知識(shí)點(diǎn)一．離散型隨機(jī)變量的分布列
1、隨機(jī)變量
在隨機(jī)試驗(yàn)中，我們確定了一個(gè)對應(yīng)關(guān)系，使得每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果都用一個(gè)確定的數(shù)字表示．在這個(gè)對應(yīng)關(guān)系下，數(shù)字隨著試驗(yàn)結(jié)果的變化而變化．像這種隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量稱為隨機(jī)變量．隨機(jī)變量常用字母，，，，…表示．
注意：
（1）一般地，如果一個(gè)試驗(yàn)滿足下列條件：①試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但在一次試驗(yàn)之前不能確定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果．這種試驗(yàn)就是隨機(jī)試驗(yàn)．
（2）有些隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果雖然不具有數(shù)量性質(zhì)，但可以用數(shù)來表示．如擲一枚硬幣，表示反面向上，表示正面向上．
（3）隨機(jī)變量的線性關(guān)系：若是隨機(jī)變量，，是常數(shù)，則也是隨機(jī)變量．
2、離散型隨機(jī)變量
對于所有取值可以一一列出來的隨機(jī)變量，稱為離散型隨機(jī)變量．
注意：
（1）本章研究的離散型隨機(jī)變量只取有限個(gè)值．
（2）離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的區(qū)別與聯(lián)系：①如果隨機(jī)變量的可能取值是某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量就叫做連續(xù)型隨機(jī)變量；②離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量都是用變量表示隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果，但離散型隨機(jī)變量的結(jié)果可以按一定的次序一一列出，而連續(xù)型隨機(jī)變量的結(jié)果不能一一列出．
3、離散型隨機(jī)變量的分布列的表示
一般地，若離散型隨機(jī)變量可能取的不同值為，取每一個(gè)值的概率，以表格的形式表示如下：
我們將上表稱為離散型隨機(jī)變量的概率分布列，簡稱為的分布列．有時(shí)為了簡單起見，也用等式，表示的分布列．
4、離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)
根據(jù)概率的性質(zhì)，離散型隨機(jī)變量的分布列具有如下性質(zhì)：
（1），；（2）．
注意：
①性質(zhì)（2）可以用來檢查所寫出的分布列是否有誤，也可以用來求分布列中的某些參數(shù)．
②隨機(jī)變量所取的值分別對應(yīng)的事件是兩兩互斥的，利用這一點(diǎn)可以求相關(guān)事件的概率．
知識(shí)點(diǎn)二．離散型隨機(jī)變量的均值與方差
1、均值
若離散型隨機(jī)變量的分布列為
稱為隨機(jī)變量的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．
注意：（1）均值刻畫的是取值的“中心位置”，這是隨機(jī)變量的一個(gè)重要特征；
（2）根據(jù)均值的定義，可知隨機(jī)變量的分布完全確定了它的均值．但反過來，兩個(gè)不同的分布可以有相同的均值．這表明分布描述了隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律，從而也決定了隨機(jī)變量的均值．而均值只是刻畫了隨機(jī)變量取值的“中心位置”這一重要特征，并不能完全決定隨機(jī)變量的性質(zhì)．
2、均值的性質(zhì)
（1）（為常數(shù)）．
（2）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．
（3）．
（4）如果相互獨(dú)立，則．
3、方差
若離散型隨機(jī)變量的分布列為
則稱為隨機(jī)變量的方差，并稱其算術(shù)平方根為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差．
注意：（1）描述了相對于均值的偏離程度，而是上述偏離程度的加權(quán)平均，刻畫了隨機(jī)變量與其均值的平均偏離程度．隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差均反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的平均程度．方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的平均程度越??；
（2）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量有相同的單位，而方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方．
4、方差的性質(zhì)
（1）若，其中為常數(shù)，則也是隨機(jī)變量，且．
（2）方差公式的變形：．
【題型歸納目錄】
題型一：離散型隨機(jī)變量
題型二：求離散型隨機(jī)變量的分布列
題型三：離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)
題型四：離散型隨機(jī)變量的均值
題型五：離散型隨機(jī)變量的方差
題型六：決策問題
【典例例題】
題型一：離散型隨機(jī)變量
例1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）袋中有大小相同質(zhì)地均勻的5個(gè)白球、3個(gè)黑球，從中任取2個(gè)，則可以作為隨機(jī)變量的是（ ）
A．至少取到1個(gè)白球B．取到白球的個(gè)數(shù)
C．至多取到1個(gè)白球D．取到的球的個(gè)數(shù)
例2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）下面是離散型隨機(jī)變量的是（ ）
A．電燈炮的使用壽命
B．小明射擊1次，擊中目標(biāo)的環(huán)數(shù)
C．測量一批電阻兩端的電壓，在10V~20V之間的電壓值
D．一個(gè)在軸上隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，它在軸上的位置
例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲、乙兩人下象棋，贏了得3分，平局得1分，輸了得0分，共下三局．用表示甲的得分，則表示（ ）
A．甲贏三局
B．甲贏一局輸兩局
C．甲、乙平局三次
D．甲贏一局輸兩局或甲、乙平局三次
變式1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）對一批產(chǎn)品逐個(gè)進(jìn)行檢測,第一次檢測到次品前已檢測的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為ξ,則ξ=k表示的試驗(yàn)結(jié)果為( )
A．第k-1次檢測到正品,而第k次檢測到次品
B．第k次檢測到正品,而第k+1次檢測到次品
C．前k-1次檢測到正品,而第k次檢測到次品
D．前k次檢測到正品,而第k+1次檢測到次品
變式2．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）下列隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量的是（ ）
A．某景點(diǎn)一天的游客數(shù)X
B．某尋呼臺(tái)一天內(nèi)收到尋呼次數(shù)X
C．水文站觀測到江水的水位數(shù)X
D．某收費(fèi)站一天內(nèi)通過的汽車車輛數(shù)X
題型二：求離散型隨機(jī)變量的分布列
例4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）隨機(jī)變量的概率分布滿足（，1，2，…，10），則的值為___________.
例5．（2022·河南·上蔡縣衡水實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））設(shè)隨機(jī)變量的概率分布列如下表：
則（ ）
A．B．C．D．
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列為，，則等于（ ）
A．B．C．D．
變式3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一袋中裝有5個(gè)球，編號(hào)為1，2，3，4，5，在袋中同時(shí)取出3個(gè)，以ξ表示取出的三個(gè)球中的最小號(hào)碼，則隨機(jī)變量ξ的分布列為（ ）
A．
B．
C．
D．
變式4．（2022·浙江省蒼南中學(xué)高三階段練習(xí)）甲，乙兩位同學(xué)組隊(duì)去參加答題拿小豆的游戲，規(guī)則如下：甲同學(xué)先答2道題，至少答對一題后，乙同學(xué)才有機(jī)會(huì)答題，同樣也是兩次機(jī)會(huì).每答對一道題得10粒小豆.已知甲每題答對的概率均為，乙第一題答對的概率為，第二題答對的概率為.若乙有機(jī)會(huì)答題的概率為.
(1)求;
(2)求甲，乙共同拿到小豆數(shù)量的分布列及期望.
變式5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知袋內(nèi)有5個(gè)白球和6個(gè)紅球，從中摸出2個(gè)球，記，求X的分布列.
變式6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）甲?乙兩名同學(xué)與同一臺(tái)智能機(jī)器人進(jìn)行象棋比賽，計(jì)分規(guī)則如下：在一輪比賽中，如果甲贏而乙輸，則甲得1分；如果甲輸而乙贏，則甲得分；如果甲和乙同時(shí)贏或同時(shí)輸，則甲得0分.設(shè)甲贏機(jī)器人的概率為0.6，乙贏機(jī)器人的概率為0.5.求：
(1)在一輪比賽中，甲的得分的分布列；
(2)在兩輪比賽中，甲的得分的分布列及期望.
【方法技巧與總結(jié)】
求解離散型隨機(jī)變量分布列的步驟：
（1）審題
（2）計(jì)算
計(jì)算隨機(jī)變量取每一個(gè)值的概率
（3）列表
列出分布列，并檢驗(yàn)概率之和是否為.
（4）求解
根據(jù)均值、方差公式求解其值.
題型三：離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)
例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布列為：
則（ ）
A．B．C．D．
例8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）隨機(jī)變量X的分布列為
若，，成等差數(shù)列，則公差的取值范圍是______．
例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：
則a2＋b2的最小值為________．
變式7．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如下表所示：
若F(x)＝P(X≤x)，則當(dāng)x的取值范圍是[1,2)時(shí)，F(xiàn)(x)等于_______
變式8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）隨機(jī)變量的概率分布列如下：
則___________.
【方法技巧與總結(jié)】
離散型隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)的應(yīng)用
（1）利用“總概率之和為”可以求相關(guān)參數(shù)的取值范圍或值；
（2）利用“隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求特定事件的概率；
（3）可以根據(jù)性質(zhì)及，判斷所求的分布列是否正確．
題型四：離散型隨機(jī)變量的均值
例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列為
若，則___________.
例11．（2022·河南·濮陽一高高三階段練習(xí)（理））隨機(jī)變量X的分布列如下表所示，則___________．
例12．（2022·江蘇常州·高三階段練習(xí)）甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對方多2分或打滿6局時(shí)停止，設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，則比賽停止時(shí)已打局?jǐn)?shù)X的期望為（ ）
A．B．C．D．
變式9．（2022·湖北·高三開學(xué)考試）一個(gè)袋子中裝有形狀大小完全相同的4個(gè)小球，其中2個(gè)黑球，2個(gè)白球.第一步：從袋子里隨機(jī)取出2個(gè)球，將取出的白球涂黑后放回袋中，取出的黑球直接放回袋中；第二步：再從袋子里隨機(jī)取出2個(gè)球，計(jì)第二步取出的2個(gè)球中白球的個(gè)數(shù)為，則（ ）
A．B．C．D．
變式10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X滿足，，下列說法正確的是（ ）
A．B．
C．D．
變式11．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)為4，方差為2，則數(shù)據(jù)，，，…，的平均數(shù)與方差的和為（ ）
A．6B．15C．19D．22
變式12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列為：
則等于（ ）
A．15B．11
C．2.2D．2.3
變式13．（2022·山西長治·模擬預(yù)測（理））從裝有3個(gè)白球m個(gè)紅球n個(gè)黃球（這些小球除顏色外完全相同）的布袋中任取兩個(gè)球，記取出的白球的個(gè)數(shù)為X，若，取出一白一紅的概率為，則取出一紅一黃的概率為（ ）
A．B．C．D．
變式14．（2022·廣東·金山中學(xué)高三階段練習(xí)）某中學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)小組在某區(qū)域內(nèi)通過一定的有效調(diào)查方式對“北京冬奧會(huì)開幕式”當(dāng)晚的收看情況進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查．統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，通過手機(jī)收看的約占，通過電視收看的約占，其他為未收看者：
(1)從被調(diào)查對象中隨機(jī)選取3人，其中至少有1人通過手機(jī)收看的概率；
(2)從被調(diào)查對象中隨機(jī)選取3人，用表示通過電視收看的人數(shù)，求的分布列和期望．
變式15．（2022·四川·樹德中學(xué)高三階段練習(xí)（理））2022年9月30日至10月9日，第56屆國際乒聯(lián)世界乒乓球團(tuán)體錦標(biāo)賽在成都市高新區(qū)體育中心舉行．某學(xué)校統(tǒng)計(jì)了全校學(xué)生在國慶期間觀看世乒賽中國隊(duì)比賽直播的時(shí)長情況（單位：分鐘），并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)繪制得到如圖所示的頻率分布直方圖．
(1)求頻率分布直方圖中a的值，并估計(jì)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)；
(2)采用以樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣方式，從觀看時(shí)長在［200，280］的學(xué)生中抽取出6人．現(xiàn)從這6人中隨機(jī)抽取3人在全校交流觀看體會(huì)，記抽取出的3人中觀賽時(shí)長在［200，240）的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
變式16．（2022·江西·臨川一中高三階段練習(xí)（理））某企業(yè)開發(fā)的新產(chǎn)品已經(jīng)進(jìn)入到樣品試制階段，需要對這5個(gè)樣品進(jìn)行性能測試，現(xiàn)有甲、乙兩種不同的測試方案，每個(gè)樣品隨機(jī)選擇其中的一種進(jìn)行測試，選擇甲方案測試合格的概率為，選擇乙方案測試合格的概率為，且每次測試的結(jié)果互不影響．
(1)若樣品選擇甲方案，樣品選擇乙方案．求5個(gè)樣品全部測試合格的概率；
(2)若5個(gè)樣品全選擇甲方案，其樣品測試合格個(gè)數(shù)記為X，求X的分布列及其期望：
(3)若測試合格的樣品個(gè)數(shù)的期望不小于3，求選擇甲方案進(jìn)行測試的樣品個(gè)數(shù)，
題型五：離散型隨機(jī)變量的方差
例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)，若隨機(jī)變量的分布列如下表：
則下列方差中最大的是（ ）
A．B．C．D．
例14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列為下表所示，若，則（ ）
A．B．C．1D．
例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）從裝有個(gè)白球和個(gè)黑球的袋中無放回任取個(gè)球，每個(gè)球取到的概率相同，規(guī)定：
（1）取出白球得分，取出黑球得分，取出個(gè)球所得分?jǐn)?shù)和記為隨機(jī)變量
（2）取出白球得分，取出黑球得分，取出個(gè)球所得分?jǐn)?shù)和記為隨機(jī)變量
則（ ）
A．，B．，
C．，D．，
變式17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列如下：
則的最大值為（ ）
A．B．3
C．6D．5
變式18．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））設(shè)，，隨機(jī)變量X的分布列是（ ）
則方差（ ）
A．既與有關(guān)，也與有關(guān)B．與有關(guān)，但與無關(guān)
C．與有關(guān)，但與無關(guān)D．既與無關(guān)，也與無關(guān)
變式19．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）將3只小球放入3個(gè)盒子中， 盒子的容量不限， 且每個(gè)小球落入盒子的概率相等． 記為分配后所?？蘸械膫€(gè)數(shù)， 為分配后不空盒子的個(gè)數(shù)， 則（ ）
A．B．
C．D．
變式20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列如下：
則的值為（ ）
A．2B．6C．8D．18
變式21．（2022·河南洛陽·模擬預(yù)測（理））隨機(jī)變量的概率分布列為，k＝1，2，3，其中c是常數(shù)，則的值為（ ）
A．10B．117C．38D．35
變式22．（2022·浙江溫州·高三開學(xué)考試）已知隨機(jī)變量X的分布列是：
若，則（ ）
A．B．C．D．
變式23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量X的分布列如表所示，且．
(1)求的值；
(2)若，求的值；
(3)若，求的值．
變式24．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知投資甲?乙兩個(gè)項(xiàng)目的利潤率分別為隨機(jī)變量和.經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，和的分布列分別為
表1：
表2：
(1)若在甲?乙兩個(gè)項(xiàng)目上各投資100萬元，和分別表示投資甲?乙兩項(xiàng)目所獲得的利潤，求和的數(shù)學(xué)期望和方差，并由此分析投資甲?乙兩項(xiàng)目的利弊；
(2)若在甲?乙兩個(gè)項(xiàng)目總共投資100萬元，求在甲?乙兩個(gè)項(xiàng)目上分別投資多少萬元時(shí)，可使所獲利潤的方差和最??？注：利潤率.
變式25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）今年3月份以來，隨著疫情在深圳、上海等地爆發(fā)，國內(nèi)消費(fèi)受到影響，為了促進(jìn)消費(fèi)回暖，全國超過19個(gè)省份都派發(fā)了消費(fèi)券，合計(jì)金額高達(dá)50億元通過發(fā)放消費(fèi)券的形式，可以有效補(bǔ)貼中低收入階層，帶動(dòng)消費(fèi)，從而增加企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)能，最終拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長，除此之外，消費(fèi)券還能在假期留住本市居民，減少節(jié)日期間在各個(gè)城市之間的往來，客觀上能夠達(dá)到降低傳播新冠疫情的效果，佛山市某單位響應(yīng)政策號(hào)召，組織本單位員工參加抽獎(jiǎng)得消費(fèi)優(yōu)惠券活動(dòng)，抽獎(jiǎng)規(guī)則是：從裝有質(zhì)地均勻、大小相同的2個(gè)黃球、3個(gè)紅球的箱子中隨機(jī)摸出2個(gè)球，若恰有1個(gè)紅球可獲得20元優(yōu)惠券，2個(gè)都是紅球可獲得50元優(yōu)惠券，其它情況無優(yōu)惠券，則在一次抽獎(jiǎng)中：
(1)求摸出2個(gè)紅球的概率；
(2)設(shè)獲得優(yōu)惠券金額為X，求X的方差．
【方法技巧與總結(jié)】
均值與方差性質(zhì)的應(yīng)用若是隨機(jī)變量，則一般仍是隨機(jī)變量，在求的期望和方差時(shí)，熟練應(yīng)用期望和方差的性質(zhì)，可以避免再求的分布列帶來的繁瑣運(yùn)算．
題型六：決策問題
例16．（2022·湖南·長郡中學(xué)高三階段練習(xí)）統(tǒng)計(jì)與概率主要研究現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)和客觀世界中的隨機(jī)現(xiàn)象，通過對數(shù)據(jù)的收集、整理、分析、描述及對事件發(fā)生的可能性刻畫，來幫助人們作出合理的決策.
(1)現(xiàn)有池塘甲，已知池塘甲里有50條魚，其中A種魚7條，若從池塘甲中捉了2條魚.用表示其中A種魚的條數(shù)，請寫出的分布列，并求的數(shù)學(xué)期望;
(2)另有池塘乙，為估計(jì)池塘乙中的魚數(shù)，某同學(xué)先從中捉了50條魚，做好記號(hào)后放回池塘，再從中捉了20條魚，發(fā)現(xiàn)有記號(hào)的有5條.
（?。┱垙姆謱映闃拥慕嵌裙烙?jì)池塘乙中的魚數(shù).
（ⅱ）統(tǒng)計(jì)學(xué)中有一種重要而普遍的求估計(jì)量的方法─最大似然估計(jì)，其原理是使用概率模型尋找能夠以較高概率產(chǎn)生觀察數(shù)據(jù)的系統(tǒng)發(fā)生樹，即在什么情況下最有可能發(fā)生已知的事件.請從條件概率的角度，采用最大似然估計(jì)法估計(jì)池塘乙中的魚數(shù).
例17．（2022·黑龍江·佳木斯一中三模（文））某地的水果店老板記錄了過去50天某類水果的日需求量（單位：箱），整理得到數(shù)據(jù)如下表所示.其中每箱某類水果的進(jìn)貨價(jià)為50元，售價(jià)為100元，如果當(dāng)天賣不完，剩下的水果第二天將在售價(jià)的基礎(chǔ)上打五折進(jìn)行特價(jià)銷售，但特價(jià)銷售需要運(yùn)營成本每箱30元，根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)第二天特價(jià)水果都能售罄，并且不影響正價(jià)水果的銷售，以這50天記錄的日需求量的頻率作為口需求量發(fā)生的概率.
(1)如果每天的進(jìn)貨量為24箱，用表示該水果店賣完某類水果所獲得的利潤，求的平均值；
(2)如果店老板計(jì)劃每天購進(jìn)24箱或25箱的某類水果，請以利潤的平均值作為決策依據(jù)，判斷應(yīng)當(dāng)購進(jìn)24箱還是25箱.
例18．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）手機(jī)運(yùn)動(dòng)計(jì)步已經(jīng)成為一種新時(shí)尚．某單位統(tǒng)計(jì)職工一天行走步數(shù)（單位：百步）得到如下頻率分布直方圖．由頻率分布直方圖估計(jì)該單位職工一天行走步數(shù)的中位數(shù)為125（百步），其中同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表．
(1)試計(jì)算圖中的a、b值，并以此估計(jì)該單位職工一天行走步數(shù)的平均值；
(2)為鼓勵(lì)職工積極參與健康步行，該單位制定甲、乙兩套激勵(lì)方案：記職工個(gè)人每日步行數(shù)為，其超過平均值的百分?jǐn)?shù)，若，職工獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；若，職工獲得二次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；若，職工獲得三次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；若，職工獲得四次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)；若超過50，職工獲得五次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)．設(shè)職工獲得抽獎(jiǎng)次數(shù)為n．方案甲：從裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋中有放回的逐個(gè)抽取n個(gè)小球，抽得紅球個(gè)數(shù)即表示該職工中獎(jiǎng)幾次；方案乙：從裝有6個(gè)紅球和4個(gè)白球的口袋中無放回的逐個(gè)抽取n個(gè)小球，抽得紅球個(gè)數(shù)即表示該職工中獎(jiǎng)幾次；若某職工日步行數(shù)為15700步，以期望為決策依據(jù)判斷哪個(gè)方案更佳？
變式26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）據(jù)悉強(qiáng)基計(jì)劃的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^程中達(dá)到筆試優(yōu)秀才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．已知甲、乙兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否達(dá)到優(yōu)秀相互獨(dú)立．若某考生報(bào)考甲大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率均為，若該考生報(bào)考乙大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率依次為，，，其中．
(1)若，分別求出該考生報(bào)考甲、乙兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率；
(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過程中達(dá)到優(yōu)秀科目個(gè)數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，該考生更希望進(jìn)入甲大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，求的范圍．
變式27．（2022·貴州貴陽·二模（理））2021年7月24日，在奧運(yùn)會(huì)女子個(gè)人重劍決賽中，中國選手孫一文在最后關(guān)頭一劍封喉，斬獲金牌，掀起了新一輪“擊劍熱潮”．甲、乙、丙三位重劍愛好者決定進(jìn)行一場比賽，每局兩人對戰(zhàn)，沒有平局，已知每局比賽甲贏乙的概率為，甲贏丙的概率為，丙贏乙的概率為．因?yàn)榧资亲钊醯模宰屗麤Q定第一局的兩個(gè)比賽者（甲可以選定自己比賽，也可以選定另外兩個(gè)人比賽），每局獲勝者與此局未比賽的人進(jìn)行下一局的比賽，在比賽中某人首先獲勝兩局就成為整個(gè)比賽的冠軍，比賽結(jié)束．
(1)若甲指定第一局由乙丙對戰(zhàn)，求“只進(jìn)行三局甲就成為冠軍”的概率；
(2)請幫助甲進(jìn)行第一局的決策（甲乙、甲丙或乙丙比賽），使得甲最終獲得冠軍的概率最大．
變式28．（2022·江蘇·南京市寧海中學(xué)模擬預(yù)測）某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰．機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)100元，在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)300元．現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得如圖柱狀圖：以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù)．
(1)求X的分布列；
(2)以購買易損零件所需費(fèi)用的期望為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)更合理？
變式29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）2020年以來，新冠疫情對商品線下零售影響很大．某商家決定借助線上平臺(tái)開展銷售活動(dòng)．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)平臺(tái)供選擇，且當(dāng)每件商品的售價(jià)為元時(shí)，從該商品在兩個(gè)平臺(tái)所有銷售數(shù)據(jù)中各隨機(jī)抽取100天的日銷售量統(tǒng)計(jì)如下，
假設(shè)該商品在兩個(gè)平臺(tái)日銷售量的概率與表格中相應(yīng)日銷售量的頻率相等，且每天的銷售量互不影響，
(1)求“甲平臺(tái)日銷售量不低于8件”的概率，并計(jì)算“從甲平臺(tái)所有銷售數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取3天的日銷售量，其中至少有2天日銷售量不低于8件”的概率；
(2)已知甲平臺(tái)的收費(fèi)方案為：每天傭金60元，且每銷售一件商品，平臺(tái)收費(fèi)30元；乙平臺(tái)的收費(fèi)方案為：每天不收取傭金，但采用分段收費(fèi)，即每天銷售商品不超過8件的部分，每件收費(fèi)40元，超過8件的部分，每件收費(fèi)35元．某商家決定在兩個(gè)平臺(tái)中選擇一個(gè)長期合作，從日銷售收入（單價(jià)×日銷售量-平臺(tái)費(fèi)用）的期望值較大的角度，你認(rèn)為該商家應(yīng)如何決策？說明理由．
【方法技巧與總結(jié)】
均值與方差在決策中的應(yīng)用
（1）隨機(jī)變量的均值反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，方差反映了隨機(jī)變量穩(wěn)定于均值的程度，它們從整體和全局上刻畫了隨機(jī)變量，是實(shí)際生產(chǎn)中用于方案取舍的重要理論依據(jù)．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來決定．
（2）兩種應(yīng)用策略
= 1 \* GB3 ①當(dāng)均值不同時(shí)，兩個(gè)隨機(jī)變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷．
= 2 \* GB3 ②若兩隨機(jī)變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機(jī)變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策.
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））某車間打算購買2臺(tái)設(shè)備，該設(shè)備有一個(gè)易損零件，在購買設(shè)備時(shí)可以額外購買這種易損零件作為備件，價(jià)格為每個(gè)120元.在設(shè)備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時(shí)購買該零件時(shí)，價(jià)格為每個(gè)280元.在使用期間，每臺(tái)設(shè)備需更換的零件個(gè)數(shù)X的分布列為：
若購買2臺(tái)設(shè)備的同時(shí)購買易損零件13個(gè)，則在使用期間，這2臺(tái)設(shè)備另需購買易損零件所需費(fèi)用的期望為（ ）
A．1716.8元B．206.5元C．168.6元D．156.8元
2．（2022·四川省仁壽縣文宮中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知隨機(jī)變量X的分布列如表（其中a為常數(shù)）：
則等于（ ）A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
3．（2022·河南·高三開學(xué)考試（理））某車間打算購買2臺(tái)設(shè)備，該設(shè)備有一個(gè)易損零件，在購買設(shè)備時(shí)可以額外購買這種易損零件作為備件，價(jià)格為每個(gè)120元．在設(shè)備使用期間，零件損壞，備件不足再臨時(shí)購買該零件時(shí)，價(jià)格為每個(gè)280元．在使用期間，每臺(tái)設(shè)備需更換的零件個(gè)數(shù)X的分布列為
若購買2臺(tái)設(shè)備的同時(shí)購買易損零件13個(gè)，則在使用期間，這2臺(tái)設(shè)備另需購買易損零件所需費(fèi)用的期望為（ ）．
A．1716.8元B．206.5元C．168.6元D．156.8元
4．（2022·全國·高三專題練習(xí)）一臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)某種產(chǎn)品，如果生產(chǎn)出一件甲等品可獲利50元，生產(chǎn)出一件乙等品可獲利30元，生產(chǎn)一件次品，要賠20元，已知這臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)出甲等、乙等和次品的概率分別為0.6、0.3和0.1，則這臺(tái)機(jī)器每生產(chǎn)一件產(chǎn)品，平均預(yù)期可獲利（ ）
A．36元B．37元C．38元D．39元
5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)10件同類型的零件中有2件是不合格品，從其中任取3件，以X表示取出的3件中的不合格的件數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知6件產(chǎn)品中有2件次品，4件正品，檢驗(yàn)員從中隨機(jī)抽取3件進(jìn)行檢測，記取到的正品數(shù)為X，則（ ）
A．2B．1C．D．
7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列如圖，則q等于（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·寧夏·青銅峽市寧朔中學(xué)高三開學(xué)考試（理））盒中有10個(gè)螺絲釘，其中有3個(gè)是壞的，現(xiàn)從盒中隨機(jī)地抽取4個(gè)，那么概率是的事件為（ ）
A．恰有1個(gè)是壞的B．4個(gè)全是好的
C．恰有2個(gè)是好的D．至多有2個(gè)是壞的
二、多選題
9．（2022·吉林·東北師大附中高三開學(xué)考試）已知隨機(jī)變量的分布列如下表；
記“函數(shù)是偶函數(shù)”為事件，則下列結(jié)論正確的有（ ）A．B．
C．D．
10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知隨機(jī)變量的分布列如下表：
若，則（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·江蘇·蘇州市第六中學(xué)校三模）已知投資兩種項(xiàng)目獲得的收益分別為，分布列如下表，則（ ）
A．B．
C．投資兩種項(xiàng)目的收益期望一樣多D．投資項(xiàng)目的風(fēng)險(xiǎn)比項(xiàng)目高
12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)離散型隨機(jī)變量的概率分布列為
則下列各式正確的是（ ）A．B．
C．D．
三、填空題
13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）離散型隨機(jī)變量X的分布為：
若離散型隨機(jī)變量Y滿足，則下列結(jié)果正確的為______．
①；②；③；④．
14．（2022·全國·高三專題練習(xí)）袋中有1個(gè)白球，2個(gè)黃球，2個(gè)紅球，這5個(gè)小球除顏色外完全相同，每次不放回地從中取出1個(gè)球，取出白球即停，記X為取出的球中黃球數(shù)與紅球數(shù)之差，則______.
15．（2022·上海市進(jìn)才中學(xué)高三階段練習(xí)）一袋中裝有大小與質(zhì)地相同的5個(gè)紅球和3個(gè)黑球，任取3球，記其中黑球數(shù)為X，則______．
16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)隨機(jī)變量的分布為，則______．
四、解答題
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）某從事智能教育技術(shù)研發(fā)的科技公司開發(fā)了一個(gè)“AI作業(yè)”項(xiàng)目，并且在甲、乙兩個(gè)學(xué)校的高一學(xué)生中做用戶測試.經(jīng)過一個(gè)階段的試用，為了解“AI作業(yè)”對學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)情況，該公司隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，對他們的“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)掌握的情況進(jìn)行調(diào)查，樣本調(diào)查結(jié)果如下表：
假設(shè)每位學(xué)生是否掌握“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)相互獨(dú)立.
(1)從樣本中沒有掌握“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，用表示抽取的2名學(xué)生中使用“AI作業(yè)”的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)用樣本頻率估計(jì)概率，從甲校高一學(xué)生中抽取一名使用“AI作業(yè)”的學(xué)生和一名不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生，用“X=1”表示該名使用“AI作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積”，用“X=0”表示該名使用“AI作業(yè)”的學(xué)生沒有掌握“向量數(shù)量積”，用“Y=1”表示該名不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積”，用“Y=0”表示該名不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生沒有掌握“向量數(shù)量積”.比較方差DX和DY的大小關(guān)系.
18．（2022·全國·模擬預(yù)測）臺(tái)灣是中國固有領(lǐng)土，臺(tái)海局勢牽動(dòng)每個(gè)人的心．某次海軍對抗演習(xí)中，紅方飛行員甲負(fù)責(zé)攻擊藍(lán)方艦隊(duì)．假設(shè)甲距離藍(lán)方艦隊(duì)100海里，且未被發(fā)現(xiàn)，若此時(shí)發(fā)射導(dǎo)彈，命中藍(lán)方戰(zhàn)艦概率是0.2，并可安全返回．若甲繼續(xù)飛行進(jìn)入到藍(lán)方方圓50海里的范圍內(nèi)，有0.5的概率被敵方發(fā)現(xiàn)，若被發(fā)現(xiàn)將失去攻擊機(jī)會(huì)，且此時(shí)自身被擊落的概率是0.6．若沒被發(fā)現(xiàn)，則發(fā)射導(dǎo)彈擊中藍(lán)方戰(zhàn)艦概率是0.8，并可安全返回．命中戰(zhàn)艦紅方得10分，藍(lán)方不得分；擊落戰(zhàn)機(jī)藍(lán)方得6分，紅方不得分．
(1)從期望角度分析，甲是否應(yīng)繼續(xù)飛行進(jìn)入到藍(lán)方方圓50海里的范圍內(nèi)？
(2)若甲在返回途中發(fā)現(xiàn)敵方兩架轟炸機(jī)，此時(shí)甲彈艙中還剩6枚導(dǎo)彈，每枚導(dǎo)彈命中轟炸機(jī)概率均為0.5．
（i）若甲同時(shí)向每架轟炸機(jī)各發(fā)射三枚導(dǎo)彈，求恰有一架轟炸機(jī)被命中的概率；
（ii）若甲隨機(jī)向一架轟炸機(jī)發(fā)射一枚導(dǎo)彈，若命中，則向另一架轟炸機(jī)發(fā)射一枚導(dǎo)彈，若不命中，則繼續(xù)向該轟炸機(jī)發(fā)射一枚導(dǎo)彈，直到兩架轟炸機(jī)均被命中或?qū)椨猛隇橹?，求最終剩余導(dǎo)彈數(shù)量的分布列．
19．（2022·廣東佛山·高三階段練習(xí)）2022年是中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年，某市團(tuán)委決定舉辦一次共青團(tuán)史知識(shí)擂臺(tái)賽．該市A縣團(tuán)委為此舉辦了一場選拔賽，選拔賽分為初賽和決賽，初賽通過后才能參加決賽，決賽通過后將代表A縣參加市賽．已知A縣甲、乙、丙3位選手都參加初賽且通過初賽的概率均為，通過初賽后再通過決賽的概率依次為，，，假設(shè)他們之間通過與否互不影響．
(1)求這3人中至少有1人通過初賽的概率；
(2)設(shè)這3人中參加市賽的人數(shù)為，求的分布列；
(3)某品牌商贊助了A縣的這次共青團(tuán)史知識(shí)擂臺(tái)賽，提供了兩種獎(jiǎng)勵(lì)方案：
方案1：參加了選拔賽的選手都可參與抽獎(jiǎng)，每人抽獎(jiǎng)1次，每次中獎(jiǎng)的概率均為，且每次抽獎(jiǎng)互不影響，中獎(jiǎng)一次獎(jiǎng)1000元；
方案2：參加了選拔賽未進(jìn)市賽的選手一律獎(jiǎng)600元，進(jìn)入了市賽的選手獎(jiǎng)1200元．
若品牌商希望給予選手更多的獎(jiǎng)勵(lì)，試從三人獎(jiǎng)金總額的數(shù)學(xué)期望的角度分析，品牌商選擇哪種方案更好．
20．（2022·湖北孝感·高三階段練習(xí)）2021年秋全國中小學(xué)實(shí)行“雙減政策”和“5+2”模式．為響應(yīng)這一政策，某校開設(shè)了“籃球”“圍棋”等課后延時(shí)服務(wù)課程．甲、乙兩位同學(xué)在學(xué)習(xí)圍棋后，切磋圍棋棋藝．已知甲先手時(shí)．甲獲勝的概率為，乙先手時(shí)，乙獲勝的概率為，每局無平局，且每局比賽的勝負(fù)相互獨(dú)立，第一局甲先手．
(1)若每局負(fù)者下一局先手，兩人連下3局，求乙至少勝兩局的概率；
(2)若每局甲都先手，勝者得1分，負(fù)者得0分，先得3分者獲勝且比賽結(jié)束，比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)者的積分為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望．
21．（2022·湖南·高三階段練習(xí)）某商家為了促銷，規(guī)定每位消費(fèi)者均可免費(fèi)參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng).活動(dòng)規(guī)則如下：在一不透明的紙箱中有9張相同的卡片，其中3張卡片上印有“中”字，3張卡片上印有“國”字，另外3張卡片上印有“紅”字.消費(fèi)者從該紙箱中不放回地隨機(jī)抽取3張卡片，若抽到的3張卡片上都印有同一個(gè)字，則獲得一張20元代金券；若抽到的3張卡片中每張卡片上的字都不一樣，則獲得一張10元代金券；若抽到的3張卡片是其他情況，則不獲得任何獎(jiǎng)勵(lì).
(1)求某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中抽到的3張卡片上都印有“中”字的概率.
(2)記隨機(jī)變量為某位消費(fèi)者在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中獲得代金券的金額數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
(3)該商家規(guī)定，消費(fèi)者若想再次參加該項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，則每抽獎(jiǎng)一次需支付5元.若你是消費(fèi)者，請從收益方面來考慮是否愿意再次參加該項(xiàng)抽獎(jiǎng)活動(dòng)，并說明理由.
1
2
3
4

1
2
3

1
2
3
4
1
2
3
1
2
3
X
P
X
0
1
2
3
P
a
b
X
0
1
2
P
a
0
1
2
3
4
5
6
X
0
1
2
P
m
x
1
P
a
X
1
2
4
P
0.4
0.3
0.3
－1
0
2
P
a
2a
3a
X
1
2
3
P
a
b
2b—a
a
2
3
6
P
a
X
0
1
x
P
p
22
23
24
25
26
頻數(shù)
10
10
15
9
6
商品日銷售量（單位：件）
6
7
8
9
10
甲平臺(tái)的天數(shù)
14
26
26
24
10
乙平臺(tái)的天數(shù)
10
25
35
20
10
X
6
7
8
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0.4
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甲校
乙校
使用AI作業(yè)
不使用AI作業(yè)
使用AI作業(yè)
不使用AI作業(yè)
基本掌握
32
28
50
30
沒有掌握
8
14
12
26

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