1. 要使二次根式有意義，則x的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列各式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列根式是最簡二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
4. 方程的二次項(xiàng)系數(shù)是2，則一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)分別為（ ）
A. 6，-9B. -6，9C. -6，-9D. 6，9
5. 用配方法解一元二次方程，下列配方正確的是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程的兩個(gè)根．則該三角形的周長是（ ）
A. 8B. 10C. 8或10D. 8或9或10
7. 關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（ ）
A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D. 沒有實(shí)數(shù)根
8. 如圖，一豎直的木桿在離地面4米處折斷，木桿頂端落在地面離木桿底端3米處，木桿折斷之前的高度為（ ）．
A. 7米B. 8米C. 9米D. 12米
9. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，下列條件中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（ ）
A. a＝3，b＝4，c＝5B. a＝b，∠C＝45°
C. ∠A：∠B：∠C＝1：2：3D. a＝9，b＝40，c＝41
10. 已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，求的值（ ）
A. B. C. D.
二．填空題（本題共4小題，每小題5分，共 20 分）
11. 已知最簡二次根式與二次根式同類二次根式，則______．
12. 小明向一些好友發(fā)送了一條新年問候的短信，獲得信息的人也按小明發(fā)送的人數(shù)再加1人向外轉(zhuǎn)發(fā)，經(jīng)過兩輪短信的發(fā)送，共有35人次手機(jī)上收到該短信，則小明發(fā)送短信給了__________個(gè)好友
13. 在中，，若，則的長是________．
14. 如圖，在中，，P、Q分別是線段和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．
三．解答題（共10小題）
15. 計(jì)算：．
16. 解方程：．
17. 已知關(guān)于x的一元二次方程．
（1）若方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的值并解這個(gè)方程；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根、滿足，則的值為 ．
18. 如圖，已知在中，，是上一點(diǎn)，且，
（1）求證：是直角三角形；
（2）求的長
19. 閱讀理解：若，，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)．利用這個(gè)結(jié)論，我們可以求一些式子的最小值．
例如：已知，求式子最小值．
解：令，，則由，得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即正數(shù)時(shí)，式子有最小值，最小值為4．
請根據(jù)上面材料回答下列問題：
（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)______時(shí)，式子的最小值為______（直接寫出答案）；
（2）如圖，用籬笆圍一個(gè)面積為50平方米長方形花園，使這個(gè)長方形花園的一邊靠墻（墻長20米，籬笆周長指不靠墻的三邊之和），這個(gè)長方形的長、寬各為多少米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少米？
20. 先觀察下列等式，再解答下列問題：
①；
②；
③．
（1）根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，計(jì)算：；
（2）按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出一個(gè)用n（n為正整數(shù)）表示的等式；
（3）請利用上述規(guī)律來計(jì)算：．
21. 對于代數(shù)式，若存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式值也等于，則稱為這個(gè)代數(shù)式的不變值．例如：對于代數(shù)式，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式等于0；當(dāng)時(shí)，代數(shù)式等于1，我們就稱0和1都是這個(gè)代數(shù)式的不變值．在代數(shù)式存在不變值時(shí)，該代數(shù)式的最大不變值與最小不變值的差記作．特別地，當(dāng)代數(shù)式只有一個(gè)不變值時(shí)，則．
（1）代數(shù)式的不變值是______，______．
（2）說明：代數(shù)式?jīng)]有不變值；
（3）已知代數(shù)式，若，求的值．
22. 直播購物逐漸走進(jìn)了人們的生活，某電商在某APP上對一款成本價(jià)為每件8元的小商品進(jìn)行直播銷售．如果按每件10元銷售，每天可賣出200件．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品的售價(jià)每上漲1元，每天的銷售件數(shù)就減少20件．將每件小商品的售價(jià)定為x（元），每天銷售量y（件）．
（1）求y（件）與x（元）之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若電商按每件小商品的銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于15元的價(jià)格銷售，要使銷售該商品每天獲得的利潤為640元，求每件小商品的銷售價(jià)應(yīng)為多少元？
23. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，若將沿直線折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸正半軸上的點(diǎn)D處．
（1）的長為 ___________，點(diǎn)D的坐標(biāo)是 ___________；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，若，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（4）在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使為等腰直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
石化一中2024-2025學(xué)年八年級(jí)下期中隨堂練習(xí)
一．選擇題（(本題共10小題，每小題4分，共40分）
1. 要使二次根式有意義，則x的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查了二次根式有意義的條件，二次根式有意義的條件是被開方數(shù)大于等于0，據(jù)此列式求解即可．
【詳解】解：∵二次根式有意義，
∴，
解得．
故選：B．
2. 下列各式成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本題主要考查了算術(shù)平方根的定義，深刻理解算術(shù)平方根的定義是解題的關(guān)鍵．
根據(jù)算術(shù)平方根的定義直接判斷即可得出答案．
【詳解】解：A. ，故選項(xiàng)不符合題意；
B. 在時(shí)不成立，故選項(xiàng)不符合題意；
C. ，故選項(xiàng)不符合題意；
D. 成立，故選項(xiàng)符合題意；
故選：．
3. 下列根式是最簡二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用最簡二次根式定義判斷即可．
【詳解】A、＝，不符合題意；
B、原式＝＝，不符合題意；
C、為最簡二次根式，符合題意；
D、＝2，不符合題意，
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式定義是解本題的關(guān)鍵．
4. 方程的二次項(xiàng)系數(shù)是2，則一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)分別為（ ）
A. 6，-9B. -6，9C. -6，-9D. 6，9
【答案】C
【解析】
【分析】方程整理為一般形式，找出一次項(xiàng)系數(shù)，和常數(shù)項(xiàng)即可．
【詳解】∵,
∴2x2-6x-9=0，
∴一次項(xiàng)系數(shù)是-6，常數(shù)項(xiàng)是-9，
故選C.
【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）特別要注意a≠0的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識(shí)點(diǎn)．在一般形式中ax2叫二次項(xiàng)，bx叫一次項(xiàng)，c是常數(shù)項(xiàng)．其中a，b，c分別叫二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)．注意：各項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)包括前面的符號(hào).
5. 用配方法解一元二次方程，下列配方正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】方程整理后，利用完全平方公式配方得到結(jié)果，即可作出判斷．
【詳解】解：方程2x2-2x-1=0，
整理得：x2-x=，
配方得：x2-x+=，即（x-）2=．
故選：C．
【點(diǎn)睛】此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．
6. 已知等腰三角形的腰和底的長分別是一元二次方程的兩個(gè)根．則該三角形的周長是（ ）
A. 8B. 10C. 8或10D. 8或9或10
【答案】B
【解析】
【分析】本題考查等腰三角形的定義，解一元二次方程．求出一元二次方程的解，根據(jù)方程的兩根為等腰三角形的腰和底的長，分類討論求解即可．
【詳解】解：，
，
或，
∴，
當(dāng)腰為2，底為4時(shí)，因?yàn)?，不符合三角形三邊的關(guān)系，舍去，
當(dāng)腰為4，底為2時(shí)，三角形的周長為．
故選：B．
7. 關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（ ）
A. 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B. 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C. 只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D. 沒有實(shí)數(shù)根
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查的是一元二次方程根的判別式，熟知一元二次方程中，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．根據(jù)一元二次方程根的判別式解答即可．
【詳解】解：△，
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：A．
8. 如圖，一豎直的木桿在離地面4米處折斷，木桿頂端落在地面離木桿底端3米處，木桿折斷之前的高度為（ ）．
A. 7米B. 8米C. 9米D. 12米
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理求AC的長，從而求木桿折斷前的高度．
【詳解】解：由題意可知，AB=4，BC=3
∴在Rt△ABC中，
∴木桿在折斷前的高度為4+5=9米
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理解直角三角形，正確理解題意進(jìn)行計(jì)算是解題關(guān)鍵．
9. 在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c，下列條件中，不能判斷△ABC是直角三角形的是（ ）
A. a＝3，b＝4，c＝5B. a＝b，∠C＝45°
C. ∠A：∠B：∠C＝1：2：3D. a＝9，b＝40，c＝41
【答案】B
【解析】
分析】A.由勾股定理逆定理得：，即可判斷A正確；
B.由等腰三角形的性質(zhì)與三角形內(nèi)角和定理得：，所以B錯(cuò)誤；
C.由三角形內(nèi)角和定理即可求出，，，所以C正確；
D.由勾股定理逆定理得：，即可判斷D正確．
【詳解】A.由題可得：滿足勾股定理，
是直角三角形，故A選項(xiàng)正確；
B.，
，
由三角形內(nèi)角和定理得：，
不是直角三角形，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C.，
設(shè)，則，，
由三角形內(nèi)角和定理得：，
解得：，，，
是直角三角形，故C選項(xiàng)正確；
D. .由題可得：滿足勾股定理，
是直角三角形，故D選項(xiàng)正確．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的判定，一是根據(jù)直角三角形的定義：有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形，二是根據(jù)勾股定理逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形，本題的關(guān)鍵在于勾股定理逆定理的求解．
10. 已知實(shí)數(shù)，滿足，，且，求的值（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)．將化為，得到實(shí)數(shù)，是方程的兩個(gè)根，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得，，即可求解．
【詳解】解：化為，
，且，
實(shí)數(shù)，是方程的兩個(gè)根，
，，
，
故選：A．
二．填空題（本題共4小題，每小題5分，共 20 分）
11. 已知最簡二次根式與二次根式是同類二次根式，則______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)最簡二次根式及同類二次根式的定義列方程求解．
【詳解】解：∵，
根據(jù)題意得：，
解得：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了最簡二次根式，同類二次根式的定義，即化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的二次根式叫做同類二次根式．
12. 小明向一些好友發(fā)送了一條新年問候的短信，獲得信息的人也按小明發(fā)送的人數(shù)再加1人向外轉(zhuǎn)發(fā)，經(jīng)過兩輪短信的發(fā)送，共有35人次手機(jī)上收到該短信，則小明發(fā)送短信給了__________個(gè)好友
【答案】5.
【解析】
【分析】本題可設(shè)第一輪中某人向x人發(fā)短信，那么在第二輪中獲得短信的這x人每人又發(fā)出了（x+1）條信息，即在第二輪中共發(fā)出了x（x+1）條短信，進(jìn)而我們可列出方程，求出答案．
【詳解】設(shè)第一輪中某人向x人發(fā)短信,獲得短信的x人,每人向外發(fā)(x+1)條短信，
由題意得，
x+x(x+1)=35，
整理x2+2x?35=0，
解得：x1=5,x2=?7(不合題意,舍去)
故答案為5.
【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵在于理解題意列出方程.
13. 在中，，若，則的長是________．
【答案】17
【解析】
【分析】在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理列出方程即可求解．
【詳解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB-AC=2，BC=8，
∴AC2+BC2=AB2，
即（AB-2）2+82=AB2，
解得AB=17．
故答案為：17．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解答的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的定義及其在直角三角形中的表示形式．
14. 如圖，在中，，P、Q分別是線段和上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______．
【答案】9
【解析】
【分析】此題是軸對稱-最短路徑問題，主要考查了軸對稱性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)．作點(diǎn)B關(guān)于的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)Q，則取得最小值，證明，設(shè)，則，得到，證明，再求得，則，解得，即可求得答案．
【詳解】作點(diǎn)B關(guān)于對稱點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)Q，
則，，
∴取得最小值，
∵，
∴，，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，
∴，，
∴，即的最小值為9，
故答案為：9．
三．解答題（共10小題）
15. 計(jì)算：．
【答案】
【解析】
【分析】先根據(jù)二次根式的乘除法則運(yùn)算，然后化簡后合并即可．
【詳解】解：原式
．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把二次根式化為最簡二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．在二次根式的混合運(yùn)算中，如能結(jié)合題目特點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．
16. 解方程：．
【答案】，
【解析】
【分析】本題考查了解一元二次方程，利用因式分解法解一元二次方程即可得解，選擇合適的方法進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，．
17. 已知關(guān)于x的一元二次方程．
（1）若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)k的值并解這個(gè)方程；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根、滿足，則的值為 ．
【答案】（1）
（2）2
【解析】
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程，根的判別式：
（1）利用根的判別式的意義得到，則解方程得到的值，此時(shí)方程為，然后解一元二次方程即可；
（2）先根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，再利用得到，解得，，然后根據(jù)根的判別式的意義得到，從而可確定的值．
【小問1詳解】
解：根據(jù)題意得
解得，
此時(shí)方程為，
，
解得；
【小問2詳解】
解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，
，
，
整理得，
解得，，
，
解得，
的值為2．
18. 如圖，已知在中，，是上一點(diǎn)，且，
（1）求證：是直角三角形；
（2）求的長
【答案】（1）見解析 （2）的長是
【解析】
【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理得到，從而證明是直角三角形；
（2）根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．
【小問1詳解】
證明：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即是直角三角形；
【小問2詳解】
解：在中，，，，
由勾股定理得：，
即的長是．
【點(diǎn)睛】此題主要考查勾股定理以及其逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的內(nèi)容．
19. 閱讀理解：若，，由，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到等號(hào)．利用這個(gè)結(jié)論，我們可以求一些式子的最小值．
例如：已知，求式子的最小值．
解：令，，則由，得，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即正數(shù)時(shí)，式子有最小值，最小值為4．
請根據(jù)上面材料回答下列問題：
（1）當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)______時(shí)，式子的最小值為______（直接寫出答案）；
（2）如圖，用籬笆圍一個(gè)面積為50平方米的長方形花園，使這個(gè)長方形花園的一邊靠墻（墻長20米，籬笆周長指不靠墻的三邊之和），這個(gè)長方形的長、寬各為多少米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是多少米？
【答案】（1），
（2）長為10米，寬為5米時(shí)，所用的籬笆最短，最短籬笆為20米
【解析】
【分析】本題主要考查完全平方公式的應(yīng)用，二次根式的應(yīng)用．
（1）根據(jù)材料提供的信息解答即可．
（2）設(shè)這個(gè)長方形垂直于墻的一邊的長為米，則平行于墻的一邊為米，則，，所以所用籬笆的長為米，再根據(jù)材料提供的信息求出的最小值即可．
【小問1詳解】
解：令 ，，則由 ，得 ，
當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)，即正數(shù) 時(shí)，式子有最小值，最小值為6，
故答案為：6．
小問2詳解】
解：設(shè)這個(gè)長方形垂直于墻的一邊的長為x米，則平行于墻的一邊為米，
則，
∴，
∴所用籬笆的長為米，
∵，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的值最小，最小值為20，
∴或（舍去）．
∴這個(gè)長方形的長、寬分別為10米，5米時(shí)，所用的籬笆最短，最短的籬笆是20米．
20. 先觀察下列等式，再解答下列問題：
①；
②；
③．
（1）根據(jù)上面三個(gè)等式提供的信息，計(jì)算：；
（2）按照上面各等式反映的規(guī)律，試寫出一個(gè)用n（n為正整數(shù)）表示的等式；
（3）請利用上述規(guī)律來計(jì)算：．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本題考查了利用與實(shí)數(shù)運(yùn)算相關(guān)的規(guī)律題，利用二次根式的性質(zhì)化簡．根據(jù)題意推導(dǎo)一般性規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
（1）由題意知，，求解作答即可；
（2）由題意知，，然后求解作答即可；
（3）根據(jù)，計(jì)算求解即可．
【小問1詳解】
解：由題意知，，
∴；
【小問2詳解】
解：由題意知，，
∴用n（n為正整數(shù)）表示的等式為；
【小問3詳解】
解：由題意知，，
∴．
21. 對于代數(shù)式，若存在實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值也等于，則稱為這個(gè)代數(shù)式的不變值．例如：對于代數(shù)式，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式等于0；當(dāng)時(shí)，代數(shù)式等于1，我們就稱0和1都是這個(gè)代數(shù)式的不變值．在代數(shù)式存在不變值時(shí)，該代數(shù)式的最大不變值與最小不變值的差記作．特別地，當(dāng)代數(shù)式只有一個(gè)不變值時(shí)，則．
（1）代數(shù)式的不變值是______，______．
（2）說明：代數(shù)式?jīng)]有不變值；
（3）已知代數(shù)式，若，求的值．
【答案】（1）和4，7
（2）見解析 （3）1
【解析】
【分析】（1）根據(jù)不變值的定義可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可求出的值，再做差后可求出的值；
（2）由方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式可得出方程沒有實(shí)數(shù)根，進(jìn)而可得出代數(shù)式?jīng)]有不變值；
（3）由可得出方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，進(jìn)而可得出，解之即可得出結(jié)論．
【小問1詳解】
解：依題意，得：，即
解得：，，
，
故答案為：和4，7；
【小問2詳解】
解：依題意，得：即，
，
沒有實(shí)數(shù)根，
代數(shù)式?jīng)]有不變值；
【小問3詳解】
解：依題意，得：即有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
，
整理得：，
解得．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及根的判別式，根據(jù)不變值的定義，求出一元二次方程的解是解題的關(guān)鍵．
22. 直播購物逐漸走進(jìn)了人們的生活，某電商在某APP上對一款成本價(jià)為每件8元的小商品進(jìn)行直播銷售．如果按每件10元銷售，每天可賣出200件．通過市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件小商品的售價(jià)每上漲1元，每天的銷售件數(shù)就減少20件．將每件小商品的售價(jià)定為x（元），每天銷售量y（件）．
（1）求y（件）與x（元）之間的函數(shù)表達(dá)式；
（2）若電商按每件小商品的銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于15元的價(jià)格銷售，要使銷售該商品每天獲得的利潤為640元，求每件小商品的銷售價(jià)應(yīng)為多少元？
【答案】（1）
（2）12元
【解析】
【分析】（1）由每件小商品的售價(jià)每上漲1元，每天的銷售件數(shù)就減少20件，即可求解；
（2）由利潤每件商品利潤數(shù)量，列出方程可求解．
【小問1詳解】
解：設(shè)y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為，
∴y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為；
【小問2詳解】
由題意可得：，
整理，得，
解得：，．
又每件小商品的銷售單價(jià)不低于成本價(jià)，且不高于15元的價(jià)格，
所以，
答：將每件小商品的售價(jià)定為12元時(shí)，才能使每天的利潤為640元．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找到正確的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
23. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)，，點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，若將沿直線折疊，點(diǎn)B恰好落在x軸正半軸上的點(diǎn)D處．
（1）的長為 ___________，點(diǎn)D的坐標(biāo)是 ___________；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M是y軸上一動(dòng)點(diǎn)，若，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（4）在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)P，使為等腰直角三角形，若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）5，
（2）
（3）或
（4）存在，點(diǎn)P的坐標(biāo)為或或
【解析】
【分析】（1）由勾股定理得到，由折疊的性質(zhì)可知，，進(jìn)而得到，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）設(shè)，由折疊的性質(zhì)可知，，再根據(jù)勾股定理，求出的值，即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）先求出，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，根據(jù)列方程求出的值，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（4）分三種情況討論：①當(dāng)，；②當(dāng)，；③當(dāng)，，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)分別求解即可．
【小問1詳解】
解：，，
，，
在中，，
由折疊的性質(zhì)可知，，
，
點(diǎn)D的坐標(biāo)是，
故答案：，；
【小問2詳解】
解：設(shè)，則，
由折疊的性質(zhì)可知，，
在中，，
，
解得：，即，
點(diǎn)C的坐標(biāo)為；
【小問3詳解】
解：，，
，，
，
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
，
，
，
，
或，
或，
點(diǎn)M的坐標(biāo)為或；
【小問4詳解】
解：存在，理由如下：
①當(dāng)，，則為等腰直角三角形，
如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
②當(dāng)，，則為等腰直角三角形，
如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，
同理 可證，，
，，
，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
③當(dāng)，，則為等腰直角三角形，
如圖，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，
則，
∴；
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
，
，，
，
解得：，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
綜上可知，第一象限內(nèi)存在點(diǎn)P，使為等腰直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了坐標(biāo)與圖形，折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，絕對值方程，作輔助線構(gòu)造全等三角形，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想解決問題是關(guān)鍵．

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