知識點(diǎn)一：兩直線平行與垂直的判定
兩條直線平行與垂直的判定以表格形式出現(xiàn)，如表所示．
知識點(diǎn)二：三種距離
1．兩點(diǎn)間的距離
平面上兩點(diǎn)的距離公式為．
特別地，原點(diǎn)O（0，0）與任一點(diǎn)P（x，y）的距離
2．點(diǎn)到直線的距離
點(diǎn)到直線的距離
特別地，若直線為l：x=m，則點(diǎn)到l的距離；若直線為l：y=n，則點(diǎn)到l的距離
3．兩條平行線間的距離
已知是兩條平行線，求間距離的方法：
（1）轉(zhuǎn)化為其中一條直線上的特殊點(diǎn)到另一條直線的距離．
（2）設(shè)，則與之間的距離
注：兩平行直線方程中，x，y前面對應(yīng)系數(shù)要相等．
4．雙根式
雙根式型函數(shù)求解，首先想到兩點(diǎn)間的距離，或者利用單調(diào)性求解．
【方法技巧與總結(jié)】
1．點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱
點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對稱的本質(zhì)是中點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，有
可得對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為
2．點(diǎn)關(guān)于直線對稱
點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，連接，交于點(diǎn)，則垂直平分，所以，且為中點(diǎn)，又因?yàn)樵谥本€上，故可得，解出即可．
3．直線關(guān)于點(diǎn)對稱
法一：在已知直線上取兩點(diǎn)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出它們關(guān)于已知點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)式求出直線方程；
法二：求出一個對稱點(diǎn)，再利用兩對稱直線平行，由點(diǎn)斜式得到所求直線方程．
4．直線關(guān)于直線對稱
求直線，關(guān)于直線（兩直線不平行）的對稱直線
第一步：聯(lián)立算出交點(diǎn)
第二步：在上任找一點(diǎn)（非交點(diǎn)），利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱的秒殺公式算出對稱點(diǎn)
第三步：利用兩點(diǎn)式寫出方程
5．常見的一些特殊的對稱
點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為．
點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．
點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．
點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為．
點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為．
6．過定點(diǎn)直線系
過已知點(diǎn)的直線系方程（為參數(shù)）．
7．斜率為定值直線系
斜率為的直線系方程（是參數(shù)）．
8．平行直線系
與已知直線平行的直線系方程（為參數(shù)）．
9．垂直直線系
與已知直線垂直的直線系方程（為參數(shù)）．
10．過兩直線交點(diǎn)的直線系
過直線與的交點(diǎn)的直線系方程：（為參數(shù)）．
【題型歸納目錄】
題型一：兩直線位置關(guān)系的判定
題型二：有關(guān)距離的計算
題型三：有關(guān)距離的最值問題
題型四：點(diǎn)點(diǎn)對稱
題型五：點(diǎn)線對稱
題型六：線點(diǎn)對稱
題型七：線線對稱
題型八：直線系方程
【典例例題】
題型一：兩直線位置關(guān)系的判定
例1．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））已知直線：，：，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】當(dāng)時，：，即；：，
即，兩直線的斜率相等，所以，即“”是“”的充分條件；
當(dāng)時，，解得或，當(dāng)時，兩直線方程不同，符合題意，
當(dāng)時，：，：即，不符合題意，
所以，當(dāng)時，，即“”是“”的必要條件，
綜上所述，“”是“”的充要條件．
故選：C．
例2．（2021·全國·高三專題練習(xí)（文））已知，則直線：和直線：的位置關(guān)系為（ ）
A．垂直或平行B．垂直或相交
C．平行或相交D．垂直或重合
【答案】D
【解析】因?yàn)?，所以或?br>當(dāng)時，：，：，，
所以，則兩直線垂直；
當(dāng)時，：，：，則兩直線重合．故選：D
例3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，則滿足的的值是（ ）
A．B．0C．或0D．或0
【答案】C
【解析】由可得，得或，
當(dāng)時，，，符合題意；
當(dāng)時，，，符合題意；
故滿足的的值為0或．
故選：C．
例4．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知直線與直線互相平行，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．B．2或C．2D．
【答案】D
【解析】直線斜率必存在，
故兩直線平行，則，即，解得，
當(dāng)時，兩直線重合，∴．
故選：D．
例5．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）在1765年在其所著作的《三角形的幾何學(xué)》－書中提出：三角形的外心（中垂線的交點(diǎn)）、重心（中線的交點(diǎn)）、垂心（高的交點(diǎn)）在同一條直線上，后來，人們把這條直線稱為歐拉線．若△ABC的頂點(diǎn)A（－4，0），B（0，4），其歐拉線方程為x－y＋2＝0，則下列說法正確的是（ ）
A．△ABC的外心為（－1，1）B．△ABC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)可能為（－2，0）
C．△ABC的垂心坐標(biāo)可能為（－2，0）D．△ABC的重心坐標(biāo)可能為
【答案】ACD
【解析】由頂點(diǎn)A（－4，0），B（0，4），可知直線AB的垂直分線方程為，
的外心在直線x－y＋2＝0上，
聯(lián)立，可得外心坐標(biāo)為（－1，1），故A正確；
設(shè)外心為G，則G（－1，1），故，
所以外接圓方程為，
設(shè)，則的重心為，代入歐拉線方程為x－y＋2＝0中，
得：，和聯(lián)立，解得或，
即C點(diǎn)坐標(biāo)可以為，故B錯誤；
由C點(diǎn)坐標(biāo)為，可知重心可能為，故D正確；
當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為時，過C和AB垂直的直線方程為，
聯(lián)立歐拉線方程為x－y＋2＝0可解得垂心坐標(biāo)為；
當(dāng)C點(diǎn)坐標(biāo)為時，過C和AB垂直的直線方程為，
聯(lián)立歐拉線方程為x－y＋2＝0可解得垂心坐標(biāo)為，故C正確，
故選：ACD．
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））直線和直線垂直，則實(shí)數(shù)__________．
【答案】0或1【解析】因直線和直線垂直，
則有，即，解得或，
所以或．
故答案為：0或1
例7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“”是“直線與直線垂直”的（ ）
A．充分必要條件B．充分不必要條件
C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】直線與直線垂直，
則，解得：或，
所以“”是“直線與直線垂直”的充分不必要條件．
故選：B．
例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線與直線互相垂直，且兩直線交點(diǎn)位于第三象限，則實(shí)數(shù)a的值為（ ）
A．1B．3C．－1D．－3
【答案】C
【解析】由直線與直線互相垂直，
可得，解得或3，
當(dāng)時，聯(lián)立，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為，不合題意；
當(dāng)時，聯(lián)立，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為，合乎題意，
故實(shí)數(shù)a的值為，
故選：C
【方法技巧與總結(jié)】
判斷兩直線的位置關(guān)系可以從斜率是否存在分類判斷，也可以按照以下方法判斷：一般地，設(shè)（不全為0），（不全為0），則：
當(dāng)時，直線相交；
當(dāng)時，直線平行或重合，代回檢驗(yàn)；
當(dāng)時，直線垂直，與向量的平行與垂直類比記憶．
題型二：有關(guān)距離的計算
例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，原點(diǎn)到直線的距離等于（ ）
A．1B．C．D．3
【答案】B
【解析】原點(diǎn)到直線的距離為．
故選：B．
例10．（2022·吉林市教育學(xué)院模擬預(yù)測（理））已知兩點(diǎn)到直線的距離相等，則（ ）
A．2B．C．2或D．2或
【答案】D
【解析】因?yàn)閮牲c(diǎn)到直線的距離相等，
所以有，或，
故選：D
例11．（2021·福建·晉江市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）直線l過點(diǎn)，且到l的距離相等，則直線l的方程是（ ）
A．B．
C．或D．或
【答案】C
【解析】顯然直線l的斜率存在，故設(shè)直線l為：，即，
則或或，
∴l(xiāng)方程為：，
．
故選：C．
例12．（2021·全國·高二課時練習(xí)）已知的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)是，，．則的形狀為______；的面積為______．
【答案】直角三角形 5
【解析】因?yàn)椋?br>，，
所以，即是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形．
由于是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以．
故答案為：直角三角形；
例13．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知的頂點(diǎn)為，則邊上的中線長為____．
【答案】
【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，
因?yàn)榈捻旤c(diǎn)，，
則，又，
所以．
故答案為：．
例14．（2016·天津市紅橋區(qū)教師發(fā)展中心高二期中（文））已知點(diǎn)，，若在軸上存在一點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的坐標(biāo)為___________．
【答案】
【解析】設(shè)，則，解得，
點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故答案為：．
例15．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線和互相平行，則它們之間的距離是（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【解析】由直線平行可得，解得，則直線方程為，即，則距離是．
故選：D．
例16．（2022·江蘇·高二）若兩條平行線與之間的距離是2，則m的值為（ ）
A．或11B．或10
C．或12D．或11
【答案】A
【解析】因?yàn)閮蓷l平行線與之間的距離是2，
所以，或，
故選：A
【方法技巧與總結(jié)】
兩點(diǎn)間的距離，點(diǎn)到直線的距離以及兩平行直線間的距離的計算，特別注意點(diǎn)到直線距離公式的結(jié)構(gòu)．
題型三：有關(guān)距離的最值問題
例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線：，：，直線垂直于，，且垂足分別為A，B，若，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．8
【答案】C
【解析】因直線垂直于，，則設(shè)直線l3的方程為：，
由得點(diǎn)，由得點(diǎn)，而，，
于是得，
而表示動點(diǎn)到定點(diǎn)與的距離的和，
顯然，動點(diǎn)在直線上，點(diǎn)與在直線兩側(cè)，因此，，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M是直線與線段EF：的交點(diǎn)，即原點(diǎn)時取“=”，此時m=0，
從而得取最小值，
所以，當(dāng)直線l3方程為：時，取最小值．
故選：C
例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）“曼哈頓距離”也叫“出租車距離”，是19世紀(jì)德國猶太人數(shù)學(xué)家赫爾曼·閔可夫斯基首先提出來的名詞，用來表示兩個點(diǎn)在標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)系上的絕對軸距總和，即在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，若，，則，兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”為，下列直角梯形中的虛線可以作為，兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】根據(jù)題意：，兩點(diǎn)的“曼哈頓距離”為，再結(jié)合四個選項可以判斷只有C選項符合題意．
故選：C．
例19．（2022·廣東潮州·二模）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在位置為，若將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（ ）．
A．5B．C．45D．
【答案】B
【解析】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
所以即為“將軍飲馬”的最短總路程，
則“將軍飲馬”的最短總路程為．
故選：B．
例20．（2022·上海虹口·高二期末）已知點(diǎn)在直線上，則的最小值為________．
【答案】2
【解析】可以理解為點(diǎn)到點(diǎn)的距離，
又∵點(diǎn)在直線上，
∴的最小值等于點(diǎn)到直線的距離，
且．
故答案為：．
例21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）記，，，則的最小值是___________．
【答案】
【解析】表示點(diǎn)，兩點(diǎn)之間距離的平方，
點(diǎn)的軌跡方程是，點(diǎn)的軌跡方程是，
設(shè)平行于且與相切的直線方程為，
聯(lián)立，得，
由，解得：，
所以與相切的直線方程為或，
，兩點(diǎn)之間距離的最小值，
即為兩平行直線與間的距離，為，
的最小值是．
故答案為：．
例22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）求函數(shù)的最小值為___________．
【答案】5
【解析】函數(shù)
表示軸上動點(diǎn)到和的距離和，當(dāng)
為與軸的交點(diǎn)時，函數(shù)取最小值，
故答案為：5
例23．（2020·全國·高三專題練習(xí)（文））已知點(diǎn)，，動點(diǎn)P，Q分別在直線和上，且PQ與兩直線垂直，則的最小值為___________．
【答案】5+2
【解析】設(shè)，因?yàn)镻Q與兩直線垂直且，
則，
故．
此式表示為點(diǎn)到及的距離之和，其最小值即為．
故所求最小值為．
故答案為：
例24．（2020·上?！?fù)旦附中青浦分校高三開學(xué)考試）已知二元函數(shù)的最小值為，則正實(shí)數(shù)a的值為__________________．
【答案】2
【解析】由題意得，
其幾何意義為：點(diǎn)與點(diǎn)的距離之和，
如圖所示：
設(shè)點(diǎn)，則求的最小值即可，
以B為旋轉(zhuǎn)中心，將繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)60°至，連接，
則均為等邊三角形，
所以，
所以，
即，
又，所以，
化簡可得，
左右同時平方，根據(jù)，解得，
故答案為：2
例25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句詩說：“百日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題．即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域?yàn)椋魧④姀狞c(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，則“將軍飲馬”的最短路程為________．
【答案】
【解析】設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，
的中點(diǎn)為，
故解得，
要使從點(diǎn)A到軍營總路程最短，
即為點(diǎn)到軍營最短的距離，
“將軍飲馬”的最短總路程為，
故答案為：
例26．（2021·河北石家莊·高三階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，點(diǎn)分別為直線和上動點(diǎn)，則△周長的最小值為_________．
【答案】
【解析】點(diǎn)關(guān)于直線和對稱點(diǎn)為，
因?yàn)椋?br>又因?yàn)椋?br>所以△周長的最小值為．
故答案為：
例27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)和點(diǎn)，P是直線上的一點(diǎn)，則的最小值是__________．
【答案】3
【解析】如圖，可得兩點(diǎn)在直線的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，
則，
所以的最小值為，
因?yàn)椋本€為，所以，
所以，
所以的最小值是3
故答案為：3
例28．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）已知圓，圓，點(diǎn)M、N分別是圓、圓上的動點(diǎn)，點(diǎn)P為x軸上的動點(diǎn)，則的最大值是（ ）
A．B．9C．7D．
【答案】B
【解析】圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為．
，
又，，
．
點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為，
，
所以，，
故選：B．
例29．（2022·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微．”事實(shí)上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決．例如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離的幾何問題．結(jié)合上述觀點(diǎn)，對于函數(shù)，的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
表示動點(diǎn)到定點(diǎn)和的距離之和，
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上運(yùn)動，
作關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，則，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時取等，
故的最小值為
故選：A
例30．（2022·浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)高二期末）原點(diǎn)到直線的距離的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)榭苫癁椋?br>所以直線過直線與直線交點(diǎn)，
聯(lián)立可得
所以直線過定點(diǎn)，
當(dāng)時，原點(diǎn)到直線距離最大，最大距離即為，
此時最大值為，
故選：C．
例31．（2022·全國·高二）設(shè)，過定點(diǎn)的動直線和過定點(diǎn)的動直線交于點(diǎn)，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】直線可整理為，故恒過定點(diǎn)，即為A的坐標(biāo)；
直線整理為，故恒過定點(diǎn)，即為B坐標(biāo)；
又兩條直線垂直，故可得，
即
整理得
解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取得最大值．
故選：A．
例32．（多選題）（2022·重慶·模擬預(yù)測）“出租車幾何”或“曼哈頓距離”（ManhattanDistance）是由十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯，是種被使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，對于任意兩點(diǎn)、，定義它們之間的“歐幾里得距離”，“曼哈頓距離”為，則下列說法正確的是（ ）
A．若點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，則為定值
B．對于平面上任意一點(diǎn)，若，則動點(diǎn)的軌跡長度為
C．對于平面上任意三點(diǎn)、、，都有
D．若、為橢圓上的兩個動點(diǎn)，則最大值為
【答案】AC
【解析】對于A選項，設(shè)點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，
則，A對；
對于B選項，設(shè)點(diǎn)，則，
當(dāng)，時，則；當(dāng)，時，則；
當(dāng)，時，則；當(dāng)，時，則．
作出點(diǎn)的軌跡如下圖所示：
由圖可知，點(diǎn)的軌跡是邊長為的正方形，故動點(diǎn)的軌跡長度為，B錯；
對于C選項，設(shè)點(diǎn)、、，
由絕對值三角不等式可得，
同理可得，
所以，，即，C對；
對于D選項，設(shè)點(diǎn)、，
不妨設(shè)，，
則
，其中為銳角，且，
取，，等號成立，D錯．
故選：AC．
例33．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l：3x－y－1＝0及點(diǎn)A（4，1），B（0，4），C（2，0）．
（1）試在l上求一點(diǎn)P，使|AP|＋|CP|最小；
（2）試在l上求一點(diǎn)Q，使|AQ|－|BQ|最大．
【解析】（1）如圖①，設(shè)點(diǎn)C關(guān)于l的對稱點(diǎn)為C′（a，b），
則，解得，所以C′（－1，1）．
所以直線AC′的方程為y＝1．
由，得直線AC′與直線l的交點(diǎn)為，此時|AP|＋|CP|取最小值．
（2）如圖②，設(shè)點(diǎn)B關(guān)于l的對稱點(diǎn)為B′（m，n），
則，解得，所以B′（3，3）．
所以直線AB′的方程為2x＋y－9＝0．
由，得直線AB′與直線l的交點(diǎn)為Q（2，5），此時|AQ|－|BQ|取最大值．
例34．（多選題）（2022·湖北·十堰市教育科學(xué)研究院高三期末）“曼哈頓距離”是由赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯，是一種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，的曼哈頓距離為．若點(diǎn)，Q是圓上任意一點(diǎn)，則的取值可能為（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】ABC
【解析】依題意圓，
設(shè)，
當(dāng)時，，
，，，
當(dāng)時，，
，，．
綜上所述，，ABC選項符合，D選項不符合．
故選：ABC
例35．（多選題）（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知圓C1：（x＋6）2＋（y－5）2＝4，圓C2：（x－2）2＋（y－1）2＝1，M，N分別為圓C1和C2上的動點(diǎn)，P為x軸上的動點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的值可以是（ ）
A．6B．7C．10D．15
【答案】BCD
【解析】，，關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為
故
又兩圓的半徑分別為2，1
故
滿足要求的值有B，C，D
故選：BCD
【方法技巧與總結(jié)】
數(shù)學(xué)結(jié)合，利用距離的幾何意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化．
題型四：點(diǎn)點(diǎn)對稱
例36．（2022·全國·高二）過點(diǎn)的直線與軸?軸分別交于兩點(diǎn)，且恰好是的中點(diǎn)，則的斜率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)，，則，解得：，，，
．
故選：D．
例37．（2021·全國·高二課時練習(xí)）已知，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則______．
【答案】
【解析】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式知：，，解得：，，．
故答案為：．
例38．（2022·內(nèi)蒙古包頭·高一期末）直線被直線和所截得的線段中點(diǎn)恰為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線l的方程為______．
【答案】
【解析】設(shè)直線與和，分別交于點(diǎn)和，
因?yàn)樗氐玫木€段中點(diǎn)恰為坐標(biāo)原點(diǎn)，可得，解得，
所以和，則，
可得直線的方程為，即．
故答案為：．
例39．（2022·海南·高二期末）已知點(diǎn)，，其中，若線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線的方程為________．
【答案】
【解析】由，，
得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
所以，解得，
所以直線的方程為，即．
故答案為：．
【方法技巧與總結(jié)】
求點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對稱的點(diǎn)，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得
題型五：點(diǎn)線對稱
例40．（2021·江西省峽江中學(xué)高二期中（理））在等腰直角三角形中，點(diǎn)是邊異于、的一點(diǎn)．光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過、反射后又回到點(diǎn)（如圖）．若光線經(jīng)過的重心，且則_________
【答案】
【解析】建立平面直角坐標(biāo)如圖，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，作關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，設(shè)，
因?yàn)?，?br>所以，解得，
由光的反射原理可知：四點(diǎn)共線，所以，
所以，代入重心坐標(biāo)即，
所以，解得或（舍）．
故答案為：．
例41．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)（0，4）關(guān)于直線x－y+1＝0的對稱點(diǎn)為（ ）
A．（－1，2）B．（2，－1）C．（1，3）D．（3，1）
【答案】D
【解析】設(shè)點(diǎn)（0，4）關(guān)于直線x－y+1＝0的對稱點(diǎn)是（a，b），
則，解得：，
故選：D．
例42．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知A（4，－3）關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為B（－2，5），則直線l的方程是（ ）
A．3x＋4y－7＝0B．3x－4y＋1＝0
C．4x＋3y－7＝0D．3x＋4y－1＝0
【答案】B
【解析】由題意得AB的中點(diǎn)C為（1，1），又A，B兩點(diǎn)連線的斜率為，
所以直線l的斜率為，因此直線l的方程為，即3x－4y＋1＝0．
故選：B．
例43．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l：，一條光線經(jīng)直線的定點(diǎn)T射入，先后被x軸、x+y=0反射回T點(diǎn)，求光線在這個過程中走過的路程．
【解析】直線l：即為，
所以直線過定點(diǎn)，
因?yàn)橐粭l光線經(jīng)定點(diǎn)T射入，先后被x軸、x+y=0反射回T點(diǎn)，
如圖所示：
易知
則，
即光線在這個過程中走過的路程為．
例44．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l：2x－3y＋1＝0，點(diǎn)A（－1，－2），求點(diǎn)A關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A′的坐標(biāo)．
【解析】設(shè)，由題設(shè)有，整理得，解得，
所以．
【方法技巧與總結(jié)】
求點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)
方法一：（一中一垂），即線段的中點(diǎn)M在對稱軸上，若直線的斜率存在，則直線的斜率與對稱軸的斜率之積為－1，兩個條件建立方程組解得點(diǎn)
方法二：先求經(jīng)過點(diǎn)且垂直于對稱軸的直線（法線），然后由得線段的中點(diǎn)，從而得
題型六：線點(diǎn)對稱
例45．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】設(shè)所求直線上任一點(diǎn)為，則其關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)為，
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，
所以，化簡得，
所以所求直線方程為，
故選：B
例46．（2022·全國·高三專題練習(xí)）點(diǎn)在直線上，直線與關(guān)于點(diǎn)對稱，則一定在直線上的點(diǎn)為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題設(shè)，關(guān)于對稱的點(diǎn)必在上，若該點(diǎn)為，
∴，解得，即一定在直線上．
故選：C
例47．（2022·全國·高三專題練習(xí)）直線恒過定點(diǎn)，則直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程為_________．
【答案】
【解析】由得：，當(dāng)時，，；
設(shè)直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程為，
，解得：或（舍），
直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程為．
故答案為：．
例48．（2023·全國·高三專題練習(xí)）直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】設(shè)對稱的直線方程上的一點(diǎn)的坐標(biāo)為，
則其關(guān)于點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，
所以即．
故選：D．
【方法技巧與總結(jié)】
求直線l關(guān)于點(diǎn)中心對稱的直線
求解方法是：在已知直線l上取一點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)中心對稱得，再利用，由點(diǎn)斜式方程求得直線的方程（或者由，且點(diǎn)到直線l及的距離相等來求解）．
題型七：線線對稱
例49．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對稱直線為，則直線的方程為_______________．
【答案】．
【解析】由題意知，設(shè)直線，在直線上取點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
則，解得，即，
將代入的方程得，
所以直線的方程為．
故答案為：
例50．（2021·全國·模擬預(yù)測）與直線關(guān)于對稱的直線的方程為__________．
【答案】
【解析】聯(lián)立，解得，所以直線與直線的交點(diǎn)為，
在直線上取點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
則，解得，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
由兩點(diǎn)式可得與直線關(guān)于對稱的直線的方程為：
，即．
故答案為：
例51．（2020·全國·高三專題練習(xí)（文））直線x－2y＋2＝0關(guān)于直線x＝1對稱的直線方程是________．
【答案】x＋2y－4＝0
【解析】
法一：設(shè)P（x，y）為所求直線上的點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于直線x＝1的對稱點(diǎn)為（2－x，y），然后，直接代入求解即可；
法二：直線x－2y＋2＝0與直線x＝1的交點(diǎn)為P，在利用對稱的直線，斜率互為相反數(shù)，進(jìn)而求解即可；
【詳解】
法一：設(shè)P（x，y）為所求直線上的點(diǎn)，該點(diǎn)關(guān)于直線x＝1的對稱點(diǎn)為（2－x，y），且該對稱點(diǎn)在直線x－2y＋2＝0上，代入可得x＋2y－4＝0．
法二：直線x－2y＋2＝0與直線x＝1的交點(diǎn)為P，則所求直線過點(diǎn)P．因?yàn)橹本€x－2y＋2＝0的斜率為，所以所求直線的斜率為，故所求直線的方程為，即x＋2y－4＝0
故答案為：x＋2y－4＝0
例52．（2022·全國·高三專題練習(xí)）與直線關(guān)于軸對稱的直線的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】直線的斜率為，與x軸交于點(diǎn)，
直線關(guān)于軸對稱的直線的斜率為，并且過點(diǎn)A，
由直線的點(diǎn)斜式方程得：，即，
所以所求直線的方程為：．
故選：D
例53．（2021·全國·高二課時練習(xí)）已知直線，，．
（1）求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程；
（2）求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程．
【解析】（1）因?yàn)?，所以?br>設(shè)直線的方程為（，且）．
在直線上取點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
則，解得，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為．
把點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程，得，解得，
所以直線的方程為．
（2）由，得，
所以與的交點(diǎn)坐標(biāo)為．
另取上不同于A的一點(diǎn)，
設(shè)關(guān)于的對稱點(diǎn)為，
則，得，
即點(diǎn)的坐標(biāo)為．
所以過與的直線的方程為，
即．
例54．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線l：，P（3，-1），當(dāng)k為1時，求直線l關(guān)于點(diǎn)P的對稱直線l′，并求直線l與l′間的距離
【解析】當(dāng)時，直線，
在直線上取點(diǎn)和，
點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，
則點(diǎn)和點(diǎn)在直線上，
由兩點(diǎn)式可得直線的方程：，即，
此時直線與間的距離為．
例55．（2020·全國·高三專題練習(xí)）直線關(guān)于直線對稱的直線方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】
求得直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，進(jìn)而求得點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解．
【詳解】
由直線，可得與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為，
設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
則滿足，解得，
同理求得點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，
又由，所以直線的方程為，即，
所以直線方程關(guān)于的對稱直線方程為．
故選：A．
例56．（2020·全國·高三專題練習(xí)（文））直線l1：2x＋y－4＝0關(guān)于直線l：x－y＋2＝0對稱的直線l2的方程為（ ）
A．x－3y＋14＝0B．x＋y－2＝0C．x＋2y－6＝0D．2x－y+8＝0
【答案】C
【解析】解方程組得直線l1與直線l的交點(diǎn)．
在直線l1上取一點(diǎn)B（2，0），設(shè)點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)為C（x，y），
則解得，即C（－2，4）．
又直線l2過和C（－2，4）兩點(diǎn)，
故由兩點(diǎn)式得直線l2的方程為，
即x＋2y－6＝0．
故選：C．
【方法技巧與總結(jié)】
求直線l關(guān)于直線對稱的直線
若直線，則，且對稱軸與直線l及之間的距離相等．
此時分別為，由，求得，從而得．
若直線l與不平行，則．在直線l上取異于Q的一點(diǎn)，然后求得關(guān)于直線對稱的點(diǎn)，再由兩點(diǎn)確定直線（其中）．
題型八：直線系方程
例57．（2021·安徽省六安中學(xué)高二期中（理））已知兩直線和的交點(diǎn)為，則過兩點(diǎn)的直線方程為_________．
【答案】
【解析】依題意兩直線和的交點(diǎn)為，
所以在直線上，
所以過兩點(diǎn)所在直線方程為．
故答案為：
例58．（2022·全國·高二專題練習(xí)）求過兩條直線與的交點(diǎn)，且分別滿足下列條件的直線方程：
（1）斜率為；
（2）過點(diǎn)；
（3）平行于直線．
【解析】（1）法一：直線與的交點(diǎn)為，
當(dāng)斜率為時，由直線的點(diǎn)斜式方程得：直線方程為．
直線方程為．
法二：由題意，直線不符合題意，
所以由直線系方程可設(shè)所求直線為
，
當(dāng)直線的斜率為時，，解得，
故所求直線方程為；
（2）法一：過點(diǎn)時，由兩點(diǎn)式得：即為．
直線方程為．
法二：由題意，直線不符合題意，
過點(diǎn)時，代入（1）中直線系方程得，
故所求直線方程為．
（3）法一：平行于直線時，得直線斜率為，直線方程為，
直線方程為．
法二：由題意，直線不符合題意，
平行于直線時，由（1）中直線系方程，解得，
故所求直線方程為．
例59．（2022·江蘇·高二）直線經(jīng)過直線的交點(diǎn)，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形，求直線的方程．
【解析】設(shè)直線方程為，
化簡得，
直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰直角三角形，
直線的斜率為，
或，解得或．
代入并化簡得直線的方程為或．
所以所求的直線方程為或．
例60．（2021·全國·高二專題練習(xí)）求過直線x+y+1＝0與2x+3y﹣4＝0的交點(diǎn)且斜率為﹣2的直線方程．
【解析】設(shè)過直線x+y+1＝0與2x+3y﹣4＝0的交點(diǎn)的直線方程為x+y+1+λ（2x+3y﹣4）＝0，
即（1+2λ）x+（1+3λ）y+1﹣4λ＝0，它的斜率為2，
解得λ，
∴所求的直線方程為2x+y+8＝0．
例61．（2021·全國·高一課時練習(xí)）求經(jīng)過直線與的交點(diǎn)，且過點(diǎn)的直線方程．
【解析】易知直線不符合所求方程，設(shè)所求直線方程為，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，解得，
故所求直線方程為，整理得．
【方法技巧與總結(jié)】
利用直線系方程求解．
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】由題意可知，設(shè)所求直線的方程為，
將點(diǎn)代入直線方程中，得，解得，
所以所求直線的方程為，即．
故選：B．
2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知直線，則是的（ ）
A．充分不必要條件B．充要條件
C．既不充分也不必要條件D．必要不充分條件
【答案】B
【解析】若兩直線平行，則，解得：或，
當(dāng)時，兩直線重合，故不符合題意，舍去；
當(dāng)時，兩直線平行，符合題意．故．
所以是的充要條件，
故選：B．
3．（2022·重慶·三模）已知直線上存在一點(diǎn)P，滿足，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因?yàn)橹本€上存在一點(diǎn)P，使得，
所以原點(diǎn)O到直線l的距離的最大值為1，即，解得：，
即k的取值范圍是．
故選：C
4．（2022·河北邯鄲·模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將三角板的端點(diǎn)?分別放在軸和軸的正半軸上運(yùn)動，點(diǎn)在第一象限，且，若，則點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離（ ）
A．最大值為2B．最大值為
C．最大值為D．最大值為
【答案】C
【解析】依題意，，，．
取中點(diǎn)為，由于為直角三角形，故
由于為直角三角形，故
顯然，，當(dāng)且僅當(dāng)??三點(diǎn)共線時，等號成立．
因此，最大值為．
故選：C．
5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知與是直線（為常數(shù)）上兩個不同的點(diǎn)，則關(guān)于和的方程組的解的情況是（ ）
A．無論，，如何，方程組總有解
B．無論，，如何，方程組總有唯一解
C．存在，，，方程組無解
D．存在，，，方程組無窮多解
【答案】B
【解析】已知與是直線（為常數(shù)）上兩個不同的點(diǎn)，
所以，即，并且，．
所以
得：即，
所以方程組有唯一解．
故選：B
6．（2017·河南新鄉(xiāng)·高三）設(shè)a、b、c分別為中、、所對邊的邊長，則與的位置關(guān)系是（ ）
A．相交但不垂直B．垂直
C．平行D．重合
【答案】B
【解析】由題可知：直線與的斜率分別為，
又在中，所以，所以兩條直線垂直，
故選：B．
7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)學(xué)家華羅曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，”事實(shí)上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，例如，與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)B（a，b）之間的距離的幾何問題，結(jié)合上述觀點(diǎn)，可得方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由可得
4
表示點(diǎn)（x，1）到定點(diǎn)（-3，0）和（3，0）的距離之差等于4，
由雙曲線的定義可知，點(diǎn)（x，1）在以（-3，0）和（3，0）為焦點(diǎn)，
的雙曲線的右支上，所以，所以雙曲線方程為，
令可得，因?yàn)椋裕?br>即方程的解是，
故選：C．
8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)A在直線上，點(diǎn)B在直線上，線段AB的中點(diǎn)為，且滿足，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，，則，
的中點(diǎn)為，，
分別在直線和，
，，
，即．
，即，
又，，即，
所以，即，
所以，
解得．
故選：A．
二、多選題
9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）（多選）設(shè)點(diǎn)P（-4，2），Q（6，-4），R（12，6），S（2，12），則有（ ）
A．PQ∥SRB．PQ⊥PS
C．PS∥QSD．PR⊥QS
【答案】ABD
【解析】依題意，直線PQ，SR，PS，QS，PR的斜率分別為：，，
，，，
由得PQ∥SR，由得PQ⊥PS，由得PR⊥QS，而得PS與QS不平行，
即選項ABD正確，選項C不正確．
故選：ABD
10．（2021·湖北襄陽·高三階段練習(xí)）已知曲線的方程為，則（ ）
A．曲線可能是直線B．當(dāng)時，直線與曲線相切
C．曲線經(jīng)過定點(diǎn)D．當(dāng)時，直線與曲線相交
【答案】ACD
【解析】當(dāng)時，曲線的方程為：，表示直線，故A正確；
由，得，
令，得，所以曲線經(jīng)過定點(diǎn)，故C正確；
當(dāng)時，曲線的方程為：，即，
此時曲線表示圓，且圓心為，半徑，
因?yàn)榈街本€的距離，
所以直線與曲線不相切，故B錯誤；
到直線的距離，
所以直線與曲線相交，故D正確．
故選：ACD．
11．（2021·重慶一中高三期中）若過點(diǎn)，，，作四條直線構(gòu)成一個正方形，則該正方形的面積可能等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABD
【解析】當(dāng)過點(diǎn)A和點(diǎn)C的直線平行，過點(diǎn)B和點(diǎn)D的直線平行時，且兩組平行線互相垂直，故設(shè)過點(diǎn)A和點(diǎn)C的直線為和，則過點(diǎn)B和點(diǎn)D的直線為和，
其中和的距離與和的距離相等，即，解得：，故正方形的邊長為，該正方形的面積為，
當(dāng)過點(diǎn)A和點(diǎn)B的直線平行，過點(diǎn)C和點(diǎn)D的直線平行時，且兩組平行線互相垂直，故設(shè)過點(diǎn)A和點(diǎn)B的直線為和，則過點(diǎn)C和點(diǎn)D的直線為和，其中和的距離與和的距離相等，即，解得：，故正方形的邊長為，該正方形的面積為
當(dāng)過點(diǎn)A和點(diǎn)D的直線平行，過點(diǎn)B和點(diǎn)C的直線平行時，且兩組平行線互相垂直，故設(shè)過點(diǎn)A和點(diǎn)D的直線為和，則過點(diǎn)B和點(diǎn)C的直線為和，其中和的距離與和的距離相等，即，解得：，故正方形的邊長為，該正方形的面積為
故選：ABD
12．（2022·河北衡水·高三階段練習(xí)）已知，過定點(diǎn)的直線為與過定點(diǎn)的直線，兩條動直線的交點(diǎn)為，則（ ）
A．定點(diǎn)
B．定點(diǎn)
C．點(diǎn)的軌跡方程為
D．的最大值為
【答案】BC
【解析】對于A選項，直線過定點(diǎn)，A錯；
對于B選項，直線的方程可化為，
由可得，故定點(diǎn)，B對；
對于C選項，，所以，，所以，，
線段的中點(diǎn)為，且，所以，，
所以，點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，
所以，點(diǎn)的軌跡方程為，即，C對；
對于D選項，設(shè)點(diǎn)，，，
所以，，
所以，，
記點(diǎn)，則，
因?yàn)榍遥?br>所以，，
所以，，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點(diǎn)共線且點(diǎn)在線段上時，
等號成立，故的最大值為，D錯．
故選：BC．
三、填空題
13．（2022·全國·高二專題練習(xí)）若與為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別為，，斜率分別為，，則下列命題
①若，則斜率；②若斜率，則；
③若，則傾斜角；④若傾斜角，則；
其中正確命題的個數(shù)是______．
【答案】
【解析】因?yàn)榕c為兩條不重合的直線，且它們的傾斜角分別為，，斜率分別為，．
①由于斜率都存在，若，則，此命題正確；
②因?yàn)閮芍本€的斜率相等即斜率，得到傾斜角的正切值相等即，即可得到，所以，此命題正確；
③因?yàn)?，根?jù)兩直線平行，得到，此命題正確；
④因?yàn)閮芍本€的傾斜角，根據(jù)同位角相等，得到，此命題正確；
所以正確的命題個數(shù)是4．
故答案為：．
14．（2022·全國·高二專題練習(xí)）如圖已知，若光線從點(diǎn)射出，直線反射后到直線上，在經(jīng)直線反射回原點(diǎn)，則光線所在的直線方程為________．
【答案】
【解析】由題意知直線的方程為，
設(shè)光線分別射在上的處，
作出點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，作出點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)，
則∠∠∠，∠∠∠，
共線，
易得點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，
∠，
，的橫坐標(biāo)為，
由對稱性可知，可得的縱坐標(biāo)為，
，
直線方程，即，
聯(lián)立，得，，則，
直線：，即光線所在的直線方程為．
15．（2022·青?！ご笸ɑ刈逋磷遄灾慰h教學(xué)研究室二模（理））不等式的解集為______．
【答案】
【解析】原不等式可化為，即平面上一點(diǎn)到點(diǎn)和距離之差的絕對值小于4的解．雙曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之差的絕對值為4，且雙曲線與直線的交點(diǎn)為和，所以原不等式的解集為．
故答案為：
16．（2021·重慶市第七中學(xué)校高二階段練習(xí)）“曼哈頓距離”是由赫爾曼閔可夫斯基所創(chuàng)的詞匯，是一種使用在幾何度量空間的幾何學(xué)用語，例如在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，、，的曼哈頓距離為：．若點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一動點(diǎn)，則的最大值為_________．
【答案】
【解析】由題意設(shè)，則．
當(dāng)時，即當(dāng)時，
，
，，
則當(dāng)時，的最大值為；
當(dāng)時，即當(dāng)時，
，，
則當(dāng)時，的最大值為．
綜上所述，的最大值為．
故答案為：．
四、解答題
17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知兩條直線和，試分別確定的值，使：
（1）與相交于一點(diǎn)；
（2）且過點(diǎn)；
（3）且l1在y軸上的截距為．
【解析】（1）由于與相交于一點(diǎn)，故把點(diǎn)代入的方程
可得，聯(lián)立解得．
（2）當(dāng)時，可得和，此時不滿足；
當(dāng)時，因?yàn)榍疫^點(diǎn)，可得，
解得或．
（3）由且l1在y軸上的截距為，可得，解得．
18．（2021·全國·高三專題練習(xí)）已知直線
（1）若直線在x軸上的截距為，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）直線與直線平行，求與之間的距離．
【解析】（1）直線，令，，則
（2）直線與直線平行，則，得
當(dāng)時，直線，即滿足條件
此時直線與之間的距離為
19．（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知直線，點(diǎn)．求：
（1）點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）直線關(guān)于直線對稱的直線的方程；
（3）直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的方程．
【解析】（1）因?yàn)辄c(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，，
直線，
解得，所以，
（2）設(shè)直線與直線的交點(diǎn)為，
聯(lián)立直線與直線，，解得，所以；
在直線上取一點(diǎn)，如，
則關(guān)于直線的對稱點(diǎn)必在直線上，
設(shè)對稱點(diǎn)，則，解得，所以，
經(jīng)過點(diǎn)，所以
所以直線的方程為整理得．
（3）設(shè)直線關(guān)于點(diǎn)對稱的直線的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
關(guān)于點(diǎn)對稱點(diǎn)為，
在直線上，
代入直線方程得：，所以直線的方程為：．
20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知平行四邊形ABCD的三個頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是（-2，1）、（-1，3）、（3，4）．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若線段OB交AD于M點(diǎn)，且，求t的值和相應(yīng)M點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解析】設(shè)，，由得，解得，
故，易知直線OB的方程為，直線AD的方程為，即，聯(lián)立，
解得，故，，由，解得．
21．（2020·全國·高三專題練習(xí)（理））已知平行四邊形的三個頂點(diǎn)坐標(biāo)為
（1）求平行四邊形的頂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）求平行四邊形的面積；
（3）在中，求外心的坐標(biāo)．
【解析】（1）AC中點(diǎn)為，該點(diǎn)也為BD中點(diǎn)，設(shè)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到：，解得：，
所以；
（2）故得到斜率為：，代入點(diǎn)坐標(biāo)可得到直線BC：，
∴A到BC的距離為，
又根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式得到：，∴四邊形ABCD的面積為．
（3）設(shè)點(diǎn)，則，即，
化簡得：，解得，所以外心的坐標(biāo)為．
22．（2016·江蘇常州·高三階段練習(xí)）如圖，相距14km的兩個居民小區(qū)M和N位于河岸l（直線）的同側(cè)，M和N距離河岸分別為10km和8km．現(xiàn)要在河的小區(qū)一側(cè)選一地點(diǎn)P，在P處建一個生活污水處理站，從P排直線水管PM，PN分別到兩個小區(qū)和垂直于河岸的水管PQ，使小區(qū)污水經(jīng)處理后排入河道．設(shè)PQ段長為tkm（0

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