知識(shí)點(diǎn)一．兩點(diǎn)分布
1、若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，即其分布列為
其中，則稱離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布．其中稱為成功概率．
注意：
（1）兩點(diǎn)分布的試驗(yàn)結(jié)果只有兩個(gè)可能性，且其概率之和為；
（2）兩點(diǎn)分布又稱分布、伯努利分布，其應(yīng)用十分廣泛．
2、兩點(diǎn)分布的均值與方差：若隨機(jī)變量服從參數(shù)為的兩點(diǎn)分布，則，．
知識(shí)點(diǎn)二．次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)
1、定義
一般地，在相同條件下重復(fù)做的次試驗(yàn)稱為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．
注意：獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的條件：①每次試驗(yàn)在同樣條件下進(jìn)行；②各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；③每次試驗(yàn)都只有兩種結(jié)果，即事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生．
2、特點(diǎn)
（1）每次試驗(yàn)中，事件發(fā)生的概率是相同的；
（2）每次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的，其實(shí)質(zhì)是相互獨(dú)立事件的特例．
知識(shí)點(diǎn)三．二項(xiàng)分布
1、定義
一般地，在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用表示事件發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率為，不發(fā)生的概率，那么事件恰好發(fā)生次的概率是（，，，…，）
于是得到的分布列
由于表中第二行恰好是二項(xiàng)式展開(kāi)式
各對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值，稱這樣的離散型隨機(jī)變量服從參數(shù)為，的二項(xiàng)分布，記作，并稱為成功概率．
注意：由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的二項(xiàng)分布，即時(shí)的二項(xiàng)分布，所以二項(xiàng)分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式．
2、二項(xiàng)分布的適用范圍及本質(zhì)
（1）適用范圍：
①各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的；
②每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生；
③隨機(jī)變量是這次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù)．
（2）本質(zhì)：二項(xiàng)分布是放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的．
3、二項(xiàng)分布的期望、方差
若，則，．
知識(shí)點(diǎn)四．超幾何分布
1、定義
在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則事件發(fā)生的概率為，，1，2，…，，其中，且，，，，，稱分布列為超幾何分布列．如果隨機(jī)變量的分布列為超幾何分布列，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布．
2、超幾何分布的適用范圍件及本質(zhì)
（1）適用范圍：
①考察對(duì)象分兩類；
②已知各類對(duì)象的個(gè)數(shù)；
③從中抽取若干個(gè)個(gè)體，考察某類個(gè)體個(gè)數(shù)的概率分布．
（2）本質(zhì)：超幾何分布是不放回抽樣問(wèn)題，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的．
【方法技巧與總結(jié)】
超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別
（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；
（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的；
而二項(xiàng)分布是“有放回”抽?。í?dú)立重復(fù)），在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的.
【題型歸納目錄】
題型一：兩點(diǎn)分布
題型二：次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)
題型三：二項(xiàng)分布
題型四：超幾何分布
題型五：二項(xiàng)分布與超幾何分布的綜合應(yīng)用
【典例例題】
題型一：兩點(diǎn)分布
例1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）.若隨機(jī)變量的分布列為，其中，則下列結(jié)果中正確的是
A．
B．
C．
D．
例2．（2022·河北·高三階段練習(xí)）新型冠狀病毒肺炎（CrnaVirusDisease2019，COVID-19），簡(jiǎn)稱“新冠肺炎”，是指2019新型冠狀病毒感染導(dǎo)致的肺炎.2019年12月以來(lái)，部分醫(yī)院陸續(xù)發(fā)現(xiàn)了多例不明原因肺炎病例，證實(shí)為2019新型冠狀病毒感染引起的急性呼吸道傳染病，為防止該病癥的擴(kuò)散與傳染，某檢測(cè)機(jī)構(gòu)在某地區(qū)進(jìn)行新冠病毒疾病調(diào)查，需要對(duì)其居民血液進(jìn)行抽樣化驗(yàn)，若結(jié)果呈陽(yáng)性，則患有該疾病；若結(jié)果為陰性，則未患有該疾病.現(xiàn)有個(gè)人，每人一份血液待檢驗(yàn)，有如下兩種方案：方案一：逐份檢驗(yàn)，需要檢驗(yàn)n次；方案二：混合檢驗(yàn)，將n份血液分別取樣，混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果呈陰性，則n個(gè)人都未患有該疾病；若檢驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性，再對(duì)n份血液逐份檢驗(yàn)，此時(shí)共需要檢驗(yàn)次.
(1)若，且其中兩人患有該疾病，
①采用方案一，求恰好檢驗(yàn)3次就能確定患病兩人的概率；
②將這10人平均分成兩組，則這兩患者分在同一組的概率；
(2)已知每個(gè)人患該疾病的概率為.
（i）采用方案二，記檢驗(yàn)次數(shù)為X，求檢驗(yàn)次數(shù)X的期望；
（ii）若，判斷方案一與方案二哪種方案檢查的次數(shù)更少？并說(shuō)明理由.
例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2022年3月，全國(guó)大部分省份出現(xiàn)了新冠疫情，對(duì)于出現(xiàn)確診病例的社區(qū)，受到了全社會(huì)的關(guān)注．為了把被感染的人篩查出來(lái)，防疫部門決定對(duì)全體社區(qū)人員篩查核酸檢測(cè)，為了減少檢驗(yàn)的工作量，我們把受檢驗(yàn)者分組，假設(shè)每組有個(gè)人，把這個(gè)人的血液混合在一起檢驗(yàn)，若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性，這個(gè)人的血液全為陰性，因而這個(gè)人只要檢驗(yàn)一次就夠了；如果為陽(yáng)性，為了明確這個(gè)人中究竟是哪幾個(gè)人為陽(yáng)性，就要對(duì)這個(gè)人再逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)．假設(shè)在接受檢驗(yàn)的人群中，隨機(jī)抽一人核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性概率為，每個(gè)人的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性是相互獨(dú)立的．核酸檢測(cè)通常有兩種分組方式可以選擇：方案一：10人一組；方案二：8人一組．
(1)分別求出采用方案一和方案二中每組的化驗(yàn)次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)若該社區(qū)約有2000人，請(qǐng)你為防疫部門選擇一種方案，并說(shuō)明理由．
（參考數(shù)據(jù)：，）
變式1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某保險(xiǎn)公司針對(duì)一個(gè)擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每位職工每年只要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金．保險(xiǎn)公司把企業(yè)的所有崗位分為A、B、C三類工種，從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖所示，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的賠付頻率如下表所示（并以此估計(jì)賠付概率）．
A、B、C工種職工每人每年的保費(fèi)分別為a元，a元，b元，出險(xiǎn)后獲得的賠償金額分別為100萬(wàn)元，200萬(wàn)元，50萬(wàn)元，保險(xiǎn)公司在開(kāi)展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過(guò)程中的固定支出為每年10萬(wàn)元．
(1)若保險(xiǎn)公司要求利潤(rùn)的期望不低于保費(fèi)的20%，試確定保費(fèi)a，b所要滿足的條件．
(2)現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供企業(yè)選擇：方案一、企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)自行拿出與保險(xiǎn)公司賠付金額相同的賠償金付給出險(xiǎn)職工；方案二、企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的60%，職工個(gè)人負(fù)責(zé)保費(fèi)的40%，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付．若企業(yè)選擇方案二的支出期望（不包括職工支出）低于選擇方案一的，求a，b所要滿足的條件，并判斷企業(yè)是否與保險(xiǎn)公司合作（若企業(yè)選擇方案二的支出期望低于方案一，且與（1）中保險(xiǎn)公司所提條件不矛盾，則企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作）．
變式2．（2022·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理））為考察本科生基本學(xué)術(shù)規(guī)范和基本學(xué)術(shù)素養(yǎng)，某大學(xué)決定對(duì)各學(xué)院本科畢業(yè)論文進(jìn)行抽檢，初步方案是本科畢業(yè)論文抽檢每年進(jìn)行一次，抽檢對(duì)象為上一學(xué)年度授予學(xué)士學(xué)位的論文，初評(píng)階段，每篇論文送位同行專家進(jìn)行評(píng)審，位專家中有位以上（含位）專家評(píng)議意見(jiàn)為“不合格”的畢業(yè)論文，將認(rèn)定為“存在問(wèn)題畢業(yè)論文”.位專家中有位專家評(píng)議意見(jiàn)為“不合格”，將再送位同行專家（不同于前位）進(jìn)行復(fù)評(píng).復(fù)評(píng)階段，位復(fù)評(píng)專家中有位以上（含位）專家評(píng)議意見(jiàn)為“不合格”，將認(rèn)定為“存在問(wèn)題畢業(yè)論文”.每位專家，判定每篇論文“不合格”的概率均為，且各篇畢業(yè)論文是否被判定為“不合格”相互獨(dú)立.
(1)若，求每篇畢業(yè)論文被認(rèn)定為“存在問(wèn)題畢業(yè)論文”的概率是多少；
(2)學(xué)校擬定每篇論文需要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為元，不需要復(fù)評(píng)的評(píng)審費(fèi)用為元，則每篇論文平均評(píng)審費(fèi)用的最大值是多少？
變式3．（2022·安徽·二模（理））某工廠生產(chǎn)某種電子產(chǎn)品，每件產(chǎn)品不合格的概率均為，現(xiàn)工廠為提高產(chǎn)品聲譽(yù)，要求在交付用戶前每件產(chǎn)品都通過(guò)合格檢驗(yàn)，已知該工廠的檢驗(yàn)儀器一次最多可檢驗(yàn)件該產(chǎn)品，且每 件產(chǎn)品檢驗(yàn)合格與否相互獨(dú)立．若每件產(chǎn)品均檢驗(yàn)一次，所需檢驗(yàn)費(fèi)用較多，該工廠提出以下檢 驗(yàn)方案：將產(chǎn)品每個(gè)一組進(jìn)行分組檢驗(yàn)，如果某一組產(chǎn)品檢驗(yàn)合格，則說(shuō)明該組內(nèi)產(chǎn)品均合格，若檢驗(yàn)不合格，則說(shuō)明該組內(nèi)有不合格產(chǎn)品，再對(duì)該組內(nèi)每一件產(chǎn)品單獨(dú)進(jìn)行檢驗(yàn)，如此，每一組產(chǎn)品只需檢驗(yàn)次或次．設(shè)該工廠生產(chǎn)件該產(chǎn)品，記每件產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次 數(shù)為．
（1）求的分布列及其期望；
（2）（i）試說(shuō)明，當(dāng)越小時(shí)，該方案越合理，即所需平均檢驗(yàn)次數(shù)越少；
（ii）當(dāng)時(shí)，求使該方案最合理時(shí)的值及件該產(chǎn)品的平均檢驗(yàn)次數(shù)．
題型二：次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)
例4．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）進(jìn)入2021年以來(lái)，國(guó)家提倡大學(xué)生畢業(yè)自主創(chuàng)業(yè)，根據(jù)已知的調(diào)查可知，大學(xué)生創(chuàng)業(yè)成功與失敗的概率分別為a，b，且，則某高校四名大學(xué)生畢業(yè)后自主創(chuàng)業(yè)，其中至少有兩名大學(xué)生創(chuàng)業(yè)成功的概率為（ ）
A．B．C．D．
例5．（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某同學(xué)隨機(jī)擲一枚骰子4次，則該同學(xué)得到1點(diǎn)或5點(diǎn)的次數(shù)超過(guò)2次的概率為（ ）
A．B．C．D．
例6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）體育課上進(jìn)行投籃測(cè)試，每人投籃3次，至少投中1次則通過(guò)測(cè)試．某同學(xué)每次投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為（ ）
A．0.064B．0.600C．0.784D．0.936
變式4．（2022·全國(guó)·清華附中朝陽(yáng)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）有甲?乙兩個(gè)盒子，甲盒子中裝有2個(gè)小球，乙盒子中裝有4個(gè)小球，每次隨機(jī)取一個(gè)盒子并從中取一個(gè)球.
(1)求甲盒子中的球被取完時(shí)，乙盒子中恰剩下2個(gè)球的概率：
(2)當(dāng)其中一個(gè)盒子中的球被取完時(shí)，記另一個(gè)盒子恰剩下個(gè)球，則求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
變式5．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）某校組織圍棋比賽，每場(chǎng)比賽采用五局三勝制（一方先勝三局即獲勝，比賽結(jié)束），比賽采用積分制，積分規(guī)則如下：每場(chǎng)比賽中，如果四局及四局以內(nèi)結(jié)束比賽，取勝的一方積3分，負(fù)者積0分；五局結(jié)束比賽，取勝的一方積2分，負(fù)者積1分.已知甲?乙兩人比賽，甲每局獲勝的概率為.
(1)在一場(chǎng)比賽中，甲的積分為，求的概率分布列；
(2)求甲在參加三場(chǎng)比賽后，積分之和為5分的概率.
變式6．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）我國(guó)出現(xiàn)了新冠疫情后，醫(yī)護(hù)人員一直在探索治療新冠的有效藥，并對(duì)確診患者進(jìn)行積極救治.現(xiàn)有6位癥狀相同的確診患者，分成兩組，組3人，服用甲種中藥，組3人，服用乙種中藥.服藥一個(gè)療程后，組中每人康復(fù)的概率都為，組3人康復(fù)的概率分別為.
(1)設(shè)事件表示組中恰好有1人康復(fù)，事件表示組中恰好有1人康復(fù)，求；
(2)求組康復(fù)人數(shù)比組康復(fù)人數(shù)多的概率.
變式7．（2022·江蘇·南京市金陵中學(xué)河西分校高三階段練習(xí)）甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行羽毛球單打比賽，根據(jù)以往比賽的勝負(fù)情況知道，每一局甲勝的概率為，乙勝的概率為．比賽采用“三局兩勝”制，先勝二局者獲勝．商定每局比賽（決勝局第三局除外）勝者得3分，敗者得1分；決勝局勝者得2分，敗者得0分．已知各局比賽相互獨(dú)立．
(1)求比賽結(jié)束，甲得6分的概率；
(2)設(shè)比賽結(jié)束，乙得分，求隨機(jī)變量的概率分布列與數(shù)學(xué)期望．
變式8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“民族要復(fù)興，鄉(xiāng)村必振興”，為了加強(qiáng)鄉(xiāng)村振興宣傳工作，讓更多的人關(guān)注鄉(xiāng)村發(fā)展，某校舉辦了有關(guān)城鄉(xiāng)融合發(fā)展、人與自然和諧共生的知識(shí)競(jìng)賽.比賽分為初賽和復(fù)賽兩部分，初賽采用選手從備選題中選一題答一題的方式進(jìn)行，每位選手最多有5次答題機(jī)會(huì)，選手累計(jì)答對(duì)3題或答錯(cuò)3題即終止比賽，答對(duì)3題者直接進(jìn)入復(fù)賽，答錯(cuò)3題者則被淘汰.已知選手甲答對(duì)每個(gè)題的概率均為，且相互間沒(méi)有影響.
(1)求選手甲被淘汰的概率；
(2)設(shè)選手甲在初賽中答題的個(gè)數(shù)為X，試求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
【方法技巧與總結(jié)】
（1）在解復(fù)雜的題目時(shí)，可利用“正難則反”的思想，通過(guò)考查原事件的對(duì)立事件來(lái)求其概率．
（2）運(yùn)用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式求概率，首先要分析問(wèn)題中涉及的試驗(yàn)是否為次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，若不符合條件，則不能應(yīng)用公式求解；在求次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率時(shí)，首先要確定好和的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率．
（3）解決這類實(shí)際問(wèn)題往往需把所求的概率的事件分拆為若干個(gè)事件，而這每個(gè)事件均為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)．
題型三：二項(xiàng)分布
例7．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形小木塊（如圖所示），并且每一排小木塊數(shù)目都比上一排多一個(gè)，一排中各個(gè)小木塊正好對(duì)準(zhǔn)上面一排兩個(gè)相鄰小木塊的正中央，從入口處放入一個(gè)直徑略小于兩個(gè)小木塊間隔的小球，當(dāng)小球從之間的間隙下落時(shí)，于是碰到下一排小木塊，它將以相等的可能性向左或向右落下，若小球再通過(guò)間隙，又碰到下一排小木塊.如此繼續(xù)下去，小球最后落入下方條狀的格子內(nèi)，則小球落到第⑤個(gè)格子的概率是（ ）
A．B．C．D．
例8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從一個(gè)裝有4個(gè)白球和3個(gè)紅球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1個(gè)，記X為取得紅球的次數(shù)，則（ ）
A．B．C．D．
例9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））某綜藝節(jié)目中，有一個(gè)盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進(jìn)行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔方.為了解某市盲擰魔方愛(ài)好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了100名盲擰魔方愛(ài)好者進(jìn)行調(diào)查，得到的情況如表所示：
以這100名盲擰魔方愛(ài)好者用時(shí)不超過(guò)10秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛(ài)好者用時(shí)不超過(guò)10秒的概率，每位盲擰魔方愛(ài)好者用時(shí)是否超過(guò)10秒相互獨(dú)立.若該興趣小組在全市范圍內(nèi)再隨機(jī)抽取20名盲擰魔方愛(ài)好者進(jìn)行測(cè)試，其中用時(shí)不超過(guò)10秒的人數(shù)最有可能(即概率最大)是( )
A．2B．3C．4D．5
變式9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（理））為了防止受到核污染的產(chǎn)品影響我國(guó)民眾的身體健康，有關(guān)部門要求產(chǎn)品在進(jìn)入市場(chǎng)前必須進(jìn)行兩輪核輻射檢測(cè)，只有兩輪都合格才能進(jìn)行銷售，否則不能銷售．已知某產(chǎn)品第一輪檢測(cè)不合格的概率為，第二輪檢測(cè)不合格的概率為，兩輪檢測(cè)是否合格相互沒(méi)有影響，若產(chǎn)品可以銷售，則每件產(chǎn)品獲利40元；若產(chǎn)品不能銷售，則每件產(chǎn)品虧損80元．已知一箱中有4件產(chǎn)品，記一箱產(chǎn)品獲利X元，則（ ）
A．B．C．D．
變式10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某工廠產(chǎn)品合格的概率均為，各產(chǎn)品合格與否相互獨(dú)立．設(shè)為該工廠生產(chǎn)的件商品中合格的數(shù)量，其中，，則（ ）
A．B．C．D．
變式11．（2022·廣東·深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三階段練習(xí)）某種植戶對(duì)一塊地上的（）個(gè)坑進(jìn)行播種，每個(gè)坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立.如果每個(gè)坑內(nèi)至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進(jìn)行補(bǔ)種，否則需要補(bǔ)種.
（1）當(dāng)取何值時(shí)，有3個(gè)坑要補(bǔ)種的概率最大？最大概率為多少？
（2）當(dāng)時(shí)，用表示要補(bǔ)種的坑的個(gè)數(shù)，求的分布列.
變式12．（2022·江蘇常州·高三階段練習(xí)）金壇區(qū)主城區(qū)全新投放一批共享電動(dòng)自行車．本次投放的電動(dòng)自行車分紅、綠兩種，投放比例是3∶1．監(jiān)管部門為了了解這兩種顏色電動(dòng)自行車的性能，決定從中隨機(jī)抽取4輛電動(dòng)自行車進(jìn)行騎行體驗(yàn)，假設(shè)每輛電動(dòng)自行車被抽取的可能性相等．
(1)求抽取的4輛電動(dòng)自行車中至少有3輛是綠色的概率；
(2)在騎行體驗(yàn)中，發(fā)現(xiàn)紅色電動(dòng)自行車的綜合評(píng)分較高，監(jiān)管部門決定從該次投放的這批電動(dòng)自行車中隨機(jī)地抽取一輛綠色電動(dòng)自行車，送技術(shù)部門做進(jìn)一步性能檢測(cè)，并規(guī)定，若抽到的是綠色電動(dòng)自行車，則抽樣結(jié)束：若抽取的是紅色電動(dòng)自行車，則將其放回后，繼續(xù)從中隨機(jī)地抽取下一輛電動(dòng)自行車，且規(guī)定抽取的次數(shù)最多不超過(guò)次在抽樣結(jié)束時(shí)，設(shè)已抽到的紅色電動(dòng)自行車的數(shù)量用表示，問(wèn)：的數(shù)學(xué)期望能否超過(guò)3？
變式13．（2022·廣東·金山中學(xué)高三階段練習(xí)）某中學(xué)課外實(shí)踐活動(dòng)小組在某區(qū)域內(nèi)通過(guò)一定的有效調(diào)查方式對(duì)“北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式”當(dāng)晚的收看情況進(jìn)行了隨機(jī)抽樣調(diào)查．統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，通過(guò)手機(jī)收看的約占，通過(guò)電視收看的約占，其他為未收看者：
(1)從被調(diào)查對(duì)象中隨機(jī)選取3人，其中至少有1人通過(guò)手機(jī)收看的概率；
(2)從被調(diào)查對(duì)象中隨機(jī)選取3人，用表示通過(guò)電視收看的人數(shù)，求的分布列和期望．
變式14．（2022·江蘇·新淮高中三模）高爾頓（釘）板是在一塊豎起的木板上釘上一排排互相平行、水平間隔相等的圓柱形鐵釘（如圖），并且每一排釘子數(shù)目都比上一排多一個(gè)，一排中各個(gè)釘子恰好對(duì)準(zhǔn)上面一排兩相鄰鐵釘?shù)恼醒?從入口處放入一個(gè)直徑略小于兩顆釘子間隔的小球，當(dāng)小球從兩釘之間的間隙下落時(shí)，由于碰到下一排鐵釘，它將以相等的可能性向左或向右落下，接著小球再通過(guò)兩鐵釘?shù)拈g隙，又碰到下一排鐵釘.如此繼續(xù)下去，在最底層的5個(gè)出口處各放置一個(gè)容器接住小球.
（Ⅰ）理論上，小球落入4號(hào)容器的概率是多少？
（Ⅱ）一數(shù)學(xué)興趣小組取3個(gè)小球進(jìn)行試驗(yàn)，設(shè)其中落入4號(hào)容器的小球個(gè)數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
【方法技巧與總結(jié)】
1、二項(xiàng)分布求解隨機(jī)變量涉及“至少”“至多”問(wèn)題的取值概率，其實(shí)質(zhì)是求在某一取值范圍內(nèi)的概率，一般轉(zhuǎn)化為幾個(gè)互斥事件發(fā)生的概率的和，或者利用對(duì)立事件求概率．
2、二項(xiàng)分布的簡(jiǎn)單應(yīng)用是求次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次的概率．解題的一般思路是：
（1）根據(jù)題意設(shè)出隨機(jī)變量；
（2）分析出隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布；
（3）找到參數(shù)，；
（4）寫(xiě)出二項(xiàng)分布的分布列；
（5）將值代入求解概率．
題型四：超幾何分布
例10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一批產(chǎn)品共有20件，其中2件次品，18件合格品，從這批產(chǎn)品中任意抽取2件，則至少有1件是次品的概率是（ ）
A．B．C．D．
例11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從一批含有13件正品，2件次品的產(chǎn)品中不放回地抽3次，每次抽取1件，設(shè)抽取的次品數(shù)為ξ，則E(5ξ＋1)＝( )
A．2B．1C．3D．4
例12．（2022·北京·高三專題練習(xí)）為了解順義區(qū)某中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，對(duì)高一年級(jí)的（）班（）班進(jìn)行了抽測(cè)，采取如下方式抽樣：每班隨機(jī)各抽名學(xué)生進(jìn)行身體素質(zhì)監(jiān)測(cè).經(jīng)統(tǒng)計(jì)，每班名學(xué)生中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)散點(diǎn)圖如下：（軸表示對(duì)應(yīng)的班號(hào)，軸表示對(duì)應(yīng)的優(yōu)秀人數(shù)）
(1)若用散點(diǎn)圖預(yù)測(cè)高一年級(jí)學(xué)生身體素質(zhì)情況，從高一年級(jí)學(xué)生中任意抽測(cè)人，求該生身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的概率；
(2)若從以上統(tǒng)計(jì)的高一（）班的名學(xué)生中抽出人，設(shè)表示人中身體素質(zhì)監(jiān)測(cè)成績(jī)達(dá)到優(yōu)秀的人數(shù)，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望；
(3)假設(shè)每個(gè)班學(xué)生身體素質(zhì)優(yōu)秀的概率與該班隨機(jī)抽到的名學(xué)生的身體素質(zhì)優(yōu)秀率相等.現(xiàn)在從每班中分別隨機(jī)抽取名同學(xué)，用“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)優(yōu)秀，“”表示第班抽到的這名同學(xué)身體素質(zhì)不是優(yōu)秀．寫(xiě)出方差的大小關(guān)系（不必寫(xiě)出證明過(guò)程）．
變式15．（2022·上?！じ呷_(kāi)學(xué)考試）研究表明，過(guò)量的碳排放會(huì)導(dǎo)致全球氣候變暖等環(huán)境問(wèn)題，減少碳排放具有深遠(yuǎn)的意義．中國(guó)明確提出節(jié)能減排的目標(biāo)與各項(xiàng)措施，在公路交通運(yùn)輸領(lǐng)域，新能源汽車逐步取代燃油車是措施之一．中國(guó)某地區(qū)從2015年至2021年每年汽車總銷量如圖，每年新能源汽車銷量占比如表．（注：汽車總銷量指新能源汽車銷量與非新能源汽車銷量之和）
(1)從2015年至2021年中隨機(jī)選取一年，求這一年該地區(qū)汽車總銷量不小于5.5萬(wàn)輛的概率；
(2)從2015年至2021年中隨機(jī)選取兩年，設(shè)X表示新能源汽車銷量超過(guò)0.5萬(wàn)輛的年份的個(gè)數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
變式16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為發(fā)展業(yè)務(wù)，某調(diào)研組對(duì)A，B兩個(gè)公司的掃碼支付情況進(jìn)行調(diào)查，準(zhǔn)備從國(guó)內(nèi)個(gè)人口超過(guò)1000萬(wàn)的超大城市和8個(gè)人口低于100萬(wàn)的小城市中隨機(jī)抽取若干個(gè)進(jìn)行統(tǒng)計(jì).若一次抽取2個(gè)城市，全是小城市的概率為.
(1)求n的值；
(2)若一次抽取4個(gè)城市，
①假設(shè)抽取出的小城市的個(gè)數(shù)為X，求X的可能值及相應(yīng)的概率；
②若抽取的4個(gè)城市是同一類城市，求全為超大城市的概率.
變式17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）北京某高校有20名志愿者報(bào)名參加2022年北京冬奧會(huì)服務(wù)工作，其中有2名老師，18名學(xué)生.若從中隨機(jī)抽取名志愿者，用X表示所抽取的n名志愿者中老師的人數(shù).
(1)若，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
(2)當(dāng)n為何值時(shí)，的概率取得最大值?最大值是多少?
變式18．（2022·山西大附中高三階段練習(xí)）北京時(shí)間2022年7月25日3時(shí)13分，問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙成功對(duì)接于天和核心艙前向端口，2022年7月25日10時(shí)03分，神舟十四號(hào)航天員乘組成功開(kāi)啟問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙艙門，順利進(jìn)入問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙.8月，中國(guó)空間站第2個(gè)實(shí)驗(yàn)艙段——夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙已運(yùn)抵文昌航天發(fā)射場(chǎng)，計(jì)劃10月發(fā)射.中國(guó)空間站“天宮”即將正式完成在軌建造任務(wù)，成為長(zhǎng)期有人照料的國(guó)家級(jí)太空實(shí)驗(yàn)室，支持開(kāi)展大規(guī)模、多學(xué)科交叉的空間科學(xué)實(shí)驗(yàn).為普及空間站相關(guān)知識(shí)，某部門門組織了空間站模擬編程闖關(guān)活動(dòng)，它是由太空發(fā)射、自定義漫游、全尺寸太陽(yáng)能、空間運(yùn)輸?shù)?0個(gè)相互獨(dú)立的程序題目組成.規(guī)則是：編寫(xiě)程序能夠正常運(yùn)行即為程序正確.每位參賽者從10個(gè)不同的題目中隨機(jī)選擇3個(gè)進(jìn)行編程，全部結(jié)束后提交評(píng)委測(cè)試，若其中2個(gè)及以上程序正確即為闖關(guān)成功.現(xiàn)已知10個(gè)程序中，甲只能正確完成其中6個(gè)，乙正確完成每個(gè)程序的概率為0.6，每位選手每次編程都互不影響.
(1)求乙闖關(guān)成功的概率；
(2)求甲編寫(xiě)程序正確的個(gè)數(shù)X的分布列和期望，并判斷甲和乙誰(shuí)闖關(guān)成功的可能性更大.
變式19．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某市移動(dòng)公司為了提高服務(wù)質(zhì)量，決定對(duì)使用A，B兩種套餐的集團(tuán)用戶進(jìn)行調(diào)查，準(zhǔn)備從本市n（）個(gè)人數(shù)超過(guò)1000人的大集團(tuán)和4個(gè)人數(shù)低于200人的小集團(tuán)中隨機(jī)抽取若干個(gè)集團(tuán)進(jìn)行調(diào)查，若一次抽取2個(gè)集團(tuán)，全是小集團(tuán)的概率為.
(1)在取出的2個(gè)集團(tuán)是同一類集團(tuán)的情況下，求全為大集團(tuán)的概率；
(2)若一次抽取3個(gè)集團(tuán)，假設(shè)取出小集團(tuán)的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列和期望.
變式20．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）中國(guó)科研團(tuán)隊(duì)在研發(fā)“新冠疫苗”的過(guò)程中，為了測(cè)試疫苗的效果，科研人員以小白鼠為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，進(jìn)行了一些實(shí)驗(yàn)．
(1)實(shí)驗(yàn)一：選取10只健康小白鼠，編號(hào)1至10號(hào)，注射一次新冠疫苗后，再讓它們暴露在含有新冠病毒的環(huán)境中．實(shí)驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，除2號(hào)、3號(hào)和7號(hào)小白鼠仍然感染了新冠病毒，其他小白鼠未被感染．現(xiàn)從這10只小白鼠中隨機(jī)抽取4只進(jìn)行研究，將仍被感染的小白鼠只數(shù)記作X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
(2)科研人員在另一個(gè)實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，疫苗可多次連續(xù)注射，小白鼠多次注射疫苗后，每次注射的疫苗對(duì)小白鼠是否有效互相不影響，相互獨(dú)立．若將實(shí)驗(yàn)一中未感染新冠病毒的小白鼠的頻率當(dāng)做疫苗的有效率，那么一只小白鼠注射兩次疫苗能否保證有效率達(dá)到96%？若可以請(qǐng)說(shuō)明理由；若不可以，請(qǐng)問(wèn)每支疫苗的有效率至少要達(dá)到多少才能滿足以上要求．
【方法技巧與總結(jié)】
1、隨機(jī)變量是否服從超幾何分布的判斷
若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則滿足如下條件：(1)該試驗(yàn)是不放回地抽取次；(2)隨機(jī)變量表示抽取到的次品件數(shù)(或類似事件)，反之亦然．
2、求超幾何分布的分布列的步驟
（1）驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)，，的值；
（2）根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率；
（3）列出分布列．
題型五：二項(xiàng)分布與超幾何分布的綜合應(yīng)用
例13．（2022·江蘇南通·高三開(kāi)學(xué)考試）某藥廠研制了治療一種疾病的新藥，該藥的治愈率為.現(xiàn)用此藥給位病人治療，記被治愈的人數(shù)為.
(1)若，從這人中隨機(jī)選人進(jìn)行用藥體驗(yàn)訪談，求被選中的治愈人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)當(dāng)為何值時(shí)，概率最大？并說(shuō)明理由.
例14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）中國(guó)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)是中國(guó)自行研制的全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)，作為國(guó)家戰(zhàn)略性空間基礎(chǔ)設(shè)施，我國(guó)北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)不僅對(duì)國(guó)防安全意義重大，而且在民用領(lǐng)域的精準(zhǔn)化應(yīng)用也越來(lái)越廣泛.2020年6月23日，中國(guó)第55顆北斗導(dǎo)航衛(wèi)星成功發(fā)射標(biāo)志著擁有全部知識(shí)產(chǎn)權(quán)的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)全面建成．據(jù)統(tǒng)計(jì)，2019年衛(wèi)星導(dǎo)航與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)總產(chǎn)值達(dá)到億元，較2018年約增長(zhǎng)．從全球應(yīng)用北斗衛(wèi)星的城市中選取了個(gè)城市進(jìn)行調(diào)研，上圖是這個(gè)城市北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)與位置服務(wù)產(chǎn)業(yè)的產(chǎn)值（單位：萬(wàn)元）的頻率分布直方圖．
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求產(chǎn)值小于萬(wàn)元的調(diào)研城市個(gè)數(shù)；
(2)在上述抽取的個(gè)城市中任取個(gè)，設(shè)為產(chǎn)值不超過(guò)萬(wàn)元的城市個(gè)數(shù)，求的分布列及期望和方差．
(3)把頻率視為概率，從全球應(yīng)用北斗衛(wèi)星的城市中任取個(gè)城市，求恰有個(gè)城市的產(chǎn)值超過(guò)萬(wàn)元的概率．
例15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知條件①采用無(wú)放回抽?。孩诓捎糜蟹呕爻槿。?qǐng)?jiān)谏鲜鰞蓚€(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中橫線上并作答，選兩個(gè)條件作答的以條件①評(píng)分.
問(wèn)題：在一個(gè)口袋中裝有3個(gè)紅球和4個(gè)白球，這些球除顏色外完全相同，若___________，從這7個(gè)球中隨機(jī)抽取3個(gè)球，記取出的3個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望.
變式21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲、乙去某公司應(yīng)聘面試.該公司的面試方案為：應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，按照答對(duì)題目的個(gè)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行篩選.已知6道備選題中應(yīng)聘者甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；應(yīng)聘者乙每題正確完成的概率都是，且每題正確完成與否互不影響.
(1)分別求甲、乙兩人正確完成面試題數(shù)的分布列；
(2)請(qǐng)分析比較甲、乙兩人誰(shuí)的面試通過(guò)的可能性較大？
變式22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某從事智能教育技術(shù)研發(fā)的科技公司開(kāi)發(fā)了一個(gè)“AI作業(yè)”項(xiàng)目，并且在甲、乙兩個(gè)學(xué)校的高一學(xué)生中做用戶測(cè)試．經(jīng)過(guò)一個(gè)階段的試用，為了解“AI作業(yè)”對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的促進(jìn)情況，該公司隨機(jī)抽取了200名學(xué)生，對(duì)他們“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)掌握情況進(jìn)行調(diào)查，樣本調(diào)查結(jié)果如下表：
用樣本頻率估計(jì)概率，并假設(shè)每位學(xué)生是否掌據(jù)“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)相互獨(dú)立．
(1)從兩校高一學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生對(duì)“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)基本掌握的概率；
(2)從樣本中沒(méi)有掌握“向量數(shù)量積”知識(shí)點(diǎn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名學(xué)生，以表示這2人中使用AI作業(yè)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(3)從甲校高一學(xué)生中抽取一名使用“Al作業(yè)”的學(xué)生和一名不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生，用“”表示該使用“AI作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積”，用“”表示該使用“AI作業(yè)”的學(xué)生沒(méi)有掌握“向量數(shù)量積”，用“”表示該不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生基本掌握了“向量數(shù)量積”，用“”表示該不使用“AI作業(yè)”的學(xué)生沒(méi)有掌握“向量數(shù)量積”．直接寫(xiě)出方差DX和DY的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）
變式23．（2022·陜西·安康市教學(xué)研究室高三階段練習(xí)（理））國(guó)慶節(jié)期間，某大型服裝團(tuán)購(gòu)會(huì)舉辦了一次“你消費(fèi)我促銷”活動(dòng)，顧客消費(fèi)滿300元（含300元） 可抽獎(jiǎng)一次， 抽獎(jiǎng)方案有兩種（顧客只能選擇其中的一種）.
方案一: 從裝有5個(gè)形狀、大小完全相同的小球（其中紅球1個(gè)， 黑球4個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中，有放回地摸出3個(gè)球，每摸出1次紅球，立減100元.
方案二: 從裝有10個(gè)形狀，大小完全相同的小球（其中紅球2個(gè)，白球1個(gè)，黑球7個(gè)）的抽獎(jiǎng)盒中， 不放回地摸出3個(gè)球，中多規(guī)則為:若摸出2個(gè)紅球，1個(gè)白球，享受免單優(yōu)惠;若摸出2個(gè)紅球和1個(gè)黑球則打5折;若摸出1個(gè)紅球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球，則打7.5折;其余情況不打折.
(1)某顧客恰好消費(fèi)300元，選擇抽獎(jiǎng)方案一，求他實(shí)付金額的分布列和期望;
(2)若顧客消費(fèi)500元，試從實(shí)付金額的期望值分析顧客選擇何種抽獎(jiǎng)方案更合理?
【方法技巧與總結(jié)】
超幾何分布和二項(xiàng)分布的區(qū)別
（1）超幾何分布需要知道總體的容量，而二項(xiàng)分布不需要；
（2）超幾何分布是“不放回”抽取，在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是不相同的；
而二項(xiàng)分布是“有放回”抽取（獨(dú)立重復(fù)），在每次試驗(yàn)中某一事件發(fā)生的概率是相同的.
【過(guò)關(guān)測(cè)試】
一、單選題
1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的3倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則（ ）
A．0B．C．D．
2．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有20個(gè)零件，其中16個(gè)一等品，4個(gè)二等品，若從這些零件中任取3個(gè)，那么至少有1個(gè)是一等品的概率是（ ）.
A．B．C．D．
3．（2022·廣東·鶴山市鶴華中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）新冠肺炎疫情期間，某公司采用網(wǎng)絡(luò)遠(yuǎn)程面試招聘新員工，其面試方案為：應(yīng)聘者從6道備選題中一次性隨機(jī)抽取3道題，按照題目要求獨(dú)立完成．規(guī)定：至少正確完成其中2道題的應(yīng)聘者才可通過(guò)面試．已知應(yīng)聘者小王在6道備選題中有4道題能正確完成，2道題不能完成，則小王正確完成面試題數(shù)的均值為( )
A．1B．2C．3D．4
4．（2022·浙江邵外高三階段練習(xí)）在某次數(shù)學(xué)考試中，學(xué)生成績(jī)服從正態(tài)分布.若在內(nèi)的概率是，則從參加這次考試的學(xué)生中任意選取3名學(xué)生，恰有2名學(xué)生的成績(jī)不低于85的概率是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·廣東廣州·一模）已知某地市場(chǎng)上供應(yīng)的一種電子產(chǎn)品中，甲廠產(chǎn)品占60%，乙廠產(chǎn)品占40%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是90%，則從該地市場(chǎng)上買到一個(gè)合格產(chǎn)品的概率是（ ）
A．0.92B．0.93C．0.94D．0.95
6．（2022·河南·寶豐縣第一高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））將10個(gè)不同的數(shù)字分成4組，第1組1個(gè)數(shù)，第2組2個(gè)數(shù)，第3組3個(gè)數(shù)，第4組4個(gè)數(shù)，記是第i組中最大的數(shù)，則的概率為（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心模擬預(yù)測(cè)）已知盒中裝有1個(gè)黑球與2個(gè)白球，每次從盒子中隨機(jī)摸出1個(gè)球，并換入一個(gè)黑球.設(shè)三次摸球后盒子中所剩黑球的個(gè)數(shù)為，則為（ ）
A．B．2C．D．
8．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為響應(yīng)國(guó)家鼓勵(lì)青年創(chuàng)業(yè)的號(hào)召，小王開(kāi)了兩家店鋪，每個(gè)店鋪招收了兩名員工，若某節(jié)假日每位員工休假的概率均為，且是否休假互不影響，若一家店鋪的員工全部休假，而另一家店鋪無(wú)人休假，則從無(wú)人休假的店鋪調(diào)劑1人到員工全部休假的店鋪，使得該店鋪能夠正常營(yíng)業(yè)，否則該店就停業(yè).則兩家店鋪該節(jié)假日能正常營(yíng)業(yè)的概率為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列選項(xiàng)中的隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布的是（ ）
A．拋擲一枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)
B．某射擊手射擊一次，擊中目標(biāo)的次數(shù)
C．從裝有除顏色外其余均相同的5個(gè)紅球?3個(gè)白球的袋中任取1個(gè)球，設(shè)
D．某醫(yī)生做一次手術(shù)，手術(shù)成功的次數(shù)
10．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）一個(gè)袋子中裝有除顏色外完全相同的10個(gè)球，其中有6個(gè)黑球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取4個(gè)球，記隨機(jī)變量為取出白球的個(gè)數(shù)，隨機(jī)變量為取出黑球的個(gè)數(shù)，若取出一個(gè)白球得2分，取出一個(gè)黑球得1分，隨機(jī)變量為取出4個(gè)球的總得分，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．B．C．D．
11．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某工廠進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量抽測(cè)，兩位員工隨機(jī)從生產(chǎn)線上各抽取數(shù)量相同的一批產(chǎn)品，已知在兩人抽取的一批產(chǎn)品中均有5件次品，員工A從這一批產(chǎn)品中有放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，員工B從這一批產(chǎn)品中無(wú)放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品．設(shè)員工A抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為X，員工B抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為Y，，1，2，3．則下列判斷正確的是（ ）
A．隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B．隨機(jī)變量Y服從超幾何分布
C．D．
12．（2022·湖北·高三階段練習(xí)）一口袋中有大小和質(zhì)地相同的4個(gè)紅球和2個(gè)白球，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．從中任取3球，恰有一個(gè)白球的概率是
B．從中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有兩個(gè)白球的概率為
C．從中不放回的取球2次，每次任取1球，若第一次已取到了紅球，則第二次再次取到紅球的概率為
D．從中有放回的取球3次，每次任取一球，則至少有一次取到紅球的概率為
三、填空題
13．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如果隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，服從二項(xiàng)分布，那么當(dāng)變化時(shí)，關(guān)于成立的的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．
14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將一顆質(zhì)地均勻的骰子（它是一種各面上分別標(biāo)有點(diǎn)數(shù)1、2、3、4、5、6的正方體玩具）先后拋擲3次，至少出現(xiàn)一次6點(diǎn)向上的概率是______.
15．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，則使取得最大值時(shí)，______．
16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）把半圓弧分成等份，以這些分點(diǎn)（包括直徑的兩端點(diǎn)）為頂點(diǎn)，作出三角形，從中任取個(gè)不同的三角形，則這個(gè)不同的三角形中鈍角三角形的個(gè)數(shù)不少于的概率為_(kāi)_____．
17．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）盒中有2個(gè)白球，3個(gè)黑球，從中任取3個(gè)球，以表示取到白球的個(gè)數(shù)，表示取到黑球的個(gè)數(shù)．給出下列各項(xiàng)：
①，；②；③；④.
其中正確的是________．(填上所有正確項(xiàng)的序號(hào))
四、解答題
18．（2022·陜西·模擬預(yù)測(cè)（理））疫情過(guò)后，某商場(chǎng)為了應(yīng)對(duì)銷售窘境，清明節(jié)前后特對(duì)1000臺(tái)筆記本電腦推出促銷活動(dòng)，其中高配400臺(tái)，低配600臺(tái).
(1)若高配筆記本4月1日到4月6日的銷量分別為：9?m?12?10?n?10（單位：臺(tái)），把這些數(shù)據(jù)看作一個(gè)總體，其均值為10，方差為3，求的值；
(2)現(xiàn)欲從這批筆記本電腦中分層抽取一個(gè)容量為25的樣本，將此部分樣本看成一個(gè)總體，再?gòu)闹腥稳?臺(tái)筆記本電腦，求至少有1臺(tái)為高配的概率（用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示）.
19．（2022·北京東城·二模）某部門為了解青少年視力發(fā)展?fàn)顩r，從全市體檢數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取了名男生和名女生的視力數(shù)據(jù)．分別計(jì)算出男生和女生從小學(xué)一年級(jí)（年）到高中三年級(jí)（年）每年的視力平均值，如圖所示．
(1)從年到年中隨機(jī)選取年，求該年男生的視力平均值高于上一年男生的視力平均值的概率；
(2)從年到年這年中隨機(jī)選取年，設(shè)其中恰有年女生的視力平均值不低于當(dāng)年男生的視力平均值．求的分布列和數(shù)學(xué)期望：
(3)由圖判斷，這名學(xué)生的視力平均值從哪年開(kāi)始連續(xù)三年的方差最小？（結(jié)論不要求證明）
20．（2022·北京市第二十二中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）2021年10月16日，神舟十三號(hào)載人飛船與天宮空間站組合體完成自主快速交會(huì)對(duì)接，航天員翟志剛?王亞平?葉光富順利進(jìn)駐天和核心艙，由此中國(guó)空間站開(kāi)啟了有人長(zhǎng)期駐留的時(shí)代.2022年4月16日，神舟十三號(hào)載人飛船圓滿完成任務(wù)，平安返回.為普及航天知識(shí)，某市組織中學(xué)生參加“探索太空”知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽分為理論?操作兩個(gè)部分，兩部分的得分均為三檔，分別為100分?200分?300分.現(xiàn)從參加活動(dòng)的學(xué)生中隨機(jī)選擇20位，統(tǒng)計(jì)其兩部分成績(jī)，成績(jī)統(tǒng)計(jì)人數(shù)如下表：
例如，表中理論成績(jī)?yōu)?00分且操作成績(jī)?yōu)?00分的學(xué)生有2人.
(1)若從這20位參加測(cè)試的學(xué)生中隨機(jī)抽取一位，抽到理論或操作至少一項(xiàng)成績(jī)?yōu)?00分的學(xué)生概率為.求的值；
(2)在（1）的前提下，用樣本估計(jì)總體，從全市理論成績(jī)?yōu)?00分的學(xué)生中，隨機(jī)抽取2人，求至少有一個(gè)人操作的成績(jī)?yōu)?00分的概率；
(3)若要使參賽學(xué)生理論成績(jī)的方差最小，寫(xiě)出的值.（直接寫(xiě)出答案）
21．（2022·福建·福州市第十中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）盒中裝有6個(gè)零件，其中2個(gè)是使用過(guò)的，另外4個(gè)未經(jīng)使用，
(1)從盒中隨機(jī)一次抽取3個(gè)零件，求抽取到的3個(gè)零件中恰有1個(gè)是使用過(guò)的概率；
(2)從盒中每次隨機(jī)抽取1個(gè)零件，觀察后都將零件放回盒中，記3次抽取中抽到使用過(guò)的零件的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
22．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某產(chǎn)品年末搞促銷活動(dòng)，由顧客投擲4枚相同的、質(zhì)地均勻的硬幣，若正面向上的硬幣多于反面向上的硬幣，則稱該次投擲“顧客勝利”．顧客每買一件產(chǎn)品可以參加3次投擲活動(dòng)，并且在投擲硬幣之前，可以選擇以下兩種促銷方案之一，獲得一定數(shù)目的代金券．
方案一：顧客每投擲一次，若該次投擲“顧客勝利”，則顧客獲得代金券萬(wàn)元，否則該次投擲不獲獎(jiǎng)；
方案二：顧客獲得的代金券金額和參加的3次投擲活動(dòng)中“顧客勝利”次數(shù)關(guān)系如表：
(1)求顧客投擲一次硬幣，該次投擲“顧客勝利”的概率；
(2)若某公司采購(gòu)員小翁為公司采購(gòu)很多件該產(chǎn)品，請(qǐng)從統(tǒng)計(jì)的角度來(lái)分析，小翁該采取哪種獎(jiǎng)勵(lì)方案？
23．（2022·山西·高三階段練習(xí)）高中生的數(shù)學(xué)閱讀水平與其數(shù)學(xué)閱讀認(rèn)知、閱讀習(xí)慣和方法等密切相關(guān)．為了解高中生的數(shù)學(xué)閱讀現(xiàn)狀，調(diào)查者在某校隨機(jī)抽取100名學(xué)生發(fā)放調(diào)查問(wèn)卷，在問(wèn)卷中對(duì)于學(xué)生每周數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間統(tǒng)計(jì)如下：
(1)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間偏少的原因，采用樣本量比例分配的分層隨機(jī)抽樣從這100名學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，再?gòu)倪@10人中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行詳細(xì)調(diào)查，求這2名學(xué)生中恰有一人每周數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間大于0.5小時(shí)的概率；
(2)用頻率估計(jì)概率，從該校所有學(xué)生中隨機(jī)抽取10名學(xué)生，用表示這10名學(xué)生中恰有名學(xué)生數(shù)學(xué)閱讀時(shí)間在小時(shí)的概率，求取最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的的值．
0
1
…
…
…
…
0
1
…
…
工種類別
A
B
C
賠付頻率
用時(shí)/秒
[5，10]
(10，15]
(15，20]
(20，25]
男性人數(shù)
15
22
14
9
女性人數(shù)
5
11
17
7
年份
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
新能源汽車銷量占比
甲校
乙校
使用AI作業(yè)
不使用AI作業(yè)
使用AI作業(yè)
不使用AI作業(yè)
基本掌握
32
28
50
30
沒(méi)有掌握
8
14
12
26
理論
操作
100分
200分
300分
100分
0
2
1
200分
3
b
1
300分
2
3
a
獲得代金券金額（萬(wàn)元）
0
“顧客勝利”次數(shù)
0
1
2
3
時(shí)間（小時(shí)/周）
0
人數(shù)
20
40
30
10

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