一、解答題
1．如圖，中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，，，．

(1)求證：是正三角形；
(2)求的面積．
2．如圖，在矩形ABCD中，連接對(duì)角線AC、BD，將△ABC沿BC方向平移，使點(diǎn)B移到點(diǎn)C，得到△DCE．
（1）求證：△ACD≌△EDC；
（2）請(qǐng)?zhí)骄俊鰾DE的形狀，并說(shuō)明理由．
3．如圖，在四邊形中，，過(guò)點(diǎn)B作交于點(diǎn)E，點(diǎn)F為邊上一點(diǎn)，且，連接．
(1)判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
4．如圖1，已知四邊形四條邊上的中點(diǎn)分別為、、、、依次連接、、、、得到四邊形．

(1)求證:四邊形為平行四邊形；
(2)連接與，當(dāng)與滿足什么條件時(shí)，四邊形是矩形？
(3)如圖2，若四邊形是菱形，則四邊形是什么圖形，請(qǐng)說(shuō)明理由．
5．如圖，在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，和分別是和的角平分線．以為對(duì)角線向外作邊和，相交于點(diǎn)，使，．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)已知，，求四邊形的面積．
6．如圖，在中，，于點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)若，，求的長(zhǎng)．
7．如圖，在菱形中，過(guò)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，過(guò)E作交于點(diǎn)F．
(1)求證；
(2)若，求的長(zhǎng)．
8．如圖，在菱形中，對(duì)角線相交于點(diǎn) O，，．

(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，求四邊形的面積．
9．如圖，中，，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，點(diǎn)在上，且．

(1)求證：四邊形為平行四邊形；
(2)若，求四邊形的周長(zhǎng)；
(3)過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，判斷和的大小關(guān)系并說(shuō)明理由．
10．將兩張完全相同的矩形紙片ABCD、FBED按如圖方式放置，BD為重合的對(duì)角線．重疊部分為四邊形DHBG，
(1)試判斷四邊形DHBG為何種特殊的四邊形，并說(shuō)明理由；
(2)若AB=8，AD=4，求四邊形DHBG的面積．
11．如圖，在矩形中，點(diǎn)、分別在邊、上，，，，，求的長(zhǎng)．
12．如圖，在菱形中，對(duì)角線和相交于點(diǎn)，，．
(1)求的度數(shù)；
(2)求對(duì)角線的長(zhǎng)．
13．如圖，在矩形中，對(duì)角線的垂直平分線與相交于點(diǎn)M，與相交于點(diǎn)O，與相交于N，連接
(1)求證：四邊形是菱形；
(2)若，求的長(zhǎng)．
14．如圖，在菱形中，點(diǎn)E，F(xiàn)是對(duì)角線上的兩點(diǎn)，，連接，．

(1)求證：；
(2)若，，且是等邊三角形，求的長(zhǎng)．
15．如圖，在中，D是的中點(diǎn)，E是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

(1)求證：；
(2)連接，若，求證：四邊形是矩形．
16．如圖，平行四邊形中，，過(guò)點(diǎn)D作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，連接．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，且，求四邊形的面積．
二、填空題
17．如圖，四邊形中，，，，連接和，若，則 °，的周長(zhǎng)為 ．

參考答案：
1．(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，繼而可得，再由根據(jù)有一個(gè)角等于的等腰三角形是等邊三角形即可得出結(jié)論；
（2）由是等邊三角形得出，進(jìn)而可得，由此得出四邊形是矩形，再根據(jù)利用勾股定理可得的長(zhǎng)，最后利用矩形的面積公式即可得．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，
又，
又，
是等邊三角形；
（2）解：是等邊三角形；
四邊形是平行四邊形，
，
，
四邊形是矩形，
，
在中，，
則矩形的面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握矩形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
2．（1）證明見(jiàn)解析；（2）△BDE是等腰三角形；理由見(jiàn)解析.
【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，由平移的性質(zhì)得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，得出AD=EC，由SAS即可得出結(jié)論；
（2）由AC=BD，DE=AC，得出BD=DE即可．
【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC，AC=BD，AD=BC，∠ADC=∠ABC=90°，
由平移的性質(zhì)得：DE=AC，CE=BC，∠DCE=∠ABC=90°，DC=AB，
∴AD=EC，
在△ACD和△EDC中，，
∴△ACD≌△EDC（SAS）；
（2）△BDE是等腰三角形；理由如下：
∵AC=BD，DE=AC，
∴BD=DE，
∴△BDE是等腰三角形．
考點(diǎn)：1、矩形的性質(zhì)；2、全等三角形的判定與性質(zhì)；3、平移的性質(zhì)
3．(1)四邊形為矩形，理由見(jiàn)解析
(2)10
【分析】此題考查矩形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形解答．
（1）根據(jù)平行四邊形的判定和矩形的判定解答即可；
（2）證明，再利用相似三角形的性質(zhì)，解答即可．
【詳解】（1）四邊形為矩形，理由如下：
證明：，，
四邊形是平行四邊形，
，
平行四邊形是矩形；
（2）解： 四邊形是矩形，
，，
，，
，
，
，
，
，
即，
．
4．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)矩形，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）連接，根據(jù)三角形中位線定理得到，，，，推出，，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可得證；
（2）根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，可知當(dāng)四邊形的對(duì)角線滿足的條件時(shí)，四邊形是矩形；
（3）根據(jù)三角形中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半可得，，進(jìn)而得出四邊形是平行四邊形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)證明，可得四邊形是矩形．
【詳解】（1）證明：連結(jié)，如圖1所示：
、分別是、中點(diǎn)，
是的中位線，
，，
、分別是、中點(diǎn)，
是的中位線，
，，
，，
四邊形是平行四邊形；
（2）解：時(shí)，四邊形是矩形．
理由如下：
連結(jié)、，如圖2所示：
、、、分別為四邊形四條邊上的中點(diǎn)，
，，
，
，
又四邊形是平行四邊形，
平行四邊形是矩形；
（3）解：四邊形是矩形．
理由如下：
連結(jié)、，如圖3所示：
、、、分別為四邊形四條邊上的中點(diǎn)，
，，，，，
，，
四邊形是平行四邊形，
四邊形是菱形，
，
，，
，
平行四邊形是矩形．
【點(diǎn)睛】本題考查中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定、菱形的性質(zhì)等知識(shí)，掌握平行四邊形及特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)相關(guān)知識(shí)，正確作出輔助線靈活利用三角形中位線證明是解題關(guān)鍵．
5．(1)見(jiàn)詳解
(2)四邊形的面積為4
【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得，，則，，而，，所以，，則，，所以四邊形是平行四邊形，由，，求得，則，所以四邊形是矩形；
（2）有兩種方法可以考慮，一是在上取一點(diǎn)，連接，使，求得，則，，所以，由勾股定理得，求得，則，所以．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，，，
，，
，，
，，
四邊形是平行四邊形，
和分別是和的角平分線，
，，
，
，
四邊形是矩形．
（2）解：如圖1，在上取一點(diǎn)，連接，使，
，，
，
，
，
，
，
，且，
，
解得或（不符合題意，舍去），
，
，
四邊形的面積為4．
【點(diǎn)睛】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、三角形的面積公式及矩形的面積公式知識(shí)，推導(dǎo)出，是解題的關(guān)鍵．
6．(1)見(jiàn)解析
(2)
【詳解】（1）證明：，，
，，
，
，
，
，
即．
（2）解：，，
，，，
，，
，
，
即，
，，
．
7．(1)見(jiàn)解析
(2)
【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)的綜合應(yīng)用．熟練掌握菱形和相似三角形的性質(zhì)及判定是解題關(guān)鍵．
（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)和直角三角形相似的判定方法即可證出結(jié)論；
（2）利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求出結(jié)果．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∵交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E， 于點(diǎn)F，
∴，
又∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的長(zhǎng)是．
8．(1)見(jiàn)解析
(2)24
【分析】（1）先證四邊形為平行四邊形，再由菱形的性質(zhì)得，即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)求出，由勾股定理得出的長(zhǎng)，再根據(jù)梯形的面積公式即可解決問(wèn)題．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵菱形，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形；
（2）解：∵四邊形是菱形，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，
由（1）得：四邊形是矩形，
∴四邊形的面積=．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9．(1)見(jiàn)解析
(2)四邊形的周長(zhǎng)為
(3)，理由見(jiàn)解析
【分析】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)．
（1）根據(jù)平行四邊形的對(duì)角線互相平分即可求解；
（2）根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊分別相等，結(jié)合，，即可求解；
（3）根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余和等腰三角形的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】（1）證明：，，
四邊形是平行四邊形；
（2）四邊形是平行四邊形，
，，
，，
，
平行四邊形的周長(zhǎng)為：；
（3），
，
即，
中，，
，
，
，
．
10．（1）四邊形DHBG是菱形，理由見(jiàn)解析；（2）20．
【分析】（1）由四邊形ABCD、FBED是完全相同的矩形，可得出△DAB≌△DEB（SAS），進(jìn)而可得出∠ABD=∠EBD，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AB∥CD、DF∥BE，即四邊形DHBG是平行四邊形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合∠ABD=∠EBD，即可得出∠HDB=∠HBD，由等角對(duì)等邊可得出DH=BH，由此即可證出?DHBG是菱形；
（2）設(shè)DH=BH=x，則AH=8-x，在Rt△ADH中，利用勾股定理即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再根據(jù)菱形的面積公式即可求出菱形DHBG的面積．
【詳解】解：四邊形是菱形．理由如下：
∵四邊形、是完全相同的矩形，
∴，，．
在和中，，
∴，
∴．
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，，
∴，
∴，
∴是菱形．
由，設(shè)，則，
在中，，即，
解得：，即，
∴菱形的面積為．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）利用等角對(duì)等邊找出DH=BH；（2）利用勾股定理求出菱形的邊長(zhǎng)．
11．
【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及勾股定理，熟練掌握三角形相似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
，
，，，
，
解得：，
四邊形是矩形，
，
．
12．(1)；
(2)．
【分析】（）根據(jù)菱形的性質(zhì)得，平分，再由平行線的性質(zhì)得，即可求出的度數(shù)；
（）由菱形性質(zhì)得，然后利用含角的直角三角形的性質(zhì)，求得的長(zhǎng)，進(jìn)而求得的長(zhǎng)；
此題考查了菱形的性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)．
【詳解】（1）∵四邊形是菱形，
∴，平分，
∴，
∵
∴，
∴；
（2）∵四邊形是菱形，
∴，，
∴，
由（）得，
∴，
在中由勾股定理得：，
∴．
13．(1)見(jiàn)詳解
(2)長(zhǎng)為．
【分析】（1）根據(jù)矩形性質(zhì)求出，推出，證△，推出，得出平行四邊形，推出菱形；
（2）根據(jù)菱形性質(zhì)求出，在中，根據(jù)勾股定理得出，推出，求出即可．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，
∴
∴
在和中，
，
∴，
∴
∵
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴平行四邊形是菱形．
（2）解：∵四邊形是菱形，
∴MB=MD，
設(shè)長(zhǎng)為x，則，
在中，
即
解得：．
答：長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用．注意對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形．
14．(1)見(jiàn)解析
(2)．
【分析】
（1）利用可證明；
（2）菱形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)求得，再由等邊三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)求得，推出，據(jù)此即可求解.
【詳解】（1）證明：∵菱形，
∴，，
∵，
∴；
（2）解：∵菱形，
∴，
∵，
∴，
∵是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．
15．(1)見(jiàn)解析；
(2)見(jiàn)解析；
【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出，然后利用“角角邊”證明三角形全等，再由全等三角形的性質(zhì)容易得出結(jié)論；
（2）先利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形判定即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)，
∴，
在和中，
，
∴；
∴，
∵，
∴；
（2）證明：，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，
∴平行四邊形是矩形．
【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定，是基礎(chǔ)題，明確有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形是解本題的關(guān)鍵．
16．(1)見(jiàn)解析
(2)90
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，理解直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，掌握平行四邊形的性質(zhì)及矩形的判定方法是解題關(guān)鍵．
（1）利用平行線的性質(zhì)分析可得，從而求證四邊形是矩形；
（2）根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半和勾股定理求得的長(zhǎng)度，從而利用矩形和三角形的面積公式計(jì)算求解．
【詳解】（1）證明：平行四邊形中，，
∵，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形是矩形；
（2）解：∵，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，，
∴，
在中，，
平行四邊形中，，
在矩形中，，
∴四邊形的面積．
17． /15度
【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形利用勾股定理求解．由等腰直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)合即可求解，過(guò)點(diǎn)A作，利用勾股定理即可求解的周長(zhǎng)．
【詳解】解：，，，
，，
點(diǎn)O為中點(diǎn)，
，
，
，
，
過(guò)點(diǎn)A作，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
周長(zhǎng)為：，
故答案為：；．

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