新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習專題突破訓(xùn)練專題07 立體幾何與空間向量（2份，原卷版+解析版）

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題型：8（單選）+4（多選）+4（填空）+2（解答題）
時間：90分鐘
一、單選題
1．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·高二期中）我國古代數(shù)學(xué)名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水.天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為-一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中積水深九寸，則平地降雨量是（ ）寸.（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】
根據(jù)題意，得出水面半徑，求出水的體積，即可求出平地降雨量.
【詳解】
由題意可得，天池盆上底半徑為寸，下底面半徑為寸，高為寸，
因為積水深寸，所以水面半徑為寸，
則盆中水的體積為：（立方寸），
所以平地降雨量為寸.
故選：C.
【點睛】
本題主要考查圓臺體積的相關(guān)計算，熟記公式即可，屬于基礎(chǔ)題型.
2．（2020·云南師大附中高三月考（理））朱世杰是元代著名的數(shù)學(xué)家，有“中世紀世界最偉大的數(shù)學(xué)家”之稱.其著作《四元玉鑒》是一部成就輝煌的數(shù)學(xué)名著，受到數(shù)學(xué)史研究者的高度評價.《四元玉鑒》下卷“雜范類會”中第一問為：“今有沈香立圓球一只，徑十寸，今從頂截周八寸四分，問厚幾何？”大意為現(xiàn)有一個直徑為10的球，從上面截一小部分，截面圓周長為8.4，問被截取部分幾何體的高為多少.已知朱世杰是以圓周率為3來計算，則《四元玉鑒》中此題答案為（ ）（注：）
A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8
【答案】A
【分析】
利用圓的周長公式算出截面的半徑，再根據(jù)勾股定理可得，解方程即可.
【詳解】
設(shè)截面圓半徑為，截下來的幾何體高為，
若以3作為圓周率，則，
又，故，
故選：A.
【點睛】
本題考查了球截面，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.
3．（2020·首都師范大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）已知圓錐的母線長為5cm，底面半徑為cm，一只螞蟻欲從圓錐的底面圓周上的點出發(fā)，沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點.則螞蟻爬行的最短路程長為（ ）
A．8cmB．cmC．10cmD．cm
【答案】B
【分析】
采用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)圓錐的展開圖，結(jié)合弧長公式，可得結(jié)果.
【詳解】
由題可知：螞蟻沿圓錐側(cè)面爬行一周回到點，
爬行的最短路程長為
如圖
作，
由圓錐的母線長為5cm，底面半徑為cm，
所以 cm
由，所以
即，所以
故 cm
所以 cm
故選：B
【點睛】
本題考查圓錐的展開圖，還考查了弧長公式，考驗空間想象能力以及思維能力，屬中檔題.
4．（2020·江蘇鎮(zhèn)江·高二期中）盧浮宮金字塔位于巴黎盧浮宮的主院拿破侖庭院，由美籍華人建筑師設(shè)計，已成為巴黎的城市地標?金字塔為正四棱錐造型，四個側(cè)面由幾乎大小相同的玻璃塊拼裝而成，能成為地下設(shè)施提供良好的采光，創(chuàng)造性地解決了把古老宮殿改造成現(xiàn)代美術(shù)館的一系列難題，取得極大成功，金字塔塔高21米，底寬34米，如果每塊玻璃面積為2.72平方米，不計安裝中的損耗，請你估算，建造這座玻璃金字塔需要玻璃塊的塊數(shù)最接近的數(shù)為（ ）
A．575B．625C．675D．725
【答案】C
【分析】
畫出正四棱錐的圖形，根據(jù)已知條件求出其側(cè)面積，即可求出需要玻璃塊的塊數(shù).
【詳解】
正四棱錐如圖所示，
根據(jù)題意，平面ABCD，，，，
在中，，
則正四棱錐的側(cè)面積，
所以需要玻璃塊的塊數(shù)為，
所以建造這座玻璃金字塔需要玻璃塊的塊數(shù)最接近的數(shù)為675.
故選：C.
5．（2020·云南昆明一中高三月考（理））我國古代數(shù)學(xué)家利用“牟合方蓋”(如圖甲)找到了球體體積的計算方法.“牟合方蓋”是由兩個圓柱分別從縱橫兩個方向嵌入一個正方體時兩圓柱公共部分形成的幾何體.圖乙所示的幾何體是可以形成“牟合方蓋”的一種模型，它的側(cè)視圖是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
本題根據(jù)三視圖的定義直接選答案即可.
【詳解】
解：根據(jù)三視圖的定義直接選B.
故選：B
【點睛】
本題考查幾何體的三視圖識別，是基礎(chǔ)題.
6．（2020·北京人大附中高三三模）如圖，四個棱長為的正方體排成一個正四棱柱，是一條側(cè)棱，是上底面上其余的八個點，則集合中的元素個數(shù)（ ）
A．1B．2C．4D．8
【答案】A
【分析】
本題首先可根據(jù)圖像得出，然后將轉(zhuǎn)化為，最后根據(jù)棱長為以及即可得出結(jié)果.
【詳解】
由圖像可知，，
則，
因為棱長為，，
所以，，
故集合中的元素個數(shù)為，
故選：A.
【點睛】
本題考查向量數(shù)量積的求解問題，關(guān)鍵是能夠利用平面向量線性運算將所求向量數(shù)量積轉(zhuǎn)化為已知模長的向量和有垂直關(guān)系向量的數(shù)量積的運算問題，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想，考查集合中元素的性質(zhì)，是中檔題.
7．（2020·寧波市北侖中學(xué)高二期中）我國南北朝時期的著名數(shù)學(xué)家祖暅原提出了祖暅原理：“冪勢既同，則積不容異.”意思是，夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意一個平面所截，若截面面積都相等，則這兩個幾何體的體積相等.運用祖暅原理計算球的體積時，構(gòu)造一個底面半徑和高都與球的半徑相等的圓柱，與半球（如圖①）放置在同一平面上，然后在圓柱內(nèi)挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點，圓柱上底面為底面的圓錐后得到一新幾何體（如圖②），用任何一個平行于底面的平面去截它們時，可證得所截得的兩個截面面積相等，由此可證明新幾何體與半球體積相等，即.現(xiàn)將橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)一周后得一橄欖狀的幾何體（如圖③），類比上述方法，運用祖暅原理可求得其體積等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
構(gòu)造一個底面半徑為，高為的圓柱，通過計算可得高相等時截面面積相等，根據(jù)祖暅原理可得橄欖球形幾何體的體積的一半等于圓柱的體積減去圓錐的體積.
【詳解】
解：構(gòu)造一個底面半徑為，高為的圓柱，
在圓柱中挖去一個以圓柱下底面圓心為頂點的圓錐，
則當截面與頂點距離為時，小圓錐底面半徑為，
則，
，
故截面面積為：，
把代入，
即，
解得：，
橄欖球形幾何體的截面面積為，
由祖暅原理可得橄欖球形幾何體的體積為：
圓柱圓錐.
故選：D.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵是讀懂題意，構(gòu)建圓柱，通過計算得到高相等時截面面積相等，根據(jù)祖暅原理得到橄欖球形幾何體的體積.
8．（2021·北京人大附中高三開學(xué)考試）北京大興國際機場的顯著特點之一是各種彎曲空間的運用.刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內(nèi)容.用曲率刻畫空間彎曲性，規(guī)定：多面體頂點的曲率等于與多面體在該點的面角之和的差(多面體的面的內(nèi)角叫像多面體的面角，角度用弧度制)，多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和.例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為，故其總曲率為.給出下列三個結(jié)論：
①正方體各頂點的曲率為；
②任意三棱錐的總曲率均為；
③將棱長為3的正方體正中心去掉一個棱長為1的正方體所形成的幾何體的總曲率為.
其中，所有正確結(jié)論的序號是（ ）
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】
根據(jù)幾何體頂點的曲率和幾何體總曲率的定義求解.
【詳解】
①因為正方體的每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正方體在各頂點的曲率為，故正確；
②如圖所示：，
A點的曲率為： ，
B點的曲率為：，
C點的曲率為：，
D點的曲率為：，
則三棱錐的總曲率均為，
，故正確；
③此幾何體有16個頂點，每個頂點的曲率為，所以該幾何體的總曲率為，故正確.
故選：D
二、多選題
9．（2021·重慶高三其他模擬）如圖所示，用一束與平面成角的平行光線照射半徑為的球，在平面上形成的投影為橢圓及其內(nèi)部，則橢圓的（ ）
A．長軸長為B．離心率為C．焦距為D．面積為
【答案】BC
【分析】
由投影的特點可確定，橢圓短軸長為球的直徑，由此可得橢圓長軸長，并計算得到和離心率，知ABC的正誤；根據(jù)橢圓面積大于球大圓面積可知D錯誤.
【詳解】
由題意知：，，，，
橢圓長軸長，A錯誤；
橢圓的短軸長為球的直徑，即，，
，橢圓的焦距為，C正確；
橢圓的離心率，B正確；
由圖可知：橢圓的面積大于球大圓的面積，又球大圓的面積，
橢圓的面積大于，D錯誤.
故選：BC.
【點睛】
關(guān)鍵點點睛：本題解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)投影的特點確定橢圓的的取值與球半徑長之間的關(guān)系.
10．（2020·全國高三專題練習）正方體ABCD - A1B1C1D1的棱長為2， E、F、G分別為BC、CC1、BB1的中點，則（ ）
A．直線與直線AF垂直B．直線A1G與平面AEF平行
C．平面截正方體所得的截面面積為D．點C與點G到平面AEF的距離相等
【答案】BC
【分析】
對選項A，取中點，則為在平面上的投影，由與不垂直，得與不垂直，故A錯誤.對選項B，取的中點，連接，，易證平面平面，從而得到平面，故B正確.對選項C，連接，，得到
平面為平面截正方體所得的截面，再計算其面積即可得到C正確，對選項D，利用反正法即可得到D錯誤.
【詳解】
對選項A，如圖所示：
取中點，連接，.
則為在平面上的投影，
因為與不垂直，所以與不垂直，故A錯誤.
對選項B，取的中點，連接，，如圖所示：
因為，平面，平面，所以平面，
因為，平面，平面，所以平面，
又因為平面，，
所以平面平面.
因為平面，所以平面，故B正確.
對選項C，連接，，如圖所示：
因為，所以平面為平面截正方體所得的截面.
，，
，所以四邊形為等腰梯形，
高為，.
故C正確.
對選項D，連接交于，如圖所示：
假設(shè)點與點到平面的距離相等，即平面必過的中點，
而不是的中點，則假設(shè)不成立，故D錯誤.
故選：BC
【點睛】
本題主要考查空間中直線與直線、直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系的判定和應(yīng)用，同時考查學(xué)生空間想象力和思維能力，屬于中檔題.
11．（2021·山東泰安市·高一期中）中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一，印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美，如圖是一個棱數(shù)為的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的棱上，且此正方體的棱長為．則下列關(guān)于該多面體的說法中正確的是（ ）
A．多面體有個頂點，個面
B．多面體的體積為
C．多面體的表面積為
D．多面體有外接球（即經(jīng)過多面體所有頂點的球）
【答案】ABD
【分析】
由圖形即可判斷A；由正方體體積減去8個小三棱錐的體積，可判斷B；直接計算表面積；根據(jù)球與正方體的棱都相切；
【詳解】
對A，由圖形可得，該半正多面體共有12個頂點，14個面，故A正確；
對B，，故B正確；
對C，該半正多面體的棱長為，故半正多面體的面積為，故C錯誤；
對D，該半正多面體的外接球的半徑為，故D正確；
故選：ABD
【點睛】
本題考查半正多面體的幾何特征及體積和表面積的求解.
12．（2021·江蘇高一月考）攢尖是我國古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱為撮尖，清代稱攢尖，通常有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖，六角攢尖、八角攢尖，也有單檐和重檐之分，多見于亭閣式建筑、園林建筑.下面以六角攢尖為例，如圖，它的屋頂部分的輪廓可近似看作一個正六棱錐.已知此正六棱錐的側(cè)面與底面所成的銳二面角為θ，這個角接近30°，若取θ=30°，側(cè)棱長為米，則（ ）
A．正六棱錐的底面邊長為2米
B．正六棱錐的側(cè)棱與底面所成角的正切值為
C．正六棱錐的側(cè)面積為48平方米
D．正六棱錐的體積為16立方米
【答案】BCD
【分析】
如圖，設(shè)正六邊形的中心為，的中點為，連接，，設(shè)，根據(jù)題設(shè)條件可得，從而可求，再逐項計算并判斷各項的正誤，從而可得正確的選項．
【詳解】
如圖，設(shè)正六邊形的中心為，的中點為，連接，，
則平面，故為側(cè)棱與底面所成的角．
設(shè)，
由正六棱錐的性質(zhì)可得，，
由等邊三角形可得，
故為二面角的平面角，故，
所以，而，故，
在中，有，故，故，故A錯．
又在，，故，故B正確．
正六棱錐的側(cè)面積為（平方米），故C正確．
正六棱錐的體積為（立方米），故D正確．
故選：BCD．

三、填空題
13．（2021·江蘇宿遷市·高二期末）自然界中，構(gòu)成晶體的最基本的幾何單元稱為晶胞，其形狀一般是平行六面體，具體形狀大小由它的三組棱長a、b、c及棱間交角、、（合稱為“晶胞參數(shù)”）來表征.如圖是某種晶體的晶胞，其中，，，，，則該晶胞的對角線的長為__________.
【答案】
【分析】
數(shù)形結(jié)合以及使用向量的方法，可得，然后先平方再開方可得結(jié)果.
【詳解】
如圖所示：
所以
依題可知：，
所以
所以
則，故
故答案為：
14．（2020·遼寧高三其他模擬（理））古代中國，建筑工匠們非常注重建筑中體現(xiàn)數(shù)學(xué)美，方形和圓形的應(yīng)用比比皆是，在唐、宋時期的單檐建筑中較多存在的比例關(guān)系，這是當時工匠們著意設(shè)計的常見比例，今天，紙之所以流行的重要原因之一，就是它的長與寬的比無限接近，我們稱這種滿足了的矩形為“優(yōu)美”矩形．現(xiàn)有一長方體，，，，則此長方體的表面六個矩形中，“優(yōu)美”矩形的個數(shù)為___________．
【答案】4
【分析】
由題意求出該長方體的長、寬、高后，根據(jù)新概念驗證即可得解.
【詳解】
由題意，該長方體如圖所示：
，，，
，，
，
，，
，，，
此長方體的表面六個矩形中，“優(yōu)美”矩形的個數(shù)為4.
故答案為：4.
【點睛】
本題考查了長方體幾何特征的應(yīng)用及對于新概念的理解，屬于基礎(chǔ)題.
15．（2020·江西高三其他模擬（文）） “圓材埋壁”是我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中的一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長一尺．問徑幾何．”用現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語言表述是：“如圖所示，一圓柱形埋在墻壁中，尺，為的中點，，寸，則圓柱底面的直徑長是_________寸”．（注：l尺=10寸）
【答案】26
【分析】
由勾股定理，代入數(shù)據(jù)即可求得．
【詳解】
解：∵，，
∵ 寸，
∴ 寸，
在中，∵，
∴ ，
∴ 寸，
∴ 圓柱底面的直徑長是寸．
故答案為26．
【點睛】
考查了學(xué)生對勾股定理的熟練應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．
16．（2020·福建高三三模（文））如圖，大擺錘是一種大型的游樂設(shè)備，常見于各大游樂園.游客坐在圓形的座艙中，面向外.通常，大擺錘以壓肩作為安全束縛，配以安全帶作為二次保險.座艙旋轉(zhuǎn)的同時，懸掛座艙的主軸在電機的驅(qū)動下做單擺運動.大擺錘的運行可以使置身其上的游客驚心動魄.今年元旦，小明去某游樂園玩“大擺錘”，他坐在點處，“大擺錘”啟動后，主軸在平面內(nèi)繞點左右擺動，平面與水平地面垂直，擺動的過程中，點在平面內(nèi)繞點作圓周運動，并且始終保持，，已知，在“大擺錘”啟動后，下列個結(jié)論中正確的是______（請?zhí)钌纤姓_結(jié)論的序號）.
①點在某個定球面上運動；
②線段在水平地面上的正投影的長度為定值；
③直線與平面所成角的正弦值的最大值為；
④直線與平面所成角的正弦值的最大值為.
【答案】①③
【分析】
計算出為定值，可判斷命題①的正誤；過點作與水平地面垂直，設(shè)，考慮時線段在水平地面上的正投影的長度與的關(guān)系式，由此可判斷命題②的正誤；計算出點到平面距離的最大值，可計算出直線與平面所成角的正弦值，由此可判斷命題③④的正誤.
【詳解】
對于命題①，、均為定值，，，，
（定值），所以，點在某個定球面上運動，命題①正確；
對于命題②，過點作與水平地面垂直，設(shè)，
當時，如下圖所示：
則直線與水平地面所成的角為，所以，線段在水平地面上的正投影的長度為，不為定值，命題②錯誤；
對于命題③④，由于為定值，設(shè)點到平面的距離為，則，
所以，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，則命題③正確，命題④錯誤.
故答案為：①③.
【點睛】
本題考查立體幾何綜合，考查線面角的正弦值的計算、線段投影長度以及球面定義的應(yīng)用，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.
四、解答題
17．（2021·全國高三其他模擬）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如圖1所示．蜂房結(jié)構(gòu)是由正六棱柱截去三個相等的三棱錐，，，再分別以，，為軸將，，分別向上翻轉(zhuǎn)，使，，三點重合為點所圍成的曲頂多面體（下底面開口），如圖2所示．蜂房曲頂空間的彎曲度可用曲率來刻畫，定義其度量值等于蜂房頂端三個菱形的各個頂點的曲率之和，而每一頂點的曲率規(guī)定等于減去蜂房多面體在該點的各個面角之和（多面體的面角是多面體的面的內(nèi)角，用弧度制表示）．
（1）求蜂房曲頂空間的彎曲度；
（2）若正六棱柱的側(cè)面積一定，當蜂房表面積最小時，求其頂點的曲率的余弦值．
【答案】（1）；（2）；
【分析】
（1）根據(jù)蜂房曲頂空間的彎曲度的定義進行求解即可；（2）根據(jù)圖形結(jié)構(gòu)，設(shè)，接著將蜂房表面積表示成關(guān)于的函數(shù)，求導(dǎo)判斷函數(shù)取最小值時的值，進而求得的大小，最后求解頂點的曲率的余弦值即可.
【詳解】
（1）蜂房曲頂空間的彎曲度為頂端三個菱形的7個頂點的曲率之和，根據(jù)定義其度量值等于減去三個菱形的內(nèi)角和，再減去6個直角梯形中的兩個非直角內(nèi)角和，
即蜂房曲頂空間的彎曲度為.
（2）設(shè)底面正六邊形的邊長為1，
如圖所示，連接AC，SH，則，
設(shè)點在上底面ABCDEF的射影為O，則,
令，則，
菱形SAHC的面積，
的面積為，
令正六棱柱的側(cè)面積為定值時，
蜂房的表面積為，
，令得到，
經(jīng)研究函數(shù)的單調(diào)性，
得到函數(shù)在處取得極小值，
此時，
在中，令，
由余弦定理得,
頂點的曲率為，
其余弦值為.
【點睛】
本題主要考查立體幾何為背景的空間幾何體的表面積問題，中間涉及到新定義，根據(jù)新定義進行解決問題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，此題難度較大，對學(xué)生的能力要求較高，平時備考要多多注意提升學(xué)生的分析問題的能力.
18．（2021·重慶北碚區(qū)·西南大學(xué)附中高一期末）為了求一個棱長為的正四面體的體積，某同學(xué)設(shè)計如下解法.
解：構(gòu)造一個棱長為1的正方體，如圖1：則四面體為棱長是的正四面體，且有.
（1）類似此解法，如圖2，一個相對棱長都相等的四面體，其三組棱長分別為，，，求此四面體的體積；
（2）對棱分別相等的四面體中，，，.求證：這個四面體的四個面都是銳角三角形；
（3）有4條長為2的線段和2條長為的線段，用這6條線段作為棱且長度為的線段不相鄰，構(gòu)成一個三棱錐，問為何值時，構(gòu)成三棱錐體積最大，最大值為多少？
[參考公式：三元均值不等式及變形，當且僅當時取得等號]
【答案】（1）2；（2）證明見解析；（3）時,三棱錐體積有最大值為.
【分析】
（1）類比已知條件中的解法，構(gòu)造一個長方體，求出長方體的棱長，在由長方體的體積減去四個三棱錐體積即可得到答案；
（2）在四面體ABCD中，由已知可得四面體ABCD的四個面為全等三角形，設(shè)長方體的長、寬、高分別為a、b、c，證明△ABC為銳角三角形，即可證明這個四面體的四個面都是銳角三角形；
（3）當2條長為m的線段不在同一個三角形中，寫出三棱錐體積的表達式，利用基本不等式求最值.
【詳解】
（1）類似地，構(gòu)造一個長方體，
設(shè)從同一個頂點出發(fā)的三條棱的棱長分別為，則有：
，解得：
所以
即此四面體的體積為2.
（2）證明：
在四面體中，因為，，，
所以四面體的四個面都是全等的三角形，只需證明一個面為銳角三角形即可.
設(shè)長方體的長、寬、高分別為abc，則，，，
所以，
即，所以B為銳角；
同理可證：A為銳角，C為銳角，所以△ABC為銳角三角形.
所以這個四面體的四個面都是銳角三角形.
（3）因為長度為的線段不相鄰，所以2條長為m的線段不在同一個三角形中，如圖，
不妨設(shè)AD= BC= m，AB=BD=CD=AC=2，取BC的中點E，連接AE，DE，則AE⊥BC，DE⊥BC，而AE∩DE=E，∴BC⊥平面AED，則三棱錐的體積，
在△AED中,， AD=m，
所以，
所以
，
當且僅當，即時等號成立.
即時,三棱錐體積有最大值為.
【點睛】
（1）求幾何體體積的常用的方法有：①直接法；②等體積法；③補形法；④向量法；
（2）利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：“一正二定三相等”
① “一正”就是各項必須為正數(shù)；②“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；③“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方．