1．（2024·浙江杭州·一模）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山東·一模）已知復數的實部和虛部分別為5和，則實數和的值分別是（ ）
A．2，B．2，1C．，2D．1，
3．（2023·河南·模擬預測）清代青花瓷蓋碗是中國傳統(tǒng)茶文化的器物載體，具有“溫潤”“淡遠”“清新”的特征．如圖，已知碗體和碗蓋的內部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為，碗蓋口直徑為，碗體口直徑為，碗體深，則蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計）（ ）

A．B．C．D．
4．（24-25高三上·山西大同·期中）已知向量滿足，且與的夾角為，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·寧夏·模擬預測）函數在上是單調遞增的充分條件是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·廣東·二模）已知函數（，），，，且在區(qū)間上單調，則的最大值為( ).
A．B．C．D．
7．（2023·北京海淀·三模）深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現方法，它是以神經網絡為出發(fā)點的.在神經網絡優(yōu)化中，指數衰減的學習率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時使用的學習率，表示初始學習率，表示衰減系數，表示訓練迭代輪數，表示衰減速度.已知某個指數衰減的學習率模型的初始學習率為0.5，衰減速度為18，且當訓練迭代輪數為18時，學習率為0.4，則學習率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓練迭代輪數至少為（ ）（參考數據：）
A．72B．73C．74D．75
8．（2024·遼寧大連·模擬預測）已知函數（，且）的圖象恒過定點，若點在直線上，則的最小值為（ ）
A．13B．C．D．8
二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)
9．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預測）已知，則雙曲線與有相同的（ ）
A．焦點B．焦距C．離心率D．漸近線
10．（2024·廣東茂名·一模）中秋節(jié)起源于上古時代，普及于漢代，定型于唐代，如今逐漸演化為賞月、頌月等活動，以月之圓兆人之團圓，為寄托思念故鄉(xiāng)，思念親人之情，祈盼豐收、幸福，成為豐富多彩、彌足珍貴的文化遺產.某校舉行與中秋節(jié)相關的“中國傳統(tǒng)文化”知識競賽，隨機抽查了100人的成績整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結論正確的是（ ）
A．樣本的眾數為75
B．樣本的分位數為75
C．樣本的平均值為68.5
D．該校學生中得分低于60分的約占
11．（2022·江蘇泰州·模擬預測）若正整數m．n只有1為公約數，則稱m，n互質，對于正整數k，（k）是不大于k的正整數中與k互質的數的個數，函數（k）以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數，例如：，，，．已知歐拉函數是積性函數，即如果m，n互質，那么，例如：，則（ ）
A．
B．數列是等比數列
C．數列不是遞增數列
D．數列的前n項和小于
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)
12．（2025·安徽·一模）現有4個相同的袋子，里面均裝有4個除顏色外其他無區(qū)別的小球，第個袋中有個紅球，個白球．現將這4個袋子混合后，任選其中一個袋子，并且連續(xù)取出三個球（每個取后不放回），則第三次取出的球為白球的概率為 ．
13．（2024·貴州銅仁·模擬預測）已知定義在上的函數滿足，則曲線在點處的切線方程為 .
14．（23-24高三上·江西·期中）印章是我國傳統(tǒng)文化之一，根據遺物和歷史記載，至少在春秋戰(zhàn)國時期就已出現，其形狀多為長方體?圓柱體等，陜西歷史博物館收藏的“獨孤信多面體煤精組印”是一枚形狀奇特的印章（如圖1），該形狀稱為“半正多面體”（由兩種或兩種以上的正多邊形所圍成的多面體），每個正方形面上均刻有不同的印章（圖中為多面體的面上的部分印章）.圖2是一個由18個正方形和8個正三角形圍成的“半正多面體”（其各頂點均在一個正方體的面上），若該多面體的棱長均為1，且各個頂點均在同一球面上，則該球的表面積為 .
2025年高考數學二輪復習小題基礎練03
一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．（2024·浙江杭州·一模）已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．（2024·山東·一模）已知復數的實部和虛部分別為5和，則實數和的值分別是（ ）
A．2，B．2，1C．，2D．1，
3．（2023·河南·模擬預測）清代青花瓷蓋碗是中國傳統(tǒng)茶文化的器物載體，具有“溫潤”“淡遠”“清新”的特征．如圖，已知碗體和碗蓋的內部均近似為拋物線形狀，碗蓋深為，碗蓋口直徑為，碗體口直徑為，碗體深，則蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為（碗和碗蓋的厚度忽略不計）（ ）

A．B．C．D．
4．（24-25高三上·山西大同·期中）已知向量滿足，且與的夾角為，則（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·寧夏·模擬預測）函數在上是單調遞增的充分條件是（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·廣東·二模）已知函數（，），，，且在區(qū)間上單調，則的最大值為( ).
A．B．C．D．
7．（2023·北京海淀·三模）深度學習是人工智能的一種具有代表性的實現方法，它是以神經網絡為出發(fā)點的.在神經網絡優(yōu)化中，指數衰減的學習率模型為，其中表示每一輪優(yōu)化時使用的學習率，表示初始學習率，表示衰減系數，表示訓練迭代輪數，表示衰減速度.已知某個指數衰減的學習率模型的初始學習率為0.5，衰減速度為18，且當訓練迭代輪數為18時，學習率為0.4，則學習率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓練迭代輪數至少為（ ）（參考數據：）
A．72B．73C．74D．75
8．（2024·遼寧大連·模擬預測）已知函數（，且）的圖象恒過定點，若點在直線上，則的最小值為（ ）
A．13B．C．D．8
二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)
9．（2024·河南新鄉(xiāng)·模擬預測）已知，則雙曲線與有相同的（ ）
A．焦點B．焦距C．離心率D．漸近線
10．（2024·廣東茂名·一模）中秋節(jié)起源于上古時代，普及于漢代，定型于唐代，如今逐漸演化為賞月、頌月等活動，以月之圓兆人之團圓，為寄托思念故鄉(xiāng)，思念親人之情，祈盼豐收、幸福，成為豐富多彩、彌足珍貴的文化遺產.某校舉行與中秋節(jié)相關的“中國傳統(tǒng)文化”知識競賽，隨機抽查了100人的成績整理后得到如圖所示的頻率分布直方圖，則下列結論正確的是（ ）
A．樣本的眾數為75
B．樣本的分位數為75
C．樣本的平均值為68.5
D．該校學生中得分低于60分的約占
11．（2022·江蘇泰州·模擬預測）若正整數m．n只有1為公約數，則稱m，n互質，對于正整數k，（k）是不大于k的正整數中與k互質的數的個數，函數（k）以其首名研究者歐拉命名，稱為歐拉函數，例如：，，，．已知歐拉函數是積性函數，即如果m，n互質，那么，例如：，則（ ）
A．
B．數列是等比數列
C．數列不是遞增數列
D．數列的前n項和小于
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)
12．（2025·安徽·一模）現有4個相同的袋子，里面均裝有4個除顏色外其他無區(qū)別的小球，第個袋中有個紅球，個白球．現將這4個袋子混合后，任選其中一個袋子，并且連續(xù)取出三個球（每個取后不放回），則第三次取出的球為白球的概率為 ．
13．（2024·貴州銅仁·模擬預測）已知定義在上的函數滿足，則曲線在點處的切線方程為 .
14．（23-24高三上·江西·期中）印章是我國傳統(tǒng)文化之一，根據遺物和歷史記載，至少在春秋戰(zhàn)國時期就已出現，其形狀多為長方體?圓柱體等，陜西歷史博物館收藏的“獨孤信多面體煤精組印”是一枚形狀奇特的印章（如圖1），該形狀稱為“半正多面體”（由兩種或兩種以上的正多邊形所圍成的多面體），每個正方形面上均刻有不同的印章（圖中為多面體的面上的部分印章）.圖2是一個由18個正方形和8個正三角形圍成的“半正多面體”（其各頂點均在一個正方體的面上），若該多面體的棱長均為1，且各個頂點均在同一球面上，則該球的表面積為 .
參考答案：
1．A
【分析】將集合化簡，再由交集的運算，即可得到結果.
【詳解】因為，則，解得，
則，所以.
故選：A
2．B
【分析】根據給定條件，利用復數的概念列式計算即得.
【詳解】由復數的實部和虛部分別為5和，得，
所以.
故選：B
3．C
【分析】如圖建立平面直角坐標系，設碗體的拋物線方程為（），將點代入求出，即可得到拋物線方程，設蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為，則兩拋物線在第一象限的交點為，代入方程計算可得.
【詳解】以碗體的最低點為原點，向上方向為軸，建立直角坐標系，如圖所示．

設碗體的拋物線方程為（），將點代入，得，
解得，則，
設蓋上碗蓋后，碗蓋內部最高點到碗底的垂直距離為，
則兩拋物線在第一象限的交點為，代入到，解得，解得．
故選：C
4．D
【分析】根據條件計算出以及，結合夾角余弦公式求解出結果.
【詳解】因為，
所以，
因為，
所以，
故選：D．
5．B
【分析】根據利用求導判斷函數單調性，轉化為不等式恒成立問題，然后結合充分條件的定義即可進行選擇.
【詳解】因為，所以.
因為函數在上單調遞增，所以恒成立，
即恒成立，
即恒成立.
因為，所以，解得，
所以函數在上是單調遞增的充分條件是的非空子集.
故選：B
6．B
【分析】由題意計算出周期，再由周期求，又因為在區(qū)間上單調，
所以列出不等式，計算出，判斷即可.
【詳解】由題意知，，則，
因為，所以，又因為在區(qū)間上單調，
所以，解得，則的最大值為.
故選：B.
7．B
【分析】由題意先得，接著由和得，再結合對數運算性質解不等式即可得解.
【詳解】由題，，所以，
又由題當時，，即，
所以，令即即，
解得，故，
所以學習率衰減到0.2以下（不含0.2）所需的訓練迭代輪數至少為73.
故選：B.
8．C
【分析】先得出，再由基本不等式得出答案.
【詳解】當時，，即
因為在直線上，所以
當且僅當時，取等號，即的最小值為.
故選：C
9．CD
【分析】由雙曲線的幾何性質逐一判斷即可；
【詳解】對于選項A、B：設，易知的左、右焦點坐標分別為和，
而的標準方程為，故其左、右焦點坐標分別為和，
顯然和的焦點和焦距均不相同，故A，B錯誤；
對于選項C、D：和的離心率均為，漸近線方程均為，故C，D正確．
故選：CD.
10．AC
【分析】由圖求得的值，再根據頻率分布直方圖的性質逐項判斷即可.
【詳解】依題意，，解得，
選項A，最高小矩形的中點橫坐標為75，眾數是75，故A正確.
選項B，設樣本的分位數為，又，
，解得，故B錯誤.
選項C，平均數為，故C正確.
選項D，樣本中得分低于60分的占，
該校學生中得分低于60分的約占，故D錯誤.
故選：AC.
11．ABD
【分析】根據歐拉函數定義及運算性質，結合數列的性質與求和公式，依次判斷各選項即可得出結果.
【詳解】，A對；
∵2為質數，∴在不超過的正整數中，所有偶數的個數為，
∴為等比數列，B對；
∵與互質的數為
共有個，∴
又∵=，∴一定是單調增數列，C錯；
，的前n項和為
，D對.
故選：ABD．
12．
【分析】設“取出第個袋子”，“，結合條件概率的計算公式，即可求解.
【詳解】由題意，設“取出第個袋子，其中”，
“從袋子中連續(xù)取出三個球，第三次取出的球為白球”，
則，且兩兩互斥．
，所以，
所以，．
故答案為：
13．
【分析】利用方程組法求出函數解析式，然后利用導數求切線斜率，由點斜式可得切線方程.
【詳解】因為，所以，
令，得，解得，所以切線斜率為2，
因為，令，得，
解得，所以切點坐標為.
所以在點處的切線方程為，即.
故答案為：.
14．
【分析】根據幾何體的結構特征確定其外接球球心位置，根據已知求球體半徑，進而求球體表面積.
【詳解】由對稱性知：該多面體的各頂點在棱長為的正方體的表面上，
如圖，設其外接球的球心為，正方形的中心為，
則點到平面的距離，又，
所以該多面體外接球的半徑，
故該球的表面積為.
故答案為：

題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
D
B
B
B
C
CD
AC
題號
11









答案
ABD









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