本試卷滿分為120分，考試時(shí)間為120分鐘
注意事項(xiàng)：1.開始答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、科目填涂在答題卡上．考試結(jié)束，監(jiān)考人員將試卷和答題卡一并收回．
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，答在試卷上無(wú)效．
一、選擇題（本大題有12個(gè)小題，每小題3分，共36分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．）
1. 如果一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)為3和6，那么第三邊的長(zhǎng)有可能是（ ）
A. 7B. 2C. 9D. 不確定
2. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A B. C. D.
3. 引發(fā)秋季傳染病的某種病毒的直徑是，將用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
4. 若是完全平方式；是完全平方式，則和的值分別是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
5. 如圖，現(xiàn)有兩把一樣的直尺，將一把直尺的邊與射線重合，另一把直尺的邊與射線重合，兩把直尺的另一邊在的內(nèi)部交于點(diǎn)，作射線，若，則的度數(shù)為（ ）
A B. C. D.
6. 已知：如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則下列命題中正確的（ ）
A. 是的平分線B. 是邊上的高
C. 是邊上的中線D. 是邊上的中垂線
7. 如圖，兩條平行直線a，b，從點(diǎn)光源M射出的光線射到直線a上的A點(diǎn)，入射角為，然后反射光線射到直線b上的B點(diǎn)，當(dāng)這束光線繼續(xù)從B點(diǎn)反射出去后，反射光線與直線b所夾銳角的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
8. 如圖，，若，則（ ）
A B. C. D.
9. 如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中，從離地面處折斷，倒下的部分與地面成30°角，如圖所示，這棵樹在折斷前的高度是（ ）

A. B. C. D.
10. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 分式的值為零，則的值為
B. 根據(jù)分式的基本性質(zhì)，等式
C. 把分式的分子與分母的各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)的結(jié)果為
D. 分式是最簡(jiǎn)分式
11. 小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了利用尺規(guī)作一個(gè)三角形與已知三角形全等后，嘗試用不同的方法作三角形，則在下列作出的圖形中，不一定與全等的是（ ）
A. B. C. D.
12. 甲杯中盛有m毫升紅墨水，乙杯中盛有m毫升藍(lán)墨水，從甲杯中倒出a毫升到乙杯里（0＜a＜m），攪勻后，又從乙杯倒出a毫升到甲杯里，則這時(shí)（ ）
A. 甲杯中混入的藍(lán)墨水比乙杯中混入的紅墨水少
B. 甲杯中混入的藍(lán)墨水比乙杯中混入的紅墨水多
C. 甲杯中混入的藍(lán)墨水和乙杯中混入的紅墨水相同
D. 甲杯中混入藍(lán)墨水與乙杯中混入的紅墨水多少關(guān)系不定
二、填空題（本大題4個(gè)小題，每題3分，共12分）
13. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
14. 如果，則＝___________________．
15. 如圖所示，在正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，在內(nèi)部有、、、四個(gè)格點(diǎn)，到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是_____．
16. 如圖，中，，，，點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度按的路徑運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度按的路徑運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)作于點(diǎn)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，只要一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)兩點(diǎn)即同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，則的值是______．
三、解答題（本大題共8題，共計(jì)72分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17. 計(jì)算
（1）
（2）
（3）
18. 分解因式或解分式方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
19. 如圖，在五邊形中，，，分別平分，，求的度數(shù)．
20. 如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)（即三角形的頂點(diǎn)都在格子上）
（1）在圖中作出關(guān)于直線l對(duì)稱的（A與，B與，C與對(duì)應(yīng)）；
（2）在直線l對(duì)上找一個(gè)點(diǎn)P，使最短；
（3）在（1）問(wèn)的結(jié)果下，連接，，求四邊形的面積．
21. 如圖，四邊形，其中，．
（1）求證：；
（2）證明：．
22. 在我市某一城市美化工程招標(biāo)時(shí)，有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)投標(biāo)，經(jīng)測(cè)算：甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要60天，若由甲隊(duì)先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．
（1）乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？
（2）甲隊(duì)施工一天，需付工程款3.5萬(wàn)元，乙隊(duì)施工一天需付工程款2萬(wàn)元．若該工程計(jì)劃在70天內(nèi)完成，在不超過(guò)計(jì)劃天數(shù)的前提下，是由甲隊(duì)或乙隊(duì)單獨(dú)完成工程省錢？還是由甲乙兩隊(duì)全程合作完成該工程省錢？
23. 在學(xué)習(xí)整式乘法這一章時(shí)，我們經(jīng)常利用圖形面積得到關(guān)于整式乘法或因式分解的等式．
（1）如圖1，在邊長(zhǎng)為a的大正方形中，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為3的小正方形，將余下的部分按圖中的虛線剪開后，拼成如圖2所示的長(zhǎng)方形，根據(jù)兩個(gè)圖形陰影部分面積相等的關(guān)系，可驗(yàn)證的等式為 ；
（2）小明用四個(gè)如圖3所示的小長(zhǎng)方形，拼成如圖4所示的大正方形．
①根據(jù)圖4的圖形面積，可以得到的一個(gè)等式是 ；
②利用①中的等式，解決問(wèn)題：若，求一個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)．
24. 平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，均在軸上，且點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，點(diǎn)在射線上，連接，與相于點(diǎn)，．
（1）如圖1，若，求和的大?。?br>（2）如圖2，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．
①求證：平分；
②若，，請(qǐng)直接用含有的式子表示．
廣陽(yáng)區(qū)2024－2025學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量評(píng)價(jià)
八年級(jí)數(shù)學(xué)試卷
本試卷滿分為120分，考試時(shí)間為120分鐘
注意事項(xiàng)：1.開始答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、科目填涂在答題卡上．考試結(jié)束，監(jiān)考人員將試卷和答題卡一并收回．
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，答在試卷上無(wú)效．
一、選擇題（本大題有12個(gè)小題，每小題3分，共36分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．）
1. 如果一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)為3和6，那么第三邊的長(zhǎng)有可能是（ ）
A. 7B. 2C. 9D. 不確定
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，設(shè)第三邊的長(zhǎng)為，根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即可得出，從而得解．
【詳解】解：設(shè)第三邊的長(zhǎng)為，
根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可得：，即，
∴第三邊的長(zhǎng)有可能是7，
故選：A．
2. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了整式的運(yùn)算；根據(jù)合并同類項(xiàng)，積的乘方，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式以及完全平方公式進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：A. 與不能合并，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
B. ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
C. ，故該選項(xiàng)正確，符合題意；
D. ，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；
故選：C．
3. 引發(fā)秋季傳染病的某種病毒的直徑是，將用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了科學(xué)記數(shù)法，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法：（，為整數(shù)），先確定的值，再根據(jù)小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的數(shù)位確定的值即可，根據(jù)科學(xué)記數(shù)法確定和的值是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
故選：．
4. 若是完全平方式；是完全平方式，則和值分別是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查完全平方公式，解題的關(guān)鍵在于掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征．根據(jù)完全平方公式中首末兩項(xiàng)是和的平方，中間一項(xiàng)為加上或減去它們乘積的2倍，可得，進(jìn)而求出的值，同理求出的值，即可解題．
【詳解】解：是完全平方式，
，
解得，
是完全平方式，
，
有，
故選：D．
5. 如圖，現(xiàn)有兩把一樣的直尺，將一把直尺的邊與射線重合，另一把直尺的邊與射線重合，兩把直尺的另一邊在的內(nèi)部交于點(diǎn)，作射線，若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查角平分線的判定與性質(zhì)．根據(jù)題意得到是的角平分線，由角平分線定義求解即可得到的度數(shù)．
【詳解】解：過(guò)點(diǎn)作、，如圖所示：
兩把一樣的直尺，
，
由角平分線的判定定理可得是的角平分線，
，
，
故選：D．
6. 已知：如圖，點(diǎn)是的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則下列命題中正確的（ ）
A. 是的平分線B. 是邊上的高
C. 是邊上的中線D. 是邊上的中垂線
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了三角形的內(nèi)心的定義，根據(jù)三角形內(nèi)心的定義直接判斷即可；解答此題的關(guān)鍵是掌握內(nèi)心的定義．
【詳解】解：∵點(diǎn)是的內(nèi)心，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
是的角平分線．
故選：．
7. 如圖，兩條平行直線a，b，從點(diǎn)光源M射出的光線射到直線a上的A點(diǎn)，入射角為，然后反射光線射到直線b上的B點(diǎn)，當(dāng)這束光線繼續(xù)從B點(diǎn)反射出去后，反射光線與直線b所夾銳角的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，根據(jù)“入射光線與直線的夾角始終與反射光線與該直線的夾角相等”得到，由平行線的性質(zhì)可得，即可得出結(jié)論．熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：如圖，
∵從點(diǎn)光源射出的光線射到直線上的A點(diǎn)，入射角為，然后反射光線射到直線上的點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴當(dāng)這束光線繼續(xù)從點(diǎn)反射出去后，反射光線與直線的夾角度數(shù)為．
故選：D
8. 如圖，，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)和三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．
【詳解】解：∵，
∴，
∴．
故選：A．
9. 如圖，一棵樹在一次強(qiáng)臺(tái)風(fēng)中，從離地面處折斷，倒下的部分與地面成30°角，如圖所示，這棵樹在折斷前的高度是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)直角三角形中所對(duì)直角邊等于斜邊一半得到，從而得解．
詳解】解：標(biāo)記字母如下圖所示：

∵，，
∴，
∴，
即這棵樹折斷前的高度為．
故選：C
10. 下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. 分式的值為零，則的值為
B. 根據(jù)分式的基本性質(zhì)，等式
C. 把分式的分子與分母的各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)的結(jié)果為
D. 分式是最簡(jiǎn)分式
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)分式的值為0的條件，分式的基本性質(zhì)，最簡(jiǎn)分式的定義，逐一進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：A、分式的值為零，則的值為，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、當(dāng)時(shí)，沒(méi)有意義，，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
C、把分式的分子與分母的各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)的結(jié)果為，選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、分式是最簡(jiǎn)分式，選項(xiàng)正確，符合題意；
故選D．
【點(diǎn)睛】本題考查分式值為0的條件，分式的基本性質(zhì)，最簡(jiǎn)分式．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，是解題的關(guān)鍵．
11. 小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了利用尺規(guī)作一個(gè)三角形與已知三角形全等后，嘗試用不同的方法作三角形，則在下列作出的圖形中，不一定與全等的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題考查全等三角形的判定，熟練掌握全等三角形的判定是解題的關(guān)鍵；
根據(jù)全等三角形的判定對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判定即可求解；
【詳解】解：A、如圖：
由作圖痕跡可得，，，，
，
故A選項(xiàng)正確，不符合題意；
B、如圖
由作圖痕跡可得，，，，
，
故B選項(xiàng)正確，不符合題意；
C、如圖：
由作圖痕跡可得，，，，
，
故C選項(xiàng)正確，不符合題意；
D、如圖：
由作圖痕跡可得，，，，
不能得出與全等，
故D選項(xiàng)不正確，符合題意；
故選：D
12. 甲杯中盛有m毫升紅墨水，乙杯中盛有m毫升藍(lán)墨水，從甲杯中倒出a毫升到乙杯里（0＜a＜m），攪勻后，又從乙杯倒出a毫升到甲杯里，則這時(shí)（ ）
A. 甲杯中混入的藍(lán)墨水比乙杯中混入的紅墨水少
B. 甲杯中混入的藍(lán)墨水比乙杯中混入的紅墨水多
C. 甲杯中混入的藍(lán)墨水和乙杯中混入的紅墨水相同
D. 甲杯中混入的藍(lán)墨水與乙杯中混入的紅墨水多少關(guān)系不定
【答案】C
【解析】
【分析】算出第一次倒出溶液后乙杯中相應(yīng)墨水的比例，進(jìn)而得到混入相應(yīng)墨水的質(zhì)量，比較即可．
【詳解】甲杯倒出a毫升紅墨水到乙杯中以后：
乙杯中紅墨水的比例為，藍(lán)墨水的比例為，
再?gòu)囊冶钩鯽毫升混合墨水到甲杯中以后：
乙杯中含有的紅墨水的數(shù)量是a-a?=毫升①
乙杯中減少的藍(lán)墨水的數(shù)量是a?=毫升，②
∵①=②
∴故選C．
【點(diǎn)睛】考查了用濃度和溶液表示溶質(zhì)的等量關(guān)系；用到的知識(shí)點(diǎn)為：純墨水的質(zhì)量=總質(zhì)量×相應(yīng)的濃度．
二、填空題（本大題4個(gè)小題，每題3分，共12分）
13. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為______．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查坐標(biāo)與軸對(duì)稱．熟練掌握關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的特征：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)相等，進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為
故答案為：．
14 如果，則＝___________________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)的關(guān)系，可以求出．解答本題不僅要會(huì)通分，還要將當(dāng)做一個(gè)整體看待．本題考查了分式的通分．
【詳解】解：，
，
．
故答案為．
15. 如圖所示，在正方形網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，在內(nèi)部有、、、四個(gè)格點(diǎn)，到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，根據(jù)到三個(gè)頂點(diǎn)距離相等的點(diǎn)是三邊垂直平分線交點(diǎn)求解即可．
【詳解】解：如圖所示，
點(diǎn)在，的垂直平分線上，
故答案為：．
16. 如圖，中，，，，點(diǎn)以每秒1個(gè)單位的速度按的路徑運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒2個(gè)單位的速度按的路徑運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)作于點(diǎn)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，只要一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)兩點(diǎn)即同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)秒時(shí)，則的值是______．
【答案】或
【解析】
【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、垂線的定義、一元一次方程的應(yīng)用，分類討論：①當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上，②當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上，③點(diǎn)P與Q重合在上，根據(jù)題意結(jié)合全等三角形的性質(zhì)得出，再分別用t表示出和的長(zhǎng)，列出等式，解出即可，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，并利用分類討論的思想是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）當(dāng)P點(diǎn)在上，點(diǎn)Q在上，如圖1，
則，， ，，
∵，
∴ ，
即，
解得：，
即P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)6秒；
（2）當(dāng)點(diǎn)P在上，點(diǎn)Q在上，如圖2，

則，，
∵，
∴，
即，
解得，
此時(shí)不符合題意；
（3）點(diǎn)P與Q重合在上，如圖3，

則，，
∴，
即，
解得：，
∴綜上可知：或，
故答案為：或．
三、解答題（本大題共8題，共計(jì)72分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17. 計(jì)算
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）2 （3）
【解析】
【分析】本題主要考查了多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法，實(shí)數(shù)的混合計(jì)算，分式的混合計(jì)算，零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，正確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則計(jì)算即可；
（2）先計(jì)算零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再根據(jù)實(shí)數(shù)的混合計(jì)算法則求解即可；
（3）根據(jù)分式的混合計(jì)算法則求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：
【小問(wèn)2詳解】
解：

【小問(wèn)3詳解】

18. 分解因式或解分式方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
（2）
（3）
（4）無(wú)解
【解析】
【分析】本題考查了因式分解和解分式方程．熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關(guān)鍵．注意驗(yàn)根．
（1）直接提公因式即可分解因式；
（2）利用完全平方公式分解因式即可．
（3）通過(guò)去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1和檢驗(yàn)解分式方程即可；
（4）通過(guò)去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1和檢驗(yàn)解分式方程即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：
【小問(wèn)2詳解】
【小問(wèn)3詳解】
解：，
方程兩邊同時(shí)乘以，得：，
解得：，
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
所以原分式方程的解為；
【小問(wèn)4詳解】
解：
去分母，得：
去括號(hào)，得：
移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得：
系數(shù)化1，得：
檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，
所以分式方程無(wú)解
19. 如圖，在五邊形中，，，分別平分，，求的度數(shù)．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)五邊形的內(nèi)角和求出和的和，再根據(jù)角平分線及三角形內(nèi)角和求出的度數(shù)．
【詳解】解：五邊形的內(nèi)角和等于，，
；
，分別平分，，
，
；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式、角平分線的定義等知識(shí)點(diǎn)，熟記公式以及整體思想的運(yùn)用是解答本題的關(guān)鍵．
20. 如圖，在的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，網(wǎng)格中有一個(gè)格點(diǎn)（即三角形的頂點(diǎn)都在格子上）
（1）在圖中作出關(guān)于直線l對(duì)稱的（A與，B與，C與對(duì)應(yīng)）；
（2）在直線l對(duì)上找一個(gè)點(diǎn)P，使最短；
（3）在（1）問(wèn)的結(jié)果下，連接，，求四邊形的面積．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）見(jiàn)解析
（3）12
【解析】
【分析】本題考查軸對(duì)稱作圖，利用成軸對(duì)稱的性質(zhì)求解：
（1）根據(jù)成軸對(duì)稱的性質(zhì)，作圖即可；
（2）利用成軸對(duì)稱的性質(zhì)求解即可．
（3）根據(jù)梯形面積公式求解即可；
【小問(wèn)1詳解】
解：如圖，是關(guān)于直線l的對(duì)稱圖形．
【小問(wèn)2詳解】
解：如圖，點(diǎn)P就是求作的點(diǎn)；
，此時(shí)最小．
【小問(wèn)3詳解】
解：由圖可知，四邊形是等腰梯形，，，高，
∴．
21. 如圖，四邊形，其中，．
（1）求證：；
（2）證明：．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）見(jiàn)解析
【解析】
【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)；
（1）直接根據(jù)證明即可；
（2）根據(jù)到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上，即可證明.
【小問(wèn)1詳解】
證明：在和中
∴（）
【小問(wèn)2詳解】
∵
∴在的垂直平分線上
∵
∴在的垂直平分線上
∴是垂直平分線
∴
22. 在我市某一城市美化工程招標(biāo)時(shí)，有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)投標(biāo)，經(jīng)測(cè)算：甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要60天，若由甲隊(duì)先做20天，剩下的工程由甲、乙合作24天可完成．
（1）乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天？
（2）甲隊(duì)施工一天，需付工程款3.5萬(wàn)元，乙隊(duì)施工一天需付工程款2萬(wàn)元．若該工程計(jì)劃在70天內(nèi)完成，在不超過(guò)計(jì)劃天數(shù)的前提下，是由甲隊(duì)或乙隊(duì)單獨(dú)完成工程省錢？還是由甲乙兩隊(duì)全程合作完成該工程省錢？
【答案】（1）乙隊(duì)單獨(dú)完成需90天；（2）在不超過(guò)計(jì)劃天數(shù)的前提下，由甲、乙合作完成最省錢．
【解析】
【分析】（1）求的是乙的工效，工作時(shí)間明顯．一定是根據(jù)工作總量來(lái)列等量關(guān)系．等量關(guān)系為：甲20天的工作量+甲乙合作24天的工作總量=1．
（2）根據(jù)題意，分別求出三種情況的費(fèi)用，然后把在工期內(nèi)的情況進(jìn)行比較即可．
【詳解】解：（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成需x天．
根據(jù)題意，得：．
解這個(gè)方程得：x=90．
經(jīng)檢驗(yàn)，x=90是原方程的解．
∴乙隊(duì)單獨(dú)完成需90天．
（2）設(shè)甲、乙合作完成需y天，則有，
解得，y=36；
①甲單獨(dú)完成需付工程款為：60×3.5=210（萬(wàn)元）．
②乙單獨(dú)完成超過(guò)計(jì)劃天數(shù)不符題意，
③甲、乙合作完成需付工程款為：36×（3.5+2）=198（萬(wàn)元）．
答：在不超過(guò)計(jì)劃天數(shù)的前提下，由甲、乙合作完成最省錢．
【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
23. 在學(xué)習(xí)整式乘法這一章時(shí)，我們經(jīng)常利用圖形面積得到關(guān)于整式乘法或因式分解的等式．
（1）如圖1，在邊長(zhǎng)為a的大正方形中，剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為3的小正方形，將余下的部分按圖中的虛線剪開后，拼成如圖2所示的長(zhǎng)方形，根據(jù)兩個(gè)圖形陰影部分面積相等的關(guān)系，可驗(yàn)證的等式為 ；
（2）小明用四個(gè)如圖3所示的小長(zhǎng)方形，拼成如圖4所示的大正方形．
①根據(jù)圖4的圖形面積，可以得到的一個(gè)等式是 ；
②利用①中的等式，解決問(wèn)題：若，求一個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)．
【答案】（1）
（2）①②
【解析】
【分析】（1）用代數(shù)式，分表表示圖1，圖2中的面積，即可求解，
（2）①用代數(shù)式，分表表示圖3，圖4中的面積，即可求解，②將，代入求出，根據(jù)長(zhǎng)方形周長(zhǎng)公式，即可求解，
本題考查了平方差公式，解題的關(guān)鍵是：用代數(shù)式表示出圖形中的面積．
【小問(wèn)1詳解】
解：由圖1得：，
由圖2得：，
根據(jù)面積相等，得到：，
【小問(wèn)2詳解】
解：①由圖3得：，
由圖4得：，
根據(jù)面積相等，得到：，
②∵，，
∴，解得：，
所以小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為：．
24. 在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，均在軸上，且點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在第一象限內(nèi)，點(diǎn)在射線上，連接，與相于點(diǎn)，．
（1）如圖1，若，求和的大小；
（2）如圖2，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．
①求證：平分；
②若，，請(qǐng)直接用含有的式子表示．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)得垂直平分，得到，根據(jù)等邊對(duì)等角得，繼而得到，根據(jù)三線合一性質(zhì)得，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得；
（2）①證明得，推出點(diǎn)在的平分線上，即可得證；
②證明得，得到，，再根據(jù)，可得結(jié)論．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，；
【小問(wèn)2詳解】
①證明：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，
又∵，
∴，
由（1）知：，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴點(diǎn)在平分線上，
∴平分；
②解：由①知：，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∵，，
∴，
，
∵，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，全等三角形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定和性質(zhì)．

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