1. (萬唯原創(chuàng))如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點(diǎn)，連接DO并延長交⊙O于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，且∠BCD＝∠CDE ，連接CE.
(1)求證： △CEF∽△DEC；
(2)若tan ∠BCD＝ eq \f(3,4) ，EF＝3，求OF的長．
第1題圖
2. 如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D為BC邊上一點(diǎn)且AB＝AD，以AD為直徑作⊙O交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作⊙O的切線交AC于點(diǎn)F.
(1)求證：DF＝CF；
(2)若⊙O的半徑為5，BD＝12，求BC的長．
第2題圖
3.(2024云南定心卷)如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，D是 eq \x\t(AB) 上一點(diǎn)，連接AD，BD，∠ABC＝ eq \f(1,2) ∠D，過點(diǎn)C作CE∥AB交DB的延長線于點(diǎn)E，作CF⊥AD，交⊙O于點(diǎn)F，交AD于點(diǎn)G.
(1)判斷CE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(2)求證：DG＝AG＋DB；
(3)連接CD，記△ACD的面積為S1，△CDE的面積為S2，若CE＝kBC，請(qǐng)用含k的代數(shù)式表示S1與S2的關(guān)系．
第3題圖
4．(2024云大附中三模)如圖，點(diǎn)A，B，C在⊙O上，AB為⊙O的直徑，延長AC至點(diǎn)D，使得∠DBC＝∠CAB，點(diǎn)E是弦AC上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，C重合)，過點(diǎn)E作直徑AB的垂線，交AB于點(diǎn)F，交BC的延長線于點(diǎn)N，交⊙O于點(diǎn)M(點(diǎn)M在劣弧AC上).
(1)BD是⊙O的切線嗎？請(qǐng)作出你的判斷并給出證明；
(2)若BD＝10，AE＝ eq \f(17,3) ，tan ∠DBC＝ eq \f(3,4) ，求△CEN的面積.
(3)若⊙O的半徑為1，設(shè)FM＝x，F(xiàn)E·FN· eq \r(\f(1,BC·BN) ＋ \f(1,AE·AC)) ＝y(tǒng)，試求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.
參考答案
1．(1)證明：∵∠BCD＝∠CDE，
∴BC∥DE，
∴∠AFO＝∠ACB.
∵AB，DE是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠EFC＝∠AFO＝90°，
∴∠EDC＋∠E＝90°，∠ECF＋∠E＝90°，
∴∠EDC＝∠ECF，
∵∠E＝∠E，
∴△CEF∽△DEC；
(2)解：由(1)得∠BCD＝∠CDE＝∠ECF，
∴ tan∠ECF＝tan ∠BCD＝ eq \f(3,4) .
∵EF＝3，∠EFC＝90°，
∴CF＝4，
∴CE＝ eq \r(EF2＋CF2) ＝ eq \r(32＋42) ＝5.
∵△CEF∽△DEC，
∴ eq \f(CE,DE) ＝ eq \f(EF,EC) ，即 eq \f(5,DE) ＝ eq \f(3,5) ，
解得DE＝ eq \f(25,3) ，
∴OE＝ eq \f(1,2) DE＝ eq \f(25,6) ，
∴OF＝OE－EF＝ eq \f(25,6) －3＝ eq \f(7,6) .
2．(1)證明：∵∠BAC＝90°，
∴∠B＋∠C＝90°，
∵DF為⊙O的切線，OD為⊙O的半徑，
∴AD⊥DF，即∠ADF＝90°，
∴∠ADB＋∠FDC＝90°，
∵AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，
∴∠FDC＝∠C，
∴DF＝CF；
(2)解：如解圖，連接DE，
第2題解圖
∵⊙O的半徑為5，
∴AB＝AD＝10，
∵AD為⊙O的直徑，
∴∠AED＝90°，
在Rt△ADE中，DE2＝AD2－AE2，
在Rt△BDE中，DE2＝BD2－BE2，
∴AD2－AE2＝BD2－BE2，
∵AE＋BE＝AB＝10，
∴102－(10－BE)2＝122－BE2，解得BE＝ eq \f(36,5) ，
∵∠BAC＝90°，∠AED＝90°，
∴∠BAC＋∠AED＝180°，
∴DE∥AC，
∴ eq \f(BE,BA) ＝ eq \f(BD,BC) ，
∵AB＝10，BD＝12，BE＝ eq \f(36,5) ，
∴BC＝ eq \f(50,3) .
3．(1)解：CE與⊙O相切．
證明：如解圖①，
取AB的中點(diǎn)H，連接CH，
∵∠D＋∠ACB＝180°且∠CAB＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
∴∠CAB＋∠ABC＝∠D.
∵∠ABC＝ eq \f(1,2) ∠D，
∴∠CAB＝∠ABC，
∴CA＝CB，
∴△ABC為等腰三角形．
∵H為AB的中點(diǎn)，
∴CH⊥AB.
∵CE∥AB，
∴∠CHB＋∠HCE＝180°，
∴∠HCE＝90°.
∵△ABC內(nèi)接于⊙O，
∴點(diǎn)O在AB的垂直平分線CH上，即OC為⊙O的半徑，
∴CE與⊙O相切于點(diǎn)C；
第3題解圖①
(2)證明：如解圖②，在GD上截取GM＝GA，連接CM，CD，
∵G為AM的中點(diǎn)且CG⊥AD，
∴AC＝MC，
∴∠CAD＝∠CMA.
∵∠CAD＋∠CBD＝180°，∠CMA＋∠CMD＝180°，
∴∠CMD＝∠CBD.
∵CA＝CB，
∴∠ADC＝∠BDC.
在△CMD和△CBD中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠CMD＝∠CBD,∠MDC＝∠BDC,CD＝CD)) ，
∴△CMD≌△CBD(AAS)，
∴MD＝BD.
∵DG＝GM＋MD，
∴DG＝AG＋DB；
第3題解圖②
(3)解：如解圖③，過點(diǎn)C作CK⊥DE于點(diǎn)K，
∵CE∥AB，
∴∠ECB＝∠ABC.
∵CA＝CB，
∴＝，
∴∠ABC＝∠CDB＝∠ADC，
∴∠ECB＝∠CDB.
∵∠E＝∠E，
∴△BCE∽△CDE，
∴ eq \f(CE,BE) ＝ eq \f(DE,CE) ，
即CE2＝BE·DE.
∵∠CAD＋∠CBD＝180°，∠CBE＋∠CBD＝180°，
∴∠CBE＝∠CAD.
∵∠ADC＝∠BDC，∠ECB＝∠CDB，
∴∠ADC＝∠BCE，
∴△ACD∽△BEC，
∴ eq \f(AC,BE) ＝ eq \f(AD,BC) ，
即AC·BC＝BE·AD.
∵CA＝CB，
∴BC2＝BE·AD.
∵CE＝kBC，
∴CE2＝k2BC2＝k2BE·AD.
∵CE2＝BE·DE，
∴k2BE·AD＝BE·DE，
∴ eq \f(AD,DE) ＝ eq \f(1,k2) .
∵∠ADC＝∠BDC，CK⊥DE，CG⊥AD，CD＝CD，
∴△CDG≌△CDK，
∴CG＝CK.
∵S1＝ eq \f(1,2) AD·CG，
S2＝ eq \f(1,2) DE·CK，
∴ eq \f(S1,S2) ＝ eq \f(\f(1,2)AD·CG,\f(1,2)DE·CK) ＝ eq \f(AD,DE) ＝ eq \f(1,k2) ，
∴S1與S2的關(guān)系為 eq \f(S1,S2) ＝ eq \f(1,k2) .
第3題解圖③
4．解：(1) BD是⊙O的切線．
證明：∵AB是⊙O的直徑．
∴∠ACB＝90°，
∴∠CAB＋∠ABC＝90°.
又∵∠DBC＝∠CAB，
∴∠DBC＋∠ABC＝90°，
∴∠ABD＝90°，
∴DB⊥AB，
又∵AB是⊙O的直徑，
∴BD是⊙O的切線；
(2)∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB＝90°，
∴∠NCE＝∠BCD＝180°－∠ACB＝90°，
由tan ∠DBC＝ eq \f(CD,BC) ＝ eq \f(3,4) ，
設(shè)CD＝3x，BC＝4x，
∴BD＝ eq \r(BC2 ＋CD2) ＝5x＝10，
∴x＝2，
∴CD＝6，BC＝8，
∵∠DBC＝∠CAB，
∴ eq \f(BC,AC) ＝tan ∠CAB＝tan ∠DBC＝ eq \f(3,4) ，
∴AC＝ eq \f(4,3) BC＝ eq \f(32,3) ，
∴CE＝AC－AE＝ eq \f(32,3) － eq \f(17,3) ＝5，
∵NF⊥AB，
∴∠AFE＝∠NFB＝90°，
∴∠ABC ＋∠N＝∠ABC＋∠CAB＝90°，
∴∠N＝∠CAB，
∴ eq \f(CE,CN) ＝tan N＝tan ∠CAB＝ eq \f(3,4) ，
∴CN＝ eq \f(4,3) CE＝ eq \f(20,3) ，
∴S△CEN＝ eq \f(1,2) CN·CE＝ eq \f(1,2) × eq \f(20,3) ×5＝ eq \f(50,3) ；
(3)設(shè)∠CAB＝α，
∵∠CAB＋∠ABC＝∠ABC＋∠DBC＝∠ABC＋∠N＝ 90°，
∴∠CAB＝∠DBC＝∠N＝α.
如解圖，連接OM.
第4題解圖
在Rt△OFM中，OF＝ eq \r(OM2－FM2) ＝ eq \r(1－x2) .
∴BF＝BO＋OF＝1＋ eq \r(1－x2) ，AF＝OA－OF＝1－ eq \r(1－x2) .
∴在Rt△AFE中，EF＝AF·tan α＝(1－ eq \r(1－x2) )·tan α，
AE＝ eq \f(AF,cs α) ＝ eq \f(1－\r(1－x2),cs α) .
∵r＝1，∴AB＝2，
∴在Rt△ABC中，BC＝AB·sin α＝2sin α，AC＝AB·cs α＝2cs α.
在Rt△BFN中，BN＝ eq \f(BF,sin α) ＝
eq \f(1＋\r(1－x2),sin α) ，F(xiàn)N＝ eq \f(BF,tan α) ＝ eq \f(1＋\r(1－x2),tan α) ，
∴y＝FE·FN· eq \r(\f(1,BC·BN)＋ \f(1,AE·AC))
＝x2· eq \r(\f(1,2＋2\r(1－x2))＋\f(1,2－2\r(1－x2)))
＝x2· eq \r(\f(2－2\r(1－x2)＋2＋2\r(1－x2),4－4（1－x2）))
＝x2· eq \r(\f(1,x2))
＝x2· eq \f(1,x)
＝x.
即y＝x.
∵FM⊥AB，
∴FM最大值為F與O重合時(shí)，即為1.
∴0

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