)算對應(yīng)的平均數(shù)，再結(jié)合正態(tài)分布求解即可；②結(jié)合①獲得的贈送總金額Y的可能取值為200，300，400，500，600，再求解相應(yīng)的概率得出分布列，計(jì)算期望即可.
【詳解】（1）列聯(lián)表如下：
于是，
從而沒有99%的把握認(rèn)為“II類收入群體”與行業(yè)有關(guān).
（2）①所調(diào)查的200名工人的月薪頻率分布表如下：
所以.
因?yàn)檫@200名工人的月薪X服從正態(tài)分布，所以，
從而.
因?yàn)橥鯊?qiáng)的月薪為2500元，，所以王強(qiáng)不屬于“生活困難”的工人.
②由①知，王強(qiáng)的月薪為2500元，低于4920元，所以王強(qiáng)可獲贈兩次購物券，
從而他獲得的贈送總金額Y的可能取值為200，300，400，500，600，
則，，
，，
，故Y的分布列如下：
所以王強(qiáng)獲得的贈送總金額的數(shù)學(xué)期望
.
33．某市為提升中學(xué)生的環(huán)境保護(hù)意識，舉辦了一次“環(huán)境保護(hù)知識競賽”，分預(yù)賽和復(fù)賽兩個環(huán)節(jié)，預(yù)賽成績排名前三百名的學(xué)生參加復(fù)賽.已知共有12000名學(xué)生參加了預(yù)賽，現(xiàn)從參加預(yù)賽的全體學(xué)生中隨機(jī)地抽取100人的預(yù)賽成績作為樣本，得到如下頻率分布直方圖：

(1)規(guī)定預(yù)賽成績不低于80分為優(yōu)良，若從上述樣本中預(yù)賽成績不低于60分的學(xué)生中隨機(jī)地抽取2人，求至少有1人預(yù)賽成績優(yōu)良的概率，并求預(yù)賽成績優(yōu)良的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望；
(2)由頻率分布直方圖可認(rèn)為該市全體參加預(yù)賽學(xué)生的預(yù)賽成績Z服從正態(tài)分布，其中可近似為樣本中的100名學(xué)生預(yù)賽成績的平均值（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替），且，已知小明的預(yù)賽成績?yōu)?1分，利用該正態(tài)分布，估計(jì)小明是否有資格參加復(fù)賽?
(3)復(fù)賽規(guī)則如下：①每人的復(fù)賽初始分均為100分；②參賽學(xué)生可在開始答題前自行決定答題數(shù)量，每一題都需要“花”掉（即減去）一定分?jǐn)?shù)來獲取答題資格，規(guī)定答第題時“花”掉的分?jǐn)?shù)為（，2，…，n）；③每答對一題加2分，答錯既不加分也不減分；④答完n題后參賽學(xué)生的最終分?jǐn)?shù)即為復(fù)賽成績，已知參加復(fù)賽的學(xué)生甲答對每道題的概率均為0.8，且每題答對與否都相互獨(dú)立．若學(xué)生甲期望獲得最佳的復(fù)賽成績，則他的答題數(shù)量應(yīng)為多少?
附：若，則，，；．
【答案】(1)；
(2)有
(3)7或8
【分析】（1）確定X的取值，算出預(yù)賽成績在和范圍內(nèi)的樣本量，根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算求得至少有1人預(yù)賽成績優(yōu)良的概率，繼而可求得X的分布列，求得期望；
（2）求出變量Z的均值，確定，即可求得，算出不低于91分的人數(shù)，可得結(jié)論；
（3）設(shè)學(xué)生甲答對的題目數(shù)為，復(fù)賽成績?yōu)閅，可得，結(jié)合二項(xiàng)分布的均值計(jì)算公式可得表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)知識，可得答案.
【詳解】（1）預(yù)賽成績在范圍內(nèi)的樣本量為：，
預(yù)賽成績在范圍內(nèi)的樣本量為：，
設(shè)抽取的2人中預(yù)賽成績優(yōu)良的人數(shù)為X，可能取值為，
則，
又，
則X的分布列為：
故.
（2），
，則，
又，
故，
故全市參加預(yù)賽學(xué)生中，成績不低于91分的有人，
因?yàn)?，故小明有資格參加復(fù)賽.
（3）設(shè)學(xué)生甲答對的題目數(shù)為，復(fù)賽成績?yōu)閅，
則，故，
，
故
,
因?yàn)椋源痤}數(shù)量為7或8時，學(xué)生甲可獲得最佳的復(fù)賽成績.
34．為了讓學(xué)生了解毒品的危害，加強(qiáng)禁毒教育，某校組織了全體學(xué)生參加禁毒知識競賽，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生的成績（滿分100分）進(jìn)行分析，把他們的成績分成以下6組：，，，，，．整理得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求圖中a的值并估計(jì)全校學(xué)生的平均成績μ．（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）
(2)在（1）的條件下，若此次知識競賽得分，為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)禁毒知識的興趣，對參賽學(xué)生制定如下獎勵方案：得分不超過57分的不予獎勵，得分超過57分但不超過81分的可獲得學(xué)校食堂消費(fèi)券5元，得分超過81分但不超過93分的可獲得學(xué)校食堂消費(fèi)券10元，超過93分可獲得學(xué)校食堂消費(fèi)券15元．試估計(jì)全校1000名學(xué)生參加知識競賽共可獲得食堂消費(fèi)券多少元．（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）
參考數(shù)據(jù)：，，．
【答案】(1)，
(2)5114元
【分析】（1）由頻率分布直方圖所有小矩形面積之和為，即可求得，根據(jù)平均數(shù)公式計(jì)算即可得；
（2）利用參考數(shù)據(jù)由正態(tài)分布的對稱性分別求出獲得學(xué)校食堂消費(fèi)券為元時的概率，即可得出一名學(xué)生的期望值為，便可計(jì)算出全校1000名學(xué)生共可獲得食堂消費(fèi)券為5114元．
【詳解】（1）由題意可知，，
解得
（2）設(shè)參加知識競賽的每位學(xué)生獲得的學(xué)校食堂消費(fèi)券為Y元，
，
，
，
，
Y的分布列如下表：
即一名學(xué)生獲得的學(xué)校食堂消費(fèi)券的期望值為
，
所以，全校學(xué)生可獲得（元）．
故估計(jì)全校1000名學(xué)生參加知識競賽共可獲得食堂消費(fèi)券5114元．
35．一水果連鎖店的店長為了解本店蘋果的日銷售情況，記錄了過去30天蘋果的日銷售量（單位：kg），得到如下頻率分布直方圖．

(1)求過去30天內(nèi)蘋果的日平均銷售量和方差（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）；
(2)若該店蘋果的日銷售量X近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，試估計(jì)360天中日銷售量超過79.9kg的天數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；
(3)該水果店在店慶期間舉行“贏積分，送獎品”活動，規(guī)定：每位會員可以投擲n次骰子，若第一次擲骰子點(diǎn)數(shù)大于2，可以獲得100個積分，否則獲得50個積分，從第二次起若擲骰子點(diǎn)數(shù)大于2，則獲得上一次積分的兩倍，否則獲得50個積分，直到投擲骰子結(jié)束．記會員甲第n次獲得的積分為，求數(shù)學(xué)期望．
參考數(shù)據(jù)：若，則，，．
【答案】(1)，
(2)57
(3).
【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中平均數(shù)和方差的計(jì)算方法即可計(jì)算；
（2）根據(jù)正態(tài)分布圖的對稱性即可求解；
（3）求出的分布列和，根據(jù)關(guān)系得的關(guān)系，構(gòu)造等比數(shù)列即可求出.
【詳解】（1）由題意得各組的頻率依次為0.1，0.25，0.4，0.15，0.1，
則．
，
（2）由（1）得，，
因?yàn)槿珍N售量X近似服從正態(tài)分布，
所以 ，
所以估計(jì)360天中日銷售量超過79.9kg的天數(shù)為．
（3）依題意的可能取值為100，50，其分布列為：
所以，
由題意得，
所以，得，
又，
所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．
所以，
故．
36．據(jù)相關(guān)機(jī)構(gòu)調(diào)查表明我國中小學(xué)生身體健康狀況不容忽視，多項(xiàng)身體指標(biāo)（如肺活量?柔?度?力量?速度?耐力等）自2000年起呈下降趨勢，并且下降趨勢明顯，在國家的積極干預(yù)下，這種狀況得到遏制，并向好的方向發(fā)展，到2019年中小學(xué)生在肺活量?柔?度?力量?速度?而力等多項(xiàng)指標(biāo)出現(xiàn)好轉(zhuǎn)，但肥胖?近視等問題依然嚴(yán)重，體育事業(yè)任重道遠(yuǎn).某初中學(xué)校為提高學(xué)生身體素質(zhì)，日常組織學(xué)生參加中短跑鍛煉，學(xué)校在一次百米短跑測試中，抽取200名女生作為樣本，統(tǒng)計(jì)她們的成績（單位：秒），整理得到如圖所示的頻率分布直方圖（每組區(qū)間包含左端點(diǎn)，不包含右端點(diǎn)）.

(1)估計(jì)樣本中女生短跑成績的平均數(shù)；（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）
(2)由頻率分布直方圖，可以認(rèn)為該校女生的短跑成績，其中近似為女生短跑平均成績近似為樣本方差，經(jīng)計(jì)算得，若從該校女生中隨機(jī)抽取10人，記其中短跑成績在內(nèi)的人數(shù)為，求（結(jié)果保留2個有效數(shù)字）.
附參考數(shù)據(jù)：，隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則 .
【答案】(1)16.16
(2)0.073
【分析】（1）利用頻率分布直方圖求解平均數(shù)即可.
（2）根據(jù)，可求得成績在內(nèi)的概率，利用二項(xiàng)分布的概率公式求解即可.
【詳解】（1）估計(jì)樣本中女生短跑成績的平均數(shù)為：
.
（2）由題意知，
則，
故該校女生短跑成績在內(nèi)的概率，
由題意可得，
所以，
，
所以.
37．為調(diào)查學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的總體水平，某地區(qū)組織10000名學(xué)生（其中男生4000名，女生6000名）參加數(shù)學(xué)建模能力競賽活動.
(1)若將成績在的學(xué)生定義為“有潛力的學(xué)生”，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，男生中有潛力的學(xué)生有2500名，女生中有潛力的學(xué)生有3500名，完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生是否有潛力與性別有關(guān)?
(2)經(jīng)統(tǒng)計(jì)，男生成績的均值為80，方差為49，女生成績的均值為75，方差為64.
（?。┣笕w參賽學(xué)生成績的均值及方差；
（ⅱ）若參賽學(xué)生的成績服從正態(tài)分布，試估計(jì)成績在的學(xué)生人數(shù).
參考數(shù)據(jù)：
①
②若，則，，.
參考公式：，.
【答案】(1)列聯(lián)表見解析，有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生是否有潛力與性別有關(guān)
(2)（ⅰ），（ⅱ）人
【分析】(1)根據(jù)條件填寫二聯(lián)表，并根據(jù)卡方公式計(jì)算判斷即可；
(2)(i)根據(jù)分層抽樣的均值與方差計(jì)算公式計(jì)算即可；(ii)根據(jù)正態(tài)分布的三段區(qū)間公式計(jì)算并估計(jì)即可.
【詳解】（1）列聯(lián)表如下：
零假設(shè)為：學(xué)生是否有潛力與性別無關(guān)，
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得
，
我們推斷不成立，即有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生是否有潛力與性別有關(guān).
（2）（?。┘僭O(shè)男生成績?yōu)椋煽優(yōu)椋?br>則.
因?yàn)?br>，
即，
同理，即，
所以
（或者直接用公式計(jì)算：）
（ⅱ）由，得，
所以這次考試中成績在的學(xué)生大約有人.
38．某市環(huán)保部門對該市市民進(jìn)行了一次垃圾分類知識的網(wǎng)絡(luò)問卷調(diào)查，每一位市民僅有一次參加機(jī)會，通過隨機(jī)抽樣，得到參加問卷調(diào)查的1000人的得分（滿分100分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示．
(1)已知此次問卷調(diào)查的得分，近似為這1000人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），求；
（附：若，則，，，）
(2)在（1）的條件下，環(huán)保部門為此次參加問卷調(diào)查的市民制定如下獎勵方案：
①得分不低于的可以獲贈2次隨機(jī)話費(fèi)，得分低于的可以獲贈1次隨機(jī)話費(fèi)；
②每次贈送的機(jī)制為：贈送20元話費(fèi)的概率為，贈送40元話費(fèi)的概率為．
現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調(diào)查，記該市民參加問卷調(diào)查獲贈的話費(fèi)為元，求的分布及期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，期望為
【分析】（1）根據(jù)題中的統(tǒng)計(jì)表，求得，結(jié)合，進(jìn)而求得的值.
（2）根據(jù)題得到話費(fèi)可能的值有20，40，60，80元，根據(jù)互斥事件與獨(dú)立事件的概率公式，求得相應(yīng)的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解.
【詳解】（1）解：根據(jù)題中的統(tǒng)計(jì)表，結(jié)合題設(shè)中的條件，可得：

，
又由，
所以.
（2）解：根據(jù)題，可得所得話費(fèi)可能的值有20，40，60，80元，
其中；；
；，
所以隨機(jī)變量的分布列為：
所以期望為.
39．為深入學(xué)習(xí)黨的二十大精神，我校團(tuán)委組織學(xué)生開展了“喜迎二十大，奮進(jìn)新征程”知識競賽活動，現(xiàn)從參加該活動的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名，統(tǒng)計(jì)出他們競賽成績分布如下：
(1)求抽取的100名學(xué)生競賽成績的方差（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；
(2)以頻率估計(jì)概率，發(fā)現(xiàn)我校參賽學(xué)生競賽成績X近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均分，近似為樣本方差，若，參賽學(xué)生可獲得“參賽紀(jì)念證書？”；若，參賽學(xué)生可獲得“參賽先鋒證書”.
①若我校有3000名學(xué)生參加本次競賽活動，試估計(jì)獲得“參賽紀(jì)念證書”的學(xué)生人數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；
②試判斷競賽成績?yōu)?6分的學(xué)生能否獲得“參賽先鋒證書”.
附：若，則，，；抽取的這100名學(xué)生競賽成績的平均分.
【答案】(1)
(2)①2456②能獲得“參賽先峰證書”
【分析】（1）利用公式直接求出方差即可；
（2）①結(jié)合給的概率和正態(tài)分布的性質(zhì)，確定獲得“參賽紀(jì)念證書”，進(jìn)而計(jì)算可得人數(shù)；
②利用正態(tài)分布的知識求出，即，進(jìn)而可得結(jié)果.
【詳解】（1）由題意，抽取的這100名學(xué)生競賽成績的平均分，
所以100名學(xué)生本次競賽成績方差
；
（2）①由于近似為樣本成績平均分，近似為樣本成績方差，
所以，可知，，
由于競賽成績X近似地服從正態(tài)分布，
因此競賽學(xué)生可獲得“參賽紀(jì)念證書”的概率

，
所以，
故估計(jì)獲得“參賽紀(jì)念證書”的學(xué)生人數(shù)為2456，
②當(dāng)時，即時，參賽學(xué)生可獲得“參賽先鋒證書”，
所以競賽成績?yōu)?6分的學(xué)生能獲得“參賽先峰證書”.
40．影響身高的因素主要有以下凡點(diǎn)：第一、遺傳，遺傳基因直接影響人種、身高，第二、睡眠，身高的增長非常依賴于睡眠的質(zhì)量，睡眠的時間有保障，晚上分泌的生長激素可以很好地作用于人體的骨骼，使人體增高．第三、營養(yǎng)，營養(yǎng)物質(zhì)特別是蛋白質(zhì)、鈣、鐵等要補(bǔ)充充分，為孩子增長身體提供原料、第四、運(yùn)動，運(yùn)動影響兒童身高非常明顯，運(yùn)動可以直接促進(jìn)生長激素的分泌，使生長激素在夜晚增大分泌，促進(jìn)食欲，還能保證健康的睡眠等等，對于長高有很大幫助．高中學(xué)生由于學(xué)業(yè)壓力，缺少睡眠與運(yùn)動等原因，導(dǎo)致身高偏矮；但同時也會由于營養(yǎng)增加與遺傳等原因，導(dǎo)致身高偏高，某市教育局為督促各學(xué)校保證學(xué)生充足的睡眠、合理的營養(yǎng)搭配和體育鍛煉時間，減輕學(xué)生學(xué)習(xí)壓力，準(zhǔn)備對各校男生身高指數(shù)進(jìn)行抽查，并制定了身高指數(shù)檔次及所對應(yīng)得分如下表：
某校為迎接檢查，學(xué)期初通過調(diào)查統(tǒng)計(jì)得到該校高三男生身高指數(shù)服從正態(tài)分布，并調(diào)整睡眠時間、合理的營養(yǎng)搭配和體育鍛煉．6月中旬，教育局聘請第三方機(jī)構(gòu)抽查的該校高三30名男生的身高指數(shù)頻數(shù)分布表如下：
(1)試求學(xué)校調(diào)整前高三男生身高指數(shù)的偏矮率、正常率、偏高率、超高率；
(2)請你從偏高率、超高率、男生身高指數(shù)平均得分三個角度評價學(xué)校采取揹施的效果．
附：參考數(shù)據(jù)與公式：若，則①；②；③．
【答案】(1)偏矮率為，正常率為，偏高率為，超高率為
(2)調(diào)整后偏高率、超高率增加，身高指數(shù)平均得分增加，說明學(xué)校采取的措施效果好
【分析】（1）利用正態(tài)分布中概率求解公式求解即可.
（2）利用古典概型概率公式求解調(diào)整后的相對應(yīng)的概率以及平均得分，分別與調(diào)整前的比較，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）調(diào)整前，
偏矮率為，
正常率為，
偏高率為，
超高率為．
（2）由（1）知，調(diào)整前，
身高指數(shù)平均得分為；
調(diào)整后，偏高率為，
超高率為，
身高指數(shù)平均得分為，
由上可知，調(diào)整后偏高率、超高率增加，身高指數(shù)平均得分增加，
說明學(xué)校采取的措施效果好．
事件
配型
X
0
1
2
P
酵母菌類型
該酯類化合物的含量（μg/L）
A型
X
2747
2688
X
X
2817
2679
X
2692
2721
B型
1151
X
1308
X
994
X
X
X
1002
X
C型
2240
X
X
2340
2318
X
2519
2162
X
X
酵母菌類型
品質(zhì)高
品質(zhì)普通
A型
B型
C型
病毒類型
在確診病例中的比例
重癥率
阿爾法
10%
2.4%
貝爾特
15%
3.8%
德爾塔
25%
4%
奧密克戎
50%
2%
29.2
12
16
34.4
0
1
2
鳳梨數(shù)量（盒）
購物群數(shù)量（個）
12
20
32
消費(fèi)金額（千元）




人數(shù)
40
60
40
30
20
10
X
2
3
4
P
0
1
2
3
3
2
1
0
月薪/元
[2000，3000）
[3000，4000）
[4000，5000）
[5000，6000）
[6000，7000）
[7000，8000）
人數(shù)
20
36
44
50
40
10
I類收入群體
II類收入群體
總計(jì)
甲行業(yè)
60
乙行業(yè)
20
總計(jì)
3.841
6.635
10.828
0.050
0.010
0.001
贈送金額/元
100
200
300
概率
I類收入群體
II類收入群體
總計(jì)
甲行業(yè)
30
60
90
乙行業(yè)
20
90
110
總計(jì)
50
150
200
月薪/元
[2000，3000）
[3000，4000）
[4000，5000）
[5000，6000）
[6000，7000）
[7000，8000）
人數(shù)
20
36
44
50
40
10
頻率
0.1
0.18
0.22
0.25
0.2
0.05
Y
200
300
400
500
600
P
X
0
1
2
P
Y
0
5
10
15
P
0.15865
0.6827
01359
0.02275
100
50
P
是否有潛力
性別
合計(jì)
男生
女生
有潛力
沒有潛力
合計(jì)
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
是否有潛力
性別
合計(jì)
男生
女生
有潛力
2500
3500
6000
沒有潛力
1500
2500
4000
合計(jì)
4000
6000
10000
組別
頻數(shù)
25
150
200
250
225
100
50
20
40
60
80
成績（分）
人數(shù)
2
4
22
40
28
4
檔次
偏矮
正常
偏高
超高
男生身高指數(shù)（單位：）
學(xué)生得分
50
70
80
90
檔次
偏矮
正常
偏高
超高
男生身高指數(shù)（單位：）
人數(shù)
3
9
12
6

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