1．（2024·江西鷹潭·一模）已知集合，集合，若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江杭州·模擬預測）歐拉公式（其中i是虛數(shù)單位，e是自然對數(shù)的底數(shù)）是數(shù)學中的一個神奇公式．根據(jù)歐拉公式，復數(shù)在復平面上所對應的點在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2024·河北保定·二模）有4個外包裝相同的盒子，其中2個盒子分別裝有1個白球，另外2個盒子分別裝有1個黑球，現(xiàn)準備將每個盒子逐個拆開，則恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中的概率為（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·北京·三模）已知圓和兩點，若圓上存在點，使得，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，在正三棱臺中，若，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·四川成都·三模）設，若，則實數(shù)的最大值為（ ）
A．B．4C．D．
7．（2024·北京海淀·一模）某生物興趣小組在顯微鏡下拍攝到一種黏菌的繁殖軌跡，如圖1.通過觀察發(fā)現(xiàn)，該黏菌繁殖符合如下規(guī)律：①黏菌沿直線繁殖一段距離后，就會以該直線為對稱軸分叉（分叉的角度約為），再沿直線繁殖，…；②每次分叉后沿直線繁殖的距離約為前一段沿直線繁殖的距離的一半.于是，該組同學將整個繁殖過程抽象為如圖2所示的一個數(shù)學模型：黏菌從圓形培養(yǎng)皿的中心O開始，沿直線繁殖到，然后分叉向與方向繼續(xù)繁殖，其中，且與關于所在直線對稱，….若，為保證黏菌在繁殖過程中不會碰到培養(yǎng)皿壁，則培養(yǎng)皿的半徑r（，單位：）至少為（ ）

A．6B．7C．8D．9
8．（2024·陜西·二模）已知，是函數(shù)的兩個零點，則（ ）
A．1B．eC．D．
二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)
9．（2022·廣東廣州·三模）已知向量，，則下列結論中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·遼寧大連·一模）函數(shù)對任意，都有，則關于函數(shù)的命題正確的是（ ）
A．函數(shù)在區(qū)間上單調遞增
B．直線是函數(shù)圖像的一條對稱軸
C．點是函數(shù)圖像的一個對稱中心
D．將函數(shù)圖像向右平移個單位，可得到的圖像
11．（2024·山西·二模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，為坐標原點，直線交雙曲線的右支于，兩點（不同于右頂點），且與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，則（ ）
A．為定值
B．
C．點到兩條漸近線的距離之和的最小值為
D．不存在直線使
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)
12．（2024·重慶·模擬預測）已知圓和拋物線，F(xiàn)為拋物線C的焦點，若圓M與拋物線C在公共點P處有相同的切線l，且直線l的縱截距為則實數(shù)p的值為 ．
13．（22-23高三下·湖南·階段練習）宋代是中國瓷器的黃金時代，涌現(xiàn)出了五大名窯：汝窯、官窯、哥窯、鈞窯、定窯．其中汝窯被認為是五大名窯之首．如圖1，這是汝窯雙耳罐，該汝窯雙耳罐可近似看成由兩個圓臺拼接而成，其直觀圖如圖2所示．已知該汝窯雙耳罐下底面圓的直徑是厘米，中間圓的直徑是厘米，上底面圓的直徑是厘米，高是厘米，且上、下兩圓臺的高之比是，則該汝窯雙耳罐的側面積是 平方厘米．
14．（21-22高一下·遼寧·期末）某同學在學習和探索三角形相關知識時，發(fā)現(xiàn)了一個有趣的性質：將銳角三角形三條邊所對的外接圓的三條圓弧（劣?。┭刂切蔚倪呥M行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點，且此交點為該三角形的垂心（即三角形三條高線的交點）.如圖，已知銳角外接圓的半徑為2，且三條圓弧沿三邊翻折后交于點.若，則 ；若，則的值為 .
2025年高考數(shù)學二輪復習小題提升練14
一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．（2024·江西鷹潭·一模）已知集合，集合，若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·浙江杭州·模擬預測）歐拉公式（其中i是虛數(shù)單位，e是自然對數(shù)的底數(shù)）是數(shù)學中的一個神奇公式．根據(jù)歐拉公式，復數(shù)在復平面上所對應的點在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．（2024·河北保定·二模）有4個外包裝相同的盒子，其中2個盒子分別裝有1個白球，另外2個盒子分別裝有1個黑球，現(xiàn)準備將每個盒子逐個拆開，則恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中的概率為（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·北京·三模）已知圓和兩點，若圓上存在點，使得，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
5．（2024·遼寧·模擬預測）如圖，在正三棱臺中，若，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A．B．C．D．
6．（2024·四川成都·三模）設，若，則實數(shù)的最大值為（ ）
A．B．4C．D．
7．（2024·北京海淀·一模）某生物興趣小組在顯微鏡下拍攝到一種黏菌的繁殖軌跡，如圖1.通過觀察發(fā)現(xiàn)，該黏菌繁殖符合如下規(guī)律：①黏菌沿直線繁殖一段距離后，就會以該直線為對稱軸分叉（分叉的角度約為），再沿直線繁殖，…；②每次分叉后沿直線繁殖的距離約為前一段沿直線繁殖的距離的一半.于是，該組同學將整個繁殖過程抽象為如圖2所示的一個數(shù)學模型：黏菌從圓形培養(yǎng)皿的中心O開始，沿直線繁殖到，然后分叉向與方向繼續(xù)繁殖，其中，且與關于所在直線對稱，….若，為保證黏菌在繁殖過程中不會碰到培養(yǎng)皿壁，則培養(yǎng)皿的半徑r（，單位：）至少為（ ）

A．6B．7C．8D．9
8．（2024·陜西·二模）已知，是函數(shù)的兩個零點，則（ ）
A．1B．eC．D．
二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)
9．（2022·廣東廣州·三模）已知向量，，則下列結論中正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．（2024·遼寧大連·一模）函數(shù)對任意，都有，則關于函數(shù)的命題正確的是（ ）
A．函數(shù)在區(qū)間上單調遞增
B．直線是函數(shù)圖像的一條對稱軸
C．點是函數(shù)圖像的一個對稱中心
D．將函數(shù)圖像向右平移個單位，可得到的圖像
11．（2024·山西·二模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，為坐標原點，直線交雙曲線的右支于，兩點（不同于右頂點），且與雙曲線的兩條漸近線分別交于，兩點，則（ ）
A．為定值
B．
C．點到兩條漸近線的距離之和的最小值為
D．不存在直線使
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)
12．（2024·重慶·模擬預測）已知圓和拋物線，F(xiàn)為拋物線C的焦點，若圓M與拋物線C在公共點P處有相同的切線l，且直線l的縱截距為則實數(shù)p的值為 ．
13．（22-23高三下·湖南·階段練習）宋代是中國瓷器的黃金時代，涌現(xiàn)出了五大名窯：汝窯、官窯、哥窯、鈞窯、定窯．其中汝窯被認為是五大名窯之首．如圖1，這是汝窯雙耳罐，該汝窯雙耳罐可近似看成由兩個圓臺拼接而成，其直觀圖如圖2所示．已知該汝窯雙耳罐下底面圓的直徑是厘米，中間圓的直徑是厘米，上底面圓的直徑是厘米，高是厘米，且上、下兩圓臺的高之比是，則該汝窯雙耳罐的側面積是 平方厘米．
14．（21-22高一下·遼寧·期末）某同學在學習和探索三角形相關知識時，發(fā)現(xiàn)了一個有趣的性質：將銳角三角形三條邊所對的外接圓的三條圓?。踊。┭刂切蔚倪呥M行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點，且此交點為該三角形的垂心（即三角形三條高線的交點）.如圖，已知銳角外接圓的半徑為2，且三條圓弧沿三邊翻折后交于點.若，則 ；若，則的值為 .
參考答案：
1．A
【分析】解一元二次不等式求出集合A及，根據(jù)集合的包含關系求出結果.
【詳解】因為，
或，
因為集合，，所以，
故選：A.
2．A
【分析】由復數(shù)的幾何意義判斷.
【詳解】由歐拉公式，在復平面內(nèi)對應點在第一象限．
故選：A．
3．B
【分析】先將4個盒子進行全排，若恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中，則前兩個盒子都是白球或都是黑球，分別計算出排列數(shù)，即可得到答案.
【詳解】將4個盒子按順序拆開有種方法，
若恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中，
則前兩個盒子都是白球或都是黑球，有種情況，
則恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中的概率為.
故選：B
4．B
【分析】由知點的軌跡方程是以位直徑的圓，可得，即可求出的取值范圍.
【詳解】說明在以為直徑的圓上，
而又在圓上，因此兩圓有公共點，
則圓心距位于半徑差的絕對值與半徑和的閉區(qū)間中，
所以，即，又，解得.
故選：B
5．D
【分析】在平面中，過作的平行線，交的延長線于，連接，則或其補角為異面直線與所成角，結合余弦定理可求角的余弦值.
【詳解】由正三棱臺的性質可得四邊形為等腰梯形，其中，
如圖，在梯形中，過作，垂足為，
而，故，
故.
同理，.
在平面中，過作的平行線，交的延長線于，連接，
則或其補角為異面直線與所成角，
因，，故四邊形為平行四邊形，
故，，
而，故，
故，
故異面直線與所成角的余弦值為，
故選：D.
6．A
【分析】由不等式可得，求出右邊的最小值，進而可得的最大值．
【詳解】因為，若，可得，
設，只需要小于等于右邊的最小值即可，
則，
令，可得，
所以，當且僅當，即時取等號，
所以，
即的最大值為．
故選：A．
7．C
【分析】根據(jù)黏菌的繁殖規(guī)律可得每次繁殖在方向上前進的距離，結合無窮等比遞縮數(shù)列的和的計算公式，即可判斷答案.
【詳解】由題意可知，，只要計算出黏菌沿直線一直繁殖下去，在方向上的距離的范圍，即可確定培養(yǎng)皿的半徑的范圍，
依題意可知黏菌的繁殖規(guī)律，由此可得每次繁殖在方向上前進的距離依次為：，
則，
黏菌無限繁殖下去，每次繁殖在方向上前進的距離和即為兩個無窮等比遞縮數(shù)列的和，
即，
綜合可得培養(yǎng)皿的半徑r（，單位：）至少為8cm，
故選：C
【點睛】關鍵點點睛：本題考查了數(shù)列的應用問題，背景比較新穎，解答的關鍵是理解題意，能明確黏菌的繁殖規(guī)律，從而求出每次繁殖在方向上前進的距離的和，結合等比數(shù)列求和即可.
8．D
【分析】由題意構造，將原函數(shù)的零點問題轉化為的圖象的交點問題，判斷函數(shù)的對稱性，即可求得答案.
【詳解】由，可知，
故時，則可得，
而，是函數(shù)的兩個零點，
令，則的圖象必有兩交點
且，是兩交點的橫坐標，
由于，即的圖象關于點對稱，
而，即的圖象也關于點對稱，
故的交點關于點對稱，則，
故，
故選：D
【點睛】關鍵點睛：本題考查了函數(shù)的零點問題，解答的關鍵是根據(jù)函數(shù)特征，構造新函數(shù)，將函數(shù)的零點問題轉化為函數(shù)圖象的交點問題，結合對稱性即可解決.
9．ABC
【分析】按照向量數(shù)量積的坐標運算、模的坐標運算、夾角公式及平行的坐標公式依次判斷即可.
【詳解】，A正確；，B正確；
，則，C正確；
，D錯誤.
故選：ABC.
10．BD
【分析】對于題干條件，用替代得到新的方程，聯(lián)立先算出表達式，從而得出的表達式，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質逐一判斷每個選項.
【詳解】由，用替代得到
，
聯(lián)立上述兩式得到，，
則.
A選項，時，，根據(jù)正弦函數(shù)的單調性，
在上遞增，在上遞減，
根據(jù)復合函數(shù)的單調性可知在區(qū)間上先遞增后遞減，A選項錯誤；
B選項，時，，取到了最小值，
故是函數(shù)圖像的一條對稱軸，B選項正確；
C選項，時，，則是的對稱中心，
故是是函數(shù)圖像的一個對稱中心，C選項錯誤；
D選項，函數(shù)圖像向右平移個單位，得到
，D選項正確.
故選：BD
11．BD
【分析】對于A，根據(jù)，取垂直于x軸的直線，結合條件可判斷A；對于B，設直線的方程為，利用韋達定理可得，聯(lián)立直線與漸近線方程，可分別解得，，結合弦長公式可判斷B；對于C，設，可得P到兩漸近線距離可判斷C；由題可得恒成立可判斷D.
【詳解】雙曲線的漸近線為，
對于A：因為，
作直線，，且，分別交軸上方漸近線于，，
交軸下方漸近線于，，
有對稱性可知：，
此時，
又因為為定值，所以，
即不是定值，故A錯誤；

對于B，由題意可知：直線不與y軸垂直，設直線的方程為，
聯(lián)立得，得，
則，且,
所以，
聯(lián)立，得，聯(lián)立，得，
所以，則，
結合弦長公式可得，
即，故B正確；
對于C，設，則，漸近線為，
所以P到兩漸近線距離為：
，
當且僅當時，等號成立，故C錯誤；
對于D，設，則，可得，
由圖可得，即恒成立，
故不存在直線使，故D正確.

故選：BD.
【點睛】關鍵點點睛：本題D選項可借助，結合，得到，從而得解.
12．2
【分析】設切點，求導得到切線方程，根據(jù)縱截距為-3得到，根據(jù)圓的切線的性質得到，最后解方程得到.
【詳解】，設切點，則切線，
由已知得①，②，
將①代入②有，
.
故答案為：2.
13．
【分析】作出圖形，計算出兩個圓臺的母線長，再利用圓臺的側面積公式可求得結果.
【詳解】如圖，過點在平面內(nèi)作，垂足為，
過點在平面內(nèi)作，垂足為，
由題意可得，，，由圓臺的幾何性質可知，
在平面中，，，則四邊形為矩形，則，
所以，，同理可得，
由題意可知且，則，，
從而，，
故該汝窯雙耳罐的側面積為
平方厘米．
故答案為：.
14． /5.75
【分析】第一空，由正弦定理求得，可得，利用三角形垂心性質結合三角形誘導公式推得，即得答案；
第二空，設，由余弦定理求得它們的余弦值，然后由垂心性質結合正弦定理表示出，即可求得答案.
【詳解】設外接圓半徑為，則，
由正弦定理，可知，
即，由于是銳角，故，
又由題意可知P為三角形ABC的垂心，即,故，
所以；
設，
則，
由于，不妨假設，
由余弦定理知，
設AD,CE,BF為三角形的三條高，由于 ,
故 ,
則得，
所以，
同理可得，
所以,
故答案為：；
【點睛】本題重要考查了正余弦定理在解三角形中的應用，涉及到三角形垂心的性質的應用，解答時要能靈活地結合垂心性質尋找角之間的關系，應用正余弦定理，解決問題.

題號
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
A
B
B
D
A
C
D
ABC
BD
題號
11









答案
BD









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