1.知道什么是單擺、單擺做簡諧運動的條件及回復(fù)力的特點。(物理觀念)2.通過實驗探究單擺周期與擺長之間的關(guān)系。(科學(xué)探究)3.知道單擺的周期與擺長、重力加速度的關(guān)系,會用單擺周期公式進(jìn)行計算。(科學(xué)思維)
基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)
重難探究·能力素養(yǎng)全提升
學(xué)以致用·隨堂檢測全達(dá)標(biāo)
一、單擺及其運動規(guī)律1.單擺 理想化模型甲在如圖甲所示的裝置中,若忽略懸掛小球的細(xì)線　　　　的微小變化和質(zhì)量,且線長比球的直徑　　　　　　,這樣的裝置就叫作單擺。?
二、單擺的周期惠更斯研究了單擺的振動,發(fā)現(xiàn)在偏角很小的情況下,單擺做簡諧運動的周期T跟擺長l的二次方根成　　　　,跟重力加速度g的二次方根成　　　　,跟振幅、擺球的質(zhì)量無關(guān),并且確定了單擺做簡諧運動時的周期公式:
情境鏈接結(jié)合單擺模型的特點想一想,如圖所示裝置能否視為單擺,為什么?
提示 都不能。(1)中橡皮筋的伸縮不能忽略;(2)(3)中乒乓球和大木球擺動時,空氣阻力不能忽略,且(3)中不滿足繩長比球的直徑大得多的條件。
教材拓展閱讀教材P52“發(fā)展空間”的內(nèi)容,你認(rèn)為單擺的振動在什么情況下可用公式T=2π 計算周期?
提示 當(dāng)擺角小于5°時,單擺的實際周期T與理論計算周期T0相差不超過萬分之五,這時可用公式計算單擺的周期,當(dāng)擺角較大時,也可用公式粗略分析。
易錯辨析(1)單擺在任何情況下的運動都是簡諧運動。(　　)(2)單擺的振動周期由擺球的質(zhì)量和擺角共同決定。(　　)(3)當(dāng)單擺的擺球運動到最低點時,回復(fù)力為零,所受合力為零。(　　)(4)單擺的周期與擺球的質(zhì)量無關(guān)。(　　)
探究點一　單擺的回復(fù)力和運動規(guī)律的理解
導(dǎo)學(xué)探究如圖所示,小球和細(xì)線構(gòu)成一個做簡諧運動的單擺。運動過程中,什么力充當(dāng)了小球振動的回復(fù)力?單擺的回復(fù)力是否就是單擺所受的合力?單擺經(jīng)過平衡位置時,回復(fù)力為零,合力也為零嗎?
提示 重力沿圓弧切線方向的分力G1=mgsin θ提供了使擺球振動的回復(fù)力,如圖所示。單擺的回復(fù)力不是單擺所受的合外力。單擺經(jīng)過平衡位置時,回復(fù)力為零,但合力不為零。
知識歸納1.單擺的回復(fù)力如圖所示,重力G沿圓弧切線方向的分力G1=mgsin θ是沿擺球運動方向的力,正是這個力提供了使擺球振動的回復(fù)力,回復(fù)力F=G1=mgsin θ。
特別提示　(1)所謂平衡位置,是指擺球靜止時,擺線拉力與小球所受重力平衡的位置,并不是指擺動過程中受力平衡的位置。實際上,在擺動過程中,擺球受力不可能平衡。(2)回復(fù)力是由擺球受到的重力沿圓弧切線方向的分力F=mgsin θ提供的,不要認(rèn)為回復(fù)力是重力G與擺線拉力T的合力。
應(yīng)用體驗【例1】 關(guān)于單擺擺球在運動過程中的受力,下列結(jié)論正確的是(　　)A.擺球受重力、擺線的拉力、回復(fù)力、向心力作用B.擺球的回復(fù)力最大時,向心力為零;回復(fù)力為零時,向心力最大C.擺球的回復(fù)力最大時,擺線的拉力大小比擺球的重力大D.擺球的向心力最大時,擺球的加速度方向沿擺球的運動方向
解析 單擺在運動過程中,擺球受重力和擺線的拉力作用,故A項錯誤;擺球所受重力垂直于擺線方向的分力提供回復(fù)力,當(dāng)回復(fù)力最大時,擺球在最大位移處,速度為零,向心力為零,擺線的拉力等于重力沿擺線方向的分力大小,則拉力小于重力;在平衡位置處,擺球的回復(fù)力為零,速度最大,向心力最大,擺球的加速度方向沿擺線指向懸點,故C、D項錯誤,B項正確。
對點演練1關(guān)于單擺,下列說法正確的是(　　)A.擺球運動的回復(fù)力是它受到的合力B.擺球在運動過程中經(jīng)過軌跡上的同一點,加速度是不變的C.擺球在運動過程中加速度的方向始終指向平衡位置D.擺球經(jīng)過平衡位置時,加速度為零
解析 擺球的回復(fù)力為重力沿圓弧切線方向的分力,A錯誤;擺球在軌跡上同一點受力一致,故加速度是不變的,B正確;擺球在運動過程中還存在向心加速度,所以加速度方向并不指向平衡位置,C錯誤;擺球經(jīng)過最低點時,回復(fù)力為0,但合力提供向心力,有向心加速度,加速度不為零,D錯誤。
探究點二　對單擺周期公式的理解及應(yīng)用
導(dǎo)學(xué)探究有一擺鐘如圖甲所示,其鐘擺的結(jié)構(gòu)示意圖如圖乙所示,圓盤固定在擺桿上,螺母可以沿擺桿上下移動,從而改變等效擺長。已知北京的重力加速度約為9.801 m/s2,?？诘闹亓铀俣燃s為9.786 m/s2,若將在北京走時準(zhǔn)確的擺鐘移至?？?擺鐘還準(zhǔn)確嗎?
提示 將在北京走時準(zhǔn)確的擺鐘移至?？跁r,周期變大,即在?？诘臄[鐘擺動得比北京慢。若要調(diào)準(zhǔn),應(yīng)該將等效擺長減小,即可將螺母適當(dāng)向上移動。
知識歸納1.對單擺周期公式的理解(1)由于實際的單擺擺球不可能是質(zhì)點,所以擺長應(yīng)是從懸點到擺球(均質(zhì)
(3)單擺的周期與重力加速度g有關(guān),不同緯度、不同海拔高度處,同一單擺的周期不同。
2.對單擺擺長的認(rèn)識對于不規(guī)則的擺動物體或復(fù)合物體,擺長是指擺動軌跡圓弧的圓心到擺動物體重心的長度。常見等效擺長如下表:
3.等效重力加速度(1)重力加速度的理解:單擺周期公式中的g由單擺所在地的空間位置決定。由 =g知,在地球表面不同位置、不同高度g是不同的,在不同星球上g也不相同,因此應(yīng)求出單擺所在處的等效值g'代入公式,即g不一定等于9.8 m/s2。
(2)等效重力加速度:①若單擺系統(tǒng)處在多力存在的平衡態(tài),則一般情況下,g值等于擺球相對靜止在平衡位置時,擺線所受的拉力與擺球質(zhì)量的比值。如圖甲所示的斜面
②若單擺系統(tǒng)處在非平衡狀態(tài)(如加速、減速、完全失重狀態(tài)),單擺處在向上加速發(fā)射的航天器內(nèi),設(shè)航天器加速度為a,此時擺球處于超重狀態(tài),沿圓弧切線方向的回復(fù)力變大,擺球質(zhì)量不變,則重力加速度的等效值g'=g+a。
應(yīng)用體驗【例2】 (多選)如圖甲所示,O點為單擺的固定懸點,現(xiàn)將可視為質(zhì)點的小擺球拉至A點,細(xì)線處于張緊狀態(tài),由靜止釋放小擺球,則小擺球?qū)⒃谪Q直平面內(nèi)的A、B、C之間來回擺動,其中B點為運動中的最低位置,∠AOB= ∠COB=θ(θ小于5°且是未知量)。圖乙表示小擺球?qū)[線的拉力大小F隨時間t變化的曲線,且圖中t=0時刻為小擺球從A點開始運動的時刻。g取10 m/s2。下列說法正確的是(　　)A.單擺的振動周期為0.2π sB.可以算出單擺擺長C.在θ小于5°的情況下,θ越大,周期越大D.在θ小于5°的情況下,θ越大,運動過程中的最大速度越大
方法技巧　單擺模型及其問題的解答思路(1)單擺模型指符合單擺規(guī)律的運動模型。滿足以下條件:①圓弧運動;②小角度擺動;③回復(fù)力F=-kx。(2)首先確認(rèn)符合單擺模型的條件,然后尋找等效擺長l及等效重力加速度g,最后運用公式T=2π 或簡諧運動規(guī)律進(jìn)行分析、解答。
對點演練2如圖甲所示,擺長為L的單擺上端固定在天花板上的O點,在O點正下方相距l(xiāng)處有一固定的細(xì)鐵釘。將小球向右拉開一個約2°的小角度后由靜止釋放,使小球來回擺動。設(shè)小球相對于其平衡位置的水平位移為x,規(guī)定向右為正方向,則小球在開始的一個周期內(nèi)的x-t關(guān)系圖線如圖乙所示。以下關(guān)于l與L的關(guān)系正確的是(　　)
對點演練3如圖所示,表面光滑的固定圓弧軌道,最低點為P,弧長遠(yuǎn)小于R,現(xiàn)將可視為質(zhì)點的兩個小球從A、B兩點同時由靜止釋放,弧長AP大于BP,則(　　)A.兩球在P點相遇B.兩球在P點右側(cè)相遇C.兩球在P點左側(cè)相遇D.以上情況均有可能
解析 由于弧長遠(yuǎn)小于R,所以兩球的運動都可以看作是單擺,由單擺的等時性可知,兩球從釋放到最低點的時間都等于單擺周期T=2π 的四分之一,擺長l=R相等,所以兩球會同時到達(dá)P點,故A正確。
1.(單擺的回復(fù)力)單擺做小角度擺動,其振動圖像如圖所示,以下說法正確的是(　　)A.t1時刻擺球速度最大,擺球的回復(fù)力最大B.t2時刻擺球速度為零,懸線對它的拉力最小C.t3時刻擺球速度為零,擺球的回復(fù)力最大D.t4時刻擺球速度最大,懸線對它的拉力大小等于它的重力
解析 由題圖可知,在t1時刻和t3時刻擺球的位移最大,回復(fù)力最大,速度為零,懸線的拉力最小,A錯誤,C正確;在t2時刻和t4時刻擺球在平衡位置,速度最大,懸線的拉力最大,設(shè)懸線的拉力為F,擺球的速度為v,擺長為l,則F-mg=
2.(單擺的周期公式)(2023山東濟寧高二期末)如圖是甲、乙兩個單擺在同一地點做簡諧運動的振動圖像,由圖可知(　　)A.甲、乙兩個單擺的振幅之比是1∶2B.甲、乙兩個單擺的頻率之比是1∶2C.甲、乙兩個單擺的擺長之比是1∶4D.t=2 s時,甲單擺的擺線拉力為0,乙單擺的速度為0
解析 由圖像可知甲的振幅為2 cm,乙的振幅為1 cm,則甲、乙兩個單擺的振幅之比是2∶1,故A錯誤;由圖像可知甲的周期為4 s,乙的周期為8 s,則甲、
3.(單擺周期公式拓展)某同學(xué)在家偶然發(fā)現(xiàn)一根不可伸長的細(xì)線垂到窗沿,他想利用單擺原理粗測細(xì)線的總長度。先將線的下端系上一個小球,當(dāng)小球靜止時,細(xì)線恰好與窗子上沿接觸且保持豎直,球在最低點B時,球心到窗上沿的距離為1 m。他打開窗戶,讓小球在垂直于墻的豎直平面內(nèi)做小角度擺動,如圖所示。從小球第1次通過圖中的B點開始計時,到第31次通過B點共用時60 s,g取10 m/s2。根據(jù)以上數(shù)據(jù)可知細(xì)線的長度至少約為(　　)A.8 mB.9 mC.10 mD.20 m
4.(等效重力加速度)電場強度大小為E、方向豎直向上的勻強電場中,一長度為l的絕緣細(xì)線,一端固定于O點,另一端連接一質(zhì)量為m、電荷量為+q的小球(可視為質(zhì)點),小球靜止在圖中A點,細(xì)線繃緊?，F(xiàn)將小球拉至B點(∠AOB

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