1．（2024·浙江金華·一模）在復(fù)平面中，若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．2B．1C．D．
2．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·陜西商洛·一模）在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，則四棱錐外接球的體積是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）“學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退；心似平原跑馬，易放難收”（明·《增廣賢文》）是勉勵(lì)人們專心學(xué)習(xí)的，如果每天的“進(jìn)步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“進(jìn)步”的是“退步”的倍．若每天的“進(jìn)步”率和“退步”率都是20%，則要使“進(jìn)步”的是“退步”的100倍以上，最少要經(jīng)過(guò)（參考數(shù)據(jù)：，）（ ）
A．10天B．11天C．12天D．13天
5．（2023·四川·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角池圖”，意思是說(shuō)，有一塊正方形田地，在其一角有一個(gè)圓形的水池（其中圓與正方形一角的兩邊均相切），如圖所示．已知圓O的半徑為2丈，過(guò)C作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，若，則對(duì)角線AC長(zhǎng)度為（ ）
A．丈B．丈
C．丈D．丈
6．（2024·新疆·二模）過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為（ ）
A．B．7x?4y+9=0
C．或7x?4y+9=0D．或4x?7y+24=0
7．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿足與的夾角為，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·安徽安慶·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2，點(diǎn)是拋物線上兩個(gè)不同點(diǎn)，且，則（ ）
A．B．C．D．3
二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)
9．（2023·山東日照·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A．有最大值B．有最小值
C．有最小值D．有最小值4
10．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）質(zhì)地均勻的正四面體模型四個(gè)表面分別標(biāo)有四個(gè)數(shù)字，拋擲一次并記錄與地面接觸面上的數(shù)字，記事件“數(shù)字為2的倍數(shù)”為事件，“數(shù)字是5的倍數(shù)”為事件，“數(shù)字是7的倍數(shù)”為事件，則下列選項(xiàng)不正確的是（ ）
A．事件、、兩兩互斥
B．事件與事件對(duì)立
C．
D．事件、、兩兩獨(dú)立
11．（2023·廣東茂名·三模）我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線過(guò)；當(dāng)異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．射線所在直線的斜率為，則
B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，光線由到再到所經(jīng)過(guò)的路程為13
D．若點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與相切，則
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)
12．（2023·甘肅蘭州·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則 .
13．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）“楊輝三角”是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.下圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為由圖中虛線上的數(shù)1，3，6，10，…依次構(gòu)成的數(shù)列的第項(xiàng)，則的值為 .
14．（2024·廣東湛江·一模）若函數(shù)為奇函數(shù)，則
2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)小題基礎(chǔ)練05
一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．（2024·浙江金華·一模）在復(fù)平面中，若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A．2B．1C．D．
2．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
3．（2024·陜西商洛·一模）在四棱錐中，平面，四邊形是正方形，，則四棱錐外接球的體積是（ ）
A．B．C．D．
4．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）“學(xué)如逆水行舟，不進(jìn)則退；心似平原跑馬，易放難收”（明·《增廣賢文》）是勉勵(lì)人們專心學(xué)習(xí)的，如果每天的“進(jìn)步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“進(jìn)步”的是“退步”的倍．若每天的“進(jìn)步”率和“退步”率都是20%，則要使“進(jìn)步”的是“退步”的100倍以上，最少要經(jīng)過(guò)（參考數(shù)據(jù)：，）（ ）
A．10天B．11天C．12天D．13天
5．（2023·四川·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)古代數(shù)學(xué)家朱世杰所著《四元玉鑒》記載有“鎖套吞容”之“方田圓池結(jié)角池圖”，意思是說(shuō)，有一塊正方形田地，在其一角有一個(gè)圓形的水池（其中圓與正方形一角的兩邊均相切），如圖所示．已知圓O的半徑為2丈，過(guò)C作圓O的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N，若，則對(duì)角線AC長(zhǎng)度為（ ）
A．丈B．丈
C．丈D．丈
6．（2024·新疆·二模）過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線方程為（ ）
A．B．7x?4y+9=0
C．或7x?4y+9=0D．或4x?7y+24=0
7．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿足與的夾角為，則與的夾角為（ ）
A．B．C．D．
8．（2024·安徽安慶·三模）已知拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2，點(diǎn)是拋物線上兩個(gè)不同點(diǎn)，且，則（ ）
A．B．C．D．3
二、多選題(本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)
9．（2023·山東日照·模擬預(yù)測(cè)）已知，則（ ）
A．有最大值B．有最小值
C．有最小值D．有最小值4
10．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）質(zhì)地均勻的正四面體模型四個(gè)表面分別標(biāo)有四個(gè)數(shù)字，拋擲一次并記錄與地面接觸面上的數(shù)字，記事件“數(shù)字為2的倍數(shù)”為事件，“數(shù)字是5的倍數(shù)”為事件，“數(shù)字是7的倍數(shù)”為事件，則下列選項(xiàng)不正確的是（ ）
A．事件、、兩兩互斥
B．事件與事件對(duì)立
C．
D．事件、、兩兩獨(dú)立
11．（2023·廣東茂名·三模）我國(guó)首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，如圖，利用了雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：，是雙曲線的左?右焦點(diǎn)，從發(fā)出的光線射在雙曲線右支上一點(diǎn)，經(jīng)點(diǎn)反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線過(guò)；當(dāng)異于雙曲線頂點(diǎn)時(shí)，雙曲線在點(diǎn)處的切線平分.若雙曲線的方程為，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．射線所在直線的斜率為，則
B．當(dāng)時(shí)，
C．當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，光線由到再到所經(jīng)過(guò)的路程為13
D．若點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與相切，則
三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分，把答案填在題中的橫線上)
12．（2023·甘肅蘭州·模擬預(yù)測(cè)）已知，，則 .
13．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）“楊輝三角”是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.下圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為由圖中虛線上的數(shù)1，3，6，10，…依次構(gòu)成的數(shù)列的第項(xiàng)，則的值為 .
14．（2024·廣東湛江·一模）若函數(shù)為奇函數(shù)，則
參考答案：
1．D
【分析】由復(fù)數(shù)的計(jì)算化簡(jiǎn)得到復(fù)數(shù)，再求模長(zhǎng).
【詳解】∵，∴，∴，∴.
故選：D.
2．D
【分析】根據(jù)二次不等式以及對(duì)數(shù)不等式化簡(jiǎn)兩個(gè)集合，即可根據(jù)交集的定義求解.
【詳解】由，
，
故，
故選；D
3．C
【分析】根據(jù)正方體的外接球即可求解體對(duì)角線得半徑，進(jìn)而利用體積公式求解.
【詳解】將四棱錐放入正方體中，則四棱錐的外接球與正方體的外接球相同，
設(shè)四棱錐外接球的半徑為，則，所以，
故四棱錐外接球的體積．
故選：C
4．C
【分析】由題意列出相應(yīng)不等式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，即可求得答案.
【詳解】設(shè)經(jīng)過(guò)x天后，“進(jìn)步”的是“退步”的100倍以上，則，即，
∴（天）．
故最少要經(jīng)過(guò)12天
故選：C
5．A
【分析】結(jié)合圖形的對(duì)稱性和切線的性質(zhì)，通過(guò)三角函數(shù)或勾股定理，由丈，，求出，可得對(duì)角線AC長(zhǎng)度.
【詳解】記OC與MN相交于E，過(guò)O作AB的垂線，與AB相交于F點(diǎn)，如圖所示，
丈，丈，則丈，
在中，，則，
中，丈，
中，丈，，則丈，
所以丈.
故選：A.
6．C
【分析】先設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線，再根據(jù)點(diǎn)在曲線上及切線斜率等于導(dǎo)數(shù)值解方程即可求值進(jìn)而求出切線.
【詳解】設(shè)過(guò)點(diǎn)1,4的曲線y=f(x)的切線為： l:y?y0=3x02+1x?x0，
有3x02+11?x0=4?y0y0=x03+x0+2,
解得x0=1y0=4或x0=?12y0=98,
代入可得或7x?4y+9=0.
故選：
7．D
【分析】對(duì)等式進(jìn)行變形得，再運(yùn)算數(shù)量積的運(yùn)算求解即可.
【詳解】設(shè)，由題得，
所以，
，所以，
所以，又，
所以，
故選:D.
8．A
【分析】拋物線的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為，又，進(jìn)而利用得，從而可得的值.
【詳解】因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為2，所以，
所以,即,
由得，即，則，
由焦半徑公式可得.
故選：A.
9．ABD
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由，
對(duì)于A中，由，可得，可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以有最大值，所以A正確；
對(duì)于B中，由，因?yàn)橛凶畲笾?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以有最小值，所以B正確；
對(duì)于C中，由，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以有最大值，所以C不正確；
對(duì)于D中，由，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以有最小值，所以D正確；
故選：ABD.
10．ABC
【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨(dú)立事件的概念判斷即可.
【詳解】依題意拋擲一次可能出現(xiàn)的結(jié)果有、、、，
事件包含的基本事件有、，則；
事件包含的基本事件有、，則；
事件包含的基本事件有、，則；
顯然事件與事件，事件與事件，事件與事件均可以同時(shí)發(fā)生，
故事件與事件，事件與事件，事件與事件均不互斥，故A錯(cuò)誤；
事件包含的基本事件有、、，
事件包含的基本事件有，
當(dāng)出現(xiàn)時(shí)事件與事件均發(fā)生，故事件與事件不互斥，
顯然不對(duì)立，故B錯(cuò)誤；
又事件包含的基本事件有，所以，
所以，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)槭录幕臼录?，所以，所以與相互獨(dú)立；
因?yàn)槭录幕臼录?，所以，所以與相互獨(dú)立；
因?yàn)槭录幕臼录?，所以，所以與相互獨(dú)立；
即事件、、兩兩獨(dú)立，故D正確.
故選：ABC
11．ABD
【分析】A選項(xiàng)，根據(jù)直線與雙曲線的交點(diǎn)位置可判斷.
B選項(xiàng)，利用雙曲線定義和勾股定理化簡(jiǎn)可得.
C選項(xiàng)，由雙曲線定義可判斷.
D選項(xiàng)，利用角平分線性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義可得.
【詳解】解：因?yàn)殡p曲線的方程為，所以，漸近線方程為，
選項(xiàng)A，因?yàn)橹本€與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，即A正確；
選項(xiàng)B，由雙曲線的定義知，，
若，則，
因?yàn)椋?br>所以，
解得，即B正確；
選項(xiàng)C：，即C錯(cuò)誤；
選項(xiàng)D，因?yàn)槠椒郑山欠志€定理知，，
所以，
又，
所以，解得，即D正確.
故選：ABD.
12．
【分析】利用二倍角公式結(jié)合兩角和與差的余弦公式展開(kāi)求解即可.
【詳解】.
由得，
，
原式.
故答案為：
13．
【分析】
利用累加法求得，再利用裂項(xiàng)相消法即可.
【詳解】
設(shè)第個(gè)數(shù)為，則，，，，…，，
疊加可得，
∴
.
故答案為：.
14．/
【分析】先根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱得出,再應(yīng)用奇函數(shù)的定義計(jì)算求出,計(jì)算即可求值.
【詳解】由于函數(shù)的定義域滿足 ，故定義域?yàn)? ，
根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱可知 ，
∴ ， ，
∴ ，
故 ，
故答案為： ．

題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
D
C
C
A
C
D
A
ABD
ABC
題號(hào)
11









答案
ABD









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