1．(2024云南中考指導叢書P113第81題)如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，∠ABC∶∠BAD＝1∶2，BE∥AC，CE∥BD.
(1)求tan ∠DBC的值；
(2)求證：四邊形OBEC是矩形.
第1題圖
2．(2024楚雄市一模)如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，DH⊥AB于點H，連接HO.AC＝8，BD＝6，AB＝5.
(1)求證：四邊形ABCD是菱形；
(2)求△DHO的周長．
第2題圖
3. (萬唯原創(chuàng))如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC上一點且AC＝3AD，連接BD，E，F(xiàn)分別為BC，BD的中點，連接AF，EF，DE.
(1)求證：四邊形ADEF是平行四邊形；
(2)若CD＝DE，AB＝15，求EF的長.
第3題圖
4.(萬唯原創(chuàng))如圖，在矩形ABCD中，連接AC，分別以點A，C為圓心，大于 eq \f(1,2) AC長為半徑，在線段AC的兩側(cè)作弧，過兩弧交點的直線分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，交AC于點O，連接AF，CE.
(1)求證：四邊形AECF為菱形；
(2)若AB＝ eq \r(3) ，BC＝3，求四邊形AECF的面積．
第4題圖
參考答案
1．(1)解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∠DBC＝ eq \f(1,2) ∠ABC，
∴∠ABC＋∠BAD＝180°.
∵∠ABC∶∠BAD＝1∶2，
∴∠ABC＝60°，
∴∠DBC＝ eq \f(1,2) ∠ABC＝30°，
∴tan ∠DBC＝tan 30°＝ eq \f(\r(3),3) ；
(2)證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠BOC＝90°.
∵BE∥AC，CE∥BD，
∴BE∥OC，CE∥OB，
∴四邊形OBEC是平行四邊形，且∠BOC＝90°，
∴四邊形OBEC是矩形．
2．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC＝8，BD＝6，
∴OA＝OC＝ eq \f(1,2) AC＝4，OD＝OB＝ eq \f(1,2) BD＝3，
∵AB＝5，
∴OA2＋OB2＝AB2，
∴△AOB是直角三角形，且∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴四邊形ABCD是菱形；
(2)解：∵DH⊥AB，
∴DH·AB＝ eq \f(1,2) AC·BD，
OH＝ eq \f(1,2) BD＝3，
即5DH＝ eq \f(1,2) ×8×6，
∴DH＝ eq \f(24,5) ，
∴△DHO的周長為 eq \f(24,5) ＋3＋3＝ eq \f(54,5) .
3．(1)證明：∵E，F(xiàn)分別為BC，BD的中點，
∴EF是△BCD的中位線，
∴EF∥CD，CD＝2EF.
∵AC＝3AD，
∴CD＝2AD，
∴AD＝EF，
又∵AD∥EF，
∴四邊形ADEF是平行四邊形；
(2)解：在Rt△ABD中，∵F是BD的中點，
∴BD＝2AF.
由(1)知四邊形ADEF是平行四邊形，
∴DE＝AF，AD＝EF.
∵CD＝DE，
∴BD＝2DE＝2CD.
由(1)知CD＝2AD，
∴BD＝4AD.
在Rt△ABD中，
∵AD2＋AB2＝BD2，AB＝15，
∴AD2＋152＝16AD2，
解得AD＝ eq \r(15) (負值已舍去)，
∴EF＝AD＝ eq \r(15) .
4．(1)證明：由題意可知，EF垂直平分AC，
∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC.
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO.
在△AOE和△COF中，
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(∠EAO＝∠FCO，,OA＝OC，,∠AOE＝∠COF，))
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴AE＝CF，
∴AE＝CE＝CF＝AF，
∴四邊形AECF為菱形；
(2)解：設AF＝CF＝x，則BF＝3－x，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABF中，由勾股定理得AB2 ＋BF2＝AF2，
即( eq \r(3) )2＋(3－x)2＝x2，
解得x＝2，
∴AF＝CF＝2，
∴S菱形AECF＝CF·AB＝2 eq \r(3) .

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