1. 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，有意義，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 若一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)是3，則它的常數(shù)項(xiàng)是（ ）
A. B. 2C. D. 5
4. 已知x，y為實(shí)數(shù)，且，則的值為（ ）
A. B. C. D. 2
5. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
①，②，③，④＝2，⑤，⑥=3
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
6. 我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了利用三角形三邊長(zhǎng)求三角形面積的“秦九韶公式”，即．已知在中，，則三角形的面積為（ ）
A. B. C. D.
7. 關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則滿足（ ）
A. 且B.
C. D. 且
8. 下列各式中，與化簡(jiǎn)所得結(jié)果相同的是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知，當(dāng)分別取得1，2，3，…，2025時(shí)，所對(duì)應(yīng)值的總和是（ ）
A 2027B. 2025C. 2023D. 2021
10. 已知兩個(gè)整式，，我們?cè)诖鷶?shù)式中的“________”上添加加減乘除的運(yùn)算符號(hào)，將運(yùn)算結(jié)果叫做關(guān)于，的“三連運(yùn)算”．比如就是關(guān)于，的一種“三連運(yùn)算”，下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①只存在一種關(guān)于，的“三連運(yùn)算”使得結(jié)果為1；②將分解因式后為；③三連運(yùn)算的解為．
A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)
二、填空題（共4小題，每題5分）
11. 關(guān)于x方程是一元二次方程，則m的值為_(kāi)_____．
12. 計(jì)算：________．
13. 已知最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則的值為_(kāi)_______．
14. 公元8世紀(jì)波斯數(shù)學(xué)家花拉子米被譽(yù)為代數(shù)學(xué)之父，他在《代數(shù)學(xué)》中列舉了這樣一道例題：
根3倍與簡(jiǎn)單數(shù)4的和等于一個(gè)平方．用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為：．即如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為，，將正方形分成面積為的矩形和面積為4的矩形，取中點(diǎn)，構(gòu)造邊長(zhǎng)為正方形，延長(zhǎng)到，使，則有正方形，此時(shí)顯然有，即，可以很容易求得該方程的一個(gè)正根_____；若令，，則_____．
三、解答題（共9小題）
15. 解方程：
（1）；
（2）．
16. 計(jì)算：
（1）；
（2）．
17. 已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上如圖，化簡(jiǎn)值
18. 當(dāng)時(shí)，計(jì)算代數(shù)式的值．
19. 已知關(guān)于的方程．
（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求此時(shí)方程的根．
20. 已知，．
（1）求的值；
（2）若x的小數(shù)部分是m，y的小數(shù)部分是n，求的值．
21. 觀察下列等式：第1個(gè)等式為：；第2個(gè)等式為：；第3個(gè)等式為：…根據(jù)等式所反映的規(guī)律，解答下列問(wèn)題：
（1）第4個(gè)等式為_(kāi)________；
（2）猜想：第n個(gè)等式為_(kāi)________（n為正整數(shù)）；
（3）根據(jù)你的猜想，計(jì)算：．
22. 已知：關(guān)于的一元二次方程．
（1）已知是方程的一個(gè)根，求的值；
（2）以這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根作為中、（）的邊長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，求此時(shí)的值．
23. 如果一元二次方程的兩根相差1，那么該方程稱為“差1方程”．例如是“差1方程”．
（1）判斷下列方程是不是“差1方程”，并說(shuō)明由：
①；
②；
（2）已知關(guān)于方程（是常數(shù)）是“差1方程”，求的值；
（3）若關(guān)于的方程（是常數(shù)）是“差1方程”，設(shè)，若的值為9，求此時(shí)和的值．
2025年春學(xué)期八年級(jí)第一次綜合素質(zhì)評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)試題
一、選擇題（共10小題，每題4分）
1. 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，有意義，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查二次根式有意義的條件，根據(jù)被開(kāi)方數(shù)是非負(fù)數(shù)求解即可．
【詳解】解：由題意得：，解得：
故選：A．
2. 下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了最簡(jiǎn)二次根式的定義，判定一個(gè)二次根式是不是最簡(jiǎn)二次根式的方法，就是逐個(gè)檢查最簡(jiǎn)二次根式的兩個(gè)條件是否同時(shí)滿足，同時(shí)滿足的就是最簡(jiǎn)二次根式，否則就不是．
滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式：
（1）被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；
（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式．
可以此來(lái)判斷哪個(gè)選項(xiàng)是正確的．
【詳解】解：A、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)符合題意；
D、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：C．
3. 若一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)是3，則它的常數(shù)項(xiàng)是（ ）
A. B. 2C. D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的一般式，的二次項(xiàng)系數(shù)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是，據(jù)此即可作答．
【詳解】解：∵，
∴，
∴它的常數(shù)項(xiàng)是，
故選：A．
4. 已知x，y為實(shí)數(shù)，且，則的值為（ ）
A B. C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查了二次根式有意義的條件，解一元一次不等式組；
根據(jù)二次根式有意義的條件求出，進(jìn)而可得，然后計(jì)算即可．
【詳解】解：由二次根式有意義的條件得：且，
解得：且，
∴，
∴，
∴，
故選：C．
5. 下列運(yùn)算正確的是（ ）
①，②，③，④＝2，⑤，⑥=3
A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)
【答案】C
【解析】
【分析】由二次根式的加減運(yùn)算可判斷①，由二次根式的化簡(jiǎn)可判斷②，⑤，⑥，由二次根式的乘法可判斷③，由二次根式的除法可判斷④，從而可得答案．
【詳解】解：不是同類二次根式，不能合并，故①不符合題意；
故②符合題意；
故③符合題意；
故④符合題意；
故⑤不符合題意；
故⑥不符合題意；
故正確的有3個(gè)，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是二次根式的化簡(jiǎn)，二次根式的加法，二次根式的乘法與除法，掌握“二次根式的化簡(jiǎn)與二次根式的加減乘除運(yùn)算的運(yùn)算法則”是解本題的關(guān)鍵．
6. 我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了利用三角形三邊長(zhǎng)求三角形面積的“秦九韶公式”，即．已知在中，，則三角形的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查二次根式的應(yīng)用．根據(jù)題目中的面積公式可以求得的三邊長(zhǎng)分別為的面積，從而可以解答本題．
【詳解】解：∵，且三邊長(zhǎng)分別為，
∴，
∴的面積為：
，
故選：B．
7. 關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則滿足（ ）
A. 且B.
C. D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的概念以及根的判別式．根據(jù)一元二次方程根的判別式求解，即可得到答案．
【詳解】解：一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
，
解得：．
故選：B．
8. 下列各式中，與化簡(jiǎn)所得結(jié)果相同的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可求解．
【詳解】解：∵有意義，
∴
∴，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
9. 已知，當(dāng)分別取得1，2，3，…，2025時(shí)，所對(duì)應(yīng)值的總和是（ ）
A. 2027B. 2025C. 2023D. 2021
【答案】A
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握絕對(duì)值的性質(zhì)以及二次根式的性質(zhì)．
依據(jù)二次根式性質(zhì)化簡(jiǎn)，即可得到，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)，即可得到對(duì)應(yīng)的值的總和．
【詳解】解：∵，
當(dāng)時(shí)，，
即當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
即當(dāng)分別取時(shí)，的值均為 1 ，
∴當(dāng)分別取時(shí)，所對(duì)應(yīng)的值的總和是．
故選：A．
10. 已知兩個(gè)整式，，我們?cè)诖鷶?shù)式中的“________”上添加加減乘除的運(yùn)算符號(hào)，將運(yùn)算結(jié)果叫做關(guān)于，的“三連運(yùn)算”．比如就是關(guān)于，的一種“三連運(yùn)算”，下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①只存在一種關(guān)于，的“三連運(yùn)算”使得結(jié)果為1；②將分解因式后為；③三連運(yùn)算的解為．
A. 0個(gè)B. 1個(gè)C. 2個(gè)D. 3個(gè)
【答案】B
【解析】
【分析】找到兩種關(guān)于、的“三連運(yùn)算”使得結(jié)果為1，可判斷①，利用因式分解可判斷②，利用已知建立方程，解出方程可判斷③，從而可以得到答案．本題考查因式分解與方程，掌握因式分解與解方程便可解決問(wèn)題．
【詳解】解：， ，故①不符合題意；
，故②不符合題意；
∵，
∴，
即，
∴，
∴或，故③符合題意；
故選B．
二、填空題（共4小題，每題5分）
11. 關(guān)于x的方程是一元二次方程，則m的值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】本題考查一元二次方程的定義，根據(jù)一元二次方程的定義“只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高指數(shù)是2的整式方程，且二次項(xiàng)系數(shù)不等于0”，即可進(jìn)行求解．
【詳解】解：由題意得，，
解得，
因此，
故答案為：．
12. 計(jì)算：________．
【答案】##
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式乘法計(jì)算，同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算，積的乘方的逆運(yùn)算，根據(jù)同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算，積的乘方的逆運(yùn)算法則把所求式子變形為，據(jù)此計(jì)算求解即可．
【詳解】解：
，
故答案為：．
13. 已知最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，則的值為_(kāi)_______．
【答案】
【解析】
【分析】此題考查了同類二次根式，根據(jù)同類二根式的定義得到，解方程組后，代入求值即可．
【詳解】解∵最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，
∴
解得，
∴
故答案為：
14. 公元8世紀(jì)波斯數(shù)學(xué)家花拉子米被譽(yù)為代數(shù)學(xué)之父，他在《代數(shù)學(xué)》中列舉了這樣一道例題：
根的3倍與簡(jiǎn)單數(shù)4的和等于一個(gè)平方．用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示為：．即如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為，，將正方形分成面積為的矩形和面積為4的矩形，取中點(diǎn)，構(gòu)造邊長(zhǎng)為正方形，延長(zhǎng)到，使，則有正方形，此時(shí)顯然有，即，可以很容易求得該方程的一個(gè)正根_____；若令，，則_____．
【答案】 ①. 4 ②.
【解析】
【分析】本題考查解一元二次方程，能夠根據(jù)題意列出方程，利用直接開(kāi)平方法求解方程是解題的關(guān)鍵．
由題意列出方程，利用直接開(kāi)平方法解方程即可．
【詳解】解：，
∴，
∴，
或，
∴該方程的一個(gè)正根；
由題意得，
∴，
∴，
∴或（舍去），
，
故答案為：．
三、解答題（共9小題）
15. 解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．
（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得．
【小問(wèn)1詳解】
解：，
因式分解得，
∴或，
∴．
【小問(wèn)2詳解】
解：，
因式分解得，
或，
．
16. 計(jì)算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．
（1）先求算術(shù)平方根、絕對(duì)值，再計(jì)算加減即可；
（2）先計(jì)算二次根式的性質(zhì)、立方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，最后計(jì)算加減即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：
．
小問(wèn)2詳解】
解：
．
17. 已知實(shí)數(shù)在數(shù)軸上如圖，化簡(jiǎn)的值
【答案】2c-a.
【解析】
【詳解】試題分析：
由圖可知：，從而可得：，然后根據(jù)“絕對(duì)值的意義”化簡(jiǎn)即可.
試題解析：
∵從數(shù)軸可知：，
∴，
∴
=
=
=.
點(diǎn)睛：解這類時(shí)，首先要從數(shù)軸上獲取所涉及的數(shù)的大小和正、負(fù)信息；若絕對(duì)值符號(hào)里（或被開(kāi)方數(shù)中）涉及到異號(hào)兩數(shù)和的還要從數(shù)軸上獲取兩數(shù)絕對(duì)值的大小關(guān)系；然后根據(jù)所獲取的信息確定好絕對(duì)值符號(hào)里各個(gè)式子的符號(hào)，再根據(jù)絕對(duì)值的代數(shù)意義去掉絕對(duì)值符號(hào)化簡(jiǎn).
18. 當(dāng)時(shí)，計(jì)算代數(shù)式的值．
【答案】2023
【解析】
【分析】運(yùn)用完全平方公式將代數(shù)式湊成兩數(shù)差的完全平方式，即，再將代入即可得到答案．
【詳解】解：當(dāng)時(shí)，
．
【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的逆用，代數(shù)式求值，熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是本題的關(guān)鍵．
19. 已知關(guān)于的方程．
（1）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求此時(shí)方程的根．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的根的判別式：當(dāng)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
（1）根據(jù)判別式的意義得到，然后解不等式即可；
（2）根據(jù)判別式的意義得到，然后解關(guān)于的方程得到，則原方程變形為，然后利用因式分解法解此一元二次方程．
【小問(wèn)1詳解】
解：根據(jù)題意得，
解得：；
【小問(wèn)2詳解】
解：根據(jù)題意得，
解得：，
原方程變形為，
∴，
所以．
20. 已知，．
（1）求的值；
（2）若x的小數(shù)部分是m，y的小數(shù)部分是n，求的值．
【答案】（1）35 （2）
【解析】
【分析】本題主要考查了估算無(wú)理數(shù)的大小，二次根式的混合運(yùn)算的應(yīng)用及求代數(shù)式的值．
（1）先分母有理化求出x、y的值，求出 和的值，變形后代入求出即可；
（2）求出m、n的值，代入求值即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵，，
∴，
∴
；
【小問(wèn)2詳解】
∵
∴，
∵x的小數(shù)部分是m，y的小數(shù)部分是n
∴，，
∴
.
21. 觀察下列等式：第1個(gè)等式為：；第2個(gè)等式為：；第3個(gè)等式為：…根據(jù)等式所反映的規(guī)律，解答下列問(wèn)題：
（1）第4個(gè)等式為_(kāi)________；
（2）猜想：第n個(gè)等式為_(kāi)________（n為正整數(shù)）；
（3）根據(jù)你的猜想，計(jì)算：．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給出的等式找出一般規(guī)律，寫出第4個(gè)等式即可；
（2）根據(jù)題干中給出的一般規(guī)律，寫出第n個(gè)等式即可；
（3）根據(jù)分母有理化運(yùn)算法則和二次根式混合運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：第1個(gè)等式為：；
第2個(gè)等式為：；
第3個(gè)等式為：；
…
第4個(gè)等式為：．
故答案為：．
【小問(wèn)2詳解】
解：第n個(gè)等式為：（n為正整數(shù)）；
故答案為：．
【小問(wèn)3詳解】
解：
．
【點(diǎn)睛】本題考查了分母有理化，解題的關(guān)鍵是熟練掌握利用平方差公式將分式分母有理化．
22. 已知：關(guān)于的一元二次方程．
（1）已知是方程的一個(gè)根，求的值；
（2）以這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根作為中、（）的邊長(zhǎng)，當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，求此時(shí)的值．
【答案】（1）或
（2）或
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．也考查了解一元二次方程和等腰三角形的定義．
（1）把代入方程得到關(guān)于的一元二次方程，然后解關(guān)于的方程即可；
（2）先計(jì)算出判別式，再利用求根公式得到，則．然后討論：當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有，再分別解關(guān)于的一次方程即可．
【小問(wèn)1詳解】
解：∵是方程的一個(gè)根，
，
或．
【小問(wèn)2詳解】
解：∵，
，
，
∵的長(zhǎng)是這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴．
∵是等腰三角形，
∴當(dāng)時(shí)，有，
；
當(dāng)時(shí)，有，
；
綜上所述，當(dāng)或時(shí)，是等腰三角形．
23. 如果一元二次方程的兩根相差1，那么該方程稱為“差1方程”．例如是“差1方程”．
（1）判斷下列方程是不是“差1方程”，并說(shuō)明由：
①；
②；
（2）已知關(guān)于的方程（是常數(shù)）是“差1方程”，求的值；
（3）若關(guān)于的方程（是常數(shù)）是“差1方程”，設(shè)，若的值為9，求此時(shí)和的值．
【答案】（1）①不是“差1方程”；②是“差1方程”；理由見(jiàn)解析
（2）或
（3），
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用一元次方程的解法以及正確理解“差1方程”的定義．
（1）根據(jù)解一元二次方程的方法解出已知方程的解，再比較兩根的差是否為 1 ，從而確定方程是否為“差1方程”；
（2）先解方程求得其根，再根據(jù)新定義列出的方程，注意有兩種情況；
（3）根據(jù)新定義得方程的大根與小根的差為 1 ，列出與的關(guān)系式，再由，得與的關(guān)系，從而得出最后結(jié)果．
【小問(wèn)1詳解】
解：①解方程，
∴，
∴或，
解得：或 6 ，
，
不是“差1方程”；
②解方程，
∴，
，
，
是“差1方程”．
小問(wèn)2詳解】
解：解方程（是常數(shù)）得：，
∴或，
∵方程是常數(shù)）是“差1方程”，
或，
∴或；
【小問(wèn)3詳解】
解：由題可得：，
解方程得，
∵關(guān)于的方程是常數(shù)，是“差1方程”，
，
，
，
，
解得：，
．

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