基礎(chǔ)過關(guān)
1．(2024湖南省卷)如圖，AB，AC為⊙O的兩條弦，連接OB，OC，若∠A＝45°，則∠BOC的度數(shù)為( )
A. 60° B. 75° C. 90° D. 135°
第1題圖
2．(2024臨夏州)如圖，AB是⊙O的直徑，∠E＝35°，則∠BOD＝( )
A. 80° B. 100° C. 110° D. 120°

第2題圖
3．(2024五華區(qū)模擬)如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC是直徑，∠C＝75°，則∠A的度數(shù)為( )
第3題圖
A. 90° B. 75° C. 140° D. 105°
4．(2024云南中考指導(dǎo)叢書P102第39題)如圖，AB為⊙O的直徑，CD為弦，AB⊥CD.如果∠BOC＝70°，那么∠A的度數(shù)為( )
第4題圖
A. 70° B. 30° C. 35° D. 20°
5.(萬唯原創(chuàng)) 如圖，AB是⊙O的直徑，＝＝，若∠AEO＝51°，則∠COD的度數(shù)為( )
A. 34° B. 44° C. 54° D. 64°
第5題圖
6．(2024云南中考指導(dǎo)叢書P102第38題)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10.若以點(diǎn)C為圓心，CB長為半徑的圓恰好經(jīng)過AB的中點(diǎn)D，則AC的長等于( )
A. 5 eq \r(3) B. 5 C. 5 eq \r(2) D. 6

第6題圖
7．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD為⊙O的直徑，AD＝8，則AB的長為( )
A. 4 B. 4 eq \r(3) C. 2 eq \r(3) D. 2
第7題圖
8．(2024通遼)如圖，圓形拱門最下端AB在地面上，D為AB的中點(diǎn)，C為拱門最高點(diǎn)，線段CD經(jīng)過拱門所在圓的圓心，若AB＝1 m，CD＝2.5 m．則拱門所在圓的半徑為( )
A. 1.25 m B. 1.3 m
C. 1.4 m D. 1.45 m

第8題圖
9．(2024北京)如圖，⊙O的直徑AB平分弦CD(不是直徑).若∠D＝35°，則∠C＝________°.
第9題圖
10．(2024連云港)如圖，AB是圓的直徑，∠1，∠2，∠3，∠4的頂點(diǎn)均在AB上方的圓弧上，∠1，∠4的一邊分別經(jīng)過點(diǎn)A，B，則∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝________°.
第10題圖
11．(2024安徽)如圖，⊙O是△ABC的外接圓，D是直徑AB上一點(diǎn)，∠ACD的平分線交AB于點(diǎn)E，交⊙O于另一點(diǎn)F，F(xiàn)A＝FE.
(1)求證：CD⊥AB；
(2)設(shè)FM⊥AB，垂足為M，若OM＝OE＝1，求AC的長．
第11題圖
綜合提升
12.(萬唯原創(chuàng))如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，且＝4，過點(diǎn)C作CD⊥AB交⊙O于點(diǎn)D，連接DO并延長交AC于點(diǎn)E，則∠CED的大小為( )
A. 36° B. 44° C. 54° D. 66°
第12題圖
13．(2024蘇州)如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，若∠OBC＝28°，則∠A＝______．
第13題圖
14．如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，點(diǎn)A，B，C，O均在格點(diǎn)上，若⊙O是△ABC的外接圓，則cs ∠BAC的值為________．
第14題圖
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15.(真實(shí)問題情境試題) (2024官渡區(qū)二模)如圖，量角器外緣上有A，B，C三點(diǎn)，則∠ACB的度數(shù)為( )
第15題圖
50° B. 30° C. 25° D. 15°
參考答案
1. C
2．C 【解析】∵∠E＝35°，∴∠AOD＝2∠E＝70°，∴∠BOD＝180°－70°＝110°.
3．D 【解析】∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠C＋∠A＝180°，∵∠C＝75°，∴∠A＝180°－75°＝105°.
4．C 【解析】∵AB為⊙O的直徑，CD為弦，AB⊥CD，∴＝，∵∠BOC＝70°，∴∠A的度數(shù)為35°.
5．A 【解析】 ∵AO＝EO，∴∠EAO＝∠AEO＝51°，∴∠EOB＝2∠EAO＝102°.∵＝＝，∴∠COD＝ eq \f(102°,3) ＝34°.
6．A 【解析】如解圖，連接CD，在Rt△ABC中，CD＝BC＝ eq \f(AB,2) ＝5，依據(jù)勾股定理可求AC＝ eq \r(AB2－BC2) ＝ eq \r(102－52) ＝5 eq \r(3) .
第6題解圖
7．A 【解析】∵AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠C＝ eq \f(1,2) (180°－∠BAC)＝30°，∵＝，∴∠D＝∠C＝30°，∵AD為⊙O的直徑，∴∠ABD＝90°，在Rt△ABD中，AD＝8，∠D＝30°，AB＝ eq \f(1,2) AD＝4.
8．B 【解析】如解圖，連接OA，∵D為AB的中點(diǎn)，C為拱門最高點(diǎn)，線段CD經(jīng)過拱門所在圓的圓心，AB＝1 m，∴CD⊥AB，AD＝BD＝0.5 m，設(shè)拱門所在圓的半徑為r，∴OA＝OC＝r，而CD＝2.5 m．∴OD＝(2.5－r)m，∴r2＝0.52＋(2.5－r)2，解得r＝1.3，∴拱門所在圓的半徑為1.3 m.
第8題解圖
9．55 【解析】∵直徑AB平分弦CD(不是直徑)，∴AB⊥CD，∴∠B＝90°－∠D＝55°，∴∠C＝∠B＝55°.
10．90 【解析】∵AB是圓的直徑，∴AB所對的弧是半圓，所對圓心角的度數(shù)為180°，∵∠1，∠2，∠3，∠4所對的弧的和為半圓，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝ eq \f(1,2) ×180°＝90°.
11．(1)證明：∵FA＝FE，
∴∠FAE＝∠AEF.
∵∠FAE與∠BCE都是所對的圓周角，
∴∠FAE＝∠BCE.
∵∠AEF＝∠CEB，
∴∠CEB＝∠BCE，
∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE.
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠CEB＋∠DCE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝90°，
∴∠CDE＝180°－∠CEB－∠DCE＝180°－90°＝90°，即CD⊥AB；
(2)解：由(1)知，∠CEB＝∠BCE，
∴BE＝BC，
∵OM＝OE＝1，AF＝EF，F(xiàn)M⊥AB，
∴MA＝ME＝MO＋OE＝2，
∴AE＝4，
∴OA＝OB＝AE－OE＝3，
∴BC＝BE＝OB－OE＝2.
在△Rt△ABC中，AB＝6，BC＝2，∠ACB＝90°，
∴AC＝ eq \r(AB2－BC2) ＝ eq \r(62－22) ＝4 eq \r(2) ，即AC的長為4 eq \r(2) .
12．C 【解析】如解圖，連接OC，∵＝4，∴∠AOC＝4∠BOC.∵AB是⊙O的直徑，∴∠AOC＋∠BOC＝180°，∴5∠BOC＝180°，∴∠BOC＝36°，∴∠BAC＝ eq \f(1,2) ∠BOC＝18°.∵CD⊥AB，∴∠BOD＝∠BOC＝36°，∴∠AOE＝36°，∴∠CED＝∠AOE＋∠OAE＝36°＋18°＝54°.
第12題解圖
13．62° 【解析】如解圖，連接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝28°，∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－28°－28°＝124°，∵△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∴點(diǎn)A在⊙O上，∴∠A＝ eq \f(1,2) ∠BOC＝62°.
第13題解圖
14. eq \f(2\r(5),5) 【解析】如解圖，作直徑BD，連接CD，由勾股定理得，BD＝ eq \r(22＋42) ＝2 eq \r(5) ，在Rt△BDC中，cs ∠BDC＝ eq \f(CD,BD) ＝ eq \f(4,2\r(5)) ＝ eq \f(2\r(5),5) ，∵同弧所對的圓周角相等，∴∠BAC＝∠BDC，∴cs ∠BAC＝cs ∠BDC＝ eq \f(2\r(5),5) .
第14題解圖
15．B 【解析】如解圖，設(shè)量角器的圓心是O，連接OA，OB，則∠AOB＝160°－100°＝60°，由圓周角定理，得∠ACB＝ eq \f(1,2) ∠AOB＝30°.
第15題解圖

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