中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題17最值問題中的將軍飲馬模型(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

【模型證明】
【題型演練】
一、單選題
1．如圖，正方形ABCD的邊長是4，點E是DC上一個點，且DE＝1，P點在AC上移動，則PE＋PD的最小值是（）
A．4B．4.5C．5.5D．5
2．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M在DC上，且DM=1，N是AC上一動點，則DN+MN的最小值為（）
A．4B．C．D．5
3．如圖，矩形中，，點是矩形內(nèi)一動點，且，則的最小值是（）
A．B．
C．D．
4．如圖，等邊△ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是邊AC上一點，若AE＝2，則EM＋CM的最小值為（）
A．B．3C．2D．4
5．已知線段AB及直線l，在直線上確定一點，使最小，則下圖中哪一種作圖方法滿足條件（）．
A．B．
C．D．
6．如圖，點M是菱形ABCD的邊BC的中點，P為對角線BD上的動點，若AB＝2，∠A＝120°，則PM＋PC的最小值為（）
A．2B．C．D．1
7．如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點，直線l經(jīng)過點D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（）
A．B．2C．2D．3
8．如圖，凸四邊形中，，若點M、N分別為邊上的動點，則的周長最小值為（）
A．B．C．6D．3
二、填空題
9．在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常會看到許多“標(biāo)準(zhǔn)”的矩形，如我們的課本封面、A4的打印紙等，其實這些矩形的長與寬之比都為，我們不妨就把這樣的矩形稱為“標(biāo)準(zhǔn)矩形”，在“標(biāo)準(zhǔn)矩形”中，如圖所示，點在上，且，若為邊上一動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，則的值為______．
10．如圖，點是內(nèi)任意一點，，點和點分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是______．
11．如圖，等邊的邊長為4，點是邊的中點，點是的中線上的動點，則的最小值是_____．
12．如圖，正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上且DM＝2，N是AC上的一動點，則DN＋MN的最小值是______．
13．如圖所示，在中，，直線EF是AB的垂直平分線，D是BC的中點，M是EF上一個動點，的面積為12，，則周長的最小值是_______________．
14．如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點M、N，使△AMN的周長最小，則∠MAN＝_____°．
15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，把邊AB沿對角線BD平移，點A′，B′分別對應(yīng)點A，B給出下列結(jié)論：
①順次連接點A′，B′，C，D的圖形是平行四邊形；
②點C到它關(guān)于直線AA′的對稱點的距離為50；
③A′C﹣B′C的最大值為15；
④A′C+B′C的最小值為9．
其中正確結(jié)論的序號是______________
16．如圖，O為矩形ABCD對角線AC，BD的交點，AB=8，M，N是直線BC上的動點，且MN=2，則OM+ON的最小值是____________．
17．如圖，菱形ABCD 的邊長為6，∠ABC＝120°，M是BC邊的一個三等分點，P是對角線AC上的動點，當(dāng) PB＋PM 的值最小時，PM的長是________．
三、解答題
18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點D為AB中點，連接CD，點P、Q分別為CE、CD上的動點．
（1）求證：△ADC為等邊三角形；
（2）求PD+PQ+QE的最小值．
19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別與x軸的負(fù)半軸、y軸的正半軸交于A、B兩點，其中OA＝2，S△ABC＝12，點C在x軸的正半軸上，且OC＝OB．
(1)求直線AB的解析式；
(2)將直線AB向下平移6個單位長度得到直線l1，直線l1與y軸交于點E，與直線CB交于點D，過點E作y軸的垂線l2，若點P為y軸上一個動點，Q為直線l2上一個動點，求PD+PQ+DQ的最小值；
(3)若點M為直線AB上的一點，在y軸上是否存在點N，使以點A、D、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
20．如果有一條直線經(jīng)過三角形的某個頂點，將三角形分成兩個三角形，其中一個三角形與原三角形相似，則稱該直線為三角形的“自相似分割線”．如圖1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于點D，連接AD．
(1)證明直線AD是△ABC的自相似分割線；
(2)如圖2，點P為直線DE上一點，當(dāng)點P運動到什么位置時，PA+PC的值最小？求此時PA+PC的長度．
(3)如圖3，射線CF平分∠ACB，點Q為射線CF上一點，當(dāng)取最小值時，求∠QAC的正弦值．
21．在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點P、Q為BC邊上的兩個動點（點P位于點Q的左側(cè)，P、Q均不與頂點重合），PQ＝2
(1)如圖①，若點E為CD邊上的中點，當(dāng)Q移動到BC邊上的中點時，求證：AP＝QE；
(2)如圖②，若點E為CD邊上的中點，在PQ的移動過程中，若四邊形APQE的周長最小時，求BP的長；
(3)如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個動點（M、N均不與頂點重合），當(dāng)BP＝3，且四邊形PQNM的周長最小時，求此時四邊形PQNM的面積．
22．在中，，D為BC延長線上一點，點E為線段AC，CD的垂直平分線的交點，連接EA，EC，ED．
（1）如圖1，當(dāng)時，則_______°；
（2）當(dāng)時，
①如圖2，連接AD，判斷的形狀，并證明；
②如圖3，直線CF與ED交于點F，滿足．P為直線CF上一動點．當(dāng)?shù)闹底畲髸r，用等式表示PE，PD與AB之間的數(shù)量關(guān)系為_______，并證明．
23．已知如圖，在中，點是邊上一點，連接，點是上一動點，連接．
（1）如圖1，當(dāng)時，連接，延長交于點，求證：；
（2）如圖2，以為直角邊作等腰，連接，若，當(dāng)點在運動過程中，求周長的最小值．
特點
傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫。一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題。將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲(yìn)馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短?從此，這個被稱為"將軍飲馬"的問題廣泛流傳。
實際問題：應(yīng)該怎樣走才能使路程最短?
作圖問題：在直線l上求作一點C,
使AC+BC最短問題.
結(jié)論
AC+BC最短
解決方案
(1)現(xiàn)在假設(shè)點A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？
連接AB,與直線l相交于一點C.
AC+BC最短（兩點之間線段最短）
(2)現(xiàn)在假設(shè)點A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？
作法：
（1）作點B 關(guān)于直線l 的對稱點B′；
（2）連接AB′，與直線l 相交于點C．
則點C 即為所求．
所作的AC +BC最短嗎？請說明理由？
【證明】
如圖，在直線l 上任取一點C′（與點C 不重合），
連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴AC +BC= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴AC +BC＜AC′+BC′．
即AC +BC 最短．
專題17 最值問題中的將軍飲馬模型
【模型展示】
【模型證明】
【題型演練】
一、單選題
1．如圖，正方形ABCD的邊長是4，點E是DC上一個點，且DE＝1，P點在AC上移動，則PE＋PD的最小值是（）
A．4B．4.5C．5.5D．5
【答案】D
【分析】連接BE，交AC于點N'，連接DN'，N'即為所求的點，則BE的長即為DP+PE的最小值，利用勾股定理求出BE的長即可．
【詳解】解：如圖，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴點B與點D關(guān)于直線AC對稱，
連接BE，交AC于點N'，連接DN'，
∴DN'=BN'，
DN'+EN'=BN'+ EN'BD，
則BE的長即為DP+PE的最小值，
∴AC是線段BD的垂直平分線，
又∵CE=CD-DE=4-1=3，
在Rt△BCE中，
BE2=CE2+BC2=25，
∵BE＞0，
∴BE=5，
即DP+PE的最小值為5，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，軸對稱-最短路線問題，兩點之間，線段最短等知識，將PE+PD的最小值轉(zhuǎn)化為BE的長是解題的關(guān)鍵．
2．如圖，正方形ABCD的邊長為4，點M在DC上，且DM=1，N是AC上一動點，則DN+MN的最小值為（）
A．4B．C．D．5
【答案】D
【分析】由正方形的對稱性可知點B與D關(guān)于直線AC對稱，連接BM交AC于N′，N′即為所求在Rt△BCM中利用勾股定理即可求出BM的長即可．
【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，
∴點B與D關(guān)于直線AC對稱，
∴DN=BN，
連接BD，BM交AC于N′，連接DN′，
∴當(dāng)B、N、M共線時，DN+MN有最小值，則BM的長即為DN+MN的最小值，
∴AC是線段BD的垂直平分線，
又∵CD=4，DM=1
∴CM=CD-DM=4-1=3，
在Rt△BCM中，BM=
故DN+MN的最小值是5．
故選：D．
【點睛】本題考查的是軸對稱-最短路線問題及正方形的性質(zhì)，先作出D關(guān)于直線AC的對稱點，由軸對稱及正方形的性質(zhì)判斷出D的對稱點是點B是解答此題的關(guān)鍵．
3．如圖，矩形中，，點是矩形內(nèi)一動點，且，則的最小值是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】作PM⊥AD于M，作點D關(guān)于直線PM的對稱點E，連接PE，EC．設(shè)AM=x．由PM垂直平分線段DE，推出PD=PE，推出PC+PD=PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可．
【詳解】解：如圖，作PM⊥AD于M，作點D關(guān)于直線PM的對稱點E，連接PE，EC．設(shè)AM=x．
∵四邊形ABC都是矩形，
∴AB∥CD，AB=CD=4，BC=AD=6，
∵S△PAB=S△PCD，
∴×4×x=××4×（6-x），
∴x=2，
∴AM=2，DM=EM=4，
在Rt△ECD中，EC==4，
∵PM垂直平分線段DE，
∴PD=PE，
∴PC+PD=PC+PE≥EC，
∴PD+PC≥4，
∴PD+PC的最小值為4．
故選：B．
【點睛】本題考查了軸對稱-最短路線問題，凡是涉及最短距離的問題，一般要考慮線段的性質(zhì)定理，結(jié)合軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點．
4．如圖，等邊△ABC的邊長為6，AD是BC邊上的中線，M是AD上的動點，E是邊AC上一點，若AE＝2，則EM＋CM的最小值為（）
A．B．3C．2D．4
【答案】C
【分析】連接BE，交AD于點M，過點E作EF⊥BC交于點F，此時EM＋CM的值最小，求出BE即可．
【詳解】解：連接BE，交AD于點M，過點E作EF⊥BC交于點F，
∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，
∴B點與C點關(guān)于AD對稱，
∴BM＝CM，
∴EM＋CM＝EM＋BM＝BE，此時EM＋CM的值最小，
∵AC＝6，AE＝2，
∴EC＝4，
在Rt△EFC中，∠ECF＝60°，
∴FC＝2，EF＝2，
在Rt△BEF中，BF＝4，
∴BE＝2，
故選：C．
【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，靈活運用勾股定理是解題的關(guān)鍵．
5．已知線段AB及直線l，在直線上確定一點，使最小，則下圖中哪一種作圖方法滿足條件（）．
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)對稱的性質(zhì)以及兩點之間線段最短即可解決問題．
【詳解】解：∵點A，B在直線l的同側(cè)，
∴作B點關(guān)于l的對稱點B'，連接AB'與l的交點為P，由對稱性可知BP=B'P，
∴PA+PB=PB′+PA=AB′為最小
故選：C．
【點睛】本題考查軸對稱求最短距離，掌握兩點在直線同側(cè)時，在直線上找一點到兩點距離最短的方法是解題的關(guān)鍵．
6．如圖，點M是菱形ABCD的邊BC的中點，P為對角線BD上的動點，若AB＝2，∠A＝120°，則PM＋PC的最小值為（）
A．2B．C．D．1
【答案】B
【分析】連接AM、AC，AM交BD于P，此時PM+PC最小，連接CP，由菱形的性質(zhì)可知C和A關(guān)于BD對稱，AP=CP，由條件易證△ABC是等邊三角形，根據(jù)三線合一可知AM⊥BC，再根據(jù)勾股定理可求AM的值，即可求解．
【詳解】解：連接AM、AC，AM交BD于P，
此時PM+PC最小，連接CP，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴OA=OC，AC⊥BD，
∴C和A關(guān)于BD對稱，
∴AP=PC，
∵∠A=120°，
∴∠ABC=60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC=AB=2，
∵M(jìn)是BC的中點，
∴AM⊥BC，
∴∠BAM=30°，
∴BM=1，
∴AM=，
∴PM+PC=AM=．
故選B．
【點睛】本題考查了將軍飲馬類型的求最小值問題，涉及菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找到P的位置．
7．如圖，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中點，直線l經(jīng)過點D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分別為E，F(xiàn)，則AE+BF的最大值為（）
A．B．2C．2D．3
【答案】A
【分析】把要求的最大值的兩條線段經(jīng)過平移后形成一條線段，然后再根據(jù)垂線段最短來進(jìn)行計算即可．
【詳解】解：如圖，過點C作CK⊥l于點K，過點A作AH⊥BC于點H，
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴AC＝，
∵點D為BC中點，
∴BD＝CD，
在△BFD與△CKD中，
，
∴△BFD≌△CKD（AAS），
∴BF＝CK，
延長AE，過點C作CN⊥AE于點N，
可得AE+BF＝AE+CK＝AE+EN＝AN，
在Rt△ACN中，AN＜AC，
當(dāng)直線l⊥AC時，最大值為，
綜上所述，AE+BF的最大值為．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理及平移的性質(zhì)，構(gòu)建全等三角形是解答此題的關(guān)鍵．
8．如圖，凸四邊形中，，若點M、N分別為邊上的動點，則的周長最小值為（）
A．B．C．6D．3
【答案】C
【分析】由軸對稱知識作出對稱點，連接兩對稱點，由兩點之間線段最短證明最短，多次用勾股定理求出相關(guān)線段的長度，平角的定義及角的和差求出角度的大小，最后計算出的周長最小值為6．
【詳解】解：作點關(guān)于、的對稱點分別為點和點，
連接交和于點和點，，連接、；
再和上分別取一動點和（不同于點和，
連接，，和，如圖1所示：
，
，，
，
又，
，，
，
時周長最??；
連接，過點作于的延長線于點，
如圖示2所示：
在中，，，
，
，
，，
又，
，
，，
，
，
又，
，
，，
在△中，由勾股定理得：
．
，
故選：C．
【點睛】本題綜合考查了軸對稱最短路線問題，勾股定理，平角的定義和兩點之間線段最短等相關(guān)知識點，解題的關(guān)鍵是掌握軸對稱最短路線問題，難點是構(gòu)建直角三角形求兩點之間的長度．
二、填空題
9．在現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常會看到許多“標(biāo)準(zhǔn)”的矩形，如我們的課本封面、A4的打印紙等，其實這些矩形的長與寬之比都為，我們不妨就把這樣的矩形稱為“標(biāo)準(zhǔn)矩形”，在“標(biāo)準(zhǔn)矩形”中，如圖所示，點在上，且，若為邊上一動點，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，則的值為______．
【答案】
【分析】先設(shè)出矩形的邊長，將AQ和CQ表示出來，再通過作對稱點確定△AGQ的周長最小時的G點位置后，利用平行線分線段成比例的基本事實的推論建立等式求解即可．
【詳解】解：設(shè)DC=，DQ=AD=x，
∴
∵矩形ABCD，
∴∠D=∠DCB=∠B=90°，，
∴，
如圖，作Q點關(guān)于BC的對稱點E，連接AE交BC于點M，
∴GQ＝GE，CQ=CE=
∴AQ+QG+AG=，
∴當(dāng)A、G、E三點共線時，△AGQ的周長最小，
此時G點應(yīng)位于圖中的M點處；
∵矩形ABCD中，∠QCG=90°，
∴E點位于QC的延長線上，
∴CE∥AB，
∴，
即，
故答案為：．
【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、最短路徑、平行線分線段成比例的基本事實的推論等內(nèi)容，解題關(guān)鍵是能正確找到滿足題意的G點位置，同時要牢記平行線分線段成比例的推論，即平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線），所得的對應(yīng)線段成比例．
10．如圖，點是內(nèi)任意一點，，點和點分別是射線和射線上的動點，，則周長的最小值是______．
【答案】3
【分析】根據(jù)“將軍飲馬”模型將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為所學(xué)知識“兩點之間線段最短”可找到周長的最小的位置，作出圖示，充分利用對稱性以及，對線段長度進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化即可．
【詳解】
解：如圖所示，過點P分別作P點關(guān)于OB、OA邊的對稱點、，連接、、、、，其中分別交OB、OA于點N、M，根據(jù)“兩點之間線段最短”可知，此時點M、N的位置是使得周長的最小的位置．
由對稱性可知：，
，
為等邊三角形
的周長===3
故答案為：3
【點睛】本題是典型的的最短路徑問題，考查了最短路徑中的“將軍飲馬”模型，能夠熟練利用其原理“兩點之間線段最短”作出最短路徑示意圖是解決本題的關(guān)鍵．
11．如圖，等邊的邊長為4，點是邊的中點，點是的中線上的動點，則的最小值是_____．
【答案】
【分析】當(dāng)連接BE，交AD于點P時，EP+CP=EP+PB=EB取得最小值．
【詳解】解：連接BE
∵△ABC是等邊三角形，AD是BC邊上的中線，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分線，
∴點C關(guān)于AD的對應(yīng)點為點B，
∴BE就是EP+CP的最小值．
∵△ABC是等邊三角形，E是AC邊的中點，
∴BE是△ABC的中線，
∴CE＝AC＝2，
∴
即EP+CP的最小值為，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了軸對稱-最短路線問題以及等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握等邊三角形和軸對稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．如圖，正方形ABCD的邊長為8，點M在DC上且DM＝2，N是AC上的一動點，則DN＋MN的最小值是______．
【答案】10
【分析】要求DN＋MN的最小值，DN，MN不能直接求，可考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化DN，MN的值，從而找出其最小值求解．
【詳解】解：∵正方形是軸對稱圖形，點B與點D是關(guān)于直線AC為對稱軸的對稱點，
∴連接BN，BD，
∴BN＝ND，
∴DN＋MN＝BN＋MN，
連接BM交AC于點P，
∵點 N為AC上的動點，
由三角形兩邊和大于第三邊，
知當(dāng)點N運動到點P時，BN＋MN＝BP＋PM＝BM，
BN＋MN的最小值為BM的長度，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴BC＝CD＝8，CM＝8﹣2＝6，∠BCM＝90°，
∴BM＝＝10，
∴DN＋MN的最小值是10．
故答案為：10．
【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)和軸對稱及勾股定理等知識的綜合應(yīng)用．
13．如圖所示，在中，，直線EF是AB的垂直平分線，D是BC的中點，M是EF上一個動點，的面積為12，，則周長的最小值是_______________．
【答案】8
【分析】連接AD，AM，由EF是線段AB的垂直平分線，得到AM=BM，則△BDM的周長=BD+BM+DM=AM+DM+BD，要想△BDM的周長最小，即要使AM+DM的值最小，故當(dāng)A、M、D三點共線時，AM+DM最小，即為AD，由此再根據(jù)三線合一定理求解即可．
【詳解】解：如圖所示，連接AD，AM，
∵EF是線段AB的垂直平分線，
∴AM=BM，
∴△BDM的周長=BD+BM+DM=AM+DM+BD，
∴要想△BDM的周長最小，即要使AM+DM的值最小，
∴當(dāng)A、M、D三點共線時，AM+DM最小，即為AD，
∵AB=AC，D為BC的中點，
∴AD⊥BC，，
∴，
∴AD=6，
∴△BDM的周長最小值=AD+BD=8，
故答案為：8．
【點睛】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三線合一定理，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意得到當(dāng)A、M、D三點共線時，AM+DM最小，即為AD．
14．如圖，在四邊形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分別取一點M、N，使△AMN的周長最小，則∠MAN＝_____°．
【答案】80
【分析】作點A關(guān)于BC、CD的對稱點A1、A2，根據(jù)軸對稱確定最短路線問題，連接A1、A2分別交BC、DC于點M、N，利用三角形的內(nèi)角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和角的和差關(guān)系即可得∠MAN．
【詳解】如圖，作點A關(guān)于BC、CD的對稱點A1、A2，連接A1、A2分別交BC、DC于點M、N，連接AM、AN，則此時△AMN的周長最小，
∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，
∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°，
∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°，
∵點A關(guān)于BC、CD的對稱點為A1、A2，
∴NA＝NA2，MA＝MA1，
∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB，
∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°，
∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB）
＝130°﹣50°
＝80°，
故答案為：80．
【點睛】本題考查了軸對稱的最短路徑問題，利用軸對稱將三角形周長問題轉(zhuǎn)化為兩點間線段最短問題是解決本題的關(guān)鍵．
15．如圖，在矩形ABCD中，AB＝15，BC＝20，把邊AB沿對角線BD平移，點A′，B′分別對應(yīng)點A，B給出下列結(jié)論：
①順次連接點A′，B′，C，D的圖形是平行四邊形；
②點C到它關(guān)于直線AA′的對稱點的距離為50；
③A′C﹣B′C的最大值為15；
④A′C+B′C的最小值為9．
其中正確結(jié)論的序號是______________
【答案】③④
【分析】①根據(jù)平行四邊形的判定定理判斷即可；②作點C關(guān)于直線AA′的對稱點E，交直線AA′于點T，交直線BD于點O，則CE=4OC，利用等面積法求出OC即可；③根據(jù)，當(dāng)線段AB平移至B′與D點重合，即：A′，B′，C三點共線時，即可判斷；④作D關(guān)于直線AA′的對稱點，連接交直線AA′于點J，過點作，交CD延長線于E點，連接，交直線AA′于點A′，此時滿足A′C+B′C的值最小，即為的長度，結(jié)合相似三角形的判定與性質(zhì)求解即可．
【詳解】解：①由平移的性質(zhì)可知：，，
由矩形的性質(zhì)可知：，，
∴，，
∴四邊形為平行四邊形，
當(dāng)點B'與D重合時，四邊形不存在，
故①錯誤；
②如圖1所示，作點C關(guān)于直線AA′的對稱點E，交直線AA′于點T，交直線BD于點O，則CE=4OC，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴∠BCD=90°，CD=AB=15，
∴，
∵，
∴，
∴EC=4×12=48，故②錯誤；
③由三角形三邊關(guān)系可知：，
如圖2所示，當(dāng)線段AB平移至B′與D點重合，即：A′，B′，C三點共線時，，
∴最大值為15，故③正確；
④如圖2所示，由①可知，，
∴，
作D關(guān)于直線AA′的對稱點，連接交直線AA′于點J，
過點作，交CD延長線于E點，連接，交直線AA′于點A′，
此時滿足A′C+B′C的值最小，即為的長度，
由對稱的性質(zhì)可知：∠AJD=90°，
由平行的性質(zhì)可知：∠BDJ=180°-∠AJD=90°，
即：∠ADJ+∠ADB=90°，
∵∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠ABD=∠ADJ，
∴△ABD∽△JDA，
∴，
即：，
∴DJ=12，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵∠E=∠BAD=90°，
∴，
∴，
即：，
∴，，
∴，
由勾股定理：，故④正確，
故答案為：③④．
【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等，理解并掌握平行四邊形和特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練運用相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
16．如圖，O為矩形ABCD對角線AC，BD的交點，AB=8，M，N是直線BC上的動點，且MN=2，則OM+ON的最小值是____________．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，過O作OH∥BC，且令OH=2，連接NH，作O點關(guān)于BC的對稱點K，連接OK，KH，則OM+ON= NH+ON= NH+ NK≥HK，當(dāng)H、N、K三點共線的時候，OM+ON有最小值，最小值為HK的長．根據(jù)矩形性質(zhì)及圖形的對稱性，易知，在中，運用勾股定理求得HK的長即可．
【詳解】解：過O作OH∥BC，且令OH=2，連接NH，作O點關(guān)于BC的對稱點K，連接OK，KH，
∵OH∥BC，OH=MN=2，
∴四邊形OMNH是平行四邊形，
∴OM=NH，
∴OM+ON= NH+ON．
∵O點關(guān)于BC的對稱點是點K，
∴ON=NK，
∴OM+ON= NH+ON= NH+ NK，
∵，
∴當(dāng)H、N、K三點共線的時候，OM+ON有最小值，最小值為HK的長．
∵OH∥BC，O點關(guān)于BC的對稱點是點K，
∴．
∵O為矩形ABCD對角線AC，BD的交點，O點關(guān)于BC的對稱點是點K，
∴OK=AB=8．
∵OH= 2，，
∴，
∴OM+ON的最小值是．
【點睛】本題考查了最短路徑問題，矩形性質(zhì)，勾股定理求直角三角形的邊長，其中熟練畫出OM+ON取最小值時所對應(yīng)的線段，是解題的關(guān)鍵．
17．如圖，菱形ABCD 的邊長為6，∠ABC＝120°，M是BC邊的一個三等分點，P是對角線AC上的動點，當(dāng) PB＋PM 的值最小時，PM的長是________．
【答案】
【分析】如圖，連接DP，BD，作DH⊥BC于H．當(dāng)D、P、M共線時，值最小，利用勾股定理求出DM，再利用平行線的性質(zhì)即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接DP，BD，作DH⊥BC于H．
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，B、D關(guān)于AC對稱，
∴PB+PM=PD+PM
當(dāng)D、P、M共線時，的值最小，
∵CM=BC=2
∵∠ABC=120°，
∴∠DBC=∠ABD=60°
∴△DBC是等邊三角形，
∵BC=6，
∴CM=2，HM=1，DH= ，
在Rt△DMH中，
∵CM∥AD
∴
∴
故答案為：．
【點睛】本題考查軸對稱一最短問題、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行線線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是靈活用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．
三、解答題
18．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC為邊向左作等邊△BCE，點D為AB中點，連接CD，點P、Q分別為CE、CD上的動點．
（1）求證：△ADC為等邊三角形；
（2）求PD+PQ+QE的最小值．
【答案】（1）證明見解析；（2）4．
【分析】（1）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等邊三角形的判定即可得證；
（2）連接，先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得垂直平分，然后根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，同樣的方法可得，從而可得，最后根據(jù)兩點之間線段最短即可得出答案．
【詳解】證明：（1）在中，，
，
點是斜邊的中點，
，
是等邊三角形；
（2）如圖，連接，
和都是等邊三角形，
，，
，
垂直平分，
，
同理可得：垂直平分，
，
，
由兩點之間線段最短可知，當(dāng)點共線時，取得最小值，
故的最小值為4．
【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、含角的直角三角形的性質(zhì)等知識點，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線AB分別與x軸的負(fù)半軸、y軸的正半軸交于A、B兩點，其中OA＝2，S△ABC＝12，點C在x軸的正半軸上，且OC＝OB．
(1)求直線AB的解析式；
(2)將直線AB向下平移6個單位長度得到直線l1，直線l1與y軸交于點E，與直線CB交于點D，過點E作y軸的垂線l2，若點P為y軸上一個動點，Q為直線l2上一個動點，求PD+PQ+DQ的最小值；
(3)若點M為直線AB上的一點，在y軸上是否存在點N，使以點A、D、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，若存在，請直接寫出點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)y＝2x+4
(2)
(3)存在以點A、D、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，N的坐標(biāo)為（0，﹣2）或（0，10）
【分析】（1）設(shè)OB＝OC＝m，由S△ABC＝12，可得B（0，4），設(shè)直線AB解析式為y＝kx＋b，利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）將直線AB向下平移6個單位，則直線l1解析式為y＝2x?2，可得E（0，?2），垂線l2的解析式為y＝?2，由B（0，4），C（4，0），得直線BC解析式為y＝?x＋4，從而可求得D（2，2），作D關(guān)于y軸的對稱點D，作D關(guān)于直線y＝?2對稱點D，連接DD交y軸于P，交直線y＝?2于Q，此時PD＋PQ＋DQ的最小，根據(jù)D（?2，2），D（2，?6），得直線DD解析式為y＝?2x?2，從而P（0，?2），Q（0，?2），故此時PD＝2，PQ＝0，DQ＝，PD＋PQ＋DQ的最小值為4．
（3）設(shè)P（p，2p＋4），N（0，q），而A（?2，0），D（2，2），①以AD、MN為對角線，此時AD中點即為MN中點，根據(jù)中點公式得N（0，?2）；②以AM、DN為對角線，同理可得N（0，10）；③以AN、DM為對角線，同理可得N（0，?2）．
（1）
解：（1）設(shè)OB＝OC＝m，
∵OA＝2，
∴AC＝m+2，A（﹣2，0），
∵S△ABC＝12，
∴AC?OB＝12，即m?（m+2）＝12，
解得m＝4或m＝﹣6（舍去），
∴OB＝OC＝4，
∴B（0，4），
設(shè)直線AB解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直線AB解析式為y＝2x+4；
（2）
將直線ABy＝2x+4向下平移6個單位，則直線l1解析式為y＝2x﹣2，
令x＝0得y＝﹣2，
∴E（0，﹣2），垂線l2的解析式為y＝﹣2，
∵B（0，4），C（4，0），
設(shè)直線BC解析式為y＝px+q，
∴，
解得，
∴直線BC解析式為y＝﹣x+4，
由得：，
∴D（2，2），
作D關(guān)于y軸的對稱點D'，作D關(guān)于直線y＝﹣2對稱點D''，連接D'D''交y軸于P，交直線y＝﹣2于Q，此時PD+PQ+DQ的最小，如圖：
∴D'（﹣2，2），D''（2，﹣6），
設(shè)直線D'D''解析式為y＝sx+t，
則，解得，
∴直線D'D'解析式為y＝﹣2x﹣2，
令x＝0得y＝﹣2，即P（0，﹣2），
令y＝﹣2得x＝0，即Q（0，﹣2），
∴此時PD＝2，PQ＝0，DQ＝2，
∴PD+PQ+DQ的最小值為4．
（3）
存在，理由如下：
設(shè)P（p，2p+4），N（0，q），而A（﹣2，0），D（2，2），
①以AD、MN為對角線，如圖：
此時AD中點即為MN中點，
∴，解得，
∴N（0，﹣2）；
②以AM、DN為對角線，如圖：
同理可得：，解得，
∴N（0，10）；
③以AN、DM為對角線，如圖：
同理可得，解得，
∴N（0，﹣2），
綜上所述，以點A、D、M、N為頂點的四邊形為平行四邊形，N的坐標(biāo)為（0，﹣2）或（0，10）．
【點睛】本題考查一次函數(shù)及應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、一次函數(shù)圖象上點坐標(biāo)特征、線段和的最小值、平行四邊形等知識，解題的關(guān)鍵是應(yīng)用平行四邊形對角線互相平分，列方程組解決問題．
20．如果有一條直線經(jīng)過三角形的某個頂點，將三角形分成兩個三角形，其中一個三角形與原三角形相似，則稱該直線為三角形的“自相似分割線”．如圖1，在△ABC中，AB=AC=1，∠BAC=108°，DE垂直平分AB，且交BC于點D，連接AD．
(1)證明直線AD是△ABC的自相似分割線；
(2)如圖2，點P為直線DE上一點，當(dāng)點P運動到什么位置時，PA+PC的值最?。壳蟠藭rPA+PC的長度．
(3)如圖3，射線CF平分∠ACB，點Q為射線CF上一點，當(dāng)取最小值時，求∠QAC的正弦值．
【答案】(1)直線AD是△ABC的自相似分割線；
(2)當(dāng)點運動到點時，PA+PC的值最小，此時；
(3)∠QAC的正弦值為
【分析】（1）根據(jù)定義證明△DBA∽△ABC即可得證；
（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可得，當(dāng)點與重合時，,此時最小，設(shè)，則
根據(jù)，列出方程，解方程求解即可求得，進(jìn)而即可求得的長，即最小值；
（3）過點作于點，過點作于點，連接，設(shè)與交于點，根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，則當(dāng)點落在上時，點與點重合，此時的值最小，最小值為，進(jìn)而根據(jù)求解即可．
（1）
∵△ABC中，AB=AC=1，∠BAC = 108°
∴∠B =∠C =（180°-∠BAC）= 36°
∵DE垂直平分AB
∴AD = BD
∴∠B =∠BAD = 36°
∴∠C =∠BAD
又∵∠B =∠B
∴△DBA∽△ABC
∴直線AD是△ABC的自相似分割線．
（2）
如圖，連接，，
垂直平分AB，
當(dāng)點與重合時，,此時最小，
，
設(shè)，則
解得：
PA+PC=
當(dāng)點運動到點時，PA+PC的值最小，此時；
（3）
如圖，過點作于點，過點作于點，連接，設(shè)與交于點，
，
由（2）知，
平分
點落在上時，點與點重合，
即此時的值最小，最小值為
∠QAC的正弦值為
【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，求角的正弦，垂直平分線的性質(zhì)，兩點之間線段最短，垂線段最短，胡不歸問題，轉(zhuǎn)化線段是解題的關(guān)鍵．
21．在長方形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點P、Q為BC邊上的兩個動點（點P位于點Q的左側(cè)，P、Q均不與頂點重合），PQ＝2
(1)如圖①，若點E為CD邊上的中點，當(dāng)Q移動到BC邊上的中點時，求證：AP＝QE；
(2)如圖②，若點E為CD邊上的中點，在PQ的移動過程中，若四邊形APQE的周長最小時，求BP的長；
(3)如圖③，若M、N分別為AD邊和CD邊上的兩個動點（M、N均不與頂點重合），當(dāng)BP＝3，且四邊形PQNM的周長最小時，求此時四邊形PQNM的面積．
【答案】(1)見解析
(2)4
(3)4
【分析】（1）由“SAS”可證△ABP≌△QCE，可得AP=QE；
（2）要使四邊形APQE的周長最小，由于AE與PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．為此，先在BC邊上確定點P、Q的位置，可在AD上截取線段AF=DE=2，作F點關(guān)于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，則此時AP+EQ=EG最小，然后過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點，那么先證明∠GEH=45°，再由CQ=EC即可求出BP的長度；
（3）要使四邊形PQNM的周長最小，由于PQ是定值，只需PM+MN+QN的值最小即可，作點P關(guān)于AD的對稱點F，作點Q關(guān)于CD的對稱點H，連接FH，交AD于M，交CD于N，連接PM，QN，此時四邊形PQNM的周長最小，由面積和差關(guān)系可求解．
(1)
解：證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴CD=AB=4，BC=AD=8，
∵點E是CD的中點，點Q是BC的中點，
∴BQ=CQ=4，CE=2，
∴AB=CQ，
∵PQ=2，
∴BP=2，
∴BP=CE，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABP≌△QCE（SAS），
∴AP=QE；
(2)
如圖②，在AD上截取線段AF=PQ=2，作F點關(guān)于BC的對稱點G，連接EG與BC交于一點即為Q點，過A點作FQ的平行線交BC于一點，即為P點，過G點作BC的平行線交DC的延長線于H點．
∵GH=DF=6，EH=2+4=6，∠H=90°，
∴∠GEH=45°，
∴∠CEQ=45°，
設(shè)BP=x，則CQ=BC-BP-PQ=8-x-2=6-x，
在△CQE中，∵∠QCE=90°，∠CEQ=45°，
∴CQ=EC，
∴6-x=2，
解得x=4，
∴BP=4；
(3)
如圖③，作點P關(guān)于AD的對稱點F，作點Q關(guān)于CD的對稱點H，連接FH，交AD于M，交CD于N，連接PM，QN，此時四邊形PQNM的周長最小，連接FP交AD于T，
∴PT=FT=4，QC=BC-BP-PQ=8-3-2=3=CH，
∴PF=8，PH=8，
∴PF=PH，
又∵∠FPH=90°，
∴∠F=∠H=45°，
∵PF⊥AD，CD⊥QH，
∴∠F=∠TMF=45°，∠H=∠CNH=45°，
∴FT=TM=4，CN=CH=3，
∴四邊形PQNM的面積=×PF×PH-×PF×TM-×QH×CN=×8×8-×8×4-×6×3=7．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，軸對稱求最短距離，直角三角形的性質(zhì)；通過構(gòu)造平行四邊形和軸對稱找到點P和點Q位置是解題的關(guān)鍵．
22．在中，，D為BC延長線上一點，點E為線段AC，CD的垂直平分線的交點，連接EA，EC，ED．
（1）如圖1，當(dāng)時，則_______°；
（2）當(dāng)時，
①如圖2，連接AD，判斷的形狀，并證明；
②如圖3，直線CF與ED交于點F，滿足．P為直線CF上一動點．當(dāng)?shù)闹底畲髸r，用等式表示PE，PD與AB之間的數(shù)量關(guān)系為_______，并證明．
【答案】（1）80；（2）是等邊三角形；（3）．
【分析】（1）根據(jù)垂直平分線性質(zhì)可知，再結(jié)合等腰三角形性質(zhì)可得，，利用平角定義和四邊形內(nèi)角和定理可得，由此求解即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出即可證明是等邊三角形；
（3）根據(jù)利用對稱和三角形兩邊之差小于第三邊，找到當(dāng)?shù)闹底畲髸r的P點位置，再證明對稱點與AD兩點構(gòu)成三角形為等邊三角形，利用旋轉(zhuǎn)全等模型即可證明，從而可知，再根據(jù)30°直角三角形性質(zhì)可知即可得出結(jié)論．
【詳解】解：（1）∵點E為線段AC，CD的垂直平分線的交點，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，，
∴，
∴，
故答案為：．
（2）①結(jié)論：是等邊三角形．
證明：∵在中，，，
∴，
由（1）得：，，
∴是等邊三角形．
②結(jié)論：．
證明：如解圖1，取D點關(guān)于直線AF的對稱點，連接、；
∴，
∵，等號僅P、E、三點在一條直線上成立，
如解圖2，P、E、三點在一條直線上，
由（1）得：，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∵點D、點是關(guān)于直線AF的對稱點，
∴，，
∴是等邊三角形，
∴，，
∵是等邊三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（SAS）
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴
【點睛】本題是三角形綜合題，主要考查了等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形性質(zhì)和判定等知識點，解題關(guān)鍵是利用對稱將轉(zhuǎn)化為三角形三邊關(guān)系找到P的位置，并證明對稱點與AD兩點構(gòu)成三角形為等邊三角形．
23．已知如圖，在中，點是邊上一點，連接，點是上一動點，連接．
（1）如圖1，當(dāng)時，連接，延長交于點，求證：；
（2）如圖2，以為直角邊作等腰，連接，若，當(dāng)點在運動過程中，求周長的最小值．
【答案】（1）證明見解析；（2）
【分析】（1）通過證明△CEK≌△BEF及△KED≌△FED即可證明；
（2）延長CE到點P，使EP＝CE，先證明點G在過點P且與CE垂直的直線PN上運動，再作點E關(guān)于點P的對稱點Q，連接BQ交PN于點G，此時△BEG的周長最小，求出此時GE+GB+BE的值即可．
【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，
∴∠K＝∠ABE，
∵BF⊥AB，
∴∠ABF＝90°，
∴∠ABE＝90°﹣∠EBF＝∠BFE，
∴∠K＝∠BFE，
∵BE＝CE，
∴△CEK≌△BEF（AAS），
∴CK＝BF，EK＝EF，
∵，
∴∠KED＝∠EBC，∠FED＝∠ECB，
∵BE＝CE，
∠EBC＝∠ECB，
∴∠KED＝∠FED，
∴ED＝ED，
∴△KED≌△FED（SAS），
∴DK＝DF，
（2）如圖，作BN⊥BE，GN⊥BN于點N，延長NG交射線CE于點P，
則∠EBN＝∠FBG＝90°，
∴∠NBG＝∠EBF＝90°﹣∠GBE，
∵∠N＝∠BEF＝90°，BG＝BF，
∴△BNG≌△BEF（AAS），
∴BN＝BE；
∵∠EBN＝∠N＝∠BEP＝90°，
∴四邊形BEPN是正方形，
∴PE＝BE＝CE，
∴當(dāng)點F在CE上運動時，點G在PN上運動；
延長EP到點Q，使PQ＝PE，連接BQ交PN于點G，
∵PN垂直平分EQ，
∴點Q與點E關(guān)于直線PN對稱，
∵兩點之間，線段最短，
∴此時GE+GB＝GQ+GB＝BQ最小，
∵BE為定值，
∴此時GE+GB+BE最小，即△BEG的周長最小；
作DH⊥CE于點H，則∠DHE＝∠DHC＝90°，
∵∠ECB＝∠EBC＝45°，
∴∠HED＝∠ECB＝45°，
∴∠HDE＝45°＝∠HED，
∴DH＝EH，
∴DH2+EH2＝2DH2＝DE2＝，
∴DH＝EH＝1；
∴CH＝，
∴BE＝CE＝EH+CH＝1+2＝3，
∴EQ＝2PE＝2BE＝6，
∵∠BEQ＝90°，
∴BQ＝，
∴GE+GB+BE＝，
∴△BEG周長的最小值為．
【點睛】本題重點考查平行四邊形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、以及運用軸對稱的性質(zhì)求線段和的最小值問題的求解等知識與方法，深入探究與挖掘題中的隱含條件并且正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵，此題綜合性強，難度大，屬于考試壓軸題．
特點
傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫。一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題。將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲(yìn)馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開會，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短?從此，這個被稱為"將軍飲馬"的問題廣泛流傳。
實際問題：應(yīng)該怎樣走才能使路程最短?
作圖問題：在直線l上求作一點C,
使AC+BC最短問題.
結(jié)論
AC+BC最短
解決方案
(1)現(xiàn)在假設(shè)點A,B分別是直線l異側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？
連接AB,與直線l相交于一點C.
AC+BC最短（兩點之間線段最短）
(2)現(xiàn)在假設(shè)點A,B分別是直線l同側(cè)的兩個點，如何在l上找到一個點，使得這個點到點A，點B的距離的和最短？
作法：
（1）作點B 關(guān)于直線l 的對稱點B′；
（2）連接AB′，與直線l 相交于點C．
則點C 即為所求．
所作的AC +BC最短嗎？請說明理由？
【證明】
如圖，在直線l 上任取一點C′（與點C 不重合），
連接AC′，BC′，B′C′．由軸對稱的性質(zhì)知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴AC +BC= AC +B′C = AB′，
AC′+BC′= AC′+B′C′．
在△AB′C′中，
AB′＜AC′+B′C′，
∴AC +BC＜AC′+BC′．
即AC +BC 最短．

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