1．（2024·浙江·二模）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三下·河南濮陽·開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)分別為，則（ ）
A．B．1C．D．2
3．（2024·河北保定·二模）函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·北京東城·二模）聲音是由物體振動產(chǎn)生的，每一個純音都是由單一簡諧運(yùn)動產(chǎn)生的樂音，其數(shù)學(xué)模型為，其中表示振幅，響度與振幅有關(guān)；表示最小正周期，，它是物體振動一次所需的時間；表示頻率，，它是物體在單位時間里振動的次數(shù).下表為我國古代五聲音階及其對應(yīng)的頻率：
小明同學(xué)利用專業(yè)設(shè)備，先彈奏五聲音階中的一個音，間隔個單位時間后，第二次彈奏同一個音（假設(shè)兩次聲音響度一致，且不受外界阻力影響，聲音響度不會減弱），若兩次彈奏產(chǎn)生的振動曲線在上重合，根據(jù)表格中數(shù)據(jù)判斷小明彈奏的音是（ ）
A．宮B．商C．角D．徵
5．（2024·四川·模擬預(yù)測）如圖，是邊的中點(diǎn)，在上，且，則（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·山東濟(jì)南·三模）已知是等比數(shù)列，且，則（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·天津·一模）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨(dú)特的幾何體，“勒洛四面體”就是其中之一．勒洛四面體是以正四面體的四個頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分．如圖，在勒洛四面體中，正四面體的棱長為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．勒洛四面體最大的截面是正三角形
B．若、是勒洛四面體表面上的任意兩點(diǎn)，則的最大值為
C．勒洛四面體的體積是
D．勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是
二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)
9．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，P是C上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．離心率
C．面積的最大值為12
D．以線段為直徑的圓與圓相切
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）在某市高三年級等行的一次數(shù)學(xué)期末考試中，為了解考生的成績情況，隨機(jī)抽取了50名考生的成績，作出的頻率分布直方圖如圖，成績排在前的學(xué)生將獲得“優(yōu)秀學(xué)生”稱號，則（ ）
A．估計(jì)該市考生的成績低于60分的比例為
B．估計(jì)該市考生成績的眾數(shù)為60
C．估計(jì)該市考生成績的平均數(shù)為70.6
D．估計(jì)該市82分以上的考生將獲得“優(yōu)秀學(xué)生”稱號
11．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則 （ ）
A．函數(shù)的最小正周期為
B．函數(shù)的圖象為中心對稱圖形
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增
D．關(guān)于的方程在上至多有3個解
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)
12．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若函數(shù)的圖象在內(nèi)有且僅有兩條對稱軸，一個對稱中心，則實(shí)數(shù)的最大值是 ．
13．（23-24高三上·浙江寧波·期末）已知高為2的圓錐內(nèi)接于球O，球O的體積為，設(shè)圓錐頂點(diǎn)為P，平面為經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的平面，且與直線所成角為，設(shè)平面截球O和圓錐所得的截面面積分別為，，則 .
14．（2024·湖北黃石·三模）如圖，已知過拋物線（）的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記，，分別為，，的面積.若，則直線的斜率為 .
音
宮
商
角
徵
羽
頻率
2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)小題提升練13
一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．（2024·浙江·二模）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．（23-24高三下·河南濮陽·開學(xué)考試）已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)分別為，則（ ）
A．B．1C．D．2
3．（2024·河北保定·二模）函數(shù)的部分圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·北京東城·二模）聲音是由物體振動產(chǎn)生的，每一個純音都是由單一簡諧運(yùn)動產(chǎn)生的樂音，其數(shù)學(xué)模型為，其中表示振幅，響度與振幅有關(guān)；表示最小正周期，，它是物體振動一次所需的時間；表示頻率，，它是物體在單位時間里振動的次數(shù).下表為我國古代五聲音階及其對應(yīng)的頻率：
小明同學(xué)利用專業(yè)設(shè)備，先彈奏五聲音階中的一個音，間隔個單位時間后，第二次彈奏同一個音（假設(shè)兩次聲音響度一致，且不受外界阻力影響，聲音響度不會減弱），若兩次彈奏產(chǎn)生的振動曲線在上重合，根據(jù)表格中數(shù)據(jù)判斷小明彈奏的音是（ ）
A．宮B．商C．角D．徵
5．（2024·四川·模擬預(yù)測）如圖，是邊的中點(diǎn)，在上，且，則（ ）
A．B．
C．D．
6．（2024·山東濟(jì)南·三模）已知是等比數(shù)列，且，則（ ）
A．B．C．D．
7．（2024·四川·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·天津·一模）數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美，寓意獨(dú)特的幾何體，“勒洛四面體”就是其中之一．勒洛四面體是以正四面體的四個頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分．如圖，在勒洛四面體中，正四面體的棱長為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．勒洛四面體最大的截面是正三角形
B．若、是勒洛四面體表面上的任意兩點(diǎn)，則的最大值為
C．勒洛四面體的體積是
D．勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是
二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)
9．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，P是C上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．
B．離心率
C．面積的最大值為12
D．以線段為直徑的圓與圓相切
10．（2024·全國·模擬預(yù)測）在某市高三年級等行的一次數(shù)學(xué)期末考試中，為了解考生的成績情況，隨機(jī)抽取了50名考生的成績，作出的頻率分布直方圖如圖，成績排在前的學(xué)生將獲得“優(yōu)秀學(xué)生”稱號，則（ ）
A．估計(jì)該市考生的成績低于60分的比例為
B．估計(jì)該市考生成績的眾數(shù)為60
C．估計(jì)該市考生成績的平均數(shù)為70.6
D．估計(jì)該市82分以上的考生將獲得“優(yōu)秀學(xué)生”稱號
11．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則 （ ）
A．函數(shù)的最小正周期為
B．函數(shù)的圖象為中心對稱圖形
C．函數(shù)在上單調(diào)遞增
D．關(guān)于的方程在上至多有3個解
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)
12．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若函數(shù)的圖象在內(nèi)有且僅有兩條對稱軸，一個對稱中心，則實(shí)數(shù)的最大值是 ．
13．（23-24高三上·浙江寧波·期末）已知高為2的圓錐內(nèi)接于球O，球O的體積為，設(shè)圓錐頂點(diǎn)為P，平面為經(jīng)過圓錐頂點(diǎn)的平面，且與直線所成角為，設(shè)平面截球O和圓錐所得的截面面積分別為，，則 .
14．（2024·湖北黃石·三模）如圖，已知過拋物線（）的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為，拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，記，，分別為，，的面積.若，則直線的斜率為 .
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)交集定義求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以.
故選：D.
2．A
【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義和復(fù)數(shù)的模長公式求解即可.
【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可得，
所以.
故選：A.
3．A
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷即可.
【詳解】設(shè)，則，
所以為奇函數(shù)，
設(shè)，可知為偶函數(shù)，
所以為奇函數(shù)，則B，C錯誤，
易知，所以A正確，D錯誤．
故選：A.
4．C
【分析】根據(jù)題意可知：，可得，結(jié)合題意分析判斷即可.
【詳解】由題意可知：，可得，
則，
結(jié)合題意可知：只有“角”的頻率為3的倍角，
所以小明彈奏的音是“角”.
故選：C.
5．A
【分析】利用平面向量加減法則，即可得到答案.
【詳解】由題意有，
所以．
故選：A
6．C
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用條件，得到，再由，得，即可得出結(jié)果.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，所以?br>得到，所以，由，得到，
所以，
故選：C.
7．D
【分析】首先當(dāng)時，求導(dǎo)分析函數(shù)為單增函數(shù)；再利用奇函數(shù)的性質(zhì)判斷在上單調(diào)遞增；然后由得到抽象函數(shù)不等式恒成立，再用分離參數(shù)法結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】由題，當(dāng)時，，
所以在0,+∞上單調(diào)遞增．
易知為奇函數(shù)，且，故在上單調(diào)遞增．
又，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，即在上恒成立．
設(shè)，只需，解得．
故選：D．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)函數(shù)是單增函數(shù)和，再利用單調(diào)性解決抽象函數(shù)不等式問題.
8．D
【分析】由勒洛四面體的定義判斷選項(xiàng)A；由勒洛四面體的定義并作圖求解判斷B；根據(jù)對稱性, 由勒洛四面體內(nèi)切球的球心是正四面體外接球的球心求解判斷C；結(jié)合C由棱長減去外接球的半徑求得內(nèi)切球的半徑求解判斷.
【詳解】由勒洛四面體的定義可知勒洛四面體最大的截面即經(jīng)過四面體表面的截面，如圖1所示，故A不正確；
將正四面體對棱所在的弧中點(diǎn)連接，此時連線長度最大，如下圖所示：
連接，交于中點(diǎn)，交于中點(diǎn)，連接，易得,
則，
而，
所以，
故勒洛四面體表面上兩點(diǎn)間的距離可能大于4，故B錯誤，
如圖2，由對稱性可知勒洛四面體內(nèi)切球的球心是正四面體外接球的球心，
連接并延長交勒洛四面體的曲面于點(diǎn)，則就是勒洛四面體內(nèi)切球的半徑.
如圖3, 在正四面體中，為的中心，是正四面體外接球的球心，
連接、、，由正四面體的性質(zhì)可知在上.
因?yàn)? 所以，則.
因?yàn)椋?br>即，解得，
則正四面體外接球的體積是，
而勒洛四面體的體積小于其外接球的體積，C錯誤；
因?yàn)?，所?,
所以，勒洛四面體內(nèi)切球的半徑是，則 D正確.
故選：D.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決與球有關(guān)的內(nèi)切或外接問題時，關(guān)鍵是確定球心的位置，再利用球的截面小圓性質(zhì)求解.
9．BCD
【分析】根據(jù)題意，由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得，結(jié)合橢圓的性質(zhì)對選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)闄E圓，則，
由橢圓的定義可知，，故A錯誤；
由橢圓離心率公式可得，故B正確；
因?yàn)樵O(shè)點(diǎn)到軸的距離為，顯然，
則面積的最大值為，故C正確；
線段的中點(diǎn)為，則以線段為直徑的圓的方程為，
其圓心為，半徑，
且圓的圓心為，半徑，
則兩圓的圓心距為，
即兩圓外切，故D正確；
故選：BCD
10．AC
【分析】先利用直方圖的性質(zhì)，直接判斷選項(xiàng)A， B， C；通過估算面積的方法，以樣本頻率估計(jì)總體概率來判斷選項(xiàng)D.
【詳解】對于A，由直方圖的性質(zhì)知：，
解得，所以樣本成績低于分的頻率為；
所以以樣本的頻率估計(jì)總體概率，故A正確；
對于B，總體眾數(shù)的估計(jì)值是直方圖面積最大的直方塊橫坐標(biāo)對應(yīng)范圍的中點(diǎn)值，
即眾數(shù)為，故B錯誤；
對于C，總體平均數(shù)的估計(jì)值為各直方塊中點(diǎn)值與各塊面積的乘積的和，
，故C正確；
對于D，樣本中分以上的占比，
估計(jì)總體榮獲“優(yōu)秀學(xué)生”的分?jǐn)?shù)為：，故D錯誤.
故選：AC.
11．AC
【分析】分析函數(shù)在上的性質(zhì)并作出函數(shù)圖象，再逐項(xiàng)分析判斷得解.
【詳解】當(dāng)時，，
函數(shù)在上遞增，函數(shù)值從增大到1；在上遞減，函數(shù)值從1減小到；
當(dāng)時，，
函數(shù)在上遞增，函數(shù)值從增大到；在上遞減，函數(shù)值從減小到，
函數(shù)在的圖象，如圖：

對于A，，
結(jié)合函數(shù)在的圖象，得是的最小正周期，A正確；
對于B，觀察函數(shù)在的圖象，函數(shù)在沒有對稱中心，
又的最小正周期是，則函數(shù)的圖象不是中心對稱圖形，B錯誤；
對于C，由函數(shù)在上遞增，的最小正周期是，得函數(shù)在上遞增，C正確；
對于D，觀察函數(shù)在的圖象，得當(dāng)時，有4個解，D錯誤.
故選：AC
12．
【分析】
化簡解析式，根據(jù)三角函數(shù)對稱軸和對稱中心的知識和定義域列不等式，由此求得的取值范圍.
【詳解】
由題意，得，
令，解得，
令，得；
令，解得，
令，得．
根據(jù)題意，得，解得，所以實(shí)數(shù)的最大值是．
故答案為：．
13．
【分析】根據(jù)給定條件，求出球O半徑，平面截球O所得截面小圓半徑，圓錐底面圓半徑，再求出平面截圓錐所得的截面等腰三角形底邊長及高即可計(jì)算作答.
【詳解】令球半徑為，則4π3R3=36π，解得，由平面與直線成角，
得平面截球所得小圓半徑，因此，
由球的內(nèi)接圓錐高為2，得球心到此圓錐底面距離，則圓錐底面圓半徑，
令平面截圓錐所得截面為等腰，線段為圓錐底面圓的弦，
點(diǎn)為弦中點(diǎn)，如圖，依題意，，，
，顯然，于是，
所以.
故答案為：
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及平面截球所得截面，利用截面小圓的性質(zhì)，可從線面垂直關(guān)系求解，也可借助勾股定理建立數(shù)量關(guān)系求解.
14．
【分析】設(shè)直線傾斜角為，，可得，，，用表示，結(jié)合題意運(yùn)算求解即可.
【詳解】設(shè)直線傾斜角為，，
可知：，
且，解得，
則，
同理可得，
可知：，
，
，
因?yàn)?，則，
整理得，解得或，
且，則，可得，
所以直線的斜率為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)拋物線的定義可得，利用表示其他量，結(jié)合題意運(yùn)算求解.
音
宮
商
角
徵
羽
頻率
題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
A
C
A
C
D
D
BCD
AC
題號
11









答案
AC










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