1. 相傳墨翟以木頭制成木鳥，研制三年而成，是人類最早的風(fēng)箏起源．如圖所示的風(fēng)箏骨架中，AB∥CD，若∠1＝141°，則∠2＝( )
第1題圖
A. 37° B. 39°
C. 41° D. 43°
2. (萬(wàn)唯原創(chuàng))如圖，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，觀察尺規(guī)作圖的痕跡，則AD的長(zhǎng)為( )
第2題圖
A. 6 B. 5
C. 4 D. 3
3. (2024湖南省卷)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是( )
第3題圖
A. DE∥BC B. △ADE∽△ABC
C. BC＝2DE D. S△ADE＝ eq \f(1,2) S△ABC
4. (2024云南黑白卷)若一個(gè)等邊三角形的周長(zhǎng)是6，則該等邊三角形的面積是( )
A. 6 B. eq \r(3)
C. 2 eq \r(3) D. 3
5. (2024盤龍區(qū)模擬)如圖，一豎直的木桿高8米，折斷后木桿頂端落在離其底端4米處．折斷處離地面的高度是( )
第5題圖
A. 3米 B. 2 eq \r(6) 米
C. 4米 D. 5米
6. 如圖，△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O是它們的位似中心，且相似比為1∶2，則△ABC與△DEF的周長(zhǎng)之比是( )
第6題圖
A. 1∶2
B. 1∶4
C. 1∶3
D. 1∶9
7. (2024文山市二模)如圖，在離地面高度為1.5米的A處放風(fēng)箏，風(fēng)箏線AC長(zhǎng)8米，用測(cè)傾儀測(cè)得風(fēng)箏線與水平面的夾角為θ，則風(fēng)箏線一端的高度CD為( )
第7題圖
A. (1.5＋8sin θ)米
B. (1.5＋8cs θ)米
C. (1.5＋8tan θ)米
D. (1.5＋ eq \f(8,tan θ) )米
8. (萬(wàn)唯原創(chuàng))如圖，在△ABC和△BDE中，EB⊥BC于點(diǎn)B，∠C＝40°，∠DBC＝50°，BC＝BD，AC＝BE，求證：△ABC≌△EDB.
第8題圖
9. (2024云南黑白卷)如圖，已知AB＝AD，∠C＝∠E，∠BAE＝∠DAC.求證：BC＝DE.
第9題圖
10. 如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求證：△ABE∽△ECF.
第10題圖
11. (2024南充)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.
(1)求證：△BDE≌△CDA；
(2)若AD⊥BC，求證：BA＝BE.
第11題圖
參考答案
1. B
2. C 【解析】由作圖可知AD平分∠BAC，∵AB＝AC，∴AD⊥BC，BD＝CD＝ eq \f(1,2) BC＝3，∴AD＝ eq \r(AB2－BD2) ＝ eq \r(52－32) ＝4.
3. D 【解析】∵點(diǎn)D，E分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，∴DE∥BC，BC＝2DE，故A，C選項(xiàng)正確；∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故B選項(xiàng)正確；∵△ADE∽△ABC，∴ eq \f(S△ADE,S△ABC) ＝( eq \f(DE,BC) )2＝( eq \f(1,2) )2＝ eq \f(1,4) ，∴S△ADE＝ eq \f(1,4) S△ABC，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
4. B 【解析】如解圖，△ABC為等邊三角形，AD為BC邊上的高，∵等邊三角形周長(zhǎng)為6，∴BC＝2，∴點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝1，∴AD＝ eq \r(22－12) ＝ eq \r(3) ，∴S△ABC＝ eq \f(1,2) BC·AD＝ eq \f(1,2) ×2× eq \r(3) ＝ eq \r(3) .
第4題解圖
5. A 【解析】如解圖，設(shè)折斷處離地面的高度AC是x米，則斜邊AB長(zhǎng)為(8－x)米，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理得x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3，即折斷處離地面的高度是3米．
第5題解圖
6. A 【解析】∵△ABC與△DEF位似，點(diǎn)O是它們的位似中心，且相似比為1∶2，∴△ABC與△DEF的周長(zhǎng)之比是1∶2.
7. A 【解析】如解圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E，則四邊形ABDE為矩形，∴DE＝AB＝1.5米，在Rt△AEC中，AC＝8米，∠CAE＝θ，∵sin ∠CAE＝ eq \f(CE,AC) ，∴CE＝AC·sin ∠CAE＝8sin θ(米)，∴CD＝DE＋CE＝(1.5＋8sin θ)米．
第7題解圖
8. 證明：∵EB⊥BC，
∴∠EBC＝90°，
∴∠DBE＝90°－∠DBC＝90°－50°＝40°，
∴∠DBE＝∠C＝40°，
又∵AC＝BE，BC＝BD，
∴△ABC≌△EDB(SAS).
9. 證明：∠BAE＝∠DAC，
∴∠BAE＋∠EAC＝∠DAC＋∠EAC，
即∠BAC＝∠DAE，
在△ABC 和△ADE中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠C＝∠E,∠BAC＝∠DAE，,AB＝AD))
∴△ABC≌△ADE(AAS)，
∴.BC＝DE.
10. 證明：∵BE＝3，EC＝6，
∴BC＝9，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝CB＝9，∠B＝∠C＝90°，
∵ eq \f(AB,EC) ＝ eq \f(9,6) ＝ eq \f(3,2) ， eq \f(BE,CF) ＝ eq \f(3,2) ，
∴ eq \f(AB,EC) ＝ eq \f(BE,CF) ，
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF.
11. 證明：(1)∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，
∴BD＝CD.
∵BE∥AC，
∴∠E＝∠DAC，∠DBE＝∠C.
在△BDE和△CDA中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠E＝∠DAC,∠DBE＝∠C，,BD＝CD))
∴△BDE≌△CDA(AAS)；
(2)∵△BDE≌△CDA，
∴ED＝AD.
∵AD⊥BC，
∴BD垂直平分AE，
∴BA＝BE.

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