新高考數(shù)學一輪復習方法技巧與題型歸納訓練專題12 導數(shù)中的“距離”問題（2份，原卷版+解析版）-試卷下載-教習網(wǎng)

題型一：曲線與直線的距離
題型二：曲線與點的距離
題型三：曲線與圓的距離
題型四：曲線與拋物線的距離
題型五：曲線與曲線的距離
題型六：橫向距離
題型七：縱向距離
【典例例題】
題型一：曲線與直線的距離
例1．已知函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)的值是．
【解答】解：，
函數(shù)可看作動點與動點之間距離的平方，
動點在的圖像上，在的圖像上，
問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動點到曲線的最小距離，
由，得，則，
故曲線上的點，到直線距離的最小值是，
則，根據(jù)題意若存在，使得，
則，此時恰為垂足，
由，故，解得：，
故答案為：．
例2．已知函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)的值為．
【解答】解：函數(shù)，
函數(shù)可以看作是動點與動點之間距離的平方，
動點在函數(shù)的圖象上，在直線的圖象上，
問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動點到曲線的最小距離，
由得，，解得，
所以曲線上點到直線的距離最小，最小距離，
則，
根據(jù)題意，要使，則，
此時恰好為垂足，由，解得．
故答案為：．
例3．若實數(shù)，，，滿足，則的最小值為．
【解答】解：實數(shù)，，，滿足，
，．
分別設(shè)，．
設(shè)直線與曲線相切于點，．
則，，解得，．
．
點到直線的距離．
則的最小值為．
故答案為：．
例4．設(shè)函數(shù)，其中，，存在使得成立，則實數(shù)的值是．
【解答】解：函數(shù)可以看作是動點與動點之間距離的平方，
動點在函數(shù)的圖象上，在直線的圖象上，
問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動點到曲線的最小距離，
由得，，解得，
曲線上點到直線的距離最小，最小距離，
則，
根據(jù)題意，要使，則，此時恰好為垂足，
由可得
，實數(shù)的值是5
故答案為：5
例5．已知函數(shù)的最小值是，則的值是
【解答】解：函數(shù)
，
可得表示兩點，的距離的平方，
即有函數(shù)，圖象上的兩點距離的最小值的平方為，
設(shè)直線與函數(shù)的圖象相切，
設(shè)切點為，可得，解得，
即有切點為，
則，
解得，
則的值為0.3．
例6．設(shè)函數(shù)，其中，．若存在正數(shù)，使得成立，則實數(shù)的值是
A．B．C．D．1
【解答】解：函數(shù)可以看作是動點與動點之間距離的平方，
動點在函數(shù)的圖象上，在直線的圖象上，
問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動點到曲線的最小距離，
由得，，解得，
曲線上點到直線的距離，
則，
根據(jù)題意，要使，則，此時恰好為垂足，
由，解得．
故選：．
例7．設(shè)函數(shù) ，其中，，存在使得成立，則實數(shù)的最小值為
A．B．C．D．1
【解答】解：函數(shù)可以看作動點，與點的距離的平方，點在曲線上，點在直線上，問題轉(zhuǎn)化為直線上的點到曲線上的點的距離的最小值，由求導可得，令，解得，此時，則，所以點到直線的距離即為直線與曲線之間最小的距離，故．
由于存在使得，則，即，
故選：．
例8．已知函數(shù)，若對任意的正實數(shù)，在上都是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是
A．，B．，C．，D．，
【解答】解：，
，
又對任意的正實數(shù)，在上都是增函數(shù)，
在上恒成立，
即在上恒成立，
的幾何意義為動點到直線，即上點的距離的平方，
其最小值為．
令，，
當時，，當時，，
（1），則的最小值為．
實數(shù)的取值范圍是．
故選：．
例9．已知實數(shù)，，，滿足，則的最小值為
A．B．8C．4D．16
【解答】解：由題意可知，，，
的幾何意義為曲線上的點到直線上的點連線的距離的平方，
不妨設(shè)曲線，直線，設(shè)與直線平行且與曲線相切的直線方程為，
顯然直線與直線的距離的平方即為所求，
由，得，設(shè)切點為，，
則，解得，
直線與直線的距離為，
的最小值為8．
故選：．
題型二：曲線與點的距離
例10．若點與曲線上點距離最小值為，則實數(shù)為
A．B．C．D．
【解答】解：設(shè)點坐標為，，其中，
，過點的切線斜率為，
當直線與過點的切線垂直時，點與點間的距離最小，此時，，
點與點間的距離最小值，
即，解得：，又，，
，
故選：．
例11．若點與曲線上點的距離的最小值為，則實數(shù)的值為
A．B．C．D．
【解答】解：的導數(shù)為，
設(shè)，可得過的切線的斜率為，
當垂直于切線時，取得最小值，
可得，
且，
可得，
解得舍去），
即有，解得，
，
故選：．
題型三：曲線與圓的距離
例12．已知點為函數(shù)的圖象上任意一點，點為圓任意一點，則線段的長度的最小值為
A．B．C．D．
【解答】解：由圓的對稱性可得只需考慮圓心，
到函數(shù)圖象上一點的距離的最小值．
設(shè)圖象上一點，
由的導數(shù)為，
即有切線的斜率為，
可得，
即有，
由，可得，
當時，，遞增．
又（e），
可得處點到點的距離最小，且為，
則線段的長度的最小值為，即．
故選：．
例13．已知點為函數(shù)圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段的長度的最小值為
A．B．
C．D．
【解答】解：設(shè)，又圓的圓心為，
令，
，．
，
單調(diào)遞增，而（e）．
在遞減，在遞增，
（e），
，
則線段的長度的最小值為，
故選：．
例14．已知點為函數(shù)的圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為
A．B．C．D．
【解答】解：由圓的對稱性可得只需考慮圓心，到函數(shù)圖象上一點的距離的最小值．
設(shè)圖象上一點，
由的導數(shù)為，即有切線的斜率為，
可得，
即有，
由，可得，
當時，，遞增．
又（e），
可得處點到點的距離最小，且為，
則線段的長度的最小值為．
故選：．
例15．已知點為函數(shù)的圖象上任意一點，點為圓上任意一點，則線段長度的最小值為
A．B．1C．D．
【解答】解：由圓的對稱性可得只需考慮圓心到函數(shù)圖象上一點的距離的最小值．
設(shè)圖象上一點，
由的導數(shù)為，
即有切線的斜率為，
可得，
即有，
由，可得，遞增．
又，
可得處點到點的距離最小，且為，
則線段的長度的最小值為，
故選：．
題型四：曲線與拋物線的距離
例16．設(shè)，，當，變化時的最小值為．
【解答】解：設(shè)，則表示函數(shù)上一點與函數(shù)上一點之間的距離，
又函數(shù)表示焦點為，準線為的拋物線，由拋物線的定義可得，
，的幾何意義即為，
作出示意圖如下，
由圖觀察可知，當點運動至點，且垂直于過點的函數(shù)的切線，點為線段與函數(shù)的交點時，最小，
設(shè)，，，則，解得，即，
的最小值為．
故答案為：．
例17．設(shè)．，則的最小值為
A．B．1C．D．2
【解答】解：，其幾何意義為：
兩點．，的距離的平方，
由的導數(shù)為，
點在曲線上，
，，
令，，
則，
而是拋物線上的點到準線的距離，
即拋物線上的點到焦點的距離，
則可以看作拋物線上的點，到焦點距離和到上的點的距離的和，
即，
由兩點之間線段最短，得的最小值是點到上的點的距離的最小值，
由點到直線上垂線段最短，這樣就最小，
即取，，
則，垂直，
則，解得，
到的距離就是點到上的點的距離的最小值，
的最小值為．
故選：．
題型五：曲線與曲線的距離
例18．設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為
A． 2B． C． 2D．
【解答】解：，該函數(shù)的定義域為，值域為，，
函數(shù)與互為反函數(shù)，
其圖象關(guān)于直線對稱，
兩曲線上點之間的最小距離就是與上點的最小距離的2倍．
設(shè)上點，處的切線與直線平行，
則，
，，
點，到的距離為，
則的最小值為．
故選：．
例19．設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為
A．B．C．D．
【解答】解：與互為反函數(shù)，它們圖象關(guān)于直線對稱；
又，由直線的斜率，得，
，
所以切線方程為，
則原點到切線的距離為，
的最小值為．
故選：．
例20．設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為
A．B．C．D．
【解答】解：解：與互為反函數(shù)，
先求出曲線上的點到直線的最小距離．
設(shè)與直線平行且與曲線相切的切點，．
，
，解得
．
得到切點，到直線的距離，
的最小值為，
故選：．
例21．設(shè)點在曲線上，點在曲線上，則最小值為
A．B．C．D．
【解答】解：與互為反函數(shù)，
先求出曲線上的點到直線的最小距離．
設(shè)與直線平行且與曲線相切的切點，．
，，解得．．
得到切點，到直線的距離．
最小值為．
故選：．
例22．設(shè)滿足方程的點，的運動軌跡分別為曲線，，若在區(qū)間，內(nèi)，曲線，有兩個交點（其中是自然對數(shù)的底數(shù)），則實數(shù)的最大值為
A．4B．C．D．
【解答】解：，
，，
依題意，曲線，曲線，
其中曲線可化為：，其圖象如圖，
要使在區(qū)間，內(nèi)曲線，有兩個交點，
則必有曲線在取時的值需小于或等于，
故要使得最大，只需，
解得：，
故選：．
題型六：橫向距離
例23．已知直線與函數(shù)和分別交于，兩點，若的最小值為2，則．
【解答】解：設(shè)，，，，可設(shè)，
則，
，
，
令，
則，
由的最小值為2，
可得，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
時，函數(shù)取得極小值，且為最小值2，
即有，
解得，
由，
則，
可得．
故答案為：2．
例24．已知直線與函數(shù)和的圖象分別交于、兩點，若的最小值為3，則．
【解答】解：設(shè)，，，，，
則，
則，
則，
設(shè)，，
則，
的最小值為3，
的根為，且函數(shù)在，上遞增，則上遞減，
則函數(shù)的最小值為
即即，則得，，
此時，則，
即，
故答案為：1
例25．設(shè)直線與函數(shù)，的圖象分別交于，兩點，則的最小值為
A．B．C．D．
【解答】解：直線直線與函數(shù)，的圖象分別交于，兩點，
，，，其中，且，
，設(shè)函數(shù)（a），
（a），，
令（a），解得，
當（a），即時，函數(shù)在，單調(diào)遞增，
當（a），即時，函數(shù)在單調(diào)遞減，
故時，函數(shù)有最小值，最小值為，
故線段的長度的最小值為．
故選：．
例26．已知函數(shù)，的圖象分別與直線交于，兩點，則的最小值為
A．1B．C．D．
【解答】解：由題意，，，，，其中，且，
所以，令，，
則時，解得，
所以時，；時，，
則在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，
所以當時，，
故選：．
題型七：縱向距離
例27．直線分別與直線，曲線交于、兩點，則最小值為．
【解答】解：令，
則，
當時，，當時，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當時，即時，取得最小值（1），
的最小值為4．
故答案為：4．
例28．直線分別與曲線，交于、兩點，則的最小值為
A．3B．2C．D．
【解答】解：令，
則，
當時，，當時，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當時，即時，取得最小值（1），
的最小值為3．
故選：．
例29．直線分別與曲線，相交于，兩點，則的最小值為
A．1B．2C．D．
【解答】解：令，
則，
當時，，當時，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當時，即時，取得最小值（1），
的最小值為2．
故選：．
【過關(guān)測試】
一、單選題
1．若x、a、b為任意實數(shù)，若，則最小值為( )
A．B．9C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由題可知，問題可轉(zhuǎn)化為圓上動點到函數(shù)y＝lnx圖像上動點距離的最小值，即求函數(shù)y＝lnx上動點到圓心距離的最小值，數(shù)形結(jié)合可知當y＝lnx在處的切線與和連線垂直時為最小值，據(jù)此求出m的值，即可得到答案．
【詳解】
由可得在以為圓心，1為半徑的圓上，
表示點與點的距離的平方，
即表示圓上動點到函數(shù)y＝lnx圖像上動點距離的平方．
設(shè)為y＝lnx上一點，且在處的y＝lnx的切線與和連線垂直，可得，
即有，
由在時遞增，且，可得m＝1，即切點為，
圓心與切點的距離為，
由此可得的最小值為．
故選：C．
2．已知實數(shù)滿足，，則的最小值為（）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
理解原代數(shù)式的含義，轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式，再分析其幾何意義，構(gòu)造函數(shù)即可求解.
【詳解】
，
令，則，
其幾何意義為點A 與點之間距離的平方，
設(shè) ，則點A和B分別在和的圖像上，如下圖，
顯然和互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于y=x對稱，
則A與B的最短距離必然在直線y=x的垂線上，點A與點B關(guān)于y=x對稱，
不妨設(shè) ，則，
，設(shè) ，，
當，，在x=1處取得最小值，
即，∴當取最小值時，即是取得最小值，
的最小值為；
故選：D.
3．設(shè)直線與函數(shù)的圖像分別交于點，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
列出的表達式，利用導數(shù)方法，分析其單調(diào)性求最小值即可．
【詳解】
由題意，，
所以，令，則，
當時，，當時，，所以，
即的最小值為，
故選：A.
4．已知函數(shù)，，若成立，則的最小值是
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【詳解】
分析：設(shè)，則，把用表示，然后令，由導數(shù)求得的最小值．
詳解：設(shè)，則，，，
∴，令，
則，，∴是上的增函數(shù)，
又，∴當時，，當時，，
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是極小值也是最小值，
，∴的最小值是．
故選A．
點睛：本題易錯選B，利用導數(shù)法求函數(shù)的最值，解題時學生可能不會將其中求的最小值問題，通過構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，另外通過二次求導，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯．
5．設(shè).，則的最小值為
A．B．1C．D．2
【答案】C
【解析】
【詳解】
由題可得：設(shè)，所以為上任意一點到上任一點及拋物線焦點的距離之和，所以距離表達式為,令，，顯然在遞減，遞增所以，故最小值為
點睛：本題的解題關(guān)鍵是要將題意轉(zhuǎn)化為拋物線上的點到lnx上的點距離與焦點的距離之和，然后借助導數(shù)求最值即可解決問題，此題較難
6．已知直線分別與直線和曲線相交于點，，則線段長度的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根據(jù)題意設(shè)兩交點分別為，，可得，，長度，考查函數(shù)求最值即可得解.
【詳解】
已知直線與直線，曲線分別交點，，
設(shè)，，則有，
變形可得，
又由，
設(shè)，，
則當時，，函數(shù)在為減函數(shù)，
當時，，函數(shù)在為增函數(shù)，
則有最小值，且，
則，
即線段長度的最小值是.
故選：A.
7．已知函數(shù)，，對任意，存在，使得，則的最小值為（）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【解析】
【分析】
設(shè)換元，問題轉(zhuǎn)化為對任意，存在，使得，則的最小值，利用的關(guān)系把轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，然后求最小值．
【詳解】
設(shè)，設(shè)，，，對任意，存在，使得，即，，
所以，，
令，，
易知是增函數(shù)，，時，，，遞減，時，，，遞增，
所以時，，所以的最小值是1，的最小值是2．
故選：D．
【點睛】
本題考查用導數(shù)求最值，解題關(guān)鍵是化二元函數(shù)為一元函數(shù)，題中解法是換元后直接利用把用表示，然后轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，另外也可以設(shè)（），把都用表示，化為的一元函數(shù)，然后由導數(shù)得最小值．
8．已知曲線上一點，曲線上一點，當時，對任意，，都有恒成立，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)題中條件，得到，，推出，；證明，得到，推出，分離參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)求出的最大值，即可得出結(jié)果.
【詳解】
因為當時，對于任意，都有恒成立，
所以有：，，
，
，
令，則，
所以當時，，則單調(diào)遞增；
當時，，則單調(diào)遞減；
因此，即顯然恒成立；
因為，所以，即；
為使恒成立，只需恒成立；即恒成立；
令，則，
由解得；由解得；
所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；
所以；
，因此的最小值為.
故選：
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：
求解本題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立求參數(shù)范圍的問題，根據(jù)，只需，分離參數(shù)后，即可根據(jù)導數(shù)的方法求解.
9．已知函數(shù)，，若成立，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
令，得到關(guān)于t的函數(shù)式，進而可得關(guān)于t的函數(shù)式，構(gòu)造函數(shù)利用導數(shù)研究單調(diào)性并確定最值，即可求的最小值.
【詳解】
令，則，，
∴，，即，
若，則，
∴，有，
當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；
∴，即的最小值為.
故選：D.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：令確定關(guān)于t的函數(shù)式，構(gòu)造函數(shù)并利用導數(shù)求函數(shù)的最小值.
10．已知函數(shù)，，若成立，則的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
設(shè)，，構(gòu)造函數(shù)，利用導函數(shù)求出最小值即可得解.
【詳解】
由題設(shè)，即，
所以，，
令，，，
所以在單調(diào)遞增，且，
所以由得，由得，
所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，
所以
即的最小值.
故選：B
【點睛】
此題考查利用導函數(shù)求最值，關(guān)鍵在于根據(jù)題意準確轉(zhuǎn)化，對于導函數(shù)的零點不易求解的情況，考慮“試根”結(jié)合單調(diào)性解不等式.
11．設(shè)動直線x=t與曲線以及曲線分別交于P，Q兩點，表示的最小值，則下列描述正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)條件將表示為函數(shù)的形式，然后利用導數(shù)研究對應函數(shù)的單調(diào)性并分析的取值范圍.
【詳解】
根據(jù)條件可知，所以，
不妨令，則，
又因為，
所以存在，使得，
所以在上遞減，在上遞增，
所以在處取得最小值，且，
根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，
所以，所以有，
故選：B．
【點睛】
本題考查利用導數(shù)解決函數(shù)的最值問題，對學生的轉(zhuǎn)化與化歸能力要求較高，其中對于極值點范圍的分析是一個重點，難度較難.
12．設(shè)，，則的最小值是（）
A．B．C．D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
函數(shù)表示點和的距離加上的橫坐標，根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)化求最小值，設(shè)函數(shù)，計算得到，得到答案.
【詳解】
，
函數(shù)表示點和的距離加上的橫坐標，
畫出和的圖像，如圖所示：
故，當共線時等號成立.
設(shè)，則，，
且恒成立，故單調(diào)遞增，
故當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減；
，故.
綜上所述：的最小值是.
故選：.
【點睛】
本題考查了函數(shù)的最值問題，轉(zhuǎn)化為對應的幾何意義是解題的關(guān)鍵.
13．已知函數(shù)，若成立，則的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【詳解】
設(shè)，則，令，，又是增函數(shù)，在上遞減，在上遞增，，即的最小值為，故選C.
【方法點睛】本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進而求最值，屬于難題. 求最值問題往往先將所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù):配方法、換元法、不等式法、三角函數(shù)法、圖像法、函數(shù)單調(diào)性法求解，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，首先確定函數(shù)的定義域，然后準確地找出其單調(diào)區(qū)間，最后再根據(jù)其單調(diào)性求函數(shù)的最值即可.
14．直線分別與曲線交于點，則的最小值為
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【詳解】
試題分析:設(shè),則,
,令,則,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,時,函數(shù)的最小值為，所以A選項是正確的.
考點：導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性．
二、填空題
15．若，則的最小值是_______．
【答案】
【解析】
由目標式的形式：可看作兩點的距離，而可看作兩點的距離，問題轉(zhuǎn)化為的最小值；是上的點，對于在坐標系存在使得，可聯(lián)想拋物線：以為焦點，為準線的拋物線，即問題最終為求拋物線上一點到定點與上的一點的距離之和最小，結(jié)合拋物線、函數(shù)圖象及利用導數(shù)求最小值.
【詳解】
由，記，
則，即原問題轉(zhuǎn)化為拋物線上到定點與上的的距離之和最小，
，當且僅當共線時等號成立.
令，則且，
由于單調(diào)增，則是唯一零點，即有在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即最小值為.
則．
故答案為：.
【點睛】
本題考查了利用幾何法求代數(shù)式的最值，綜合拋物線的性質(zhì)、兩點距離公式、數(shù)形結(jié)合、導數(shù)研究函數(shù)最值的應用，屬于難題.
16．已知實數(shù)滿足，則對任意的正實數(shù)，的最小值為_______.
【答案】8
【解析】
【分析】
求出圓心到曲線上的點的距離最值后可求的最小值.
【詳解】
因為實數(shù)滿足，故在圓：上.
而，設(shè)，
則表示到曲線上的點的距離的平方.
又，
因為在為增函數(shù)，且，
故當時，即；當時，即；
故在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故的最小值為.
故到曲線上的點的距離最小值為，
而圓的半徑為，故圓上的點到曲線上的點的距離最小值為，
故的最小值為.
故答案為：.
【點睛】
思路點睛：與圓有關(guān)的最值問題，往往需要轉(zhuǎn)化到圓心到幾何對象的最值問題來處理，另外注意代數(shù)式對應的幾何意義.
17．設(shè)，則的最小值為______________．
【答案】
【解析】
設(shè)點、，則表示再加上點的橫坐標，利用拋物線的定義可得出（其中為拋物線的焦點），利用導數(shù)求出的最小值，即可得解.
【詳解】
.
設(shè)點、，則表示再加上點的橫坐標，
其中點為拋物線上的一點，該拋物線的焦點為，準線為.
作出函數(shù)與拋物線的圖象如下圖所示：

過點作拋物線的準線的垂線，垂足為點，設(shè)交軸于點，
則，
當且僅當、、三點共線時，等號成立，下面利用導數(shù)求出的最小值，
，
構(gòu)造函數(shù)，其中，
，且函數(shù)單調(diào)遞增，
當時，；當時，.
所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
，，因此，的最小值為.
故答案為：.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題從代數(shù)式的幾何意義出發(fā)，利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為折線段和的最小值問題來求解，同時又考查了拋物線定義的應用，在求解的最值時，充分利用了導數(shù)來求解.
18．已知點在圓上，點在曲線上，則線段的長度的最小值為____________．
【答案】
【解析】
【分析】
由題可得，圓的半徑．設(shè)，令，首先求得的最小值，然后求解線段的長度的最小值即可.
【詳解】
由題可得，圓的半徑．設(shè)，
令，則，
所以．
令，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
所以當時，；當時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以．
因為，所以線段的長度的最小值為．
【點睛】
本題主要考查等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，導函數(shù)求解函數(shù)的最值問題等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.
19．設(shè)，當a，b變化時，的最小值為_______.
【答案】.
【解析】
【分析】
函數(shù)表示點和的距離加上的縱坐標，計算得到，設(shè)函數(shù)，計算得到，得到答案.
【詳解】
，
函數(shù)表示點和的距離加上的縱坐標，
畫出和的圖像，如圖所示：
故，當共線時等號成立.
設(shè)，則，，
當時，，故，函數(shù)單調(diào)遞增；
當時，，故，函數(shù)單調(diào)遞減.
，故.
綜上所述：的最小值是.
故答案為：.
【點睛】
本題考查了函數(shù)的最值問題，轉(zhuǎn)化為對應的幾何意義是解題的關(guān)鍵.
20．已知分別為函數(shù)，上兩點，則兩點的距離的最小值是__________．
【答案】0
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，可知P、Q兩點間的最短距離為點P到直線y=x的最短距離d的2倍，利用導數(shù)求出d即可．
【詳解】
∵函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，
∴函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，
設(shè)，則
令,得x=ln2+，
又為增函數(shù)
∴在在單調(diào)遞減，在在單調(diào)遞增
∴的最小值為
即，使得
即函數(shù)圖象與直線y=x有交點，
即函數(shù)與函數(shù)的圖象有公共點在直線y=x上
故的最小值是0
故答案為：0．
【點睛】
本題考查反函數(shù)的概念，導數(shù)的幾何意義，兩個圖象的位置關(guān)系，屬于中檔題．
21．設(shè)點分別是曲線和直線上的動點, 則兩點間的距離的最小值是________．
【答案】
【解析】
【詳解】
試題分析：因為，由得，，即曲線在處的切線與直線平行，所以到直線的距離就是兩點間的距離的最小值，由點到直線的距離公式得，故答案為．
考點：1、利用導數(shù)求切點坐標；2、點到直線的距離公式及轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應用．
【方法點睛】本題主要考查利用導數(shù)求切點坐標、點到直線的距離公式及轉(zhuǎn)化與劃歸思想的應用．屬于難題．數(shù)學中常見的思想方法有：函數(shù)與方程的思想、分類討論思想、轉(zhuǎn)化與劃歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、建模思想等等，轉(zhuǎn)化與劃歸思想解決高中數(shù)學問題的一種重要思想方法，是中學數(shù)學四種重要的數(shù)學思想之一，尤其在解決知識點較多以及知識跨度較大的問題發(fā)揮著奇特功效，大大提高了解題能力與速度．運用這種方法的關(guān)鍵是將題設(shè)條件研究透，這樣才能快速找準突破點．以便將問題轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的知識領(lǐng)域，進而順利解答，希望同學們能夠熟練掌握并應用于解題當中．本題講兩點間的最值問題轉(zhuǎn)化為，切點到直線的距離是解題的關(guān)鍵．

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