1.理解單擺模型和單擺做簡諧運(yùn)動的條件，知道單擺振動時(shí)回復(fù)力的來源(重點(diǎn))。2.知道影響單擺周期的因素，能熟練應(yīng)用單擺的周期公式解決有關(guān)問題(重點(diǎn))。
如圖，拉開擺球，使它偏離平衡位置一個(gè)小角度，然后放開，擺球?qū)⒀刂云胶馕恢肙為中點(diǎn)的一段圓弧 做往復(fù)運(yùn)動，這就是單擺的振動。討論下列問題。(1)單擺振動過程中，擺球在任意點(diǎn)P受幾個(gè)力作用？分別是什么力？
答案　小球受重力和細(xì)線拉力的作用
(2)若擺球在P點(diǎn)時(shí)，懸線與豎直方向的夾角為θ，則重力沿圓弧切線方向的分力為多大？
答案　如圖G1＝mgsin θ
1.定義：忽略懸掛小球的細(xì)線長度的 ，且線長比球的直徑 ，這樣的裝置就叫作單擺。2.理想化模型(1)細(xì)線的 與小球相比 。(2)小球的 與線的長度相比 。(3)擺線的 與擺線長度相比 。(4) 與擺球的重力及細(xì)線的拉力相比 。
3.單擺的回復(fù)力(1)回復(fù)力的來源：擺球的重力沿 方向的分力。(2)回復(fù)力的特點(diǎn)：在擺角很 時(shí)，擺球所受的回復(fù)力與它偏離平衡位置的位移成 ，方向總指向 ，即F＝ 。從回復(fù)力特點(diǎn)可以判斷單擺做簡諧運(yùn)動。
選取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，水平線為x軸，當(dāng)偏角θ很小時(shí)(θ為5°左右)弧線與x軸近似重合，試證明重力沿切線方向的分力滿足F＝－kx形式。
(2023·青島一中月考)圖中O點(diǎn)為單擺的固定懸點(diǎn)，現(xiàn)將擺球(可視為質(zhì)點(diǎn))拉至A點(diǎn)，此時(shí)細(xì)線處于張緊狀態(tài)，釋放擺球，擺球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)的A、C之間來回?cái)[動，B點(diǎn)為運(yùn)動中的最低位置，則在擺動過程中A.擺球受到重力、拉力、向心力、回復(fù)力四個(gè)力的作用B.擺球在A點(diǎn)和C點(diǎn)處，速度為零，合力與回復(fù)力也為零C.擺球在B點(diǎn)處，速度最大，細(xì)線拉力也最大D.擺球在B點(diǎn)處，速度最大，回復(fù)力也最大
擺球在運(yùn)動過程中只受到重力和拉力作用，A錯(cuò)誤；擺球在擺動過程中，在最高點(diǎn)A、C處速度為零，回復(fù)力最大，合力不為零，在最低點(diǎn)B處，速度最大，回復(fù)力為零，細(xì)線的拉力最大，C正確，B、D錯(cuò)誤。
(多選)如圖所示為一單擺的振動圖像，則A.t1和t3時(shí)刻擺線的拉力等大B.t2和t3時(shí)刻擺球速度相等C.t3時(shí)刻擺球速度正在減小D.t4時(shí)刻擺線的拉力正在減小
由題圖可知，t1和t3時(shí)刻擺球的位移相等，根據(jù)對稱性可知單擺振動的速度大小相等，故擺線拉力大小相等，故A正確；
t2時(shí)刻擺球在負(fù)的最大位移處，速度為零，t3時(shí)刻擺球向平衡位置運(yùn)動，所以t2和t3時(shí)刻擺球速度不相等，故B錯(cuò)誤；t3時(shí)刻擺球正靠近平衡位置，速度正在增大，故C錯(cuò)誤；t4時(shí)刻擺球正遠(yuǎn)離平衡位置，速度正在減小，擺線拉力也減小，故D正確。
如圖a、c所示，擺球質(zhì)量相同、擺長不同的單擺，擺動周期不同；如圖a、b所示，擺長相同而擺球質(zhì)量不同或振幅不同的單擺振動周期卻相同，這說明什么？
答案　這說明單擺的周期與擺長有關(guān)而與擺球質(zhì)量及振幅無關(guān)。
周期公式(1)提出：周期公式是荷蘭物理學(xué)家 首先提出的。(2)公式：T＝ ，即周期T與擺長l的二次方根成 ，與重力加速度g的二次方根成 ，而與振幅、擺球質(zhì)量 。
1.對周期公式的理解(1)單擺的周期公式在單擺偏角很小時(shí)(θ≤5°)成立。(2)公式中l(wèi)是擺長，即懸點(diǎn)到擺球球心的距離l＝l線＋r球。(3)公式中g(shù)是單擺所在地的重力加速度，由單擺所在的空間位置決定。(4)周期T只與l和g有關(guān)，與擺球質(zhì)量m及振幅無關(guān)，所以單擺的周期也叫固有周期。
2.等效擺長(1)圖(a)中，甲、乙在垂直紙面方向上擺動起來效果是相同的，甲擺的等效擺長為lsin α。其周期T＝ 。(2)圖(b)中，乙在垂直紙面方向擺動時(shí)，其等效擺長等于甲擺的擺長；乙在紙面內(nèi)小角度擺動時(shí)，等效擺長等于丙擺的擺長。
周期是2 s的單擺叫秒擺，秒擺的擺長是多少？把一個(gè)地球上的秒擺拿到月球上去，它在月球上做50次全振動要用多長時(shí)間？已知地球表面的重力加速度為9.8 m/s2，月球表面的自由落體加速度為1.6 m/s2。
答案　0.99 m　247.5 s
它在月球上做50次全振動所用的時(shí)間為
(多選)如圖甲是一個(gè)單擺振動的示意圖，O是它的平衡位置，B、C是擺球所能到達(dá)的最遠(yuǎn)位置，設(shè)擺球向右運(yùn)動為正方向，圖乙是這個(gè)單擺的振動圖像，由此可知A.單擺振動的頻率是1.25 HzB.t＝0時(shí)擺球位于B點(diǎn)C.t＝0.2 s時(shí)擺球位于平衡位置O， 加速度為零D.若當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣萭＝π2 m/s2，則這個(gè)單擺的擺長是0.16 m
由于規(guī)定擺球向右運(yùn)動為正方向，且B點(diǎn)為擺球所能到達(dá)的左邊最遠(yuǎn)位置，由振動圖像可判斷，t＝0時(shí)擺球位于B點(diǎn)，故B正確；由振動圖像可判斷，t＝0.2 s時(shí)擺球位于平衡位置O，但擺球受到的合力不為零，所以加速度不為零，故C錯(cuò)誤；
1.類單擺模型除了前面學(xué)習(xí)的單擺模型，有些物體的運(yùn)動規(guī)律與單擺的運(yùn)動類似，該類物體的運(yùn)動即為類單擺模型。如在光滑圓弧面上來回滾動的小球。
2.不同系統(tǒng)中的等效重力加速度在不同的運(yùn)動系統(tǒng)中，單擺周期公式中的g應(yīng)理解為等效重力加速度，其大小等于單擺相對系統(tǒng)靜止在平衡位置時(shí)的擺線拉力與擺球質(zhì)量的比值。
如圖所示，MN為半徑較大的光滑圓弧的一部分，把小球A放在MN的圓心處，再把另一個(gè)小球B放在MN上離最低點(diǎn)C很近的D處(弧BC所對圓心角小于5°)，今使兩小球同時(shí)靜止釋放，則A.球A先到達(dá)C點(diǎn)B.球B先到達(dá)C點(diǎn)C.兩球同時(shí)到達(dá)C點(diǎn)D.無法確定哪個(gè)球先到達(dá)C點(diǎn)
當(dāng)弧DC所對的圓心角小于5°時(shí)，球B在圓弧的支持力N和重力G的作用下做簡諧運(yùn)動(與單擺類似)，
因此球B運(yùn)動到C點(diǎn)所需的時(shí)間是
故tAg乙，將擺長縮短B.g甲g甲，為了增大周期，可以增大擺長，B正確。
5.(多選)惠更斯利用擺的等時(shí)性發(fā)明了帶擺的計(jì)時(shí)器，叫擺鐘。擺鐘運(yùn)行中克服摩擦所需的能量由重錘勢能提供，運(yùn)動的速率由鐘擺控制。旋轉(zhuǎn)鐘擺下端的螺母可以使擺上的圓盤沿?cái)[桿上下移動，如圖所示，下列說法正確的是A.當(dāng)擺鐘不準(zhǔn)時(shí)需要調(diào)整圓盤的上、下位置B.擺鐘快了應(yīng)使圓盤沿?cái)[桿上移C.由冬季變?yōu)橄募緯r(shí)應(yīng)使圓盤沿?cái)[桿上移D.把擺鐘從廣州移到北京應(yīng)使圓盤沿?cái)[桿上移
調(diào)整圓盤的上、下位置可改變擺長，從而達(dá)到調(diào)整周期的作用，A正確；若擺鐘變快，是因?yàn)橹芷谧冃?，?yīng)增大擺長，即下移圓盤，B錯(cuò)誤；
由冬季變?yōu)橄募?，擺桿變長，應(yīng)上移圓盤，C正確；從廣州到北京，g值變大，周期變小，應(yīng)增加擺長，即下移圓盤，D錯(cuò)誤。
6.(多選)甲、乙兩個(gè)單擺的振動圖像如圖所示，根據(jù)振動圖像可以判定A.若甲、乙兩單擺在同一地點(diǎn)擺動，甲、乙兩單擺擺長之比是9∶4B.甲、乙兩單擺振動的頻率之比是3∶2C.甲、乙兩單擺振動的周期之比是2∶3D.若甲、乙兩單擺在不同地點(diǎn)擺動，但 擺長相同，則甲、乙兩單擺所在地點(diǎn) 的重力加速度之比為9∶4
考點(diǎn)三　單擺模型的拓展7.如圖所示，表面光滑、半徑為R的圓弧形軌道AP與水平地面平滑連接，AP弧長為s，s?R。半徑為r的小球從A點(diǎn)靜止釋放，運(yùn)動到最低點(diǎn)P時(shí)速度大小為v，重力加速度為g，則小球從A運(yùn)動到P的時(shí)間是
因?yàn)锳P弧長為s，且s?R，所以小球做單擺運(yùn)動，
由題意可知，擺長為l＝R－r，小球從A運(yùn)動到P的時(shí)間為四分之一個(gè)周期，
8.(2023·江夏實(shí)驗(yàn)高中高二月考)一個(gè)單擺掛在電梯內(nèi)，發(fā)現(xiàn)單擺的周期增大為原來的2倍，則電梯的加速度a為
9.(多選)(2023·安慶一中月考)如圖所示，三根細(xì)線在O點(diǎn)處打結(jié)，A、B兩端固定在同一水平面上相距為L的兩點(diǎn)上，△AOB為直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC長為L，下端C點(diǎn)處系著一個(gè)小球(忽略小球的半徑，小球擺動時(shí)偏角θ＜5°)，下列說法正確的是
10.如圖所示，擺長為L的單擺，周期為T。如果在懸點(diǎn)O的正下方的B點(diǎn)固定一個(gè)光滑的釘子，OB的距離為OA長度的 ，使擺球A(半徑遠(yuǎn)小于L)通過最低點(diǎn)向左擺動，懸線被釘子擋住成為一個(gè)新的單擺，則下列說法中正確的是A.單擺在整個(gè)振動過程中的周期不變B.單擺在整個(gè)振動過程中的周期將變大為原來的 倍C.單擺的整個(gè)振動過程中的周期將變小為原來的D.單擺的整個(gè)振動過程中的周期無法確定
11.將一個(gè)擺長為l的單擺放在一個(gè)光滑且傾角為α的斜面上，其擺角為θ(θ＜5°)，如圖所示。小球質(zhì)量為m，重力加速度為g，下列說法正確的是A.擺球做簡諧運(yùn)動的最大回復(fù)力為mgsin θsin αB.擺球做簡諧運(yùn)動的最大回復(fù)力為mgsin θ
D.擺球在運(yùn)動過程中，經(jīng)過平衡位置時(shí)，擺線的拉力為FT＝mgsin α
回復(fù)力由重力沿斜面向下的分力的切向分力提供，重力沿斜面向下的分力為mgsin α，沿斜面向下的分力的切向分力的最大值為mgsin αsin θ，故A正確，B錯(cuò)誤；
擺球在運(yùn)動過程中，經(jīng)過平衡位置時(shí)，擺線的拉力和重力沿斜面向下的分力的合力提供向心力，故FT－mgsin α＝ ，故FT＞mgsin α，故D錯(cuò)誤。
12.(2023·金華十校調(diào)研)如圖甲所示，擺球在豎直平面內(nèi)做簡諧運(yùn)動，通過力傳感器測量擺線拉力F，F(xiàn)的大小隨時(shí)間t變化規(guī)律如圖乙所示，擺球經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度大小v＝ m/s，忽略空氣阻力，取g＝10 m/s2，π2≈g，求：(1)單擺的擺長l；
由題圖乙可知單擺周期為T＝2 s
當(dāng)拉力最大時(shí)，即F＝1.02 N擺球處在最低點(diǎn)
解得m＝0.1 kg。
(3)擺線拉力的最小值。
從最低點(diǎn)到最高點(diǎn)，由動能定理得
解得cs θ＝0.99在最高點(diǎn)擺線的拉力最小，最小值為F′＝mgcs θ＝0.99 N。
13.如圖所示，光滑的半球殼半徑為R，O點(diǎn)在球心O′的正下方，一小球甲(可視為質(zhì)點(diǎn))由距O點(diǎn)很近的A點(diǎn)由靜止釋放，R? ，不計(jì)空氣阻力。
(1)若小球甲釋放的同時(shí)，另一小球乙(可視為質(zhì)點(diǎn))從球心O′處自由落下，求兩球第一次到達(dá)O點(diǎn)的時(shí)間之比；
乙球做自由落體運(yùn)動，設(shè)到達(dá)O點(diǎn)的時(shí)間為t2，

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