一、單選題
1．（2022·新疆·烏魯木齊市第四十四中學(xué)九年級(jí)期末）如圖將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)B恰好落在上，若，則旋轉(zhuǎn)角為（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
2．（2023·江西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，那么圖中陰影部分的面積為( )
A．3B．C．D．
3．（2022·福建·閩清天儒中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，且，，三點(diǎn)在同一條直線上，若，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，P是平分線上一點(diǎn)，OP＝10，，在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中始終保持不變，其兩邊和OA，OB分別相交于M，N，下列結(jié)論：①是等邊三角形；②MN的值不變；③OM＋ON＝10；④四邊形PMON面積不變．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4B．3C．2D．1
5．（2021·江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校三模）將等邊與等邊的頂點(diǎn)B重合，如圖1放置，使D、E分別在、上，將等邊從圖1位置開(kāi)始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，如圖2，直線、相交于點(diǎn)P．若：，．給出如下結(jié)論：在等邊旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，①始終有；②當(dāng)點(diǎn)D落在內(nèi)部時(shí)，四邊形的面積為定值；③當(dāng)點(diǎn)B到直線的距離最大時(shí)，；④當(dāng)A、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，．上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
二、填空題
6．（2022·福建·廈門(mén)市華僑中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)110°，得到，若點(diǎn)落在線段的延長(zhǎng)線上，則大小為_(kāi)_____．
7．（2022·江蘇·泰興市實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)一模）如圖，在△ABC中，∠CAB＝40°，將△ABC在平面內(nèi)繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為_(kāi)____．
8．（2022·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)階段練習(xí)）將一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°；在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°）如圖①擺放，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)P，DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．將△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α（0°＜α＜60°），DE′交AC于點(diǎn)M，DF′交BC于點(diǎn)N，則＝________．
9．（2022·河北·衡水市第六中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，中，，，O為中點(diǎn)，將繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，（1）當(dāng)時(shí)，__________；（2）當(dāng)恰為軸對(duì)稱圖形時(shí)，的值為_(kāi)____________．
10．（2022·四川·成都市棕北中學(xué)二模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，以BG為邊在BC右側(cè)作正方形BEFG，直線AG，CE交于點(diǎn)P．現(xiàn)將正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．
（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，CE＝_____；
（2）當(dāng)正方形BEFG繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 _____．
11．（2022·內(nèi)蒙古·呼和浩特市教育教學(xué)研究中心一模）如圖所示，在中，，，，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，將繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使D、E旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、與點(diǎn)A三點(diǎn)共線，則以下判斷，其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_____．
①線段，②，③．
三、解答題
12．（2022·天津?yàn)I海新·九年級(jí)期中）如圖，將矩形繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，使點(diǎn)恰好落到線段上的點(diǎn)處，連接，連接交于點(diǎn)．
(1)求證：平分；
(2)取的中點(diǎn)，連接，求證：；
(3)若，求的長(zhǎng)．
13．（2022·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)期中）已知：正方形，以A為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)至，連接．
(1)若將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，如圖1所示，求的度數(shù)？
(2)若將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度至，求的度數(shù)？
(3)若將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度至，請(qǐng)分別求出、、三種情況下的的度數(shù)（圖2、圖3、圖4）．
14．（2021·新疆·烏魯木齊市第二十九中學(xué)九年級(jí)期中）在△ABC 與△EDC 中，∠ACB=∠ECD=60°，∠ABC=∠EDC，△EDC可以繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)，連接 AE，BD
(1)如圖 1
①若 BC=3DC，直接寫(xiě)出線段 BD 與線段 AE 的數(shù)量關(guān)系；
②求直線 BD 與直線 AE 所夾銳角的度數(shù)；
(2)如圖 2，BC=AC=3，當(dāng)四邊形 ADCE 是平行四邊形時(shí)，直接寫(xiě)出線段 DE 的長(zhǎng)
15．（2022·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐
如圖1所示，將一個(gè)長(zhǎng)為6寬為4的長(zhǎng)方形ABEF，裁成一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD和一個(gè)長(zhǎng)為4、寬為2的長(zhǎng)方形CEFD如圖2．現(xiàn)將小長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，旋轉(zhuǎn)角為α．
(1)當(dāng)點(diǎn)恰好落在EF邊上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90）的值；
(2)如圖3，G為BC中點(diǎn)，且0°＜α＜90°，求證：；
(3)小軍是一個(gè)愛(ài)動(dòng)手研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的孩子，他發(fā)現(xiàn)在小長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，與存在兩次全等，請(qǐng)你幫助小軍直接寫(xiě)出當(dāng)與全等時(shí)，旋轉(zhuǎn)角α的值．
16．（2022·天津市第五十五中學(xué)九年級(jí)期中）如圖1，在正方形中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，以為邊作正方形，連接．將正方形繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為．
(1)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，判斷與是否全等，并說(shuō)明理由；
(2)如圖3，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)P．
①求證：；
②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
17．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，正方形ABCD與正方形AEFG的邊長(zhǎng)分別為5和2，點(diǎn)E、G分別在邊AB和邊AD上，連接BG、DE，P為BG的中點(diǎn)，將正方形AEFG繞著點(diǎn)A從圖1位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度（）．
(1)當(dāng)A、G、B三點(diǎn)不共線時(shí)， ；（填“＞”、“＝”或“＜”）
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求的值；
(3)在正方形AEFG轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，
①求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)；
②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的的值．
18．（2022·河南商丘·九年級(jí)期末）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，，，，求的度數(shù)．
針對(duì)此問(wèn)題，數(shù)學(xué)王老師給出了下面的思路：如圖2，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連結(jié)，得到等邊三角形，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系以及勾股定理……請(qǐng)根據(jù)王老師的思路提示，完成本題的解答；
（2）類比延伸
如圖3，在正方形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P，若，試判斷線段PA、PB、PD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
19．（2022·廣東·豐順縣大同中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）有兩張完全重合的矩形紙片，小亮將其中一張繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 后得到矩形（如圖1），連接，此時(shí)他測(cè)得 ，．
(1)在圖1中，請(qǐng)你判斷直線和是否垂直？并證明你的結(jié)論；
(2)小紅同學(xué)用剪刀將與剪去，與小亮同學(xué)繼續(xù)探究．他們將 繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，交于點(diǎn)（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；
(3)若將沿方向平移得到（如圖3），與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求平移的距離是多少．
20．（2022·廣東·廣州市第一一三中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊分別交直線于M、N兩點(diǎn)，以點(diǎn)D為中心旋轉(zhuǎn)（的度數(shù)不變）
(1)如圖①，若，求證：；
(2)如圖②，若與不垂直，且點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N在邊上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由；
(3)如圖③，若與不垂直，且點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若不成立，寫(xiě)出之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
21．（2022·湖北省水果湖第一中學(xué)九年級(jí)期中）如圖1，中，，，點(diǎn)D、E分別在上，．將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，使得B、D、E三點(diǎn)共線．
(1)直接寫(xiě)出：_________________（用表示）；
(2)若，當(dāng)時(shí)，作于F，在圖2中畫(huà)出符合要求的圖形，并探究之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(3)如圖3，若，，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的最大值_________．
22．（2022·黑龍江黑河·九年級(jí)期末）如圖1所示，將一個(gè)長(zhǎng)為6寬為4的長(zhǎng)方形ABEF，裁成一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD和一個(gè)長(zhǎng)為4、寬為2的長(zhǎng)方形CEFD如圖2．現(xiàn)將小長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，旋轉(zhuǎn)角為a．
(1)當(dāng)點(diǎn)恰好落在EF邊上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角a的值；
(2)如圖3，G為BC中點(diǎn)，且0°＜a＜90°，求證：；
(3)小軍是一個(gè)愛(ài)動(dòng)手研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的孩子，他發(fā)現(xiàn)在小長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，與存在兩次全等，請(qǐng)你幫助小軍直接寫(xiě)出當(dāng)與全等時(shí)，旋轉(zhuǎn)角a的值．
23．（2022·江蘇宿遷·九年級(jí)期末）如圖①，和是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，點(diǎn)P為射線的交點(diǎn)．
(1)如圖②，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)C、D、E在同一條直線上時(shí)，連接、，求證：且．
(2)若，把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，
①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；
②旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段長(zhǎng)的最小值是_______．
24．（2022·山東棗莊·三模）【問(wèn)題背景】如圖1，點(diǎn)、分別在正方形的邊、上，，連接，我們可以通過(guò)把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到，容易證得：．

(1)【遷移應(yīng)用】如圖2，四邊形中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，，若、都不是直角，且，試探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
(2)【聯(lián)系拓展】如圖3，在中，，，點(diǎn)、均在邊BC上，且．猜想、、滿足的等量關(guān)系（直接寫(xiě)出結(jié)論，不需要證明）．
專題35 旋轉(zhuǎn)綜合題中的角度問(wèn)題
【題型演練】
一、單選題
1．（2022·新疆·烏魯木齊市第四十四中學(xué)九年級(jí)期末）如圖將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)B恰好落在上，若，則旋轉(zhuǎn)角為（ ）
A．30°B．35°C．40°D．45°
【答案】C
【分析】先求出，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性有，即可證明，即問(wèn)題得解．
【詳解】解：∵，
∴，
根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性有，
∵，，
∴，
∵，
∴，
即旋轉(zhuǎn)角度為40°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角形的外角的定義的知識(shí)，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
2．（2023·江西·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將邊長(zhǎng)為的正方形繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，那么圖中陰影部分的面積為( )
A．3B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)已知條件可證Rt△ABM≌Rt△C＇BM，只需算出三角形ABM的面積，用正方形面積減去2倍的△ABM的面積，即可算出陰影部分面積．
【詳解】解：如圖所示，連接BM，由旋轉(zhuǎn)可知，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=CB′，∠BAM=∠BC′M=90°，
又∵BM=BM，
所以在Rt△ABM與Rt△C′BM中，
所以Rt△ABM≌Rt△C＇BM（HL），
∵∠ABA＇=∠C＇BC=30°，
∴∠ABM＝∠C＇BM=30°，
∵AM=AB·tan30°=1，
∴，
∴四邊形ABC＇M的面積為：，且正方形ABCD面積為：，
∴陰影部分面積為：，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查割補(bǔ)法求面積，全等三角形，以及三角函數(shù)的應(yīng)用，能夠熟練利用割補(bǔ)法求面積是解決本題的關(guān)鍵．
3．（2022·福建·閩清天儒中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，且，，三點(diǎn)在同一條直線上，若，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度得到，可得，在中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得，從而算出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)．
【詳解】∵繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是，
∴，，
∴，，，
∴，
∴．
∵，，三點(diǎn)在同一條直線上，
∴在中，，
即，
∴，
解得．
∴旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的旋轉(zhuǎn)變換，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，P是平分線上一點(diǎn)，OP＝10，，在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中始終保持不變，其兩邊和OA，OB分別相交于M，N，下列結(jié)論：①是等邊三角形；②MN的值不變；③OM＋ON＝10；④四邊形PMON面積不變．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】B
【分析】如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．只要證明Rt△POE≌Rt△POF，△PEM≌△PFN，即可一一判斷．
【詳解】如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．
∵∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF+∠AOB=180°，
∵∠MPN+∠AOB=180°，
∴∠EPF=∠MPN，
∴∠EPM=∠FPN，
∵OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴PE=PF，
在Rt△POE和Rt△POF中，
，
∴Rt△POE≌Rt△POF（HL），
∴OE=OF，
在△PEM和△PFN中，
，
∴△PEM≌△PFN（ASA），
∴EM=NF，PM=PN，S△PEM=S△PNF，
∵
∴是等邊三角形，故①正確；
∵S△PEM=S△PNF，
∴S四邊形PMON=S四邊形PEOF=定值，故④正確；
∵OM+ON=OE+ME+OF-NF=2OE=10，故③正確；
∵M(jìn)，N的位置變化，
∴MN的長(zhǎng)度是變化的，故②錯(cuò)誤；
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．
5．（2021·江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校三模）將等邊與等邊的頂點(diǎn)B重合，如圖1放置，使D、E分別在、上，將等邊從圖1位置開(kāi)始繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，如圖2，直線、相交于點(diǎn)P．若：，．給出如下結(jié)論：在等邊旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，①始終有；②當(dāng)點(diǎn)D落在內(nèi)部時(shí)，四邊形的面積為定值；③當(dāng)點(diǎn)B到直線的距離最大時(shí)，；④當(dāng)A、D、E三點(diǎn)共線時(shí)，．上述結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)有（ ）
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】B
【分析】①利用等邊三角形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，證明△ADB≌△CEB即可判斷；②由①結(jié)論可得：四邊形BECD的面積=△ABC的面積-△ADC的面積，根據(jù)點(diǎn)D的軌跡判斷即可；③當(dāng)BD⊥AD時(shí)，B點(diǎn)到直線AD的距離最大；D點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，結(jié)合①結(jié)論利用勾股定理和三角函數(shù)解直角三角形即可；同理可求D點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)；④點(diǎn)D在點(diǎn)A、E之間時(shí)，結(jié)合①結(jié)論利用等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理解直角三角形即可；同理可求點(diǎn)E在點(diǎn)A、D之間時(shí)．
【詳解】解：①如圖，
∠ABC=∠DBE=60°，則∠ABC-∠DBC=∠DBE-∠DBC，
∴∠ABD=∠CBE，
AB=CB，DB=EB，
∴△ADB≌△CEB，
∴AD=CE，即①正確；
②如圖，連接CD，弧D1D2為D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)軌跡，
∵△ADB≌△CEB，
∴四邊形BECD的面積=△ABC的面積-△ADC的面積，
由D點(diǎn)軌跡可知：D點(diǎn)到線段AC的距離不是定值，
∴△ADC的面積不是定值，
∴四邊形BECD的面積不是定值，即②錯(cuò)誤；
③∵BD的長(zhǎng)度是定值，∴當(dāng)BD⊥AD時(shí)，B點(diǎn)到直線AD的距離最大，
D點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí)，如圖，過(guò)P作PF⊥DE于F，
∵BD⊥AD，∴，
∵△ADB≌△CEB，
∴AD=CE，∠ADB=∠CEB=90°，
∴∠PEF=∠CEB-∠DEB=30°，
∠PDE=∠PDB-∠EDB=30°，
∴PE=PD，
∵PF⊥DE，
∴EF=DE=，
∴PE==，
PC=CE-PE=；
D點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí)，如圖，過(guò)P作PF⊥DE于F，
同理可得CE=AD=，PE=，
PC=CE+PE=，
∴PC=，即③錯(cuò)誤；
④點(diǎn)D在點(diǎn)A、E之間時(shí)，如圖，過(guò)B點(diǎn)作BF⊥AE于點(diǎn)F，
△BDE是等邊三角形，BF⊥AE，則DF=DE=，BF=，
△ABF中，由勾股定理可得AF=，
∴AD=AF-DF=，
∵△ADB≌△CEB，
∴AD=CE=；
點(diǎn)E在點(diǎn)A、D之間時(shí)，如圖，過(guò)B點(diǎn)作BF⊥AE于點(diǎn)F，
同理可得△ADB≌△CEB，CE=AD= AF+DF=；
∴CE=；即④正確；
綜上所述①④正確，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，特殊角的三角函數(shù)；根據(jù)題意作出相應(yīng)的圖形是解題關(guān)鍵．
二、填空題
6．（2022·福建·廈門(mén)市華僑中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)110°，得到，若點(diǎn)落在線段的延長(zhǎng)線上，則大小為_(kāi)_____．
【答案】##35度
【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可求出的度數(shù)，此題得解．
【詳解】解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得：，
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·江蘇·泰興市實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)一模）如圖，在△ABC中，∠CAB＝40°，將△ABC在平面內(nèi)繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為_(kāi)____．
【答案】100°##100度
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出∠C′CA＝∠CAB＝40°，AC′＝AC，求出∠AC′C＝∠C′CA＝40°，根據(jù)三角形內(nèi)角和求出∠C′AC即可．
【詳解】解：∵CC′∥AB，∠CAB＝40°，
∴∠C′CA＝∠CAB＝40°，
∵將△ABC在平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△AB′C′的位置，
∴AC′＝AC，
∴∠AC′C＝∠C′CA＝40°，
∴∠C′AC＝180°?40°?40°＝100°，
即旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)是100°，
故答案為：100°．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．
8．（2022·江蘇無(wú)錫·九年級(jí)階段練習(xí)）將一副三角尺（在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°；在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠E＝45°）如圖①擺放，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)P，DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)C．將△DEF繞點(diǎn)D順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角α（0°＜α＜60°），DE′交AC于點(diǎn)M，DF′交BC于點(diǎn)N，則＝________．
【答案】##
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CD＝AD＝BD＝AB，根據(jù)等邊對(duì)等角求出∠ACD＝∠A，再求出∠ADC＝120°，再根據(jù)∠ADE＝∠ADC﹣∠EDF計(jì)算得30°，根據(jù)同角的余角相等求出∠PDM＝∠CDN，再根據(jù)然后求出△BCD是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BCD＝60°，再根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠CPD＝60°，從而得到∠CPD＝∠BCD，再根據(jù)兩組角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似判斷出△DPM和△DCN相似，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得結(jié)論．
【詳解】解：∵∠ACB＝90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，
∴CD＝AD＝BD＝AB，
∴∠ACD＝∠A＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣30°×2＝120°，
∴∠ADE＝∠ADC﹣∠EDF＝120°﹣90°＝30°；
∵∠EDF＝90°，
∴∠PDM+∠E′DF＝∠CDN+∠E′DF＝90°，
∴∠PDM＝∠CDN，
∵∠B＝60°，BD＝CD，
∴△BCD是等邊三角形，
∴∠BCD＝60°，
∵∠CPD＝∠A+∠ADE＝30°+30°＝60°，
∴∠CPD＝∠BCD，
∴△DPM∽△DCN，
∴＝，
∵∠ACD＝30°，∠CDP＝90°，
∴＝tan∠ACD＝tan30°＝，
∴＝．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是判斷出△MPD∽△NCD．
9．（2022·河北·衡水市第六中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，中，，，O為中點(diǎn)，將繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，（1）當(dāng)時(shí)，__________；（2）當(dāng)恰為軸對(duì)稱圖形時(shí)，的值為_(kāi)____________．
【答案】 40° 50°或65°或80°
【分析】（1）連接，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到，然后結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，然后根據(jù)外角的性質(zhì)得到，進(jìn)而求解即可；
（2）如圖1，連接，根據(jù)直角三角形的判定和性質(zhì)得到，當(dāng)時(shí)，得到，推出垂直平分，求得，于是得到，當(dāng)時(shí)，如圖2，連接并延長(zhǎng)交于H，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到垂直平分，求得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，當(dāng)時(shí)，如圖3，連接并延長(zhǎng)交于G，連接，推出垂直平分，得到，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到．
【詳解】（1）連接，
∵中，O為中點(diǎn)
∴
∵將繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）∵恰為軸對(duì)稱圖形，
∴是等腰三角形，
如圖1，連接，
∵O為斜邊中點(diǎn)，，
∴，
∴，
當(dāng)時(shí)，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，如圖2，連接并延長(zhǎng)交于H，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
當(dāng)時(shí)，如圖3，
連接并延長(zhǎng)交于G，連接，
∵，O為斜邊中點(diǎn)，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
綜上所述：當(dāng)恰為軸對(duì)稱圖形時(shí)，θ的值為50°或65°或80°，
故答案為：50°或65°或80°．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)的綜合運(yùn)用，熟練的運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半這一性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
10．（2022·四川·成都市棕北中學(xué)二模）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，以BG為邊在BC右側(cè)作正方形BEFG，直線AG，CE交于點(diǎn)P．現(xiàn)將正方形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．
（1）當(dāng)旋轉(zhuǎn)30°時(shí)，CE＝_____；
（2）當(dāng)正方形BEFG繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)為 _____．
【答案】
【分析】延長(zhǎng)CB,過(guò)點(diǎn)作,根據(jù)正方形的性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出，得到，,運(yùn)用勾股定理求得CE的長(zhǎng)；
當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)、、在一條直線上時(shí)，點(diǎn)到達(dá)最高點(diǎn)，連接、，求出；當(dāng)正方形旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)、、在一條直線上時(shí)，點(diǎn)到達(dá)最低點(diǎn)；連接、，求出，求得點(diǎn)運(yùn)動(dòng)弧所對(duì)圓心角，利用弧長(zhǎng)公式求解；
【詳解】（1）解：如圖，延長(zhǎng)CB過(guò)點(diǎn)作,
，，
，
∵AB＝4，點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
∴，
故答案為：；
（2）正方形，正方形，
，
，
，
，
，
，
同理可證，正方形繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，存在，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，，
，
，
，
如圖：
當(dāng)點(diǎn)、、在同一直線上時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，
，
，
，
，
，
，
同理可得，當(dāng)點(diǎn)、、在同一直線上時(shí)，，
所以點(diǎn)路徑對(duì)應(yīng)的圓心角是，
；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定及性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是畫(huà)出圖形，作輔助線構(gòu)造直角三角形，結(jié)合勾股定理進(jìn)行計(jì)算求解．解題時(shí)注意分類討論思想的運(yùn)用．
11．（2022·內(nèi)蒙古·呼和浩特市教育教學(xué)研究中心一模）如圖所示，在中，，，，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AB的中點(diǎn)，將繞著點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使D、E旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)、與點(diǎn)A三點(diǎn)共線，則以下判斷，其中正確結(jié)論的序號(hào)為_(kāi)_____．
①線段，②，③．
【答案】①②③
【分析】根據(jù)題意，是的中點(diǎn)，則在以為圓心的半徑的圓上，進(jìn)而即可求解．
【詳解】解：依題意，是的中點(diǎn)，則在以為圓心的半徑的圓上，如圖，
，
，
設(shè)，
則，
，
，
，
故①成立
，
，
，
，
故②成立
又
故③正確
故答案為：①②③
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓周角相等，直角所對(duì)的弦是直徑，相似三角形的性質(zhì)與判定，求一個(gè)角的正切，證明在以為圓心的半徑的圓上是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
12．（2022·天津?yàn)I海新·九年級(jí)期中）如圖，將矩形繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，使點(diǎn)恰好落到線段上的點(diǎn)處，連接，連接交于點(diǎn)．
(1)求證：平分；
(2)取的中點(diǎn)，連接，求證：；
(3)若，求的長(zhǎng)．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)見(jiàn)解析
(3)的長(zhǎng)為
【分析】（1）通過(guò)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，再利用矩形的性質(zhì)證明即可．
（2）過(guò)點(diǎn)作于，利用角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等得到，再利用旋轉(zhuǎn)及矩形的性質(zhì)得到≌，得到點(diǎn)是中點(diǎn)，利用中位線的性質(zhì)解題即可．
（3）過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)作于，利用含的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理計(jì)算即可．
【詳解】（1）證明：將矩形繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到矩形，使點(diǎn)恰好落到線段上的點(diǎn)處，
，
，
，
，
，
平分；
（2）證明：過(guò)點(diǎn)作于，如圖：

平分，，，
，
，
，，，
≌，
，即點(diǎn)是中點(diǎn)，
點(diǎn)是中點(diǎn)，
是的中位線，
∴；
（3）解：過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)作于，如圖：

，
，
，
，
，
，
，，
在中，
，
的長(zhǎng)為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，涉及到三角形全等的判定及性質(zhì)，矩形的的性質(zhì)，勾股定理，能夠熟練運(yùn)用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)并結(jié)合其他幾何性質(zhì)添加輔助線和證明是解題關(guān)鍵．
13．（2022·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)期中）已知：正方形，以A為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)至，連接．
(1)若將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，如圖1所示，求的度數(shù)？
(2)若將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度至，求的度數(shù)？
(3)若將逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度至，請(qǐng)分別求出、、三種情況下的的度數(shù)（圖2、圖3、圖4）．
【答案】(1)
(2)
(3)，，
【分析】（1）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)可知，再根據(jù)等邊對(duì)等角，即可求出的度數(shù)；
（2）用和（1）一樣的方法即可進(jìn)行證明；
（3）分為三種情況，分別將的度數(shù)表示出來(lái)，再根據(jù)角度之間的和差關(guān)系即可進(jìn)行解答．
【詳解】（1）解：∵順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，
∴，，
∴，
∵四邊形為正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（2）∵順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，
∴，，
∴，
∵四邊形為正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
（3）①當(dāng)時(shí)，
∵逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，
∴，，
∴，
∵四邊形為正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
②當(dāng)時(shí)，
∵逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，
∴，，
∵四邊形為正方形，
∴，，
∴，即點(diǎn)P、A、B三點(diǎn)共線，
∴．
③當(dāng)時(shí)，
∵逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，
∴，，
∴，
∵四邊形為正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，圖形的旋轉(zhuǎn)變化，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形四邊都相等，四個(gè)角都是直角；旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)邊相等；等腰三角形等邊對(duì)等角．
14．（2021·新疆·烏魯木齊市第二十九中學(xué)九年級(jí)期中）在△ABC 與△EDC 中，∠ACB=∠ECD=60°，∠ABC=∠EDC，△EDC可以繞點(diǎn) C 旋轉(zhuǎn)，連接 AE，BD
(1)如圖 1
①若 BC=3DC，直接寫(xiě)出線段 BD 與線段 AE 的數(shù)量關(guān)系；
②求直線 BD 與直線 AE 所夾銳角的度數(shù)；
(2)如圖 2，BC=AC=3，當(dāng)四邊形 ADCE 是平行四邊形時(shí)，直接寫(xiě)出線段 DE 的長(zhǎng)
【答案】(1)①BD=3AE，②直線BD與AE所夾銳角為60°
(2)
【分析】（1）①通過(guò)△ABC∽△EDC證明△AEC∽△BDC即可，②延長(zhǎng)AE與BD交于點(diǎn)F，通過(guò)（1）中的相似即可得出結(jié)果．
（2）連接AD，AE，通過(guò)（1）中的相似可以證明四邊形ADCE為菱形，進(jìn)而得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：①BD=3AE
∵在△ABC和△EDC中

∴△ABC∽△EDC
∴∠DCE=∠BCA，
∴∠DCE-∠BCE=∠ACB-∠BCE
∠BCD=∠ACE.
在△AEC和△BDC中

∴△AEC∽△BDC

∴BD=3AE
②夾角為60°
如圖，延長(zhǎng)AE與BD交于點(diǎn)F
∵∠ACB=60°
∴∠CBA+∠CAB=120°
由（1）中△AEC∽△BDC
可得∠EAC=∠DBC
∴∠DBC+∠CBA+∠BAE=120°
∴在△AFB中∠AFB=60°
∴直線BD與AE所夾銳角為60°
（2）
解：如圖，連接AD，AE，∵∠ACB=60°，BC=AC，
∴△ABC是等邊三角形
由（1）可得△ABC∽△EDC
∴△DEC為等邊三角形，
∴DC=EC
∵四邊形ADCE是平行四邊形
∴平行四邊形ADCE是菱形
∵AC為菱形ADCE對(duì)角線
∴
∴
【點(diǎn)睛】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，涉及三角形相似的證明，菱形的證明，能夠熟練證明相似是解題關(guān)鍵．
15．（2022·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐
如圖1所示，將一個(gè)長(zhǎng)為6寬為4的長(zhǎng)方形ABEF，裁成一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD和一個(gè)長(zhǎng)為4、寬為2的長(zhǎng)方形CEFD如圖2．現(xiàn)將小長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，旋轉(zhuǎn)角為α．
(1)當(dāng)點(diǎn)恰好落在EF邊上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90）的值；
(2)如圖3，G為BC中點(diǎn)，且0°＜α＜90°，求證：；
(3)小軍是一個(gè)愛(ài)動(dòng)手研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的孩子，他發(fā)現(xiàn)在小長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，與存在兩次全等，請(qǐng)你幫助小軍直接寫(xiě)出當(dāng)與全等時(shí)，旋轉(zhuǎn)角α的值．
【答案】(1)30°
(2)見(jiàn)解析
(3)135°；315°
【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，在Rt△中，，，則，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到旋轉(zhuǎn)角α的值；
（2）由為中點(diǎn)可得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，則，然后根據(jù)“SAS”，可判斷，則；
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)得，而，則為腰相等的兩等腰三角形，當(dāng)兩頂角相等時(shí)它們?nèi)?，?dāng)與為鈍角三角形時(shí)，可計(jì)算出，當(dāng)與為銳角三角形時(shí)，可計(jì)算出．
（1）
解：∵長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，
∴，
在Rt△中，，，
∴，
∵，
∴；
（2）
證明：∵為中點(diǎn)，
∴，
∴，
∵長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，
∴，，
∴，
在中，
，
∴（SAS），
∴；
（3）
解：∵四邊形為正方形，
∴，
∵，
∴為腰相等的兩等腰三角形，
當(dāng)時(shí)， ，
當(dāng)與為鈍角三角形時(shí)，
則，
當(dāng)與為銳角三角形時(shí)，
，
則，
綜上旋轉(zhuǎn)角α的值為135°或315°．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形和矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題關(guān)鍵是掌握旋轉(zhuǎn)前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系．
16．（2022·天津市第五十五中學(xué)九年級(jí)期中）如圖1，在正方形中，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，以為邊作正方形，連接．將正方形繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為．
(1)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，判斷與是否全等，并說(shuō)明理由；
(2)如圖3，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)P．
①求證：；
②在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)．理由見(jiàn)解析
(2)①見(jiàn)解析；②存在，的最大值為
【詳解】（1）如圖2中，結(jié)論：．
證明：∵四邊形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴（SAS）．
（2）①證明：如圖3中，設(shè)交于O．
∵，
∴，
∵，
∴在與中
，
∴．
②存在
∵，是定值，
∴當(dāng)最小時(shí)，的值最大，
∴當(dāng)時(shí)，的值最小，此時(shí)的值最大，此時(shí)點(diǎn)F與P重合，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值為．
【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)尋找特殊位置解決最值問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．
17．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，正方形ABCD與正方形AEFG的邊長(zhǎng)分別為5和2，點(diǎn)E、G分別在邊AB和邊AD上，連接BG、DE，P為BG的中點(diǎn)，將正方形AEFG繞著點(diǎn)A從圖1位置順時(shí)針旋轉(zhuǎn)度（）．
(1)當(dāng)A、G、B三點(diǎn)不共線時(shí)， ；（填“＞”、“＝”或“＜”）
(2)如圖2，當(dāng)時(shí)，求的值；
(3)在正方形AEFG轉(zhuǎn)動(dòng)一周的過(guò)程中，
①求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)；
②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的的值．
【答案】(1)＝
(2)
(3)①；
②45°、135°、225°、315°．
【分析】（1）根據(jù)三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形，可得結(jié)論．
（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AD交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過(guò)G作GI⊥AB于點(diǎn)I．證明△AHE≌△AIG（AAS），推出EH=GI，可得結(jié)論；
（3）①如圖3中，取AB的中點(diǎn)O，連接OP．利用三角形中位線定理，證明OP=1，可得結(jié)論；
②分兩種情形：如圖4中，當(dāng)點(diǎn)G在AB的右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H．如圖5中，當(dāng)點(diǎn)G在AB的左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H．分別證明△AGH是等腰直角三角形，可得結(jié)論．
【詳解】（1）解：在△ABG中，PB=PG，
∴S△AGP=S△ABP，
故答案為：=；
（2）如圖2中，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AD交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過(guò)G作GI⊥AB于點(diǎn)I．
∵四邊形ABCD是正方形，四邊形AEFG是正方形，
∴AB=AD，AG=AE，∠EAG=∠BAH=90°，
∴∠EAH=∠GAI，
在△AHE和△AIG中，
，
∴△AHE≌△AIG（AAS），
∴EH=GI，
∵S△ABG=?AB?GI，S△ADE=?AD?EH，
∴S△ABG=S△ADE，
∵PB=PG，
∴S△ABP=S△AGB=S△ADE，
∴；
（3）①如圖3中，取AB的中點(diǎn)O，連接OP．
∵PB=PG，AO=OB，
∴OP=AG=1，
∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)為圓心，OP為半徑的圓，
∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為2π×1=2π；
②如圖4中，當(dāng)點(diǎn)G在AB的右側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H．
∵S△ABG=2S△ABP，
∴，
∴，
∴
∴AH=GH，
∠GAH=45°，
∴α=45°；
如圖5中，當(dāng)點(diǎn)G在AB的左側(cè)時(shí)，過(guò)點(diǎn)G作GH⊥AB于點(diǎn)H．同法可得∠GAH=45°，
∴α=135°，
當(dāng)AG在AD的上方時(shí)，同法可得α=225°或315°．
綜上所述，滿足條件的α的值為45°或135°或225°或315°．
【點(diǎn)睛】本題考查了四邊形綜合，正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問(wèn)題．
18．（2022·河南商丘·九年級(jí)期末）（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)
如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)部有一點(diǎn)P，，，，求的度數(shù)．
針對(duì)此問(wèn)題，數(shù)學(xué)王老師給出了下面的思路：如圖2，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，連結(jié)，得到等邊三角形，在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系以及勾股定理……請(qǐng)根據(jù)王老師的思路提示，完成本題的解答；
（2）類比延伸
如圖3，在正方形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P，若，試判斷線段PA、PB、PD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】（1）；（2），理由見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理可得到為直角三角形，且，即可得到∠APB的度數(shù)；
（2）把△ADP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀可得，然后求出是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出再求出，然后利用勾股定理得出等量代換得出．
【詳解】解：（1）如圖2，將△APC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到，連結(jié)，
則為等邊三角形．
∴
∴
∴為直角三角形．
∴∠APB的度數(shù)為90°+60°=150°．
故答案為：直角；150°；
（2）2PA2+PD2=PB2．理由如下：
如圖3，把△ADP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABP′，
連結(jié)． 則
∴是等腰直角三角形，
∴
∵∠APD=135°，
∴，
∴，
在Rt中，由勾股定理得，

∴．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后的兩個(gè)圖形全等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．也考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理的逆定理的應(yīng)用．
19．（2022·廣東·豐順縣大同中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）有兩張完全重合的矩形紙片，小亮將其中一張繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 后得到矩形（如圖1），連接，此時(shí)他測(cè)得 ，．
(1)在圖1中，請(qǐng)你判斷直線和是否垂直？并證明你的結(jié)論；
(2)小紅同學(xué)用剪刀將與剪去，與小亮同學(xué)繼續(xù)探究．他們將 繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，交于點(diǎn)（如圖2），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為，當(dāng)為等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；
(3)若將沿方向平移得到（如圖3），與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求平移的距離是多少．
【答案】(1)垂直，理由見(jiàn)解析
(2)或
(3)平移的距離是
【分析】（1）有兩張完全重合的矩形紙片，將其中一張繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到矩形，得，，推出，，進(jìn)而可得的大小
（2）分兩種情形討論①當(dāng)，時(shí)，②當(dāng)時(shí)，時(shí)，均可根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出結(jié)論
（3）求平移的距離是的長(zhǎng)度．在矩形中，，只要求出的長(zhǎng)度就行．用得出對(duì)應(yīng)線段成比例，即可得到的大?。?br>【詳解】（1）垂直．下面證明：
延長(zhǎng)交于點(diǎn)．
由題意得．
．
，
．
．
．
（2）當(dāng)時(shí)，，
則，即；
當(dāng)時(shí)，，
∴
∴，即；
∴的度數(shù)為或
（3）由題意知四邊形為矩形．
設(shè)，則．
在 中，
，．
，．
．
在中，，
．
，
，
，
解得
即平移的距離是 ．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用運(yùn)用．在利用相似三角形的性質(zhì)時(shí)注意使用相等線段的代換以及注意分類思想的運(yùn)用．
20．（2022·廣東·廣州市第一一三中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，是等邊三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作一個(gè)的角，角的兩邊分別交直線于M、N兩點(diǎn)，以點(diǎn)D為中心旋轉(zhuǎn)（的度數(shù)不變）
(1)如圖①，若，求證：；
(2)如圖②，若與不垂直，且點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N在邊上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？并說(shuō)明理由；
(3)如圖③，若與不垂直，且點(diǎn)M在邊上，點(diǎn)N在邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）中的結(jié)論是否成立？若不成立，寫(xiě)出之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)成立，理由見(jiàn)解析
(3)不成立，，理由見(jiàn)解析
【分析】（1）證明得出，，然后根據(jù)含30度的直角三角形性質(zhì)得出，，最后代入化簡(jiǎn)即可得證；
（2）過(guò)D作于E，于F，通過(guò)證明，得出，然后利用（1）的結(jié)論解答即可；
（3）過(guò)D作于E，于F，利用（1）（2）的結(jié)論解答即可．
【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，
∴，
∵點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，，
∴；
即；
（2）解：．
理由：如圖②，過(guò)D作于E，于F，
由（1）知：，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
即；
（3）解：．
理由：如圖③，過(guò)D作于E，于F，
，
由（2）知：，
∴，
由（1）知：，
∴，
即．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形判斷與性質(zhì)，含30度直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，添加合適輔助線，構(gòu)造三角形全等是解題的關(guān)鍵．
21．（2022·湖北省水果湖第一中學(xué)九年級(jí)期中）如圖1，中，，，點(diǎn)D、E分別在上，．將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)度，使得B、D、E三點(diǎn)共線．
(1)直接寫(xiě)出：_________________（用表示）；
(2)若，當(dāng)時(shí)，作于F，在圖2中畫(huà)出符合要求的圖形，并探究之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
(3)如圖3，若，，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的最大值_________．
【答案】(1)
(2)，圖見(jiàn)解析
(3)
【分析】（1）畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形后，證明，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可解答；
（2）畫(huà)出對(duì)應(yīng)圖形后，根據(jù)可得，再根據(jù)，即可得出結(jié)論；
（3）求證，可確定點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡，再根據(jù)垂徑定理可求出的長(zhǎng)度，最后根據(jù)三角形的面積公式，將分為兩個(gè)三角形的面積和即可．
【詳解】（1）解：連接，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
（2）解：如圖：
∵，，
∴為等邊三角形，
∴，
∵，
∴，則，
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴．
（3）如圖，連接點(diǎn)E和中點(diǎn)，交于點(diǎn)F．
∵，
∴，
∵，
∴，則，
∵，
∴A、B、C、E四點(diǎn)共圓，為直徑，
故點(diǎn)E在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，
∵，
∴點(diǎn)E在上運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，最大，
∵，，，
∴，
∴，
∵點(diǎn)E為的中點(diǎn)時(shí)，
∴且平分，
∴，
∵點(diǎn)O為，點(diǎn)F為中點(diǎn)，
∴，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及圓的相關(guān)內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)前后對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，以及垂徑定理和直徑所對(duì)的圓周角等于90°．
22．（2022·黑龍江黑河·九年級(jí)期末）如圖1所示，將一個(gè)長(zhǎng)為6寬為4的長(zhǎng)方形ABEF，裁成一個(gè)邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD和一個(gè)長(zhǎng)為4、寬為2的長(zhǎng)方形CEFD如圖2．現(xiàn)將小長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，旋轉(zhuǎn)角為a．
(1)當(dāng)點(diǎn)恰好落在EF邊上時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角a的值；
(2)如圖3，G為BC中點(diǎn)，且0°＜a＜90°，求證：；
(3)小軍是一個(gè)愛(ài)動(dòng)手研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的孩子，他發(fā)現(xiàn)在小長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中，與存在兩次全等，請(qǐng)你幫助小軍直接寫(xiě)出當(dāng)與全等時(shí)，旋轉(zhuǎn)角a的值．
【答案】(1)30°
(2)見(jiàn)解析
(3)135°，315°
【分析】（1）由含30°角的直角三角形的性質(zhì)可知∠CD′E=30°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)即得出∠α=30°；
（2）由題意可得出CE=CE′=CG=2，由矩形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出∠GCD′=∠DCE′=90°+α，進(jìn)而可利用“SAS”證明△GCD′≌△E′CD，即得出GD′=E′D；
（3）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得CB=CD，而，則和為腰相等的兩個(gè)等腰三角形，所以當(dāng)兩個(gè)三角形頂角相等時(shí)它們?nèi)龋俜诸愑懻摙佼?dāng)和為鈍角三角形時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角；②當(dāng)和為銳角三角形時(shí)，則．
（1）
∵長(zhǎng)為4，寬為2的長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，
∴CD′=CD=4，
在Rt△CED′中，CD′=4，CE=2，
∴∠CD′E=30°，
∵CD∥EF，
∴∠α=30°；
（2）
證明：∵G為BC中點(diǎn)，BC=4，
∴CG=2，
∴CG=CE．
∵長(zhǎng)方形CEFD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至CE′F′D′，
∴∠D′CE′=∠DCE=90°，CE=CE′=CG，CD′=CD，
∴∠GCD′=∠DCE′=90°+α，
在△GCD′和△E′CD中，
∴△GCD′≌△E′CD（SAS），
∴GD′=E′D；
（3）
∵四邊形ABCD為正方形，
∴CB=CD．
∵，
∴和為腰相等的兩個(gè)等腰三角形，
∴當(dāng)時(shí)，，
①當(dāng)和為鈍角三角形時(shí)，則旋轉(zhuǎn)角；
②當(dāng)和為銳角三角形時(shí)，，則．
綜上可知當(dāng)旋轉(zhuǎn)角的值為和時(shí)．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形、正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．
23．（2022·江蘇宿遷·九年級(jí)期末）如圖①，和是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，點(diǎn)P為射線的交點(diǎn)．
(1)如圖②，將繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)C、D、E在同一條直線上時(shí)，連接、，求證：且．
(2)若，把繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，
①當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)；
②旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段長(zhǎng)的最小值是_______．
【答案】(1)見(jiàn)解析
(2)①或；②
【分析】（1）證明，可得，，再由，可得．再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，即可求證；
（2）①分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)；當(dāng)點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上時(shí)，即可求解；②以A為圓心為半徑畫(huà)圓，當(dāng)在下方與相切時(shí)，的值最小．根據(jù)勾股定理可得，再證得四邊形是矩形，可得，即可求解．
（1）解：如圖，∵和是等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∵，∴，即．在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴；
（2）解：①如圖，當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí)，．∵，AE=4，AC=8，∴，同（1）可證．∴．∵，∴．∴，∴，∴．如圖，當(dāng)點(diǎn)E在延長(zhǎng)線上時(shí)，．∵，∴，同（1）可證：，∴，∵，∴，∴，∴，∴．綜上．或．②如圖，以A為圓心為半徑畫(huà)圓，當(dāng)在下方與相切時(shí)，的值最小．理由：設(shè)AB交PC于點(diǎn)M，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE，∴∠ABD=∠ACE，∠ADP=∠AEC=∠AEP=90°，BD=CE，∵∠BMP=∠AMC，∴∠BPM=∠CAB=90°，∴是直角三角形，∵斜邊為定值，∴最小，因此最小，∵，∴，∴，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∴．綜上所述，長(zhǎng)的最小值是
【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，切線的性質(zhì)，解直角三角形，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
24．（2022·山東棗莊·三模）【問(wèn)題背景】如圖1，點(diǎn)、分別在正方形的邊、上，，連接，我們可以通過(guò)把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到，容易證得：．

(1)【遷移應(yīng)用】如圖2，四邊形中，，，點(diǎn)、分別在邊、上，，若、都不是直角，且，試探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
(2)【聯(lián)系拓展】如圖3，在中，，，點(diǎn)、均在邊BC上，且．猜想、、滿足的等量關(guān)系（直接寫(xiě)出結(jié)論，不需要證明）．
【答案】(1)，理由見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到，證明，進(jìn)而即可得到結(jié)論；
（2）把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到，連接DF，證明，從而得，進(jìn)而即可得到結(jié)論．
（1）
解：數(shù)量關(guān)系是，
理由如下：由題意得，，，
把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到，如圖2所示，
則，，，
∵，
∴，
∴點(diǎn)、、在同一條直線上；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）
解：數(shù)量關(guān)系是，
理由如下：把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到，連接DF，如圖3所示，
∴，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴DF=DE，
∵，AB=AC，
∴，
∴，
∴，
∴是直角三角形，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是正確畫(huà)出圖形．

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