易錯點一：混淆數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別（數(shù)列求最值問題）
1、等差數(shù)列的定義
（1）文字語言：一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)；
（2）符號語言：(，為常數(shù))．
2、等差中項：若三個數(shù)a，A，b組成等差數(shù)列，則A叫做a，b的等差中項．
3、通項公式與前n項和公式
（1）通項公式：．
（2）前項和公式：．
（3）等差數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系
= 1 \* GB3 ①通項公式：當(dāng)公差時，等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且一次項系數(shù)為公差.若公差，則為遞增數(shù)列，若公差，則為遞減數(shù)列．
= 2 \* GB3 ②前n項和：當(dāng)公差時，是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項為0.
已知數(shù)列是等差數(shù)列，是其前項和．
1、等差數(shù)列通項公式的性質(zhì)：
（1）通項公式的推廣：．
（2）若，則．
（3）若的公差為d，則也是等差數(shù)列，公差為．
（4）若是等差數(shù)列，則也是等差數(shù)列．
2、等差數(shù)列前項和的性質(zhì)
（1）；
（2）；
（3）兩個等差數(shù)列，的前n項和，之間的關(guān)系為.
（4）數(shù)列，，，…構(gòu)成等差數(shù)列．
3、關(guān)于等差數(shù)列奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的性質(zhì)
（1）若項數(shù)為，則，；
（2）若項數(shù)為，則，，，.
最值問題：解決此類問題有兩種思路：
一是利用等差數(shù)列的前項和公式，可用配方法求最值，也可用頂點坐標(biāo)法求最值；
二是依據(jù)等差數(shù)列的通項公式，當(dāng)時，數(shù)列一定為遞增數(shù)列，當(dāng)時，數(shù)列一定為遞減數(shù)列．所以當(dāng)，且時，無窮等差數(shù)列的前項和有最大值，其最大值是所有非負(fù)項的和；當(dāng)，且時，無窮等差數(shù)列的前項和有最小值，其最小值是所有非正項的和，求解非負(fù)項是哪一項時，只要令即可
易錯提醒：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，在求解數(shù)列問題時有時可以利用函數(shù)的性質(zhì)，但是在利用函數(shù)單調(diào)性求解數(shù)列問題，要注意的取值不是連續(xù)實數(shù)，忽略這一點很容易出錯.
例 ．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，求取得最大值時對應(yīng)的n值.
變式1．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列，，．
(1)從第幾項開始有？
(2)求此數(shù)列的前項和的最大值．
變式2．記為等差數(shù)列的前n項和，已知，．
(1)求的通項公式；
(2)求的最小值．
變式3．等差數(shù)列，，公差．
(1)求通項公式和前項和公式；
(2)當(dāng)取何值時，前項和最大，最大值是多少．
1．已知數(shù)列是等差數(shù)列，若，，且數(shù)列的前項和，有最大值，當(dāng)時，的最大值為（ ）
A．20B．17C．19D．21
2．已知等差數(shù)列的前n項和為， ，且，則取得最小值時n的值為（ ）
A．5B．6C．7D．8
3．已知數(shù)列中，若其前n項和為Sn，則Sn的最大值為（ ）
A．15B．750C．D．
4．若是等差數(shù)列，首項，，，則使前項和成立的最大自然數(shù)是（ ）
A．2021B．2022C．4042D．4043
5．設(shè)是等差數(shù)列，是其前n項和，且， ，則下列結(jié)論正確的是（ ）.
A．B．
C．D．與均為的最大值
6．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，公差為．已知，，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．設(shè)的前項和為，則時，的最大值為27
7．已知數(shù)列的前項和滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．是為等差數(shù)列的充要條件
B．可能為等比數(shù)列
C．若，，則為遞增數(shù)列
D．若，則中，，最大
8．已知數(shù)列的前n項和，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．是等差數(shù)列B．
C．D．有最大值
9．?dāng)?shù)列的前項和為，已知，則下列說法正確的是（ ）
A．是遞增數(shù)列B．
C．當(dāng)時，D．當(dāng)或4時，取得最大值
10．等比數(shù)列中，，則數(shù)列的前項和的最大值為 ．
11．記等差數(shù)列的前n項和為，若，，則當(dāng)取得最大值時，n＝ ．
易錯點二：忽視兩個“中項”的區(qū)別（等比數(shù)列利用中項求其它）
1、等比數(shù)列的定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個非零常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母表示。
數(shù)學(xué)語言表達(dá)式： (，為非零常數(shù))．
2、等比中項性質(zhì)：如果三個數(shù)，，成等比數(shù)列，那么叫做與的等比中項，其中.
注意：同號的兩個數(shù)才有等比中項。
3、通項公式及前n項和公式
（1）通項公式：若等比數(shù)列的首項為，公比是，則其通項公式為；
通項公式的推廣：.
（2）等比數(shù)列的前項和公式：當(dāng)時，；當(dāng)時，.
已知是等比數(shù)列，是數(shù)列的前項和．（等比中項）
1、等比數(shù)列的基本性質(zhì)
（1）相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為.
（2）若，（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則，，，，仍是等比數(shù)列．
（3）若，則有
口訣：角標(biāo)和相等，項的積也相等 推廣：
（4）若是等比數(shù)列，且，則（且）是以為首項，為公差的等差數(shù)列。
（5）若是等比數(shù)列，，則構(gòu)成公比為的等比數(shù)列。
易錯提醒：若成等比數(shù)列，則為和的等比中項。只有同號的兩數(shù)才有等比中項， “”僅是“為和的等比中項”的必要不充分條件，在解題時務(wù)必要注意此點。
例 ．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，則等于（ ）
A．5B．10C．15D．20
變式1．已知等差數(shù)列的公差，且，，成等比數(shù)列，則( )
A．B．C．D．
變式2．已知，如果，，，，成等比數(shù)列，那么（ ）
A．，B．，
C．，D．，
變式3．已知等比數(shù)列中，，，則（ ）
A．B．C．或D．
1．已知等差數(shù)列的前項和為，公差不為0，若滿足、、成等比數(shù)列，則的值為（ ）
A．2B．3C．D．不存在
2．已知公差不為零的等差數(shù)列中，，且，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的前9項的和為（ ）
A．1B．2C．81D．80
3．已知，，則使得成等比數(shù)列的充要條件的值為（ ）
A．1B．C．5D．
4．已知等差數(shù)列的公差不為0，且成等比數(shù)列，則錯誤的是（ ）
A．B．C．D．
5．正項等比數(shù)列中，是與的等差中項，若，則（ ）
A．4B．8C．32D．64
6．已知實數(shù)4，m，9構(gòu)成一個等比數(shù)列，則圓錐曲線＋y2＝1的離心率為（ ）
A．B．C．或D．或7
7．?dāng)?shù)列為等比數(shù)列，，，命題，命題是、的等比中項，則是的（ ）條件
A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要
8．在數(shù)列中，，，則（ ）．
A．B．
C．D．
9．已知是等差數(shù)列，公差，前項和為，若，，成等比數(shù)列，則
A．，B．，C．，D．，
10．?dāng)?shù)1與4的等差中項，等比中項分別是（ ）
A．，B．，C．，D．，
11．已知數(shù)列是等差數(shù)列，，其中公差，若 是和的等比中項，則（ ）
A．398B．388
C．189D．199
易錯點三：忽略等比數(shù)列求和時對的討論（等比數(shù)列求和）
等比數(shù)列前項和的性質(zhì)
（1）在公比或且為奇數(shù)時，，，，……仍成等比數(shù)列，其公比為；
（2）對，有；
（3）若等比數(shù)列共有項，則，其中，分別是數(shù)列的偶數(shù)項和與奇數(shù)項和；
（4）等比數(shù)列的前項和，令，則（為常數(shù)，且）
易錯提醒：注意等比數(shù)列的求和公式是分段表示的：，所以在利用等比數(shù)列求和公式求和時要先判斷公比是否可能為1，，若公比未知，則要注意分兩種情況q＝1和q≠1討論..
例 ．設(shè)等比數(shù)列的前n項和為.已知，，則 .
變式1．記為等比數(shù)列的前n項和，若，，則 ．
變式2．在等比數(shù)列中，，，令，求數(shù)列的前n項和．
變式3．?dāng)?shù)列前項和滿足，數(shù)列滿足．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)對任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)項的個數(shù)記為，求數(shù)列前項和．
1．已知為等比數(shù)列，其公比，前7項的和為1016，則的值為（ ）
A．8B．10C．12D．16
2．已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，則（ ）
A．B．C．D．
3．已知，，（，），為其前項和，則（ ）
A．B．C．D．
4．在等比數(shù)列中，，，則（ ）
A．的公比為4B．的前20項和為170
C．的前10項積為D．的前n項和為
5．已知正項等比數(shù)列的前n和為，若，且，則滿足的n的最大值為 .
6．已知等比數(shù)列的前n項和為，，且－3，，成等差數(shù)列，則數(shù)列的通項 ．
7．設(shè)為等比數(shù)列的前項和，若，，則
8．已知正項等比數(shù)列的前項和為，若，且，則 ．
9．已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項和為，，，則 ．
10．?dāng)?shù)列的前n項和為，且，，則滿足的最小的自然數(shù)n的值為 ．
11．在正項等比數(shù)列中，已知，，則公比 ．
易錯點四： 由求時忽略對“”的檢驗（求通項公式）
類型1 觀察法：
已知數(shù)列前若干項，求該數(shù)列的通項時，一般對所給的項觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個通項．
類型2 公式法：
若已知數(shù)列的前項和與的關(guān)系，求數(shù)列的通項可用公式 構(gòu)造兩式作差求解．
用此公式時要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即和合為一個表達(dá)，（要先分和兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗證能否統(tǒng)一）．
類型3 累加法：
形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個式子兩邊分別相加，可得：
= 1 \* GB3 ①若是關(guān)于的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；
= 2 \* GB3 ② 若是關(guān)于的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；
= 3 \* GB3 ③若是關(guān)于的二次函數(shù)，累加后可分組求和；
= 4 \* GB3 ④若是關(guān)于的分式函數(shù)，累加后可裂項求和．
類型4 累乘法：
形如型的遞推數(shù)列（其中是關(guān)于的函數(shù)）可構(gòu)造：
將上述個式子兩邊分別相乘，可得：
有時若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解．
類型5 構(gòu)造數(shù)列法：
（一）形如（其中均為常數(shù)且）型的遞推式：
（1）若時，數(shù)列{}為等差數(shù)列；
（2）若時，數(shù)列{}為等比數(shù)列；
（3）若且時，數(shù)列{}為線性遞推數(shù)列，其通項可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來求．方法有如下兩種：
法一：設(shè)，展開移項整理得，與題設(shè)比較系數(shù)（待定系數(shù)法）得，即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得
法二：由得兩式相減并整理得即構(gòu)成以為首項，以為公比的等比數(shù)列．求出的通項再轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法）便可求出
（二）形如型的遞推式：
（1）當(dāng)為一次函數(shù)類型（即等差數(shù)列）時：
法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得
法二：當(dāng)?shù)墓顬闀r，由遞推式得：，兩式相減得：，令得：轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠求出 ，再用類型Ⅲ（累加法）便可求出
（2）當(dāng)為指數(shù)函數(shù)類型（即等比數(shù)列）時：
法一：設(shè)，通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項，以為公比的等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式求出的通項整理可得
法二：當(dāng)?shù)墓葹闀r，由遞推式得：——①，，兩邊同時乘以得——②，由①②兩式相減得，即，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅴ㈠便可求出
法三：遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）或（其中p，q， r均為常數(shù)）時，要先在原遞推公式兩邊同時除以，得：，引入輔助數(shù)列（其中），得：再應(yīng)用類型Ⅴ㈠的方法解決．
（3）當(dāng)為任意數(shù)列時，可用通法：
在兩邊同時除以可得到，令，則，在轉(zhuǎn)化為類型Ⅲ（累加法），求出之后得．
類型6 對數(shù)變換法：
形如型的遞推式：
在原遞推式兩邊取對數(shù)得，令得：，化歸為型，求出之后得（注意：底數(shù)不一定要取10，可根據(jù)題意選擇）．
類型7 倒數(shù)變換法：
形如（為常數(shù)且）的遞推式：兩邊同除于，轉(zhuǎn)化為形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求；
還有形如的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成形式，化歸為型求出的表達(dá)式，再求．
類型8 形如型的遞推式：
用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列的形式求解．方法為：設(shè)，比較系數(shù)得，可解得，于是是公比為的等比數(shù)列，這樣就化歸為型．
總之，求數(shù)列通項公式可根據(jù)數(shù)列特點采用以上不同方法求解，對不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項公式
易錯提醒：在數(shù)列問題中，數(shù)列的通項與其前n 項和之間關(guān)系如下，在使用這個關(guān)系式時，要牢牢記住其分段的特點。當(dāng)題中給出數(shù)列｛｝的與關(guān)系時，先令求出首項，然后令求出通項，最后代入驗證。解答此類題常見錯誤為直接令求出通項，也不對進(jìn)行檢驗.
例 ．已知數(shù)列和，其中的前項和為，且，.
(1)分別求出數(shù)列和的通項公式；
(2)記，求證：.
變式1．?dāng)?shù)列 的前n項和，已知，，k為常數(shù).
(1)求常數(shù)k和數(shù)列的通項公式；
(2)數(shù)列 的前n項和為，證明：
變式2．設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)記，數(shù)列的前項和為.證明：對一切正整數(shù)，.
變式3．已知數(shù)列的前項和為，且（）.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
1．已知數(shù)列的前項和為，且.
(1)當(dāng)時，求；
(2)若為等比數(shù)列，求的值.
2．已知數(shù)列的前項和為，且與的等差中項為.
(1)求數(shù)列的通項公式.
(2)設(shè)，求數(shù)列的前項和.
3．已知數(shù)列的前n項和為，且，.
(1)求；
(2)記，求數(shù)列的前n項和.
4．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，當(dāng)時，是4的常數(shù)列.
(1)求的通項公式；
(2)當(dāng)時，設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：.
5．在數(shù)列中，，是的前n項和，且數(shù)列是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項和．
6．已知數(shù)列的前項和是，且.
(1)證明：是等比數(shù)列.
(2)求數(shù)列的前項和.
7．已知首項為4的數(shù)列的前n項和為，且．
(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列的前n項和．
8．設(shè)數(shù)列的前項和為，且，．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，求證：．
9．設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且滿足．
(1)求出數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，求時，n的最小值．
10．已知為數(shù)列的前項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)若，，求數(shù)列的前項和．
11．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，且，（且）．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前n項和．
易錯點五：裂項求和留項出錯（數(shù)列求和）
常見的裂項技巧
積累裂項模型1：等差型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
積累裂項模型2：根式型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
積累裂項模型3：指數(shù)型
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6），設(shè)，易得，
于是
（7）
積累裂項模型4：對數(shù)型
積累裂項模型5：三角型
（1）
（2）
（3）
（4），
則
積累裂項模型6：階乘
（1）
（2）
常見放縮公式：
（1）；（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
易錯提醒：用裂項相消法求和時，裂項后可以產(chǎn)生連續(xù)相互抵消的項，但是要注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，一般來說前面剩余幾項后面也剩余幾項，若前面剩余的正數(shù)項，則后面剩余的是負(fù)數(shù)項。
例 ．已知數(shù)列的前項和為，，.
(1)求的通項公式；
(2)設(shè)，證明：.
變式1．記為數(shù)列的前n項和，滿足，.
(1)求的通項公式；
(2)證明：.
變式2．已知首項為1的數(shù)列，其前項利為，且數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數(shù)列的前項和．
變式3．已知數(shù)列為非零數(shù)列，且滿足.
(1)求及數(shù)列的通項公式；
(2)若數(shù)列的前項和為，且滿足，證明：.
1．已知是數(shù)列的前項和，，且成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的通項公式．
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：．
2．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，，當(dāng)時，是4的常數(shù)列.
(1)求的通項公式；
(2)當(dāng)時，設(shè)數(shù)列的前項和為，證明：.
3．在數(shù)列中，為數(shù)列的前項和，且滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若.求數(shù)列的前項和.
4．設(shè)數(shù)列前n項和為，，.
(1)求，及的通項公式；
(2)若，證明：.
5．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，數(shù)列的前n項之積為，，且．
(1)求；
(2)令，求正整數(shù)n，使得“”與“是，的等差中項”同時成立；
(3)設(shè)，，求數(shù)列的前2n項和．
6．設(shè)是等比數(shù)列的公比大于，其前項和為，是等差數(shù)列，已知，，，.
(1)求，的通項公式
(2)設(shè)，求 ；
(3)設(shè)，數(shù)列的前項和為，求.
7．已知數(shù)列滿足.
(1)求數(shù)列的通項公式
(2)若，數(shù)列的前n項和為，證明：.
8．設(shè)為數(shù)列的前項和，
(1)求的通項公式；
(2)若數(shù)列的最小項為第項，求；
(3)設(shè)數(shù)的前項和為，證明：
9．已知正項數(shù)列的前項和為，且.
(1)求；
(2)設(shè)，數(shù)列的前項和為，證明：.
10．已知數(shù)列滿足，且.
(1)證明：是等比數(shù)列，并求的通項公式；
(2)已知數(shù)列滿足，求的前項和.

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