一、解答題
1．如圖，以的直角邊為直徑作，交斜邊于點，點是的中點，連接．

(1)求證：是的切線．
(2)若，求的長．
(3)求證：．
2．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，直線EF經過點C，AD⊥EF于點D，∠DAC=∠BAC
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）求證：AC2=AD·AB；
（3）若⊙O的半徑為2，∠ACD=30°，求圖中陰影部分的面積．
3．如圖，P為⊙O外一點，PA、PB為⊙O的切線，切點分別為A、B，直線PO交⊙O于點D、E，交AB于點C．
(1)求證：∠ADE=∠PAE．
(2)若∠ADE=30°，求證：AE=PE．
(3)若PE=4，CD=6，求CE的長．
4．如圖，是的外接圓，，連接，延長交于點，交于點．
(1)的度數(shù)為 度，寫出圖中一對全等的三角形： ；
(2)求證：；
(3)若，試求的度數(shù)．
5．如圖，在中，，平分，交于點，點在上，經過，兩點，交于點，交于點．
(1)求證：是的切線；
(2)若的半徑是，點是弧的中點，求陰影部分的面積；（結果保留和根號）
(3)連接，交于點，在（2）的條件下，求的長．
6．如圖，是的直徑，弦與相交于點E，．
(1)寫出圖中一對你認為全等的三角形 ；
(2)求證：；
(3)若的半徑為4，，求的長．
7．如圖，，是上的兩點，是的直徑，過點的切線交的延長線于點，，連接，，．
(1)求證∶；
(2)若，，求的半徑；
(3)在（2）的條件下，求出的面積．
8．如圖，在三角形中，，，以為直徑的分別與交于點F，E，．
(1)求證：；
(2)若的半徑為4，求陰影部分的面積；
(3)求證：．
9．如圖，在中，，以為直徑的交于點D，E是的中點，連接，．
(1)求證：；
(2)求證：是切線；
(3)連接交于點F，若，，求的長．
10．四邊形ABCD內接于，．
(1)如圖1，若，求的度數(shù)；
(2)如圖2．連接交于點E．
①求證：；
②若，，，求的長．
11．如圖，已知，A，B是上的點，P為外一點，連接，，分別交于點C，D，．

(1)求證：；
(2)若的半徑為6，，．求圖中陰影部分的面積．
12．菱形的頂點B，C，D在上，O在線段上.
(1)如圖1，若是的切線，求的大??；
(2)如圖2，若，，與交于點E，求的長.
13．如圖，為的直徑，C是圓上一點，D是的中點，弦，垂足為點F．

(1)求證：；
(2)P是上一點，，求；
(3)在（2）的條件下，當是的平分線時，求的長．
14．如圖，是的直徑，弦交于點，點是劣弧的中點，連接．
(1)求證：；
(2)過點作，判斷劣弧與劣弧的大小關系，并說明理由；
(3)在（2）的條件下，若，，求陰影部分的面積．
15．如圖，是的直徑，，．連接交于D．
(1)求證：是的切線；
(2)若，求的長．
參考答案：
1．(1)見詳解
(2)
(3)見詳解
【分析】（1）連接，先根據直角三角形的性質，證明，再證明即可；
（2）由（1）中結論，得，先根據三角函數(shù)及勾股定理求出的長，再證明即可；
（3）證明即可得出結論．
【詳解】（1）證明：連接，

在中，，
是的直徑，
即，
在中，點是的中點，
，
又，
，
，
在上
是的切線．
（2）解：由（1）中結論，得，
在中，，
，
，
，
，
，
；
（3）證明：，
，
，
，
，
，
由（1）中結論，得，
，
，
即．
【點睛】此題是圓的綜合題，主要考查了切線的性質，直角三角形的性質，三角形的中位線定理，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數(shù)，判斷出是解本題的關鍵．
2．(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).
【分析】（1）連接OC，根據OA=OC推出∠BAC=∠OCA=∠DAC，推出OC∥AD，得出OC⊥EF，根據切線的判定推出即可．
（2）證△ADC∽△ACB，得出比例式，即可推出答案．
（3）求出等邊三角形OAC，求出AC、∠AOC，在Rt△ACD中，求出AD、CD，求出梯形OCDA和扇形OCA的面積，相減即可得出答案．
【詳解】解：（1）證明：連接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA．
∵∠DAC=∠BAC，
∴∠OCA=∠DAC．
∴OC∥AD．
∵AD⊥EF，
∴OC⊥EF．
∵OC為半徑，
∴EF是⊙O的切線．
（2）證明：∵AB為⊙O直徑，AD⊥EF，
∴∠BCA=∠ADC=90°．
∵∠DAC=∠BAC，
∴△ACB∽△ADC．
∴．
∴AC2=AD?AB．
（3）∵∠ACD=30°，∠OCD=90°，
∴∠OCA=60°.
∵OC=OA，
∴△OAC是等邊三角形．
∴AC=OA=OC=2，∠AOC=60°．
∵在Rt△ACD中，AD=AC=1．
由勾股定理得：DC=，
∴陰影部分的面積是S=S梯形OCDA﹣S扇形OCA=×（2+1）×﹣．
3．(1)見解析
(2)見解析
(3)CE的長為2．
【分析】（1）連接OA，根據切線的性質得到∠OAE+∠PAE=90°，根據圓周角定理得到∠OAE+∠DAO=90°，據此即可證明∠ADE=∠PAE；
（2）由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，∠AED =60°，利用三角形外角的性質得到∠APE=∠AED-∠PAE =30°，再根據等角對等邊即可證明AE=PE；
（3）證明Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，推出DC×CE=OC×PC，設CE=x，據此列方程求解即可．
【詳解】（1）證明：連接OA，
∵PA為⊙O的切線，
∴OA⊥PA，即∠OAP=90°，
∴∠OAE+∠PAE=90°，
∵DE為⊙O的直徑，
∴∠DAE=90°，即∠OAE+∠DAO=90°，
∴∠DAO=∠PAE，
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADE，
∴∠ADE=∠PAE；
（2）證明：∵∠ADE=30°，
由（1）得∠ADE=∠PAE =30°，∠AED=90°-∠ADE=60°，
∴∠APE=∠AED-∠PAE =30°，
∴∠APE=∠PAE =30°，
∴AE=PE；
（3）解：∵PA、PB為⊙O的切線，切點分別為A、B，直線PO交AB于點C．
∴AB⊥PD，
∵∠DAE=90°，∠OAP=90°，
∴∠DAC+∠CAE=90°，∠OAC+∠PAC=90°，
∵∠DAC+∠D=90°，∠OAC+∠AOC=90°，
∴∠CAE=∠D，∠PAC=∠AOC，
∴Rt△EAC∽Rt△ADC，Rt△OAC∽Rt△APC，
∴
∴AC2=DC×CE，AC2=OC×PC，
即DC×CE=OC×PC，
設CE=x，則DE=6+x，OE=3+，OC=3+-x=3-，PC=4+x，
∴6x=(3-)( 4+x)，
整理得：x2+10x-24=0，
解得：x=2(負值已舍)．
∴CE的長為2．
【點睛】本題考查了切線的性質，相似三角形的判定和性質，圓周角定理，解題的關鍵是學會利用參數(shù)構建方程解決問題．
4．(1)，
(2)證明見解析
(3)
【分析】本題考查了圓周角圓心角的性質，相似三角形的判定，全等三角形的判定及性質等知識點，靈活運用同圓中等弧所對的圓周角相等是解題的關鍵．
（1）根據直徑所對的圓周角為直角即可得到的度數(shù)，再利用HL即可證明出；
（2）運用同圓中相等的弧所對的圓周角相等證出和，即可得到；
（3）根據推理出，利用含角的直角三角形邊的比值關系可推理出，再利用圓周角與圓心角的數(shù)量關系轉角即可求解．
【詳解】（1）解：由題意可得：為的直徑，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴（HL）；
（2）解：由（1）可得：，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）連接如圖所示：
∵，，
∴是的垂直平分線，
∴，
∵，，
∴，
∵在中， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
5．(1)見解析
(2)
(3)
【分析】本題考查了切線的判定、扇形的面積、等邊三角形的判定和性質、平行線的判定和性質、全等三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，靈活運用所學知識解決問題．
（1）連接，只要證明即可解決問題；
（2）連接，交于K，證明是等邊三角形，然后利用求解即可；
（3）設與交于點M，利用垂徑定理求出，證明，得出，利用垂徑定理得出，利用三角形中位線定理求出，進而求出，證明，然后利用相似三角形的性質求解即可．
【詳解】（1）證明：連接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又是的半徑，
∴是的切線；
（2）解：連接，交于K，
∵點是弧的中點，
∴，
∵，，，
∴，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴，
∴；
（3）解：如圖，設與交于點M，
由（2）知，，，
∴，
∵是直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴．
6．(1)
(2)詳見解析
(3)
【分析】本題考查了圓的概念及性質的應用，垂徑定理及勾股定理的應用是解題關鍵．
（1）由得，再證明，從而證明出；
（2）由垂徑定理可得結論；
（3）根據勾股定理得出，再由垂徑定理得出的長即可．
【詳解】（1）解： ，
，
，
，
，
，
，
，
∴．
故答案為：．
（2）證明：∵，
，
．
（3）解：，，
，
，
，
，
，
．
7．(1)見解析
(2)
(3)2
【分析】（1）根據切線的性質，圓周角定理證明即可；
（2）根據圓周角定理及其推論，解直角三角形，可得，可求出，再由勾股定理求解即可；
（3）根據垂徑定理，得，再由勾股定理求出，再根據三角形面積公式求解即可；
【詳解】（1）∵是的切線，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
（2）連接，
∵為的直徑，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
的半徑為；
（3）如圖，過點作，
，，
∴，，
在中，，
；
【點睛】本題考查了切線的性質，圓周角定理及其推論，解直角三角形，勾股定理，垂徑定理，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點，并能綜合應用；
8．(1)見解析
(2)
(3)見解析
【分析】（1）先證明是等邊三角形，再求出，進而可證；
（2）連接，作于點H，證明為等邊三角形得，分別求出和扇形的面積即可求解；
（3）延長到H使得，連接，證明為等邊三角形得，根據證明得，進而可證結論成立．
【詳解】（1）∵，，
∴是等邊三角形．
∵為直徑，
∴．
∵，
∴；
（2）連接，作于點H，
∵，
∴
∴為等邊三角形，
，
，
∴
（3）延長到H使得，連接
∵，，
∴為等邊三角形
∴，
∴
在等邊中，，
∴
∴
∴
即
【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質，扇形的面積公式，圓周角定理，解直角三角形，全等三角形的判定與性質，正確作出輔助線是解答本題的關鍵．
9．(1)見解析
(2)見解析
(3)
【分析】（1）根據直徑所對的圓周角是直角可得結論；
（2）連接、，如圖，利用圓周角定理得到，則根據斜邊上的中線性質得到，所以，接著證明，從而得到，然后根據切線的判定方法得到結論；
（3）根據勾股定理求出，再利用等面積法求出，再證明為的中位線得到，然后利用相似比計算的長，最后利用勾股定理求得即可．
【詳解】（1）證明：以為直徑的交于點，
，
；
（2）證明：連接，如圖，
為直徑，
，
為的斜邊的中點，
，
，
，
，
而
，
，
，
為的切線；
（3）解：在中，根據勾股定理得，
為中點，為中點，
為的中位線，
，
．
【點睛】本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線，三角形等面積法，中位線的性質，勾股定理，圓周角定理，掌握以上知識是解題的關鍵．
10．(1)
(2)①見詳解②
【分析】（1）根據等腰三角形的性質及圓的內接四邊形的性質即可；
（2）①先證明，得，再根據即可得出結論；②設，則，先證明，再根據勾股定理求出的長，由①知，求出的長，再根據勾股定理即可．
【詳解】（1）解： ，若．
四邊形ABCD內接于，
；
（2）證明①，
，
，
，
，
，
，
；
②設，則，
，
在中，
，
，
，
，
，
由①知，，
【點睛】本題考查了圓的有關性質定理，相似三角形的判定與性質，勾股定理，等腰三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是本題的關鍵．
11．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接，，，，作于，于，設交于．證明，推出，再證明，可得結論．
（2）過點作于．先求得，則，利用三角形的面積公式得，即可由解決問題．
【詳解】（1）證明：連接，，，，，作于，于，設交于．

，
，
，，，
，，，
，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
．
（2）解：，，
，
，
，
，
，
，
，
過點作于．

∴
，
．
【點睛】本題考查扇形的面積公式，垂徑定理，弧、圓心角、弦的關系，全等三角形的判定與性質，直角三角形的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
12．(1)
(2)
【分析】
（1）連接，則可得；由菱形的性質及等腰三角形的性質得，由此可求得，進而求得結果；
（2）連接，過點B作于F，過點O作于N；由菱形的性質及勾股定理可求得的長；設圓的半徑的r，則在中由勾股定理可求得r的值；
由面積相等則可求得，再由勾股定理及等腰三角形的性質即可求得．
【詳解】（1）解：如圖，連接，
∵是的切線，
∴，
即；
∵四邊形是菱形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如圖，連接，過點B作于F，過點O作于N；
∵四邊形是菱形，，
∴，
由勾股定理得；
設圓的半徑的r，則，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴；
∵，
∴；
在中，由勾股定理得：，
∵，
∴．
【點睛】本題考查了圓的切線性質，菱形的性質，勾股定理及等腰三角形的性質，綜合運用這些性質與定理是解題的關鍵．
13．(1)證明見解析；
(2)
(3)
【分析】（1）由D是的中點得，由垂徑定理得，得到，根據同圓中，等弧對等弦即可證明；
（2）連接，證明，設的半徑為r，利用相似三角形的性質得，，由勾股定理求得，得到，即可得到；
（3）過點B作交于點G，證明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，即可求解．
【詳解】（1）解：∵D是的中點，
∴，
∵且為的直徑，
∴，
∴，
∴；
（2）解：連接，

∵，
∴，
∵為的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
設的半徑為r，
則，
解得，經檢驗，是方程的根，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：如圖，過點B作交于點G，

∴
∵，是的平分線，
∴
∴
∴，
∵
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，垂徑定理，圓周角定理及推論，解直角三角形等知識，熟練掌握以上知識并靈活運用是解題的關鍵．
14．(1)證明過程見詳解
(2)，理由見詳解
(3)
【分析】本題主要考查圓與三角形的綜合，掌握圓周角定理，同弧或等弧所對圓周角相等，同弧或等弧所對圓周角是圓心角的一半，平行線的性質，含角的直角三角形的性質，不規(guī)則圖形面積的計算方法，扇形面積的計算方法等知識的綜合運用是解題的關鍵．
（1）根據點是中點，可得，根據同弧所對圓周角是圓心角的一半即可求解；
（2）根據平行線的性質可得，根據三角形內角和及（1）的結論可得，根據圓周角定理可得，由此即可求解；
（3）根據含角的直角三角形的性質可求出的面積，再根據扇形面積的計算方法可求出扇形的面積，由此即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，連接，
∵點是劣弧的中點，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下，
如圖所示，連接，設交于點，
∵，
∴，
由（1）可知，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，
由（2）可得，，
∴，
如圖所示，過點作于點，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴陰影部分的面積．
15．(1)見解析；
(2)．
【分析】
本題考查了切線的判定、等腰三角形的性質、勾股定理；解題關鍵是熟練掌握切線的判定方法．
（1）先由求出，再根據三角形內角和求出，即可得出結論；
（2）先求出半徑，再根據勾股定理即可求出，得出．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴，
即，
∴是的切線；
（2）解：由（1）可知，，
∵是的直徑，
∴，
∴，
∴．

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