?中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)策略
中考復(fù)習(xí)中，數(shù)學(xué)占據(jù)了一定的位置，那么初三數(shù)學(xué)生要從哪幾方面著手復(fù)習(xí)呢?
1、學(xué)生在第一輪復(fù)習(xí)階段不要只鉆難題、偏題，也不要搞題海戰(zhàn)術(shù)，要注重學(xué)習(xí)方法，回歸課本，抓住典型題目進(jìn)行練習(xí)。
課本上的例題最具有典型性，可以有選擇地做。在做例題時(shí)，要把其中包含的知識(shí)點(diǎn)抽出來進(jìn)行總結(jié)、歸納，不要就題論題。另外，對(duì)于一些易錯(cuò)題，要在復(fù)習(xí)階段作為重點(diǎn)復(fù)習(xí)，反復(fù)審題，加強(qiáng)理解。
2、要注重知識(shí)點(diǎn)的梳理，將知識(shí)點(diǎn)形成網(wǎng)絡(luò)。學(xué)生經(jīng)過一學(xué)期的學(xué)習(xí)，要將知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)歸納，找出區(qū)別與聯(lián)系。
把各章的知識(shí)點(diǎn)繪制成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，將知識(shí)系統(tǒng)化、網(wǎng)絡(luò)化，把知識(shí)點(diǎn)串成線，連成面。
3、要注重總結(jié)規(guī)律，加強(qiáng)解題后的反思。
期末考試前，學(xué)校一般都會(huì)組織模擬練習(xí)，學(xué)生要認(rèn)真對(duì)待，注意記錄、總結(jié)老師對(duì)模擬練習(xí)的講評(píng)分析。通過模擬練習(xí)題，找出復(fù)習(xí)重點(diǎn)和自身的薄弱點(diǎn)，認(rèn)真總結(jié)解題的規(guī)律方法，切忌不要悶頭做題。

十三、圓的綜合計(jì)算
知識(shí)點(diǎn)撥
圓的基本性質(zhì)
1圓是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱軸是任意一條過圓心的直線。
2、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。
垂徑定理的推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦對(duì)的弧。
3、圓具有旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性，特別的圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心。
圓心角定理：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。
4、圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。[來源:學(xué)科網(wǎng)ZXXK]
圓周角定理推論1：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。
圓周角定理推論2：直徑所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

直線和圓的位置關(guān)系：相交、相切、相離
當(dāng)直線和圓相交時(shí)，d＜r；反過來，當(dāng)d＜r時(shí)，直線和圓相交。[來源:Zxxk.Com]
當(dāng)直線和圓相切時(shí)，d＝r；反過來，當(dāng)d＝r時(shí)，直線和圓相切。
當(dāng)直線和圓相離時(shí)，d＞r；反過來，當(dāng)d＞r時(shí)，直線和圓相離。
切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的直徑
切線的判定定理：經(jīng)過直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線是圓的切線。
切線長(zhǎng)：在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)到切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。
切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和圓外這點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。

例題演練

1．如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，連接AC，BC，D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為，△ABC的面積為2，求CD的長(zhǎng)；
（3）在（2）的條件下，E為⊙O上一點(diǎn)，連接CE交線段OA于點(diǎn)F，若＝，求BF的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：連接OC，如圖：

∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∵OB＝OC，
∴∠ABC＝∠BCO，
又∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）過C作CM⊥AB于M，過B作BN⊥CD于N，如圖：

∵⊙O的半徑為，
∴AB＝2，
∵△ABC的面積為2，
∴AB?CM＝2，即×2?CM＝2，
∴CM＝2，
Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣∠CBA，
Rt△ABC中，∠A＝90°﹣∠CBA，
∴∠BCM＝∠A，
∴tan∠BCM＝tanA，即＝，
∴＝，
解得BM＝﹣1，（BM＝+1已舍去），
∵∠BCD＝∠A，∠BCM＝∠A，
∴∠BCD＝∠BCM，
而∠BMC＝∠BNC＝90°，BC＝BC，
∴△BCM≌△BCN（AAS），
∴CN＝CM＝2，BN＝BM＝﹣1，
∵∠DNB＝∠DMC＝90°，∠D＝∠D，
∴△DBN∽△DCM，
∴＝＝，
即＝＝，
解得DN＝2﹣2，
∴CD＝DN+CN＝2；
方法二：過C作CM⊥AB于M，連接OC，如圖：

∵⊙O的半徑為，
∴AB＝2，
∵△ABC的面積為2，
∴AB?CM＝2，即×2?CM＝2，
∴CM＝2，
Rt△MOC中，OM＝＝1，
∵∠DMC＝∠CMO＝90°，∠CDM＝90°﹣∠DCM＝∠OCM，
∴△DCM∽△COM，
∴＝，即＝，
∴CD＝2；
（3）過C作CM⊥AB于M，過E作EH⊥AB于H，連接OE，如圖：

∵CM⊥AB，EH⊥AB，
∴＝＝，
∵＝，
∴＝＝，
由（2）知CM＝2，BM＝﹣1，
∴HE＝1，MF＝2HF，
Rt△OEH中，OH＝＝＝2，
∴AH＝OA﹣OH＝﹣2，
設(shè)HF＝x，則MF＝2x，
由AB＝2可得：BM+MF+HF+AH＝2，
∴（﹣1）+2x+x+（﹣2）＝2，
解得：x＝1，
∴HF＝1，MF＝2，
∴BF＝BM+MF＝（﹣1）+2＝+1．
2．如圖1，O為半圓的圓心，C、D為半圓上的兩點(diǎn)，且＝．連接AC并延長(zhǎng)，與BD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．
（1）求證：CD＝ED；
（2）AD與OC，BC分別交于點(diǎn)F，H．
①若CF＝CH，如圖2，求證：CF?AF＝FO?AH；
②若圓的半徑為2，BD＝1，如圖3，求AC的值．

【解答】（1）證明：如圖1中，連接BC．

∵＝，
∴∠DCB＝∠DBC，
∵AB是直徑，
∴∠ACB＝∠BCE＝90°，
∴∠E+∠DBC＝90°，∠ECD+∠DCB＝90°，
∴∠E＝∠DCE，
∴CD＝ED．

（2）①證明：如圖2中，

∵CF＝CH，
∴∠CFH＝∠CHF，
∵∠AFO＝∠CFH，
∴∠AFO＝∠CHF，
∵＝，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴△AFO∽△AHC，
∴＝，
∴＝，
∴CF?AF＝OF?AH．

②解：如圖3中，連接OD交BC于G．設(shè)OG＝x，則DG＝2﹣x．

∵＝，
∴∠COD＝∠BOD，
∵OC＝OB，
∴OD⊥BC，CG＝BG，
在Rt△OCG和Rt△BGD中，則有22﹣x2＝12﹣（2﹣x）2，
∴x＝，即OG＝，
∵OA＝OB，
∴OG是△ABC的中位線，
∴OG＝AC，
∴AC＝．
3．如圖，點(diǎn)D在以AB為直徑的⊙O上，過D作⊙O的切線交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，AE⊥CD于點(diǎn)E，交⊙O于點(diǎn)F，連接AD，F(xiàn)D．
（1）求證：∠DAE＝∠DAC；
（2）求證：DF?AC＝AD?DC；
（3）若sin∠C＝，AD＝4，求EF的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：如圖，連接OD．
∵CD是⊙O的切線，
∴OD⊥EC，
∵AE⊥CE，
∴AE∥OD，
∴∠EAD＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠DAC．

（2）證明：如圖，連接BF．
∵AB是直徑，
∴∠AFB＝90°，
∵AE⊥EC，
∴∠AFB＝∠E＝90°，
∴BF∥EC，
∴∠ABF＝∠C，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ADF＝∠C，
∵∠DAF＝∠DAC，
∴△DAF∽△CAD，
∴＝，
∴DF?AC＝AD?DC．

（3）解：過點(diǎn)D作DH⊥AC于H．
∵CD是⊙O的切線，
∴∠ODC＝90°，
∵sin∠C＝＝，
∴可以假設(shè)OD＝k，OC＝4k，則OA＝OD＝k，CD＝k，
∵?OD?DC＝?OC?DH，
∴DH＝k，
∴OH＝＝k，
∴AH＝OA+OH＝k，
∵AD2＝AH2+DH2，
∴（4）2＝（k）2+（k）2
∴k＝8或﹣8（舍棄），
∴DH＝2，AC＝5k＝40，DC＝8，
∵DF?AC＝AD?DC，
∴DF＝4，
∵∠ADE＝∠DAC+∠C＝∠ADF+∠EDF，∠ADF＝∠C，
∴∠EDF＝∠DAC，
∴sin∠EDF＝sin∠DAH，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝6．

4．如圖，⊙O的半徑為1，點(diǎn)A是⊙O的直徑BD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，C為⊙O上的一點(diǎn)，AD＝CD，∠A＝30°．
（1）求證：直線AC是⊙O的切線；
（2）求△ABC的面積；
（3）點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)（不與B、D重合），過點(diǎn)C作CE的垂線，與EB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．
①當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于直徑BD對(duì)稱時(shí)，求CF的長(zhǎng)；
②當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，CF取到最大值，并求出此時(shí)CF的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：連接OC，如圖1，

∵AD＝CD，∠A＝30°，
∴∠ACD＝30°，
∴∠CDB＝60°，
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝60°，
∴∠ACO＝∠ACD+∠OCD＝90°，
∵OC是半徑，
∴直線AC是⊙O的切線；
（2）解：∵∠OCD＝60°，OC＝OD，
∴△DCO是等邊三角形，
∴CD＝AD＝OD＝1，
作CH⊥BD于點(diǎn)H，則DH＝，如圖2，

∴CH＝＝＝，
∵AB＝AD+BD＝3，
∴S△ABC＝＝．
（3）①當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)C關(guān)于直徑AB對(duì)稱時(shí)，CE⊥AB于點(diǎn)K，如圖3，

∵BD為⊙O的直徑，
∴CE＝2CK＝，
∵CF⊥CE，
∴∠ECF＝90°，
∵∠CDB＝∠CEB＝60°，
∴CF＝CE?tan60°＝＝3，
②∵點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)過程中，∠CDB＝∠CEB＝60°，
在Rt△ECF中，tan60°＝，
∴CF＝CE，
∴當(dāng)CE最大時(shí)，CF取得最大值，
∴當(dāng)CE為直徑，即CE＝2時(shí)，CF最大，最大值為2．
5．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AD是⊙O的直徑，AD⊥BC于點(diǎn)E．
（1）求證：∠BAD＝∠CAD；
（2）連接BO并延長(zhǎng)，交AC于點(diǎn)F，交⊙O于點(diǎn)G，連接GC．若⊙O的半徑為5，OE＝3，求GC和OF的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：∵AD是⊙O的直徑，AD⊥BC，
∴＝，
∴∠BAD＝∠CAD；
（2）解：在Rt△BOE中，OB＝5，OE＝3，
∴BE＝＝4，
∵AD是⊙O的直徑，AD⊥BC，
∴BC＝2BE＝8，
∵BG是⊙O的直徑，
∴∠BCG＝90°，
∴GC＝＝6，
∵AD⊥BC，∠BCG＝90°，
∴AE∥GC，
∴△AFO∽△CFG，
∴＝，即＝，
解得：OF＝．

6．如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，點(diǎn)E在BC邊上，過A，C，E三點(diǎn)的⊙O交AB邊于另一點(diǎn)F，且F是的中點(diǎn)，AD是⊙O的一條直徑，連接DE并延長(zhǎng)交AB邊于M點(diǎn)．
（1）求證：四邊形CDMF為平行四邊形；
（2）當(dāng)CD＝AB時(shí)，求sin∠ACF的值．

【解答】（1）證明：連接DF、EF，
∵∠BAC＝90°，
∴FC是⊙O的直徑，
∵F是的中點(diǎn)，
∴＝，
∴∠ADF＝∠EDF，
∵OF＝OD，
∴∠ADF＝∠OFD，
∴∠OFD＝∠EDF，
∴FC∥DM，
∵OA＝OD，OF＝OC，∠BAC＝90°，
∴四邊形AFDC為矩形，
∴AF∥CD，
∴四邊形CDMF為平行四邊形；
（2）解：∵四邊形AFDC為矩形，四邊形CDMF為平行四邊形，
∴CD＝AF＝FM＝EF，
∵CD＝AB，
∴CD＝（2CD+BM），
∴CD＝2BM，
∵BM∥CD，
∴△BEM∽△CED，
∴＝＝，
∴EC＝2BE，
設(shè)BM＝a，則CD＝2a，BF＝3a，EF＝2a，
在Rt△BEF中，BE＝＝a，
∴EC＝2a，
在Rt△CEF中，F(xiàn)C＝＝2a，
在Rt△FAC中，sin∠ACF＝＝＝．

7．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，BD為⊙O的直徑，過點(diǎn)C作CE⊥BD，垂足為E．
（1）求證：∠BAC＝∠BCE；
（2）若∠BAC＝60°，CE＝3，求BD的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：連接CD，
∵BD為⊙O的直徑，
∴∠BCD＝90°，
∴∠DCE+∠BCE＝90°，
∵CE⊥BD，
∴∠DCE+∠D＝90°，
∴∠D＝∠BCE，
由圓周角定理得，∠D＝∠BAC，
∴∠BAC＝∠BCE；
（2）解：∵∠BAC＝60°，
∴∠D＝60°，
∴∠DBC＝30°，
在Rt△CDE中，sinD＝，
∴CD＝＝＝2，
在Rt△CBD中，∠DBC＝30°，
∴BD＝2CD＝4．

8．如圖，⊙O為△ABC的外接圓，AB為⊙O直徑，AC＝BC，點(diǎn)D在劣弧BC上，CE⊥CD交AD于E，連接BD．
（1）求證：△ACE≌△BCD．
（2）若CD＝2，BD＝3，求⊙O的半徑．
（3）若點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，連接CF，F(xiàn)O，設(shè)CD＝a，BD＝b，求CF+FO．（用含有a，b的代數(shù)式表示）

【解答】解：（1）證明：∵AB為⊙O直徑，
∴∠ACB＝90°，
∵CE⊥CD，
∴∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝90°﹣∠ECB＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（ASA）；
（2）∵△ACE≌△BCD，
∴CE＝CD，AE＝BD，
∵CE⊥CD，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∵CD＝2，BD＝3，
∴DE＝2，AE＝3，
∴AD＝5，
∵AB為⊙O直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴AB＝＝2，
∴⊙O的半徑為；
（3）法一：過O作OH⊥AD于H，如圖：

∵△ECD是等腰直角三角形，CD＝a，
∴ED＝a，
∵F為DE的中點(diǎn)，
∴CF＝DF＝DE＝a，
∵△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD＝b，
∴AD＝ED+AE＝a+b，
∵OH⊥AD，∠ADB＝90°，
∴OH∥BD，
∵AO＝OB，
∴DH＝AD＝a+b，OH＝BD＝b，
∴HF＝DH﹣DF＝（a+b）﹣a＝b，
在Rt△OHF中，F(xiàn)O＝＝b，
∴CF+FO＝a+b．
法二：延長(zhǎng)AD至點(diǎn)H，使DH＝AE，連接BH，如圖：

由（1）得△ACE≌△BCD，
∴BD＝AE＝DH，
∵AB為直徑，
∴∠ADB＝∠BDH＝90°，
∴△BDH為等腰直角三角形，
∵BD＝b，
∴BH＝b，
∵△ECD是等腰直角三角形，CD＝a，
∴ED＝a，CF＝a＝DF＝EF，
而DH＝AE，
∴AE+EF＝DH+DF，即AF＝HF，
∴F為AH中點(diǎn)，
∵O為AB中點(diǎn)，
∴FO＝BD＝b，
∴CF+FO＝a+b．
9．如圖，圓O中兩條互相垂直的弦AB，CD交于點(diǎn)E．
（1）M是CD的中點(diǎn)，OM＝3，CD＝12，求圓O的半徑長(zhǎng)；
（2）點(diǎn)F在CD上，且CE＝EF，求證：AF⊥BD．

【解答】解：（1）連接OD，如圖：

∵M(jìn)是CD的中點(diǎn)，CD＝12，
∴DM＝CD＝6，OM⊥CD，∠OMD＝90°，
Rt△OMD中，OD＝，且OM＝3，
∴OD＝＝3，即圓O的半徑長(zhǎng)為3；
（2）連接AC，延長(zhǎng)AF交BD于G，如圖：

∵AB⊥CD，CE＝EF，
∴AB是CF的垂直平分線，
∴AF＝AC，即△ACF是等腰三角形，
∵CE＝EF，
∴∠FAE＝∠CAE，
∵＝，
∴∠CAE＝∠CDB，
∴∠FAE＝∠CDB，
Rt△BDE中，∠CDB+∠B＝90°，
∴∠FAE+∠B＝90°，
∴∠AGB＝90°，
∴AG⊥BD，即AF⊥BD．
10．如圖，已知AB是⊙O的直徑，∠ACD是所對(duì)的圓周角，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度數(shù)；
（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，DE的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)F．若AB＝4，求DF的長(zhǎng)．

【解答】解：（1）如圖，連接BD，

∵∠ACD＝30°，
∴∠B＝∠ACD＝30°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB＝90°﹣∠B＝60°；
（2）∵∠ADB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，
∴AD＝AB＝2，
∵∠DAB＝60°，DE⊥AB，且AB是直徑，
∴EF＝DE＝ADsin60°＝，
∴DF＝2DE＝2．
11．如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn) C、D在⊙O上，AC與OD交于點(diǎn)E，AE＝EC，OE＝ED．連接BC、CD．求證：
（1）△AOE≌△CDE；
（2）四邊形OBCD是菱形．

【解答】證明：（1）在△AOE和△CDE中，
，
∴△AOE≌△CDE（SAS）；
（2）∵△AOE≌△CDE，
∴OA＝CD，∠AOE＝∠D，
∴OB∥CD，
∵OA＝OB，
∴OB＝CD，
∴四邊形OBCD為平行四邊形，
∵OB＝OD，
∴四邊形OBCD是菱形．

12．如圖，已知點(diǎn)C是以AB為直徑的半圓上一點(diǎn)，D是AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過點(diǎn)D作BD的垂線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連結(jié)CD，且CD＝ED．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半徑．

【解答】解：（1）連接OC，如圖：

∵CD＝DE，OC＝OA，
∴∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，
∵ED⊥AD，
∴∠ADE＝90°，∠OAC+∠E＝90°，
∴∠OCA+∠DCE＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）連接BC，如圖：

∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠E，
∵tan∠DCE＝2，
∴tanE＝2，
∵ED⊥AD，
Rt△EDA中，＝2，
設(shè)⊙O的半徑為x，則OA＝OB＝x，
∵BD＝1，
∴AD＝2x+1，
∴＝2，
∴ED＝x+＝CD，
∵CD是⊙O的切線，
∴CD2＝BD?AD，
∴（x+）2＝1×（2x+1），解得x＝或x＝﹣（舍去），
∴⊙O的半徑為．
13．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上異于A、B的點(diǎn)，連接AC、BC，點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上，且∠DCA＝∠ABC，點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，且BE⊥DC．
（1）求證：DC是⊙O的切線；
（2）若＝，BE＝3，求DA的長(zhǎng)．

【解答】(1)證明:連接OC,

∵OC＝OB,
∴∠OCB＝∠OBC,
∵∠ABC＝∠DCA,
∴∠OCB＝∠DCA,
又∵AB是⊙O的直徑,
∴∠ACB＝90°,
∴∠ACO+∠OCB＝90°,
∴∠DCA+∠ACO＝90°,
即∠DCO＝90°,
∴DC⊥OC,
∵OC是半徑,
∴DC是⊙O的切線;
(2)解:∵,且OA＝OB,
設(shè)OA＝OB＝2x,OD＝3x,
∴DB＝OD+OB＝5x,
∴,
又∵BE⊥DC,DC⊥OC,
∴OC∥BE,
∴△DCO∽△DEB,
∴,
∵BE＝3,
∴OC＝,
∴2x＝,
∴x＝,
∴AD＝OD﹣OA＝x＝,
即AD的長(zhǎng)為．
14．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圓，交AC于點(diǎn)F．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若⊙O的半徑為5，AC＝8，求S△BDE．

【解答】解：（1）連接OE，
∵∠C＝90°，
∴∠2+∠AEC＝90°,
又∵OA＝OE，
∴∠1＝∠OEA，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEC+∠OEA＝90°，
即OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切線；
（2）過點(diǎn)E作EM⊥AB，垂足為M，
∵∠1＝∠2，∠C＝∠AED＝90°，
∴△ACE∽△AED，
∴＝，
即＝，
∴AE＝4，
由勾股定理得，
CE＝＝4＝EM，
DE＝＝2，
∵∠DEB＝∠1，∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BEA，
∴＝＝，
設(shè)BD＝x，則BE＝2x，
在Rt△BOE中，由勾股定理得，
OE2+BE2＝OB2，
即52+（2x）2＝（5+x）2，
解得x＝，
∴S△BDE＝BD?EM
＝××4
＝．

15．如圖，A，B是⊙O上兩點(diǎn)，且AB＝OA，連接OB并延長(zhǎng)到點(diǎn)C，使BC＝OB，連接AC．
（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）點(diǎn)D，E分別是AC，OA的中點(diǎn)，DE所在直線交⊙O于點(diǎn)F，G，OA＝4，求GF的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：∵AB＝OA＝OB，
∴△OAB是等邊三角形．
∴∠AOB＝∠OBA＝∠OAB＝60°．
∵BC＝OB，
∴BC＝AB，
∴∠BAC＝∠C，
∵∠OBA＝∠BAC+∠C＝60°，
∴∠BAC＝∠C＝30°．
∴∠OAC＝∠OAB+∠BAC＝90°．
∴OA⊥AC，
∵點(diǎn)A在⊙O上，
∴AC是⊙O的切線；
（2）解：如圖，連結(jié)OF，過點(diǎn)O作OH⊥GF于點(diǎn)H．
∴GF＝2HF，∠OHE＝∠OHF＝90°．
∵點(diǎn)D，E分別是AC，OA的中點(diǎn)，
∴OE＝AE＝OA＝×4＝2，DE∥OC．
∴∠OEH＝∠AOB＝60°，OH＝OEsin∠OEH＝．
∴HF＝＝＝．
∴GF＝2HF＝2．

16．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的圓交AC于D，E是BC的中點(diǎn)，DE交BA的延長(zhǎng)線于F．
（1）求證：FD是圓O的切線：
（2）若BC＝4，F(xiàn)B＝8，求AB的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：
連接OD，
由題可知∠ABC＝90°，
∵AB為直徑，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°，
∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，
∴DE＝BC＝BE＝EC，
∴∠EDC＝∠ECD，
又∵∠ECD+∠CBD＝90°，∠ABD+∠CBD＝90°，
∴∠ECD＝∠ABD，
∵OB和OD是圓的半徑，
∴∠ODB＝∠OBD，
∴∠ODB+∠BDE＝∠EDC+∠BDE＝90°，
即∠ODE＝90°，
故：FE是⊙O的切線．
（2）由（1）可知BE＝EC＝DE＝BC＝2，
在Rt△FBE中，F(xiàn)E＝＝＝，
∴FD＝FE﹣DE＝﹣2，
又∵在Rt△FDO和Rt△FBE中有：∠FDO＝∠FBE＝90°，∠OFD＝∠EFB，
∴△FDO∽△FBE，
∴，即，
求得OD＝，
∴AB＝2OD＝﹣1，
故：AB長(zhǎng)為﹣1．
17．如圖，銳角三角形ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC的平分線AG交⊙O于點(diǎn)G，交BC邊于點(diǎn)F，連接BG．
（1）求證：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求線段FG的長(zhǎng)（用含a，b的代數(shù)式表示）．
（3）已知點(diǎn)E在線段AF上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)F重合），點(diǎn)D在線段AE上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)E重合），∠ABD＝∠CBE，求證：BG2＝GE?GD．

【解答】（1）證明：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠FAC，
又∵∠G＝∠C，
∴△ABG∽△AFC；
（2）解：由（1）知，△ABG∽△AFC，
∴＝，
∵AC＝AF＝b，
∴AB＝AG＝a，
∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；
（3）證明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，
∴∠BAG＝∠CBG，
∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，
又∵∠DGB＝∠BGE，
∴△DGB∽△BGE，
∴＝，
∴BG2＝GE?GD．
18．如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上兩點(diǎn)，C是的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作AD的垂線，垂足是E．連接AC交BD于點(diǎn)F．
（1）求證：CE是⊙O的切線；
（2）若＝，求cos∠ABD的值．

【解答】（1）證明：連接OC交BD于點(diǎn)G，
∵點(diǎn)C是的中點(diǎn)，
∴由圓的對(duì)稱性得OC垂直平分BD，
∴∠DGC＝90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB＝90°，
∴∠EDB＝90°，
∵CE⊥AE，
∴∠E＝90°，
∴四邊形EDGC是矩形，
∴∠ECG＝90°，
∴CE⊥OC，
∴CE是⊙O的切線；
（2）解：連接BC，設(shè)FG＝x，OB＝r，
∵＝，
設(shè)DF＝t，DC＝t，
由（1）得，BC＝CD＝t，BG＝GD＝x+t，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCG+∠FCG＝90°，
∵∠DGC＝90°，
∴∠CFB+∠FCG＝90°，
∴∠BCG＝∠CFB，
∴Rt△BCG∽R(shí)t△BFC，
∴BC2＝BG?BF，
∴（t）2＝（x+t）（2x+t）
解得x1＝t，x2＝﹣t（不符合題意，舍去），
∴CG＝＝＝t，
∴OG＝r﹣t，
在Rt△OBG中，由勾股定理得OG2+BG2＝OB2，
∴（r﹣t）2+（2t）2＝r2，
解得r＝t，
∴cos∠ABD＝＝＝．

19．如圖，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，AE是直徑，交BC于點(diǎn)H，點(diǎn)D在上，連接AD，CD過點(diǎn)E作EF∥BC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，延長(zhǎng)BC交AF于點(diǎn)G．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的長(zhǎng)．

【解答】證明：（1）∵AB＝AC，
∴＝，
∵AE是直徑，
∴＝，
∴∠BAE＝∠CAE，
又∵AB＝AC，
∴AE⊥BC，
又∵EF∥BC，
∴EF⊥AE，
∴EF是⊙O的切線；
（2）連接OC，設(shè)⊙O的半徑為r，

∵AE⊥BC，
∴CH＝BH＝BC＝1，
∴HG＝HC+CG＝4，
∴AG＝＝＝5，
在Rt△OHC中，OH2+CH2＝OC2，
∴（3﹣r）2+1＝r2，
解得：r＝，
∴AE＝，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△AHG，
∴，
∴＝，
∴EF＝，
∵AH＝3，BH＝1，
∴AB＝＝＝，
∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∵∠ADC+∠CDG＝180°，
∴∠B＝∠CDG，
又∵∠DGC＝∠AGB，
∴△DCG∽△BAG，
∴，
∴＝，
∴CD＝．
20．如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E、F在⊙O上，且＝2，連接OE、AF，過點(diǎn)B作⊙O的切線，分別與OE、AF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)C、D．
（1）求證：∠COB＝∠A；
（2）若AB＝6，CB＝4，求線段FD的長(zhǎng)．

【解答】（1）證明：取的中點(diǎn)M，連接OM、OF，
∵＝2，
∴＝＝，
∴∠COB＝∠BOF，
∵∠A＝∠BOF，
∴∠COB＝∠A；
（2）解：連接BF，如圖，
∵CD為⊙O的切線，
∴AB⊥CD，
∴∠OBC＝∠ABD＝90°，
∵∠COB＝∠A，
∴△OBC∽△ABD，
∴＝，即＝，解得BD＝8，
在Rt△ABD中，AD＝＝＝10，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠AFB＝90°，
∵∠BDF＝∠ADB，
∴Rt△DBF∽R(shí)t△DAB，
∴＝，即＝，解得DF＝．



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