?專練13（幾何壓軸大題）（30道）
1．.已知如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，點D在AB上，DE⊥AB交BC于E，點F是AE的中點
（1）寫出線段FD與線段FC的關系并證明；
（2）如圖2，將△BDE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），其它條件不變，線段FD與線段FC的關系是否變化，寫出你的結論并證明；
（3）將△BDE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)一周，如果BC＝4，BE＝2，直接寫出線段BF的范圍．

【答案】（1）結論：FD＝FC，DF⊥CF．理由見解析；（2）結論不變．理由見解析；（3）≤BF．
【解析】
解：（1）結論：FD＝FC，DF⊥CF．
理由：如圖1中，

∵∠ADE＝∠ACE＝90°，AF＝FE，
∴DF＝AF＝EF＝CF，
∴∠FAD＝∠FDA，∠FAC＝∠FCA，
∴∠DFE＝∠FDA+∠FAD＝2∠FAD，∠EFC＝∠FAC+∠FCA＝2∠FAC，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝45°，
∴∠DFC＝∠EFD+∠EFC＝2（∠FAD+∠FAC）＝90°，
∴DF＝FC，DF⊥FC．
（2）結論不變．
理由：如圖2中，延長AC到M使得CM＝CA，延長ED到N，使得DN＝DE，連接BN、BM．EM、AN，延長ME交AN于H，交AB于O．

∵BC⊥AM，AC＝CM，
∴BA＝BM，同法BE＝BN，
∵∠ABM＝∠EBN＝90°，
∴∠NBA＝∠EBM，
∴△ABN≌△MBE，
∴AN＝EM，∴∠BAN＝∠BME，
∵AF＝FE，AC＝CM，
∴CF＝EM，F(xiàn)C∥EM，同法FD＝AN，F(xiàn)D∥AN，
∴FD＝FC，
∵∠BME+∠BOM＝90°，∠BOM＝∠AOH，
∴∠BAN+∠AOH＝90°，
∴∠AHO＝90°，
∴AN⊥MH，F(xiàn)D⊥FC．
（3）．
當點落在上時，取得最大值，
如圖5所示，∵，，，∴，
∵是的中點，∴，
又，
∴，
即的最大值為．

圖5
當點落在延長線上時，取得長最小值，
如圖6所示，∵，，，∴，
∵是的中點，∴，
又，
∴，
即的最小值為．

圖6
綜上所述，．
【點睛】
本題考查等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊中線的性質(zhì)、三角形中位線定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．
2．.正方形中，E是邊上一點，
（1）將繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使重合，得到，如圖1所示.觀察可知：與相等的線段是_______，______.
（2）如圖2，正方形中，分別是邊上的點，且，試通過旋轉(zhuǎn)的方式說明：
（3）在（2）題中，連接分別交于，你還能用旋轉(zhuǎn)的思想說明.

【答案】（1）BF，AED；（2）證明見解析；（3）證明見解析.
【解析】
(1)、∵△ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使AD、AB重合，得到△ABF，
∵DE=BF，∠AFB=∠AED．
(2)、將△ADQ繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，則AD與AB重合，得到△ABE，如圖2，
則∠D=∠ABE=90°， 即點E、B、P共線，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ，BE=DQ， ∵∠PAQ=45°，
∴∠PAE=45° ∴∠PAQ=∠PAE， ∴△APE≌△APQ（SAS）， ∴PE=PQ，
而PE=PB+BE=PB+DQ， ∴DQ+BP=PQ；
(3)、∵四邊形ABCD為正方形， ∴∠ABD=∠ADB=45°，
如圖，將△ADN繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，則AD與AB重合，得到△ABK，
則∠ABK=∠ADN=45°，BK=DN，AK=AN， 與（2）一樣可證明△AMN≌△AMK，得到MN=MK，
∵∠MBA+∠KBA=45°+45°=90°， ∴△BMK為直角三角形， ∴BK2+BM2=MK2， ∴BM2+DN2=MN2．

考點：(1)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；(2)、全等三角形的判定與性質(zhì)；(3)、勾股定理；(4)、正方形的性質(zhì)．
3．.如圖,△ABC內(nèi)接于☉O,AB是☉O的直徑,CD平分∠ACB交☉O于點D,交AB于點F,弦AE⊥CD于點H,連接CE、OH.
(1)延長AB到圓外一點P,連接PC,若PC2=PB·PA,求證:PC是☉O的切線;
(2)求證:CF·AE=AC·BC;
(3)若=,☉O的半徑是,求tan∠AEC和OH的長.

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3) tan∠AEC=，OH =1.
【解析】
(1)證明:∵PC2=PB·PA,∴=,
∵∠BPC=∠APC,∴△PBC∽△PCA,
∴∠BAC=∠PCB,連接OC,如圖所示,

∵AO=OC,∴∠ACO=∠BAC,∴∠ACO=∠PCB.
∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°,
∴∠BCO+∠ACO=90°,
∴∠BCO+∠PCB=90°,∴∠PCO=90°.
∵OC是半徑,∴PC是☉O的切線.
(2)證明:∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°.
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠FCB=45°.
∵AE⊥CD,∴∠CAE=45°=∠FCB.
在△ACE與△CFB中,
∠CAE=∠FCB,∠AEC=∠FBC,
∴△ACE∽△CFB,∴=,
∴CF·AE=AC·BC.
(3)作FM⊥AC于M,FN⊥BC于N,CQ⊥AB于Q,延長AE、CB交于點K.

∵CD平分∠ACB,∴FM=FN.
∵S△ACF=AC·FM=AF·CQ,
S△BCF=BC·FN=BF·CQ,
∴==,
∴=.
∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°且tan∠ABC=.
∵=且∠AEC=∠ABC,
∴tan∠AEC=tan∠ABC==.
設AC=3k,BC=2k,
∵在Rt△ACB中,AB2=AC2+BC2且AB=2,
∴(3k)2+(2k)2=(2)2,∴k=2(k=-2舍去),
∴AC=6,BC=4,
∵∠FCB=45°,∠CHK=90°,
∴∠K=45°=∠CAE,
∴HA=HC=HK,CK=CA=6.
∵CB=4,∴BK=6-4=2,
∵OA=OB,HA=HK,
∴OH是△ABK的中位線,∴OH=BK=1.
【點睛】
此題考查了切線的判定、圓周角定理、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理等知識的綜合應用．
4.如圖所示，四邊形ABCD是正方形，M是AB延長線上一點．直角三角尺的一條直角邊經(jīng)過點D，且直角頂點E在AB邊上滑動（點E不與點A、B重合），另一直角邊與∠CBM的平分線BF相交于點F．

（1）如圖1，當點E在AB邊得中點位置時：
①通過測量DE、EF的長度，猜想DE與EF滿足的數(shù)量關系是 ；
②連接點E與AD邊的中點N，猜想NE與BF滿足的數(shù)量關系是 ，請證明你的猜想；
（2）如圖2，當點E在AB邊上的任意位置時，猜想此時DE與EF有怎樣的數(shù)量關系，并證明你的猜想．
【答案】（1）①DE=EF；②NE=BF；理由見解析；（2）DE=EF，理由見解析．
【解析】
解：（1）①DE=EF；②NE=BF；理由如下：
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，
∵N，E分別為AD，AB中點，
∴AN=DN=AD，AE=EB=AB，
∴DN=BE，AN=AE，
∵∠DEF=90°，
∴∠AED+∠FEB=90°，
又∵∠ADE+∠AED=90°，
∴∠FEB=∠ADE，
又∵AN=AE，
∴∠ANE=∠AEN，
又∵∠A=90，
∴∠ANE=45°，
∴∠DNE=180°﹣∠ANE=135°，
又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，
∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，
在△DNE和△EBF中，
∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．
（2）DE=EF，理由如下：
在DA邊上截取DN=EB，連接NE，
∵四邊形ABCD是正方形，DN=EB，
∴AN=AE，
∴△AEN為等腰直角三角形，
∴∠ANE=45°，
∴∠DNE=180°﹣45°=135°，
∵BF平分∠CBM，AN=AE，
∴∠EBF=90°+45°=135°，
∴∠DNE=∠EBF，
∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，
∴∠NDE=∠BEF，
在△DNE和△EBF中，
∴△DNE≌△EBF（ASA），
∴DE=EF．

【點睛】
本題主要考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等，能正確地根據(jù)圖1中證明△DNE與△EBF全等從而得到結論，進而應用到圖2是解題的關鍵．
5．.（1）（問題發(fā)現(xiàn)）
如圖1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，點D為BC的中點，以CD為一邊作正方形CDEF，點E恰好與點A重合，則線段BE與AF的數(shù)量關系為　 　
（2）（拓展研究）
在（1）的條件下，如果正方形CDEF繞點C旋轉(zhuǎn)，連接BE，CE，AF，線段BE與AF的數(shù)量關系有無變化？請僅就圖2的情形給出證明；
（3）（問題發(fā)現(xiàn)）
當正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B，E，F(xiàn)三點共線時候，直接寫出線段AF的長．

【答案】（1）BE=AF；（2）無變化；（3）﹣1或+1．
【解析】
解：（1）在Rt△ABC中，AB=AC=2，
根據(jù)勾股定理得，BC=AB=2，
點D為BC的中點，∴AD=BC=，
∵四邊形CDEF是正方形，∴AF=EF=AD=，
∵BE=AB=2，∴BE=AF，
故答案為BE=AF；
（2）無變化；
如圖2，在Rt△ABC中，AB=AC=2，
∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin∠ABC=，
在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC=，
∴，
∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCE﹣∠ACE=∠ACB﹣∠ACE，∴∠FCA=∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，∴ =，∴BE=AF，
∴線段BE與AF的數(shù)量關系無變化；
（3）當點E在線段AF上時，如圖2，
由（1）知，CF=EF=CD=，
在Rt△BCF中，CF=，BC=2，
根據(jù)勾股定理得，BF=，∴BE=BF﹣EF=﹣，
由（2）知，BE=AF，∴AF=﹣1，
當點E在線段BF的延長線上時，如圖3，
在Rt△ABC中，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴sin∠ABC=，
在正方形CDEF中，∠FEC=∠FED=45°，
在Rt△CEF中，sin∠FEC= ，∴ ，
∵∠FCE=∠ACB=45°，∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，∴∠FCA=∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，∴ =，∴BE=AF，
由（1）知，CF=EF=CD=，
在Rt△BCF中，CF=，BC=2，
根據(jù)勾股定理得，BF=，∴BE=BF+EF=+，
由（2）知，BE=AF，∴AF=+1．
即：當正方形CDEF旋轉(zhuǎn)到B，E，F(xiàn)三點共線時候，線段AF的長為﹣1或+1．

6．.如圖1，在中，，，點、分別在邊、上，，連結，點、、分別為、、的中點．

（1）觀察猜想圖1中，線段與的數(shù)量關系是_______，位置關系是_______；
（2）探究證明把繞點逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連結、、，判斷的形狀，并說明理由；
（3）拓展延伸把繞點在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，請直接寫出面積的最大值．
【答案】（1），；（2）是等腰直角三角形，理由見解析；（3）面積的最大值為.
【解析】
解：（1）∵點、是、的中點
∴，
∵點、是、的中點
∴，
∵，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
（2）結論：是等腰直角三角形．
證明：由旋轉(zhuǎn)知，
∵，
∴
∴，
∵由三角形中位線的性質(zhì)可知，，
∴
∴是等腰三角形
∵同（1）的方法得，、
同（1）的方法得， 、
∴
∴





∵
∴
∴
∴是等腰直角三角形；
（3）∵由（2）得，是等腰直角三角形，

∴最大時，的面積最大
∴且在頂點上面時，，連接AM，AN，如圖：

∵在中，，
∴
∵在中，，
∴
∴
∴．
故答案是：（1），；（2）是等腰直角三角形，理由見解析；（3）面積的最大值為
【點睛】
本題考查了三角形中位線的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及求最大面積問題等知識點，屬壓軸題目，綜合性較強．
7.已知：在中，AD是BC邊上的中線，點E是AD的中點；過點A作，交BE的延長線于F，連接CF．
求證：四邊形ADCF是平行四邊形；
填空：
當時，四邊形ADCF是______形；
當時，四邊形ADCF是______形

【答案】（1）見解析；（2）①矩；②菱.
【解析】
證明：，
在和中
，
≌

．
又，
四邊形ADCF為平行四邊形；
當時，四邊形ADCF是矩形；
當時，四邊形ADCF是菱形．
故答案為矩，菱．
【點睛】
此題主要考查了平行四邊形的判定以及全等三角形的判定與性質(zhì)，得出≌是解題關鍵．
8．.如圖，矩形中，，，點在邊的延長線上，連接，過點作的垂線，交于點，交邊的延長線于點.

（1）連接，若，求證：四邊形為菱形；
（2）在（1）的條件下，求的長；
（3）設，，求關于的函數(shù)解析式，并直接寫出的取值范圍.
【答案】（1）見解析；（2）；（3），.
【解析】
解：（1）證明：∵BD=BE，BM⊥DE∴∠DBN=∠EBN
∵四邊形ABCD是矩形，AD∥BC
∴∠ DNB=∠EBN∴∠DBN=∠DNB
∴BD=DN
又∵ BD=BE∴BE=DN又∵AD∥BC∴四邊形DBEN是平行四邊形
又∵BD=BE ∴平行四邊形DBEN是菱形

（2）由（1）可得，BE=BD==10∴CE=BE-BC=2
∴在Rt△DCE中，DE==2
由題意易得∠MBC=∠EDC，又∠DCE=∠BCD=90°
∴△BCM∽△DCE
∴∴∴BM=
（3）由題意易得∠BNA=∠EDC，∠A=∠DCE=90°
∴△NAB∽△DCE
∴
∴
∴y=，其中0

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