新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型突破精練專題9.9 解析幾何 真題訓(xùn)練（2份，原卷版+解析版）

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1．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）設(shè)F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，點(diǎn)，若，則（ ）
A．2B．C．3D．
【答案】B
【分析】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等，從而求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到答案.
【詳解】由題意得，，則，
即點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，
不妨設(shè)點(diǎn)在軸上方，代入得，，
所以.
故選：B
2．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)B是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，則的最大值為（ ）
A．B．C．D．2
【答案】A
【分析】設(shè)點(diǎn)，由依題意可知，，，再根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式得到，然后消元，即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最大值．
【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)椋?，所?br>，
而，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是熟悉橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，由兩點(diǎn)間的距離公式，并利用消元思想以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可解出．易錯(cuò)點(diǎn)是容易誤認(rèn)為短軸的相對(duì)端點(diǎn)是橢圓上到上定點(diǎn)B最遠(yuǎn)的點(diǎn)，或者認(rèn)為是橢圓的長(zhǎng)軸的端點(diǎn)到短軸的端點(diǎn)距離最大，這些認(rèn)識(shí)是錯(cuò)誤的，要注意將距離的平方表示為二次函數(shù)后，自變量的取值范圍是一個(gè)閉區(qū)間，而不是全體實(shí)數(shù)上求最值.．
3．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出，結(jié)合余弦定理可得答案.
【詳解】因?yàn)?，由雙曲線的定義可得，
所以，；
因?yàn)?由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故選：A
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線的定義是入手點(diǎn)，利用余弦定理建立間的等量關(guān)系是求解的關(guān)鍵.
4．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）點(diǎn)到雙曲線的一條漸近線的距離為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先確定漸近線方程，然后利用點(diǎn)到直線距離公式求得點(diǎn)到一條漸近線的距離即可.
【詳解】由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：，即，
結(jié)合對(duì)稱性，不妨考慮點(diǎn)到直線的距離：.
故選：A.
5．（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為，則（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【分析】首先確定拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，然后結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式可得的值.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
其到直線的距離：，
解得：(舍去).
故選：B.
6．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知橢圓的離心率為，分別為C的左、右頂點(diǎn)，B為C的上頂點(diǎn)．若，則C的方程為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)離心率及，解得關(guān)于的等量關(guān)系式，即可得解.
【詳解】解：因?yàn)殡x心率，解得，，
分別為C的左右頂點(diǎn)，則，
B為上頂點(diǎn)，所以.
所以，因?yàn)?br>所以，將代入，解得，
故橢圓的方程為.
故選：B.
7．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)橢圓的離心率分別為．若，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，結(jié)合離心率的意義列式計(jì)算作答.
【詳解】由，得，因此，而，所以.
故選：A
8．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】B
【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可解出；
方法二：根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理即可解出．
【詳解】方法一：因?yàn)?，所以?br>從而，所以．
故選：B.
方法二：
因?yàn)椋?，由橢圓方程可知，，
所以，又，平方得：
，所以．
故選：B.
9．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，直線與C交于A，B兩點(diǎn)，若面積是面積的2倍，則（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】首先聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用，求出范圍，再根據(jù)三角形面積比得到關(guān)于的方程，解出即可.
【詳解】將直線與橢圓聯(lián)立，消去可得，
因?yàn)橹本€與橢圓相交于點(diǎn)，則，解得，
設(shè)到的距離到距離，易知，
則，，
，解得或（舍去），
故選：C.
10．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)離心率得出雙曲線漸近線方程，再由圓心到直線的距離及圓半徑可求弦長(zhǎng).
【詳解】由，則，
解得，
所以雙曲線的一條漸近線不妨取，
則圓心到漸近線的距離，
所以弦長(zhǎng).
故選：D
11．（2021年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（ ）
A．13B．12C．9D．6
【答案】C
【分析】本題通過利用橢圓定義得到，借助基本不等式即可得到答案．
【詳解】由題，，則，
所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立）．
故選：C．
【點(diǎn)睛】
12．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿足，則的離心率的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】設(shè)，由，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出 ，分類討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可．
【詳解】設(shè)，由，因?yàn)?，，所以
，
因?yàn)椋?dāng)，即 時(shí)，，即 ，符合題意，由可得，即 ；
當(dāng)，即時(shí)， ，即，化簡(jiǎn)得， ，顯然該不等式不成立．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值．
13．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）過點(diǎn)與圓相切的兩條直線的夾角為，則（ ）
A．1B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合倍角公式運(yùn)算求解；方法二：根據(jù)切線的性質(zhì)求切線長(zhǎng)，結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解；方法三：根據(jù)切線結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得，利用韋達(dá)定理結(jié)合夾角公式運(yùn)算求解.
【詳解】方法一：因?yàn)?，即，可得圓心，半徑，
過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，
因?yàn)?，則，
可得，
則，
，
即為鈍角，
所以；
法二：圓的圓心，半徑，
過點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為，連接，
可得，則，
因?yàn)?br>且，則，
即，解得，
即為鈍角，則，
且為銳角，所以；
方法三：圓的圓心，半徑，
若切線斜率不存在，則切線方程為，則圓心到切點(diǎn)的距離，不合題意；
若切線斜率存在，設(shè)切線方程為，即，
則，整理得，且
設(shè)兩切線斜率分別為，則，
可得，
所以，即，可得，
則，
且，則，解得.
故選：B.

14．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）橢圓的左頂點(diǎn)為A，點(diǎn)P，Q均在C上，且關(guān)于y軸對(duì)稱．若直線的斜率之積為，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)，則，根據(jù)斜率公式結(jié)合題意可得，再根據(jù)，將用表示，整理，再結(jié)合離心率公式即可得解.
【詳解】[方法一]：設(shè)而不求
設(shè)，則
則由得：，
由，得，
所以，即，
所以橢圓的離心率，故選A.
[方法二]：第三定義
設(shè)右端點(diǎn)為B，連接PB，由橢圓的對(duì)稱性知：
故，
由橢圓第三定義得：，
故
所以橢圓的離心率，故選A.
15．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）己知橢圓，為兩個(gè)焦點(diǎn)，O為原點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】方法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得出的值；
方法二：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，再結(jié)合中線的向量公式以及數(shù)量積即可求出；
方法三：利用橢圓的定義以及余弦定理求出，即可根據(jù)中線定理求出．
【詳解】方法一：設(shè)，所以，
由，解得：，
由橢圓方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故選：B．
方法二：因?yàn)棰伲?br>即②，聯(lián)立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故選：B．
方法三：因?yàn)棰?，?br>即②，聯(lián)立①②，解得：，
由中線定理可知，，易知，解得：．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題根據(jù)求解的目標(biāo)可以選擇利用橢圓中的二級(jí)結(jié)論焦點(diǎn)三角形的面積公式快速解出，也可以常規(guī)利用定義結(jié)合余弦定理，以及向量的數(shù)量積解決中線問題的方式解決，還可以直接用中線定理解決，難度不是很大．
16．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）設(shè)A，B為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個(gè)點(diǎn)中，可為線段AB中點(diǎn)的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得，對(duì)于A、B、D：通過聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，逐項(xiàng)分析判斷；對(duì)于C：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.
【詳解】設(shè)，則的中點(diǎn)，
可得，
因?yàn)樵陔p曲線上，則，兩式相減得，
所以.
對(duì)于選項(xiàng)A： 可得，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時(shí)，
所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：可得，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時(shí)，
所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)C：可得，則
由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，
所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時(shí)，故直線AB與雙曲線有交兩個(gè)交點(diǎn)，故D正確；
故選：D.
17．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是（ ）
A．B．4C．D．7
【答案】C
【分析】法一：令，利用判別式法即可；法二：通過整理得，利用三角換元法即可，法三：整理出圓的方程，設(shè)，利用圓心到直線的距離小于等于半徑即可.
【詳解】法一：令，則，
代入原式化簡(jiǎn)得，
因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，則，即，
化簡(jiǎn)得，解得，
故 的最大值是，
法二：，整理得，
令，，其中，
則，
，所以，則，即時(shí)，取得最大值，
法三：由可得，
設(shè)，則圓心到直線的距離，
解得
故選：C.
二、多選題
18．（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）已知直線與圓，點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A．若點(diǎn)A在圓C上，則直線l與圓C相切B．若點(diǎn)A在圓C內(nèi)，則直線l與圓C相離
C．若點(diǎn)A在圓C外，則直線l與圓C相離D．若點(diǎn)A在直線l上，則直線l與圓C相切
【答案】ABD
【分析】轉(zhuǎn)化點(diǎn)與圓、點(diǎn)與直線的位置關(guān)系為的大小關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離及直線與圓的位置關(guān)系即可得解.
【詳解】圓心到直線l的距離，
若點(diǎn)在圓C上，則，所以，
則直線l與圓C相切，故A正確；
若點(diǎn)在圓C內(nèi)，則，所以，
則直線l與圓C相離，故B正確；
若點(diǎn)在圓C外，則，所以，
則直線l與圓C相交，故C錯(cuò)誤；
若點(diǎn)在直線l上，則即，
所以，直線l與圓C相切，故D正確.
故選：ABD.
19．（2021年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)、，則（ ）
A．點(diǎn)到直線的距離小于
B．點(diǎn)到直線的距離大于
C．當(dāng)最小時(shí)，
D．當(dāng)最大時(shí)，
【答案】ACD
【分析】計(jì)算出圓心到直線的距離，可得出點(diǎn)到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項(xiàng)的正誤；分析可知，當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項(xiàng)的正誤.
【詳解】圓的圓心為，半徑為，
直線的方程為，即，
圓心到直線的距離為，
所以，點(diǎn)到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
如下圖所示：
當(dāng)最大或最小時(shí)，與圓相切，連接、，可知，
，，由勾股定理可得，CD選項(xiàng)正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：若直線與半徑為的圓相離，圓心到直線的距離為，則圓上一點(diǎn)到直線的距離的取值范圍是.
20．（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則（ ）
A．C的準(zhǔn)線為B．直線AB與C相切
C．D．
【答案】BCD
【分析】求出拋物線方程可判斷A，聯(lián)立AB與拋物線的方程求交點(diǎn)可判斷B，利用距離公式及弦長(zhǎng)公式可判斷C、D.
【詳解】將點(diǎn)的代入拋物線方程得，所以拋物線方程為，故準(zhǔn)線方程為，A錯(cuò)誤；
，所以直線的方程為，
聯(lián)立，可得，解得，故B正確；
設(shè)過的直線為，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，
所以，直線的斜率存在，設(shè)其方程為，，
聯(lián)立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正確；
因?yàn)椋?br>所以，而，故D正確.
故選：BCD
21．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）真題）雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)為，以C的實(shí)軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C交于M，N兩點(diǎn)，且，則C的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，利用正弦定理結(jié)合三角變換、雙曲線的定義得到或，即可得解，注意就在雙支上還是在單支上分類討論.
【詳解】[方法一]：幾何法，雙曲線定義的應(yīng)用
情況一
M、N在雙曲線的同一支，依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為B，
所以，因?yàn)椋栽陔p曲線的左支，
，， ，設(shè)，由即，則，
選A
情況二
若M、N在雙曲線的兩支，因?yàn)?，所以在雙曲線的右支，
所以，， ，設(shè)，
由，即，則，
所以，即，
所以雙曲線的離心率
選C
[方法二]：答案回代法
特值雙曲線
，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點(diǎn)都在左支,，
，
則，
特值雙曲線，
過且與圓相切的一條直線為，
兩交點(diǎn)在左右兩支，在右支，，
，
則，
[方法三]：
依題意不妨設(shè)雙曲線焦點(diǎn)在軸，設(shè)過作圓的切線切點(diǎn)為，
若分別在左右支，
因?yàn)?，且，所以在雙曲線的右支，
又，，，
設(shè)，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以雙曲線的離心率
若均在左支上，
同理有，其中為鈍角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故選：AC.
22．（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過拋物線焦點(diǎn)F的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，其中A在第一象限，點(diǎn)，若，則（ ）
A．直線的斜率為B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】由及拋物線方程求得，再由斜率公式即可判斷A選項(xiàng)；表示出直線的方程，聯(lián)立拋物線求得，即可求出判斷B選項(xiàng)；由拋物線的定義求出即可判斷C選項(xiàng)；由，求得，為鈍角即可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A，易得，由可得點(diǎn)在的垂直平分線上，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
代入拋物線可得，則，則直線的斜率為，A正確；
對(duì)于B，由斜率為可得直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程得，
設(shè)，則，則，代入拋物線得，解得，則，
則，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由拋物線定義知：，C正確；
對(duì)于D，，則為鈍角，
又，則為鈍角，
又，則，D正確.
故選：ACD.
23．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為C的準(zhǔn)線，則（ ）．
A．B．
C．以MN為直徑的圓與l相切D．為等腰三角形
【答案】AC
【分析】先求得焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求得，根據(jù)圓與等腰三角形的知識(shí)確定正確答案.
【詳解】A選項(xiàng)：直線過點(diǎn)，所以拋物線的焦點(diǎn)，
所以，則A選項(xiàng)正確，且拋物線的方程為.
B選項(xiàng)：設(shè)，
由消去并化簡(jiǎn)得，
解得，所以，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
C選項(xiàng)：設(shè)的中點(diǎn)為，到直線的距離分別為，
因?yàn)椋?br>即到直線的距離等于的一半，所以以為直徑的圓與直線相切，C選項(xiàng)正確.
D選項(xiàng)：直線，即，
到直線的距離為，
所以三角形的面積為，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC.

三、填空題
24．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知點(diǎn)在拋物線C：上，則A到C的準(zhǔn)線的距離為______.
【答案】
【分析】由題意首先求得拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后由拋物線方程可得拋物線的準(zhǔn)線方程為，最后利用點(diǎn)的坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程計(jì)算點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離即可.
【詳解】由題意可得：，則，拋物線的方程為，
準(zhǔn)線方程為，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為.
故答案為：.
25．（2021年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線：()的焦點(diǎn)為，為上一點(diǎn)，與軸垂直，為軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為______.
【答案】
【分析】先用坐標(biāo)表示，再根據(jù)向量垂直坐標(biāo)表示列方程，解得，即得結(jié)果.
【詳解】拋物線： ()的焦點(diǎn),
∵P為上一點(diǎn)，與軸垂直，
所以P的橫坐標(biāo)為，代入拋物線方程求得P的縱坐標(biāo)為,
不妨設(shè),
因?yàn)镼為軸上一點(diǎn)，且，所以Q在F的右側(cè)，
又，
因?yàn)?，所?
，
所以的準(zhǔn)線方程為
故答案為：.
【點(diǎn)睛】利用向量數(shù)量積處理垂直關(guān)系是本題關(guān)鍵.
26．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）雙曲線的右焦點(diǎn)到直線的距離為________．
【答案】
【分析】先求出右焦點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式求解.
【詳解】由已知，，所以雙曲線的右焦點(diǎn)為，
所以右焦點(diǎn)到直線的距離為.
故答案為：
27．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知為橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為________．
【答案】
【分析】根據(jù)已知可得，設(shè)，利用勾股定理結(jié)合，求出，四邊形面積等于，即可求解.
【詳解】因?yàn)闉樯详P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，
且，所以四邊形為矩形，
設(shè)，則，
所以，
，即四邊形面積等于.
故答案為：.
28．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知雙曲線的一條漸近線為，則C的焦距為_________．
【答案】4
【分析】將漸近線方程化成斜截式，得出的關(guān)系，再結(jié)合雙曲線中對(duì)應(yīng)關(guān)系，聯(lián)立求解，再由關(guān)系式求得，即可求解.
【詳解】由漸近線方程化簡(jiǎn)得，即，同時(shí)平方得，又雙曲線中，故，解得（舍去），，故焦距.
故答案為：4.
【點(diǎn)睛】本題為基礎(chǔ)題，考查由漸近線求解雙曲線中參數(shù)，焦距，正確計(jì)算并聯(lián)立關(guān)系式求解是關(guān)鍵.
29．（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）若雙曲線的離心率為2，則此雙曲線的漸近線方程___________.
【答案】
【分析】根據(jù)離心率得出，結(jié)合得出關(guān)系，即可求出雙曲線的漸近線方程.
【詳解】解：由題可知，離心率，即，
又，即，則，
故此雙曲線的漸近線方程為.
故答案為：.
30．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為____________．
【答案】或或或．
【分析】方法一：設(shè)圓的方程為，根據(jù)所選點(diǎn)的坐標(biāo)，得到方程組，解得即可；
【詳解】[方法一]：圓的一般方程
依題意設(shè)圓的方程為，
（1）若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（2）若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（3）若過，，，則，解得，
所以圓的方程為，即；
（4）若過，，，則，解得，所以圓的方程為，即；
故答案為：或 或 或．
[方法二]：【最優(yōu)解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（三點(diǎn)中的兩條中垂線的交點(diǎn)為圓心）
設(shè)
（1）若圓過三點(diǎn)，圓心在直線，設(shè)圓心坐標(biāo)為，
則，所以圓的方程為；
（2）若圓過三點(diǎn)， 設(shè)圓心坐標(biāo)為，則，所以圓的方程為；
（3）若圓過 三點(diǎn)，則線段的中垂線方程為，線段 的中垂線方程 為，聯(lián)立得 ，所以圓的方程為；
（4）若圓過三點(diǎn)，則線段的中垂線方程為， 線段中垂線方程為 ，聯(lián)立得，所以圓的方程為．
故答案為：或 或 或．
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一；利用圓過三個(gè)點(diǎn)，設(shè)圓的一般方程，解三元一次方程組，思想簡(jiǎn)單，運(yùn)算稍繁；
方法二；利用圓的幾何性質(zhì)，先求出圓心再求半徑，運(yùn)算稍簡(jiǎn)潔，是該題的最優(yōu)解．
31．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）若雙曲線的漸近線與圓相切，則_________．
【答案】
【分析】首先求出雙曲線的漸近線方程，再將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)式，即可得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心到直線的距離等于圓的半徑，即可得到方程，解得即可．
【詳解】解：雙曲線的漸近線為，即，
不妨取，圓，即，所以圓心為，半徑，
依題意圓心到漸近線的距離，
解得或（舍去）．
故答案為：．
32．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）設(shè)點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為______________．
【答案】
【分析】設(shè)出點(diǎn)M的坐標(biāo)，利用和均在上，求得圓心及半徑，即可得圓的方程.
【詳解】[方法一]：三點(diǎn)共圓
∵點(diǎn)M在直線上，
∴設(shè)點(diǎn)M為，又因?yàn)辄c(diǎn)和均在上，
∴點(diǎn)M到兩點(diǎn)的距離相等且為半徑R，
∴，
，解得，
∴，，
的方程為.
故答案為：
[方法二]：圓的幾何性質(zhì)
由題可知，M是以（3，0）和（0，1）為端點(diǎn)的線段垂直平分線 y=3x-4與直線的交點(diǎn)(1,-1)., 的方程為.
故答案為：
33．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）記雙曲線的離心率為e，寫出滿足條件“直線與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值______________．
【答案】2（滿足皆可）
【分析】根據(jù)題干信息，只需雙曲線漸近線中即可求得滿足要求的e值.
【詳解】解：，所以C的漸近線方程為,
結(jié)合漸近線的特點(diǎn)，只需，即，
可滿足條件“直線與C無公共點(diǎn)”
所以，
又因?yàn)?，所以?br>故答案為：2（滿足皆可）
34．（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）設(shè)點(diǎn)，若直線關(guān)于對(duì)稱的直線與圓有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．
【答案】
【分析】首先求出點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程，根據(jù)圓心到直線的距離小于等于半徑得到不等式，解得即可；
【詳解】解：關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在直線上，
所以所在直線即為直線，所以直線為，即；
圓，圓心，半徑，
依題意圓心到直線的距離，
即，解得，即；
故答案為：
35．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知直線與交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“面積為”的m的一個(gè)值______．
【答案】（中任意一個(gè)皆可以）
【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，求出弦長(zhǎng)，以及點(diǎn)到直線的距離，結(jié)合面積公式即可解出．
【詳解】設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式得，
所以，解得：或，
由，所以或，解得：或．
故答案為：（中任意一個(gè)皆可以）．
36．（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)和點(diǎn)的兩條切線互相垂直，且分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，則取值范圍是_______．
【答案】
【分析】結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，結(jié)合直線方程及兩點(diǎn)間距離公式可得，，化簡(jiǎn)即可得解.
【詳解】由題意，，則，
所以點(diǎn)和點(diǎn)，,
所以，
所以，
所以，
同理,
所以.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
解決本題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義轉(zhuǎn)化條件，消去一個(gè)變量后，運(yùn)算即可得解.
37．（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知橢圓，C的上頂點(diǎn)為A，兩個(gè)焦點(diǎn)為，，離心率為．過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，，則的周長(zhǎng)是________________．
【答案】13
【分析】利用離心率得到橢圓的方程為，根據(jù)離心率得到直線的斜率，進(jìn)而利用直線的垂直關(guān)系得到直線的斜率，寫出直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡(jiǎn)得到：，利用弦長(zhǎng)公式求得，得，根據(jù)對(duì)稱性將的周長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為.
【詳解】∵橢圓的離心率為，∴，∴，∴橢圓的方程為，不妨設(shè)左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，如圖所示，∵，∴，∴為正三角形，∵過且垂直于的直線與C交于D，E兩點(diǎn)，為線段的垂直平分線，∴直線的斜率為，斜率倒數(shù)為， 直線的方程：，代入橢圓方程，整理化簡(jiǎn)得到：，
判別式，
∴，
∴ ， 得，
∵為線段的垂直平分線，根據(jù)對(duì)稱性，，∴的周長(zhǎng)等于的周長(zhǎng)，利用橢圓的定義得到周長(zhǎng)為.
故答案為：13.

38．（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）寫出與圓和都相切的一條直線的方程________________．
【答案】或或
【分析】先判斷兩圓位置關(guān)系，分情況討論即可.
【詳解】[方法一]：
顯然直線的斜率不為0，不妨設(shè)直線方程為，
于是，
故①，于是或，
再結(jié)合①解得或或，
所以直線方程有三條，分別為，，
填一條即可
[方法二]：
設(shè)圓的圓心，半徑為，
圓的圓心，半徑，
則，因此兩圓外切，
由圖像可知，共有三條直線符合條件，顯然符合題意；
又由方程和相減可得方程，
即為過兩圓公共切點(diǎn)的切線方程，
又易知兩圓圓心所在直線OC的方程為，
直線OC與直線的交點(diǎn)為，
設(shè)過該點(diǎn)的直線為，則，解得，
從而該切線的方程為填一條即可
[方法三]：
圓的圓心為，半徑為，
圓的圓心為，半徑為，
兩圓圓心距為，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，
如圖，
當(dāng)切線為l時(shí)，因?yàn)?，所以，設(shè)方程為
O到l的距離，解得，所以l的方程為，
當(dāng)切線為m時(shí)，設(shè)直線方程為，其中，，
由題意，解得，
當(dāng)切線為n時(shí)，易知切線方程為，
故答案為：或或.
39．（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）已知直線l與橢圓在第一象限交于A，B兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且，則l的方程為___________．
【答案】
【分析】令的中點(diǎn)為，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，設(shè)直線，，，求出、的坐標(biāo)，再根據(jù)求出、，即可得解；
【詳解】[方法一]：弦中點(diǎn)問題：點(diǎn)差法
令的中點(diǎn)為，設(shè)，，利用點(diǎn)差法得到，
設(shè)直線，，，求出、的坐標(biāo)，
再根據(jù)求出、，即可得解；
解：令的中點(diǎn)為，因?yàn)?，所以?br>設(shè)，，則，，
所以，即
所以，即，設(shè)直線，，，
令得，令得，即，，
所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直線，即；
故答案為：
[方法二]：直線與圓錐曲線相交的常規(guī)方法
解：由題意知，點(diǎn)既為線段的中點(diǎn)又是線段MN的中點(diǎn)，
設(shè)，，設(shè)直線，，，
則，，，因?yàn)?，所?br>聯(lián)立直線AB與橢圓方程得消掉y得
其中，
∴AB中點(diǎn)E的橫坐標(biāo),又，∴
∵，，∴,又，解得m=2
所以直線，即
40．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為________．
【答案】/
【分析】方法一：利用雙曲線的定義與向量數(shù)積的幾何意義得到關(guān)于的表達(dá)式，從而利用勾股定理求得，進(jìn)而利用余弦定理得到的齊次方程，從而得解.
方法二：依題意設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，從而由向量坐標(biāo)運(yùn)算求得，，將點(diǎn)代入雙曲線得到關(guān)于的齊次方程，從而得解；
【詳解】方法一：
依題意，設(shè)，則，
在中，，則，故或（舍去），
所以，，則，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依題意，得，令，
因?yàn)?，所以，則，
又，所以，則，
又點(diǎn)在上，則，整理得，則，
所以，即，
整理得，則，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：雙曲線過焦點(diǎn)的三角形的解決關(guān)鍵是充分利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理與余弦定理得到關(guān)于的齊次方程，從而得解.
四、解答題
41．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2．
（1）求C的方程;
（2）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，點(diǎn)Q滿足，求直線斜率的最大值.
【答案】（1）；（2）最大值為.
【分析】（1）由拋物線焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離即可得解；
（2）設(shè)，由平面向量的知識(shí)可得，進(jìn)而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.
【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，
由題意，該拋物線焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，
所以該拋物線的方程為；
（2）[方法一]：軌跡方程+基本不等式法
設(shè)，則，
所以，
由在拋物線上可得，即，
據(jù)此整理可得點(diǎn)的軌跡方程為，
所以直線的斜率，
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立；
當(dāng)時(shí)，；
綜上，直線的斜率的最大值為.
[方法二]：【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法
同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程為．
設(shè)直線的方程為，則當(dāng)直線與拋物線相切時(shí)，其斜率k取到最值．聯(lián)立得，其判別式，解得，所以直線斜率的最大值為．
[方法三]：軌跡方程+換元求最值法
同方法一得點(diǎn)Q的軌跡方程為．
設(shè)直線的斜率為k，則．
令，則的對(duì)稱軸為，所以．故直線斜率的最大值為．
[方法四]：參數(shù)+基本不等式法
由題可設(shè)．
因?yàn)?，所以?br>于是，所以
則直線的斜率為．
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以直線斜率的最大值為．
【整體點(diǎn)評(píng)】方法一根據(jù)向量關(guān)系，利用代點(diǎn)法求得Q的軌跡方程，得到直線OQ的斜率關(guān)于的表達(dá)式，然后利用分類討論，結(jié)合基本不等式求得最大值；
方法二 同方法一得到點(diǎn)Q的軌跡方程，然后利用數(shù)形結(jié)合法，利用判別式求得直線OQ的斜率的最大值，為最優(yōu)解；
方法三同方法一求得Q的軌跡方程，得到直線的斜率k的平方關(guān)于的表達(dá)式，利用換元方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得最大值，進(jìn)而得到直線斜率的最大值；
方法四利用參數(shù)法，由題可設(shè)，求得x,y關(guān)于的參數(shù)表達(dá)式，得到直線的斜率關(guān)于的表達(dá)式，結(jié)合使用基本不等式，求得直線斜率的最大值.
42．（2021年全國(guó)新高考II卷數(shù)學(xué)試題）已知橢圓C的方程為，右焦點(diǎn)為，且離心率為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，直線與曲線相切．證明：M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】（1）由離心率公式可得，進(jìn)而可得，即可得解；
（2）必要性：由三點(diǎn)共線及直線與圓相切可得直線方程，聯(lián)立直線與橢圓方程可證；
充分性：設(shè)直線，由直線與圓相切得，聯(lián)立直線與橢圓方程結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得，進(jìn)而可得，即可得解.
【詳解】（1）由題意，橢圓半焦距且，所以，
又，所以橢圓方程為；
（2）由（1）得，曲線為，
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線，不合題意；
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，
必要性：
若M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，可設(shè)直線即，
由直線與曲線相切可得，解得，
聯(lián)立可得，所以，
所以,
所以必要性成立；
充分性：設(shè)直線即，
由直線與曲線相切可得，所以，
聯(lián)立可得，
所以，
所以
，
化簡(jiǎn)得，所以，
所以或，所以直線或，
所以直線過點(diǎn)，M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線，充分性成立；
所以M，N，F(xiàn)三點(diǎn)共線的充要條件是．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：
解決本題的關(guān)鍵是直線方程與橢圓方程聯(lián)立及韋達(dá)定理的應(yīng)用，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性是解題的重中之重.
43．（2023年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知橢圓的離心率是，點(diǎn)在上．
(1)求的方程；
(2)過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)分別為，證明：線段的中點(diǎn)為定點(diǎn)．
【答案】(1)
(2)證明見詳解
【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）設(shè)直線的方程，進(jìn)而可求點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理驗(yàn)證為定值即可.
【詳解】（1）由題意可得，解得，
所以橢圓方程為.
（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)，
聯(lián)立方程，消去y得：，
則，解得，
可得，
因?yàn)?，則直線，
令，解得，即,
同理可得，
則
，
所以線段的中點(diǎn)是定點(diǎn).

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解定值問題的三個(gè)步驟
（1）由特例得出一個(gè)值，此值一般就是定值；
（2）證明定值，有時(shí)可直接證明定值，有時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，可證明該代數(shù)式與參數(shù)(某些變量)無關(guān)；也可令系數(shù)等于零，得出定值；
（3）得出結(jié)論．
44．（2021年全國(guó)新高考I卷數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)、，點(diǎn)的軌跡為.
（1）求的方程；
（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.
【答案】（1）；（2）.
【分析】(1) 利用雙曲線的定義可知軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)雙曲線的右支，求出、的值，即可得出軌跡的方程；
(2)方法一：設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)和直線方程，聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得直線的斜率，最后化簡(jiǎn)計(jì)算可得的值.
【詳解】(1) 因?yàn)椋?br>所以，軌跡是以點(diǎn)、為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
設(shè)軌跡的方程為，則，可得，，
所以，軌跡的方程為.
（2）[方法一] 【最優(yōu)解】：直線方程與雙曲線方程聯(lián)立
如圖所示，設(shè),
設(shè)直線的方程為．

聯(lián)立,
化簡(jiǎn)得.
則．
故．
則．
設(shè)的方程為，同理．
因?yàn)?，所以?br>化簡(jiǎn)得，
所以，即．
因?yàn)?，所以?br>[方法二] ：參數(shù)方程法
設(shè)．設(shè)直線的傾斜角為，
則其參數(shù)方程為，
聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，
可得，
整理得．
設(shè)，
由根與系數(shù)的關(guān)系得．
設(shè)直線的傾斜角為，，
同理可得
由，得．
因?yàn)?，所以?br>由題意分析知．所以，
故直線的斜率與直線的斜率之和為0．
[方法三]：利用圓冪定理
因?yàn)椋蓤A冪定理知A，B，P，Q四點(diǎn)共圓．
設(shè),直線的方程為，
直線的方程為,
則二次曲線．
又由，得過A，B，P，Q四點(diǎn)的二次曲線系方程為：
，
整理可得：
，
其中．
由于A，B，P，Q四點(diǎn)共圓，則xy項(xiàng)的系數(shù)為0，即.
【整體點(diǎn)評(píng)】(2)方法一：直線方程與二次曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理處理圓錐曲線問題是最經(jīng)典的方法，它體現(xiàn)了解析幾何的特征，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；
方法二：參數(shù)方程的使用充分利用了參數(shù)的幾何意義，要求解題過程中對(duì)參數(shù)有深刻的理解，并能夠靈活的應(yīng)用到題目中.
方法三：圓冪定理的應(yīng)用更多的提現(xiàn)了幾何的思想，二次曲線系的應(yīng)用使得計(jì)算更為簡(jiǎn)單.
45．（2023年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，且．
(1)求；
(2)設(shè)C的焦點(diǎn)為F，M，N為C上兩點(diǎn)，，求面積的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長(zhǎng)即可得出；
（2）設(shè)直線：，利用，找到的關(guān)系，以及的面積表達(dá)式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值．
【詳解】（1）設(shè)，
由可得，，所以，
所以，
即，因?yàn)?，解得：?br>（2）因?yàn)椋@然直線的斜率不可能為零，
設(shè)直線：，，
由可得，，所以，，
，
因?yàn)椋裕?br>即，
亦即，
將代入得，
，，
所以，且，解得或．
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，所以，
，
所以的面積，
而或，所以，
當(dāng)時(shí)，的面積．
【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是根據(jù)向量的數(shù)量積為零找到的關(guān)系，一是為了減元，二是通過相互的制約關(guān)系找到各自的范圍，為得到的三角形面積公式提供定義域支持，從而求出面積的最小值.
46．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O．焦點(diǎn)在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點(diǎn)，且．已知點(diǎn)，且與l相切．
（1）求C，的方程；
（2）設(shè)是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線，均與相切．判斷直線與的位置關(guān)系，并說明理由．
【答案】（1）拋物線，方程為；（2）相切，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)已知拋物線與相交，可得出拋物線開口向右，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用對(duì)稱性設(shè)出坐標(biāo)，由，即可求出；由圓與直線相切，求出半徑，即可得出結(jié)論；
（2）方法一：先考慮斜率不存在，根據(jù)對(duì)稱性，即可得出結(jié)論；若斜率存在，由三點(diǎn)在拋物線上，將直線斜率分別用縱坐標(biāo)表示，再由與圓相切，得出與的關(guān)系，最后求出點(diǎn)到直線的距離，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）依題意設(shè)拋物線，
，
所以拋物線的方程為，
與相切，所以半徑為，
所以的方程為；
（2）[方法一]：設(shè)
若斜率不存在，則方程為或，
若方程為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)，
則過與圓相切的另一條直線方程為，
此時(shí)該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在，不合題意；
若方程為，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)
則過與圓相切的直線為，
又，
，此時(shí)直線關(guān)于軸對(duì)稱，
所以直線與圓相切；
若直線斜率均存在，
則，
所以直線方程為，
整理得，
同理直線的方程為，
直線的方程為，
與圓相切，
整理得，
與圓相切，同理
所以為方程的兩根，
，
到直線的距離為：
，
所以直線與圓相切；
綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切.
[方法二]【最優(yōu)解】：設(shè)．
當(dāng)時(shí)，同解法1．
當(dāng)時(shí)，直線的方程為，即．
由直線與相切得，化簡(jiǎn)得，
同理，由直線與相切得．
因?yàn)榉匠掏瑫r(shí)經(jīng)過點(diǎn)，所以的直線方程為，點(diǎn)M到直線距離為．
所以直線與相切．
綜上所述，若直線與相切，則直線與相切．
【整體點(diǎn)評(píng)】第二問關(guān)鍵點(diǎn)：過拋物線上的兩點(diǎn)直線斜率只需用其縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）表示，將問題轉(zhuǎn)化為只與縱坐標(biāo)（或橫坐標(biāo)）有關(guān)；法一是要充分利用的對(duì)稱性，抽象出與關(guān)系，把的關(guān)系轉(zhuǎn)化為用表示，法二是利用相切等條件得到的直線方程為，利用點(diǎn)到直線距離進(jìn)行證明，方法二更為簡(jiǎn)單，開拓學(xué)生思路
47．（2021年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（理）試題）已知拋物線的焦點(diǎn)為，且與圓上點(diǎn)的距離的最小值為．
（1）求；
（2）若點(diǎn)在上，是的兩條切線，是切點(diǎn)，求面積的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于的等式，即可解出的值；
（2）設(shè)點(diǎn)、、，利用導(dǎo)數(shù)求出直線、，進(jìn)一步可求得直線的方程，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出以及點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得面積的最大值.
【詳解】（1）[方法一]：利用二次函數(shù)性質(zhì)求最小值
由題意知，，設(shè)圓M上的點(diǎn)，則．
所以．
從而有．
因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，．
又，解之得，因此．
[方法二]【最優(yōu)解】：利用圓的幾何意義求最小值
拋物線的焦點(diǎn)為，，
所以，與圓上點(diǎn)的距離的最小值為，解得；
（2）[方法一]：切點(diǎn)弦方程+韋達(dá)定義判別式求弦長(zhǎng)求面積法
拋物線的方程為，即，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得，
設(shè)點(diǎn)、、，
直線的方程為，即，即，
同理可知，直線的方程為，
由于點(diǎn)為這兩條直線的公共點(diǎn)，則，
所以，點(diǎn)A、的坐標(biāo)滿足方程，
所以，直線的方程為，
聯(lián)立，可得，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，，
點(diǎn)到直線的距離為，
所以，，
，
由已知可得，所以，當(dāng)時(shí)，的面積取最大值.
[方法二]【最優(yōu)解】：切點(diǎn)弦法+分割轉(zhuǎn)化求面積+三角換元求最值
同方法一得到．
過P作y軸的平行線交于Q，則．
．
P點(diǎn)在圓M上，則
．
故當(dāng)時(shí)的面積最大，最大值為．
[方法三]：直接設(shè)直線AB方程法
設(shè)切點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，．
設(shè)，聯(lián)立和拋物線C的方程得整理得．
判別式，即，且．
拋物線C的方程為，即，有．
則，整理得，同理可得．
聯(lián)立方程可得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，即．
將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入圓M的方程，得，整理得．
由弦長(zhǎng)公式得．
點(diǎn)P到直線的距離為．
所以，
其中，即．
當(dāng)時(shí)，．
48．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅰ卷數(shù)學(xué)真題）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．
(1)求的方程；
(2)已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長(zhǎng)大于．
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意列出方程，化簡(jiǎn)即可；
（2）法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，且，分別令，，且，利用放縮法得，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，則得的最小值，再排除邊界值即可.
法二：設(shè)直線的方程為，將其與拋物線方程聯(lián)立，再利用弦長(zhǎng)公式和放縮法得，利用換元法和求導(dǎo)即可求出周長(zhǎng)最值，再排除邊界值即可.
法三：利用平移坐標(biāo)系法，再設(shè)點(diǎn)，利用三角換元再對(duì)角度分類討論，結(jié)合基本不等式即可證明.
【詳解】（1）設(shè),則，兩邊同平方化簡(jiǎn)得，
故.
（2）法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)在上,且，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，

則,令，
同理令，且，則，
設(shè)矩形周長(zhǎng)為,由對(duì)稱性不妨設(shè)，，
則.，易知
則令,
令，解得，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，
當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞增，
則，
故,即.
當(dāng)時(shí),,且，即時(shí)等號(hào)成立，矛盾，故,
得證.
法二：不妨設(shè)在上，且，

依題意可設(shè)，易知直線，的斜率均存在且不為0，
則設(shè),的斜率分別為和，由對(duì)稱性，不妨設(shè)，
直線的方程為，
則聯(lián)立得，
，則
則，
同理，
令，則，設(shè)，
則，令，解得，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，
當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞增，
則，
，
但，此處取等條件為，與最終取等時(shí)不一致，故.
法三：為了計(jì)算方便,我們將拋物線向下移動(dòng)個(gè)單位得拋物線,
矩形變換為矩形,則問題等價(jià)于矩形的周長(zhǎng)大于.
設(shè) , 根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè) .
則 , 由于 , 則 .
由于 , 且 介于 之間,
則 . 令 ,
,則,從而
故
①當(dāng)時(shí),
②當(dāng) 時(shí),由于,從而,
從而又,
故,由此
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故矩形周長(zhǎng)大于.
.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的第二個(gè)的關(guān)鍵是通過放縮得，同時(shí)為了簡(jiǎn)便運(yùn)算，對(duì)右邊的式子平方后再設(shè)新函數(shù)求導(dǎo)，最后再排除邊界值即可.
49．（2022年新高考全國(guó)I卷數(shù)學(xué)真題）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面積．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由點(diǎn)在雙曲線上可求出，易知直線l的斜率存在，設(shè)，，再根據(jù)，即可解出l的斜率；
（2）根據(jù)直線的斜率之和為0可知直線的傾斜角互補(bǔ)，根據(jù)即可求出直線的斜率，再分別聯(lián)立直線與雙曲線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程以及的長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)A到直線的距離，即可得出的面積．
【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，即雙曲線．
易知直線l的斜率存在，設(shè)，，
聯(lián)立可得，，
所以，，且．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化簡(jiǎn)得，，即，
所以或，
當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，與題意不符，舍去，
故．
（2）［方法一］：【最優(yōu)解】常規(guī)轉(zhuǎn)化
不妨設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)?，所以，由?）知，，
當(dāng)均在雙曲線左支時(shí)，，所以，
即，解得（負(fù)值舍去）
此時(shí)PA與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無交點(diǎn)，舍去；
當(dāng)均在雙曲線右支時(shí)，
因?yàn)?，所以，即?br>即，解得（負(fù)值舍去），
于是，直線，直線，
聯(lián)立可得，，
因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為，所以，，
同理可得，，．
所以，，點(diǎn)到直線的距離，
故的面積為．
［方法二］：
設(shè)直線AP的傾斜角為，，由，得，
由，得，即，
聯(lián)立，及得，，
同理，，，故，
而，，
由，得，
故
50．（2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（文）真題）已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸、y軸，且過兩點(diǎn)．
(1)求E的方程；
(2)設(shè)過點(diǎn)的直線交E于M，N兩點(diǎn)，過M且平行于x軸的直線與線段AB交于點(diǎn)T，點(diǎn)H滿足．證明：直線HN過定點(diǎn)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）將給定點(diǎn)代入設(shè)出的方程求解即可；
（2）設(shè)出直線方程，與橢圓C的方程聯(lián)立，分情況討論斜率是否存在，即可得解.
【詳解】（1）解：設(shè)橢圓E的方程為，過，
則，解得，，
所以橢圓E的方程為：.
（2），所以，
①若過點(diǎn)的直線斜率不存在，直線.代入，
可得，，代入AB方程，可得
，由得到.求得HN方程：
，過點(diǎn).
②若過點(diǎn)的直線斜率存在，設(shè).
聯(lián)立得，
可得，，
且
聯(lián)立可得
可求得此時(shí)，
將，代入整理得，
將代入，得
顯然成立，
綜上，可得直線HN過定點(diǎn)
【點(diǎn)睛】求定點(diǎn)、定值問題常見的方法有兩種：
①從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)；
②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值.
51．（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）真題）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，過F的直線交C于M，N兩點(diǎn)．當(dāng)直線MD垂直于x軸時(shí)，．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)直線與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為A，B，記直線的傾斜角分別為．當(dāng)取得最大值時(shí)，求直線AB的方程．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）由拋物線的定義可得，即可得解；
（2）法一：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)及直線，由韋達(dá)定理及斜率公式可得，再由差角的正切公式及基本不等式可得，設(shè)直線，結(jié)合韋達(dá)定理可解.
【詳解】（1）拋物線的準(zhǔn)線為，當(dāng)與x軸垂直時(shí)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，
此時(shí)，所以，
所以拋物線C的方程為；
（2）[方法一]：【最優(yōu)解】直線方程橫截式
設(shè)，直線，
由可得，，
由斜率公式可得，，
直線，代入拋物線方程可得，
，所以，同理可得，
所以
又因?yàn)橹本€MN、AB的傾斜角分別為，所以，
若要使最大，則，設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，
代入拋物線方程可得，
，所以，
所以直線.
[方法二]：直線方程點(diǎn)斜式
由題可知，直線MN的斜率存在.
設(shè),直線
由 得：，,同理，.
直線MD:,代入拋物線方程可得：，同理，.
代入拋物線方程可得:,所以，同理可得，
由斜率公式可得：
（下同方法一）若要使最大，則，
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，設(shè)直線，
代入拋物線方程可得，，所以，所以直線.
[方法三]：三點(diǎn)共線
設(shè)，
設(shè),若 P、M、N三點(diǎn)共線，由
所以，化簡(jiǎn)得，
反之，若,可得MN過定點(diǎn)
因此，由M、N、F三點(diǎn)共線，得，
由M、D、A三點(diǎn)共線，得，
由N、D、B三點(diǎn)共線，得，
則，AB過定點(diǎn)（4,0）
（下同方法一）若要使最大，則，
設(shè)，則，
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，
所以當(dāng)最大時(shí)，，所以直線.
52．（2022年新高考全國(guó)II卷數(shù)學(xué)真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．
(1)求C的方程；
(2)過F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過P且斜率為的直線與過Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：
①M(fèi)在上；②；③．
注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】(1)
(2)見解析
【分析】（1）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求得的值，利用漸近線方程求得的關(guān)系，進(jìn)而利用的平方關(guān)系求得的值，得到雙曲線的方程；
（2）先分析得到直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的斜率為k, M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等價(jià)分析得到；由直線和的斜率得到直線方程，結(jié)合雙曲線的方程，兩點(diǎn)間距離公式得到直線PQ的斜率，由②等價(jià)轉(zhuǎn)化為，由①在直線上等價(jià)于，然后選擇兩個(gè)作為已知條件一個(gè)作為結(jié)論，進(jìn)行證明即可.
【詳解】（1）右焦點(diǎn)為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．
∴C的方程為：；
（2）由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，
若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；
若選①③推②，則為線段的中點(diǎn)，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱性可知在軸上，即為焦點(diǎn),此時(shí)由對(duì)稱性可知、關(guān)于軸對(duì)稱，與從而，已知不符；
總之，直線的斜率存在且不為零.
設(shè)直線的斜率為,直線方程為,
則條件①在上，等價(jià)于；
兩漸近線的方程合并為,
聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得：
設(shè),線段中點(diǎn)為,則,
設(shè),
則條件③等價(jià)于,
移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：
，
,即,
即；
由題意知直線的斜率為, 直線的斜率為,
∴由,
∴,
所以直線的斜率,
直線,即,
代入雙曲線的方程,即中，
得：,
解得的橫坐標(biāo)：,
同理：，
∴
∴,
∴條件②等價(jià)于，
綜上所述：
條件①在上，等價(jià)于；
條件②等價(jià)于；
條件③等價(jià)于；
選①②推③:
由①②解得：,∴③成立；
選①③推②：
由①③解得：，，
∴，∴②成立；
選②③推①：
由②③解得：，，∴，
∴，∴①成立.
53．（2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.
【答案】(1)
(2)證明見解析.
【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；
（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點(diǎn)的坐標(biāo)分別寫出直線與的方程，聯(lián)立直線方程，消去，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得，即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此可證得點(diǎn)在定直線上.
【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，
則由可得，，
雙曲線方程為.
（2）由(1)可得，設(shè)，
顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，
與聯(lián)立可得，且，
則，

直線的方程為，直線的方程為，
聯(lián)立直線與直線的方程可得：
，
由可得，即，
據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng).
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.