第23節(jié) 平行四邊形(含多邊形)
基礎(chǔ)過關(guān)
1．(2024樂山)下列多邊形中，內(nèi)角和最小的是( )
2. (2024貴州)如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，則下列結(jié)論一定正確的是( )
第2題圖
A. AB＝BC B. AD＝BC
C. OA＝OB D. AC⊥BD
3. (2024樂山)如圖，下列條件中不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是( )
A. AB∥DC，AD∥BC
B. AB＝DC，AD＝BC
C. AO＝CO，BO＝DO
D. AB∥DC，AD＝BC
第3題圖
4．(2024云南定心卷)如圖為2024年巴黎奧運會獎牌，該獎牌設(shè)計的最大亮點在于獎牌的中間鑲嵌了一塊取自于埃菲爾鐵塔的原始建造材料．該原始建造材料被切割成了一個六邊形，則該六邊形的內(nèi)角和為( )

第4題圖
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
5．(2024昆明市模擬)已知多邊形的內(nèi)角和等于外角和的5倍，則這個多邊形的邊數(shù)是( )
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
6．(2024遂寧)佩佩在“黃娥古鎮(zhèn)”研學時學習扎染技術(shù)，得到一個內(nèi)角和為1 080°的正多邊形圖案，這個正多邊形的每個外角為( )
A. 36° B. 40° C. 45° D. 60°
7.北師八下P159第10題改編如圖，?ABCD中，∠DAB的平分線AE交CD于點E.若AB＝7，BC＝4，則EC的長為( )
A．1 B．1.5 C．2 D．3
第7題圖
8．(2024河南)如圖，在?ABCD 中，對角線AC，BD相交于點O，點E為OC的中點，EF∥AB交BC于點F.若 AB＝4，則EF 的長為( )
A. eq \f(1,2) B. 1 C. eq \f(4,3) D. 2

第8題圖
9．平行四邊形ABCD中，若∠A比∠B大40°，則∠D的度數(shù)為________．
10.人教八下P50第8題改編如圖，?OABC的頂點O，A，C的坐標分別是(0，0)，(4，0)，(2，3)，則?OABC的周長是________．
第10題圖
11.人教八下P51第12題改編如圖，在?ABCD中，AD＝12，DO＝5，∠ADB＝90°，則?ABCD的面積為________．
第11題圖
12．(2024廣州)如圖，?ABCD中，BC＝2，點E在DA的延長線上，BE＝3，若BA平分∠EBC，則DE＝________．
第12題圖
13.北師八下P139第3題改編 如圖，在?ABCD中，點E在BA的延長線上，AB＝2AE，EC，BD交于點F.BD＝10，則DF的長為________．

第13題圖
14．(2024浙江)如圖①，點E是?ABCD邊AD上一點(不包含A，D)，連接CE，用尺規(guī)作AF∥CE，F(xiàn)是邊BC上一點．
小紅：如圖②，以C為圓心，AE長為半徑作弧，交BC于點F，連接AF，則AF∥CE.
小明：以點A為圓心， CE長為半徑作弧，交BC于點F，連接AF，則AF∥CE.
小紅：小明，你的作法有問題．
小明：哦…我明白了！
(1)證明小紅的結(jié)論；
(2)指出小明作法中存在的問題．
第14題圖
15．(2024湖南省卷)如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E在邊AB上，________．
請從“①∠B＝∠AED；②AE＝BE，AE＝CD”這兩組條件中任選一組作為已知條件，填在橫線上(填序號)，再解決下列問題：
(1)求證：四邊形BCDE為平行四邊形；
(2)若AD⊥AB，AD＝8, BC＝10，求線段AE的長．
第15題圖
綜合提升
16.(萬唯原創(chuàng))如圖，將?ABCD折疊，使得折疊后點A落在BC邊上的點A′處，點B落在點B′處，EF是折痕，若∠BFE＝115°，∠FA′B′＝20°，則∠C＝________°.
第16題圖
新考法推薦
17.(真實問題情境試題) (2024云師大實驗中學模擬)如圖，用一條寬度相等的足夠長的紙條打一個結(jié)(如圖①)，然后輕輕拉緊、壓平就可以得到如圖②所示的正五邊形ABCDE.在圖②中，∠ACD的度數(shù)為________.

第17題圖
參考答案
1．A
2．B
3．D 【解析】A.根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，故能判斷這個四邊形是平行四邊形；B.根據(jù)平行四邊形的判定定理：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，故能判斷這個四邊形是平行四邊形；C.根據(jù)平行四邊形的判定定理：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，故能判斷這個四邊形是平行四邊形；D.一組對邊平行，另一組對邊相等，可能是等腰梯形，故不能判斷這個四邊形是平行四邊形．
4．C 【解析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式：(n－2)×180°，得：(6－2)×180°＝720°，即該六邊形的內(nèi)角和是720°.
5．B 【解析】設(shè)這個多邊形的邊數(shù)為n，依題意得：(n－2)×180°＝5×360°，解得n＝12.
6．C 【解析】設(shè)這個正多邊形的邊數(shù)為n，由題意得：(n－2)×180°＝1 080°，解得n＝8，則360°÷8＝45°，即這個正多邊形的每個外角為45°.
7．D 【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，BC＝4，AB＝7，∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝7，CD∥AB，∴∠DEA＝∠EAB.∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB，∴∠DEA＝∠DAE，∴DE＝AD＝4，∴EC＝CD－DE＝7－4＝3.
8．B 【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AC＝2OC.∵E為OC的中點，∴OC＝2CE，∴AC＝4CE.∵EF∥AB，∴AB＝4EF，∴EF＝1.
9．70° 【解析】如解圖，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B＝∠D，∠A＋∠B＝180°，又∵∠A－∠B＝40°，∴∠A＝110°，∠B＝70°，∴∠D＝∠B＝70°.
第9題解圖
10．8＋2 eq \r(13) 【解析】由題意知a＝4，b＝2，c＝3，∴OA＝4，OC＝ eq \r(22＋32) ＝ eq \r(13) .∵?ABCD中BC＝OA＝4，AB＝OC＝ eq \r(13) ，∴?ABCD的周長為8＋2 eq \r(13) .
11．120 【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝DO＝5，AD＝BC＝12，AD∥BC，∴DB＝10，∠ADB＝∠CBD＝90°，∴S?ABCD＝2S△ADB＝2× eq \f(1,2) AD·BD＝120.
12．5 【解析】∵在?ABCD中，BC＝2，∴AD＝BC＝2，BC∥AD，∴∠CBA＝∠BAE，∵BA平分∠EBC，∴∠CBA＝∠EBA，∴∠BAE＝∠EBA，∴BE＝AE＝3，∴DE＝AD＋AE＝2＋3＝5.
13．4 【解析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠E＝∠ECD，∠EBD＝∠BDC，∴△EBF∽△CDF.∵AB＝2AE，∴EB＝3AE，CD＝2AE，∴ eq \f(BF,DF) ＝ eq \f(EB,CD) ＝ eq \f(3,2) ，∴DF＝ eq \f(2,5) BD＝4．
14．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，由作圖可知，CF＝AE，
∴四邊形AFCE是平行四邊形，
∴AF∥CE；
(2)解：如解圖，過點A作AG⊥BC于點G，當CE>AG且CE≤AB時，以A為圓心，CE為半徑畫弧，此時這個弧與BC有兩個不同的交點F，使得四邊形AECF不能唯一確定．
第14題解圖
15．解：(1)①，證明：∵∠B＝∠AED，
∴DE∥CB.
∵AB∥CD，
∴四邊形BCDE為平行四邊形；
【一題多解】
②，證明：∵AE＝BE，AE＝CD，∴CD＝BE.∵AB∥CD，∴四邊形BCDE為平行四邊形．
(2)由(1)得四邊形BCDE為平行四邊形，
∴DE＝BC＝10，
∵AD⊥AB，AD＝8，
∴在Rt△ADE中，AE＝ eq \r(DE2－AD2) ＝6.
16．70 【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AE∥BF.∵∠BFE＝115°，∴∠AEF＝65°，∴∠EFA′＝∠AEF＝65°.由折疊的性質(zhì)可得，∠B′FE＝∠BFE＝115°，∴∠A′FB′＝∠B′FE－∠EFA′＝115°－65°＝50°.∵∠FA′B′＝20°，∴∠B′＝180°－50°－20°＝110°，∴∠B＝∠B′＝110°，∴∠C＝∠A＝180°－110°＝70°.
【一題多解】
∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AE∥BF.∵∠BFE＝115°，∴∠AEF＝65°，∴∠EFA′＝∠AEF＝65°.由折疊的性質(zhì)可得，∠B′FE＝∠BFE＝115°，∴∠A′FB′＝∠B′FE－∠EFA′＝115°－65°＝50°.∵EA′∥FB′，∴∠EA′F＝∠A′FB′＝50°，∴∠EA′B′＝50°＋20°＝70°，∴∠C＝∠A＝∠EA′B′＝70°.
17．72° 【解析】∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴其每個內(nèi)角為108°，且AB＝BC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠BCA＝(180°－108°)÷2＝36°，∴∠ACD＝∠BCD－∠BCA＝108°－36°＝72°.

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