【基本方法】
已知an＋1＝Aan＋B求an的方法1
遞推關(guān)系形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1，B≠0，A，B為常數(shù))可化為an＋1＋eq \f(B,A－1)＝Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋\f(B,A－1)))(p≠1)的形式，利用eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋\f(B,A－1)))是以A為公比的等比數(shù)列求解．
已知an＋1＝Aan＋B求an的方法2
對(duì)于一個(gè)函數(shù)f(x)，我們把滿足f(m)＝m的值x＝m稱為函數(shù)f(x)的“不動(dòng)點(diǎn)”．利用“不動(dòng)點(diǎn)法”可以構(gòu)造新數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
若f(x)＝Ax＋B(A≠0，1)，p是f(x)的不動(dòng)點(diǎn)．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋1＝f(an)，則an＋1－p＝A(an－p)，即{an－p}是公比為A的等比數(shù)列．
【基本題型】
[例1] (1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．
答案 an＝2·3n－1－1 解析 ∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴eq \f(an＋1＋1,an＋1)＝3，∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3，又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，∴an＝2·3n－1－1．
(迭代法)an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1)＝33(an－2＋1)＝…＝3n(a1＋1)＝2×3n(n≥1)，所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，又a1＝1也滿足上式，故數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2×3n－1－1．
(2)已知數(shù)列{an}中，a1＝3，且點(diǎn)Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直線3x－y＋1＝0上，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．
答案 an＝eq \f(7,2)·3n－1－eq \f(1,2) 解析 因?yàn)辄c(diǎn)Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直線3x－y＋1＝0上，所以3an－an＋1＋1＝0，即an＋1＝3an＋1，所以an＋1＋eq \f(1,2)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋\f(1,2)))，所以數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋\f(1,2)))是公比為3的等比數(shù)列，首項(xiàng)為a1＋eq \f(1,2)＝3＋eq \f(1,2)＝eq \f(7,2)，所以an＋eq \f(1,2)＝eq \f(7,2)·3n－1，所以an＝eq \f(7,2)·3n－1－eq \f(1,2)．
[例2] (1)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq \f(1,2)an＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．
答案 2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1 解析 設(shè)f(x)＝eq \f(1,2)x＋1，令f(x)＝x，即eq \f(1,2)x＋1＝x，得x＝2，∴x＝2是函數(shù)f(x)＝eq \f(1,2)x＋1的不動(dòng)點(diǎn)，∴an＋1－2＝eq \f(1,2)(an－2)，∴數(shù)列{an－2}是以－1為首項(xiàng)，以eq \f(1,2)為公比的等比數(shù)列，∴an－2＝－1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1，∴an＝2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1，n∈N*．
(2)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝－eq \f(1,3)an－2，a1＝4，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．
答案 －eq \f(3,2)＋eq \f(11,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))n－1 解析 設(shè)f(x)＝－eq \f(1,3)x－2，由f(x)＝x，得x＝－eq \f(3,2)．∴an＋1＋eq \f(3,2)＝－eq \f(1,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋\f(3,2)))，又a1＝4，∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋\f(3,2)))是以eq \f(11,2)為首項(xiàng)，以－eq \f(1,3)為公比的等比數(shù)列，∴an＋eq \f(3,2)＝eq \f(11,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))n－1，∴an＝－eq \f(3,2)＋eq \f(11,2)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))n－1，n∈N*．
【對(duì)點(diǎn)精練】
1．在數(shù)列{an}中，若a1＝1，an＋1＝2an＋3，則通項(xiàng)公式an＝________．
1．答案 2n＋1－3 解析 設(shè)遞推公式an＋1＝2an＋3可以轉(zhuǎn)化為an＋1＋t＝2(an＋t)，即an＋1＝2an＋t，解得
t＝3．故an＋1＋3＝2(an＋3)．令bn＝an＋3，則b1＝a1＋3＝4，且eq \f(bn＋1,bn)＝eq \f(an＋1＋3,an＋3)＝2．所以{bn}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列．∴bn＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3．
2．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，則其通項(xiàng)公式an＝________．
2．答案 2n－1 解析 由題意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴數(shù)列{an＋1}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1．
3．已知數(shù)列{an}中，a1＝3，且點(diǎn)Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直線4x－y＋1＝0上，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為
________．
3．答案 an＝eq \f(10,3)×4n－1－eq \f(1,3) 解析 因?yàn)辄c(diǎn)Pn(an，an＋1)(n∈N*)在直線4x－y＋1＝0上，所以4an－an＋1＋1
＝0．所以an＋1＋eq \f(1,3)＝4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋\f(1,3)))．因?yàn)閍1＝3，所以a1＋eq \f(1,3)＝eq \f(10,3)．故數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(an＋\f(1,3)))是首項(xiàng)為eq \f(10,3)，公比為4的等比數(shù)列．所以an＋eq \f(1,3)＝eq \f(10,3)×4n－1，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝eq \f(10,3)×4n－1－eq \f(1,3)．
考點(diǎn)二 由an＋1＝pan＋f(n)求an型
【基本方法】
已知an＋1＝pan＋f(n)求an的方法
遞推關(guān)系形如an＋1＝pan＋f(n)(p是非零常數(shù))的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，可先在兩邊同除以f(n)后再用累加法求得．
【基本題型】
[例3] (1)在數(shù)列{an}中，若a1＝2，an＋1＝2an＋2n＋1，則通項(xiàng)公式an＝________．
答案 n·2n 解析 將式子an＋1＝2an＋2n＋1兩邊同除以2n＋1得，eq \f(an＋1,2n＋1)＝eq \f(an,2n)＋1，所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n)))是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，所以eq \f(an,2n)＝n，an＝n·2n．
(2)在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq \f(1,3)an＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n＋1(n∈N*)，則通項(xiàng)公式an＝________．
答案 B 解析 由題意得an＝eq \f(1,3)an－1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))n(n≥2)，∴3nan＝3n－1an－1＋1(n≥2)，即3nan－3n－1an－1＝1(n≥2)．又a1＝1，∴31·a1＝3，∴數(shù)列{3nan}是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴3nan＝3＋(n－1)×1＝n＋2，∴an＝eq \f(n＋2,3n)(n∈N*)．
(3)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列，則an＝________．
答案 3n－2n 解析 由a1，a2＋5，a3成等差數(shù)列可得a1＋a3＝2a2＋10，由2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，得2a1＋2a2＝a3－7，即2a2＝a3－7－2a1， 代入a1＋a3＝2a2＋10，得a1＝1，代入2S1＝a2－22＋1，得a2＝5．2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，得當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn－1＝an－2n＋1，兩式相減，得2an＝an＋1－an－2n，即an＋1＝3an＋2n，當(dāng)n＝1時(shí)，5＝3×1＋21也適合an＋1＝3an＋2n，所以對(duì)任意正整數(shù)n，an＋1＝3an＋2n．上式兩端同時(shí)除以2n＋1，得eq \f(an＋1,2n＋1)＝eq \f(3,2)·eq \f(an,2n)＋eq \f(1,2)，兩端同時(shí)加1，得eq \f(an＋1,2n＋1)＋1＝eq \f(3,2)·eq \f(an,2n)＋eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n)＋1))，所以數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n)＋1))是首項(xiàng)為eq \f(3,2)，公比為eq \f(3,2)的等比數(shù)列，所以eq \f(an,2n)＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n，所以eq \f(an,2n)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))n－1，所以an＝3n－2n．
【對(duì)點(diǎn)精練】
1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1－2an＝2n(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝________．
1．答案 n·2n－1 解析 an＋1－2an＝2n兩邊同除以2n＋1，可得eq \f(an＋1,2n＋1)－eq \f(an,2n)＝eq \f(1,2)，又eq \f(a1,2)＝eq \f(1,2)，∴數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n)))是以eq \f(1,2)為
首項(xiàng)，eq \f(1,2)為公差的等差數(shù)列，∴eq \f(an,2n)＝eq \f(1,2)＋(n－1)×eq \f(1,2)＝eq \f(n,2)，∴an＝n·2n－1．
2．在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝eq \f(1,2)an－eq \f(1,2n)，則其通項(xiàng)公式an＝________．
2．答案 eq \f(2－n,2n－1) 解析 由an＋1＝eq \f(1,2)an－eq \f(1,2n)得2nan＋1＝2n－1an－1，令bn＝2n－1an，則bn＋1－bn＝－1，又a1＝1，
∴b1＝1，∴bn＝1＋(n－1)×(－1)＝－n＋2．即2n－1an＝－n＋2，∴an＝eq \f(2－n,2n－1)．
3．已知各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{an}滿足a1＝eq \f(1,2)，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an
＝________．
3．解 ∵anan－1＝an－1－an，且各項(xiàng)均不為0，∴eq \f(1,an)－eq \f(1,an－1)＝1．∴{eq \f(1,an)}為首項(xiàng)是2，公差為1的等差數(shù)列，
∴eq \f(1,an)＝n＋1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝eq \f(1,n＋1)．∵a1＝eq \f(1,2)也符合上式，∴an＝eq \f(1,n＋1)(n∈N*)．
考點(diǎn)三 由an＋2＝pan＋1＋qan求an型
【基本方法】
已知an＋2＝pan＋1＋qan求an的方法
遞推關(guān)系形如an＋2＝pan＋1＋qan型，可化為an＋2＋xan＋1＝(p＋x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋1＋\f(q,p＋x)an))，令x＝eq \f(q,p＋x)，求得x來解決．
【基本題型】
[例4] 已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝4，an＋2＋2an＝3an＋1(n∈N＋)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________．
答案 3×2n－1－2 解析 由an＋2＋2an－3an＋1＝0，得an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴數(shù)列{an＋1－an}是以a2－a1＝3為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，∴an＋1－an＝3×2n－1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an－an－1＝3×2n－2，…，a3－a2＝3×2，a2－a1＝3，將以上各式累加，得an－a1＝3×2n－2＋…＋3×2＋3＝3(2n－1－1)，∴an＝3×2n－1－2(當(dāng)n＝1時(shí)，也滿足)．
【對(duì)點(diǎn)精練】
1．若a1＝5，a2＝2，an＋2＝2an＋1＋3an，則an＝________．
1．答案 eq \f(7·3n－1＋13(－1)n－1,4) 解析 設(shè)an＋2＋xan＋1＝(2＋x)an＋1＋3an(x≠－2，x是待定系數(shù))，即an＋
2＋xan＋1＝(2＋x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(an＋1＋\f(3,2＋x)an))，令x＝eq \f(3,2＋x)，解得x＝－3或1．當(dāng)x＝－3時(shí)，得an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，所以{an＋1－3an}是首項(xiàng)為－13、公比為－1的等比數(shù)列，得an＋1－3an＝－13·(－1)n－1．當(dāng)x＝1時(shí)，同理可得an＋1＋an＝7·3n－1，解關(guān)于an＋1，an的方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(an＋1－3an＝－13·(－1)n－1，,an＋1＋an＝7·3n－1，))可得an＝eq \f(7·3n－1＋13(－1)n－1,4)．
考點(diǎn)四 由an＋1＝eq \f(Aan,Ban＋C)求an型
【基本方法】
已知an＋1＝eq \f(Aan,Ban＋C)求an的方法1
遞推關(guān)系形如an＋1＝eq \f(Aan,Ban＋C)型可取倒數(shù)，構(gòu)造新數(shù)列求解．
已知an＋1＝eq \f(Aan,Ban＋C)求an的方法2
對(duì)于一個(gè)函數(shù)f(x)，我們把滿足f(m)＝m的值x＝m稱為函數(shù)f(x)的“不動(dòng)點(diǎn)”．利用“不動(dòng)點(diǎn)法”可以構(gòu)造新數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
設(shè)f(x)＝eq \f(Ax＋B,Cx＋D)(c≠0，AD－BC≠0)，數(shù)列{an}滿足an＋1＝f(an)，a1≠f(a1)．若f(x)有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)p，q，則eq \f(an＋1－p,an＋1－q)＝k·eq \f(an－p,an－q)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(此處k＝\f(a－pc,a－qc)))．
【基本題型】
[例5] (1)已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________．
答案 eq \f(2,n) 解析 ∵an＋1＝eq \f(2an,an＋2)，a1＝2，∴an≠0，∴eq \f(1,an＋1)＝eq \f(1,an)＋eq \f(1,2)，即eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,2)，又a1＝2，則eq \f(1,a1)＝eq \f(1,2)，∴eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是以eq \f(1,2)為首項(xiàng)，eq \f(1,2)為公差的等差數(shù)列．∴eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)＋(n－1)×eq \f(1,2)＝eq \f(n,2)，∴an＝eq \f(2,n)．
(2)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq \f(an,an＋3)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．
答案 eq \f(2,3n－1) 解析 因?yàn)閍n＋1＝eq \f(an,an＋3)(n∈N*)，所以eq \f(1,an＋1)＝eq \f(3,an)＋1，設(shè)eq \f(1,an＋1)＋t＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)＋t))，所以3t－t＝1，解得t＝eq \f(1,2)，所以eq \f(1,an＋1)＋eq \f(1,2)＝3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)＋\f(1,2)))，又eq \f(1,a1)＋eq \f(1,2)＝1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，所以數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)＋\f(1,2)))是以eq \f(3,2)為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，所以eq \f(1,an)＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)×3n－1＝eq \f(3n,2)，所以eq \f(1,an)＝eq \f(3n－1,2)，所以an＝eq \f(2,3n－1)．
[例6] (1)已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝eq \f(7an－2,an＋4)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．
答案 eq \f(4·6n－1－5n－1,2·6n－1－5n－1) 解析 由方程x＝eq \f(7x－2,x＋4)，得數(shù)列{an}的不動(dòng)點(diǎn)為1和2，eq \f(an＋1－1,an＋1－2)＝eq \f(\f(7an－2,an＋4)－1,\f(7an－2,an＋4)－2)＝eq \f(7an－2－?an＋4?,7an－2－2?an＋4?)＝eq \f(6,5)·eq \f(an－1,an－2)，所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an－1,an－2)))是首項(xiàng)為eq \f(a1－1,a1－2)＝2，公比為eq \f(6,5)的等比數(shù)列，所以eq \f(an－1,an－2)＝2·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)))n－1，解得an＝eq \f(1,2·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)))n－1－1)＋2＝eq \f(4·6n－1－5n－1,2·6n－1－5n－1)，n∈N*．
(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＝eq \f(an－1＋2,2an－1＋1)(n≥2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．
答案 eq \f(3n－?－1?n,3n＋?－1?n) 解析 解方程x＝eq \f(x＋2,2x＋1)，化簡得2x2－2＝0，解得x1＝1，x2＝－1，令eq \f(an＋1－1,an＋1＋1)＝c·eq \f(an－1,an＋1)，由a1＝2，得a2＝eq \f(4,5)，可得c＝－eq \f(1,3)，∴數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an－1,an＋1)))是以eq \f(a1－1,a1＋1)＝eq \f(1,3)為首項(xiàng)，以－eq \f(1,3)為公比的等比數(shù)列，∴eq \f(an－1,an＋1)＝eq \f(1,3)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))n－1，∴an＝eq \f(3n－?－1?n,3n＋?－1?n)．
(3)設(shè)數(shù)列{an}滿足8an＋1an－16an＋1＋2an＋5＝0(n≥1，n∈N*)，且a1＝1，記bn＝eq \f(1,an－\f(1,2))(n≥1)．則數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為________．
答案 eq \f(2n＋4,3) 解析 由已知得an＋1＝eq \f(2an＋5,16－8an)，由方程x＝eq \f(2x＋5,16－8x)，得不動(dòng)點(diǎn)x1＝eq \f(1,2)，x2＝eq \f(5,4)．所以eq \f(an＋1－\f(1,2),an＋1－\f(5,4))＝eq \f(\f(2an＋5,16－8an)－\f(1,2),\f(2an＋5,16－8an)－\f(5,4))＝eq \f(1,2)·eq \f(an－\f(1,2),an－\f(5,4))，所以數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an－\f(1,2),an－\f(5,4))))是首項(xiàng)為－2，公比為eq \f(1,2)的等比數(shù)列，所以eq \f(an－\f(1,2),an－\f(5,4))＝－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))n－1＝－eq \f(4,2n)，解得an＝eq \f(2n－1＋5,2n＋4)．故bn＝eq \f(1,an－\f(1,2))＝eq \f(2n＋4,3)，n∈N*．
【對(duì)點(diǎn)精練】
1．已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝eq \f(2an,an＋2)(n∈N＋)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為________．
1．答案 eq \f(2,n＋1) 解析 因?yàn)閍n＋1＝eq \f(2an,an＋2)，a1＝1，所以an≠0，所以eq \f(1,an＋1)＝eq \f(1,an)＋eq \f(1,2)，即eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝eq \f(1,2)．又因?yàn)?br>a1＝1，則eq \f(1,a1)＝1，所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是以1為首項(xiàng)，eq \f(1,2)為公差的等差數(shù)列．所以eq \f(1,an)＝eq \f(1,a1)＋(n－1)×eq \f(1,2)＝eq \f(n,2)＋eq \f(1,2)．所以an＝eq \f(2,n＋1)．
2．若a1＝1，an＋1＝eq \f(an,3an＋1)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________．
2．答案 eq \f(1,3n－2) 解析 對(duì)an＋1＝eq \f(an,3an＋1)兩邊取倒數(shù)，得eq \f(1,an＋1)＝eq \f(1,an)＋3，所以數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是首項(xiàng)為eq \f(1,a1)＝1，公差
為3的等差數(shù)列，所以eq \f(1,an)＝3n－2，an＝eq \f(1,3n－2)．
3．若a1＝5，an＋1＝eq \f(3an－4,an－1)，則an＝________．
3．答案 eq \f(6n－1,3n－2) 解析 令an＝bn＋p，得bn＋1＋p＝eq \f(3bn＋3p－4,bn＋p－1)bn＋1＝eq \f(3bn＋3p－4,bn＋p－1)－p＝eq \f((3－p)bn＋4p－4－p2,bn＋p－1)
令4p－4－p2＝0，得p＝2，所以b1＝3，bn＋1＝eq \f(bn,bn＋1)，兩邊取倒數(shù)，eq \f(1,bn＋1)＝1＋eq \f(1,bn)，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,bn)))為首項(xiàng)為eq \f(1,b1)＝eq \f(1,3)，公差為1的等差數(shù)列，可求得bn＝eq \f(3,3n－2)，所以an＝eq \f(6n－1,3n－2)．
考點(diǎn)五 由其他形式的遞推公式求an型
【基本方法】
已知其他形式的遞推公式求an的方法
對(duì)遞推公式進(jìn)行合理的變形，然后轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列
【基本題型】
[例7] (1)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝aeq \\al(2,n)(an＞0，n∈N*)，則an＝( )
A．10n－2 B．10n－1 C．102n－1 D．22n－1
答案 D 解析 因?yàn)閿?shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝aeq \\al(2,n)(an＞0，n∈N*)，所以lg2an＋1＝2lg2an，即eq \f(lg2an＋1,lg2an)＝2．又a1＝2，所以lg2a1＝lg22＝1．故數(shù)列{lg2an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．所以lg2an＝2n－1，即an＝22n－1．故選D．
(2)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足：a1＝1，aeq \\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式為________．
答案 an＝eq \f(1,2n－1) 解析 ∵aeq \\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0，∴(an－2an＋1)(an＋1)＝0．又∵數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，∴an－2an＋1＝0，即eq \f(an＋1,an)＝eq \f(1,2)．∴{an}是首項(xiàng)為1，公比為eq \f(1,2)的等比數(shù)列，∴an＝eq \f(1,2n－1)．
(3)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝1，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，則an＝________．
答案 (3n－1)2n－2 解析 當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＋1＝4an＋2，Sn＝4an－1＋2．兩式相減，得an＋1＝4an－4an－1，將之變形為an＋1－2an＝2(an－2an－1)．所以{an＋1－2an}是公比為2的等比數(shù)列．又a1＋a2＝S2＝4a1＋2，a1＝1，得a2＝5，則a2－2a1＝3．所以an＋1－2an＝3·2n－1．兩邊同除以2n＋1，得eq \f(an＋1,2n＋1)－eq \f(an,2n)＝eq \f(3,4)，所以eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(an,2n)))是首項(xiàng)為eq \f(a1,2)＝eq \f(1,2)，公差為eq \f(3,4)的等差數(shù)列．所以eq \f(an,2n)＝eq \f(1,2)＋eq \f(3,4)(n－1)＝eq \f(3,4)n－eq \f(1,4)，所以an＝(3n－1)2n－2．
[例8] (2016·全國Ⅲ)已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a1＝1，aeq \\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0．
(1)求a2，a3；
(2)求{an}的通項(xiàng)公式．
解析 (1)由題意得a2＝eq \f(1,2)，a3＝eq \f(1,4)．
(2)由aeq \\al(2,n)－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得，2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．
因?yàn)閧an}的各項(xiàng)都為正數(shù)，所以eq \f(an＋1,an)＝eq \f(1,2)．
故{an}是首項(xiàng)為1，公比為eq \f(1,2)的等比數(shù)列，因此an＝eq \f(1,2n－1)．
【對(duì)點(diǎn)精練】
1．已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，(an＋an＋1－1)2＝4anan＋1，且an＋1＞an(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝( )
A．2n B．n2 C．n＋2 D．3n－2
1．答案 B 解析 因?yàn)閍1＝1，an＋1＞an，所以eq \r(an＋1)＞eq \r(an)．由(an＋an＋1－1)2＝4anan＋1得an＋1＋an－1
＝2eq \r(anan＋1)，所以(eq \r(an＋1)－eq \r(an))2＝1，所以eq \r(an＋1)－eq \r(an)＝1，所以數(shù)列{eq \r(an)}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以eq \r(an)＝n，即an＝n2，故選B．
2．已知數(shù)列{an}滿足an≠0，2an(1－an＋1)－2an＋1(1－an)＝an－an＋1＋an·an＋1，且a1＝eq \f(1,3)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)
公式an＝________．
2．答案 eq \f(1,n＋2) 解析 ∵an≠0，2an(1－an＋1)－2an＋1(1－an)＝an－an＋1＋an·an＋1，∴兩邊同除以an·an＋1，
得eq \f(2(1－an＋1),an＋1)－eq \f(2(1－an),an)＝eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＋1，整理，得eq \f(1,an＋1)－eq \f(1,an)＝1，即eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，∴eq \f(1,an)＝3＋(n－1)×1＝n＋2，即an＝eq \f(1,n＋2)．
3．各項(xiàng)均不為0的數(shù)列{an}滿足eq \f(an＋1(an＋an＋2),2)＝an＋2an(n∈N*)，且a3＝2a8＝eq \f(1,5)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為
________．
3．答案 an＝eq \f(1,n＋2) 解析 因?yàn)閑q \f(an＋1(an＋an＋2),2)＝an＋2an，所以an＋1an＋an＋1an＋2＝2an＋2an．因?yàn)閍nan＋1an＋2
≠0，所以eq \f(1,an＋2)＋eq \f(1,an)＝eq \f(2,an＋1)，所以數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))為等差數(shù)列．設(shè)數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an)))的公差為d，則eq \f(1,a8)＝eq \f(1,a3)＋(8－3)d． 因?yàn)閍3＝2a8＝eq \f(1,5)，所以d＝1，又eq \f(1,a1)＝eq \f(1,a3)－2d＝3，所以數(shù)列eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,an))) 是以3為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列．∴eq \f(1,an)＝3＋(n－1)×1＝n＋2，∴an＝eq \f(1,n＋2)．
4．(2013·安徽)如圖，互不相同的點(diǎn)A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn…分別在角O的兩條邊上，所
有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面積均相等．設(shè)OAn＝an，若a1＝1，a2＝2，則數(shù)列{an}
的通項(xiàng)公式是________．
4．答案 an＝eq \r(3n－2) 解析 由已知S梯形
即，由相似三角形面積比是相似比的平方知OAeq \\al(2,n)＋OAeq \\al(2,n＋2)＝2OAeq \\al(2,n＋1)，即aeq \\al(2,n)＋aeq \\al(2,n＋2)＝2aeq \\al(2,n＋1)，因此{(lán)aeq \\al(2,n)}為等差數(shù)列且aeq \\al(2,n)＝aeq \\al(2,1)＋3(n－1)＝3n－2，故an＝eq \r(3n－2)．

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