一、單選題
1．如圖，在正方形ABCD中，點O為對角線的交點，點P為正方形外一點，且滿足∠BPC＝90°，連接PO．若PO＝4，則四邊形OBPC的面積為（ ）
A．6B．8C．10D．16
2．一副三角板按圖1所示的位置擺放，將△DEF繞點A(F)逆時針旋轉(zhuǎn)60°后(圖2)，測得CG＝10cm，則兩個三角形重疊(陰影)部分的面積為( )
A．75cm2；B．（25＋25)cm2；C．(25＋)cm2；D．(25＋)cm2
3．如圖，O是正△ABC內(nèi)一點，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，下列結(jié)論：①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點O與O′的距離為4；③∠AOB=150°；④S四邊形AOBO′=6+4；⑤S△AOC+S△AOB=6+，其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②③⑤B．①②③④C．①②④⑤D．①②③④⑤
4．如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接．若，，則四邊形面積的最小值是（ ）
A．B．C．D．
5．將反比例函數(shù)y＝的圖象繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)30°，得到如圖的新曲線A（﹣3，3），B（，）的直線相交于點C、D，則△OCD的面積為（ ）
A．3B．8C．2D．
6．如圖，在矩形ABCD中，∠ABD＝60°，BD＝16，連接BD，將△BCD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)n°（0°＜n＜90°），得到ΔB′C′D，連接BB′，CC′，延長CC′交BB′于點N，連接AB′，當∠BAB′＝∠BNC時，則△ABB′的面積為（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
7．如圖，一副三角板如圖1放置，，頂點重合，將繞其頂點旋轉(zhuǎn)，如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當，連接，，此時四邊形的面積是________．
8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點D是AC的中點，將CD繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中點D的對應(yīng)點為點E，連接AE、BE，則△AEB面積的最小值是_______．
9．如圖在RtABC中，∠BAC=90°，AB= AC =10，等腰直角三角形ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，∠DAE=90°，AD= AE =4，連接DC，點M、P、N分別為DE、DC、BC的中點，連接MP、PN、MN，則△PMN面積的最小值是_______．
10．如圖所示，在和中，，，，連接、，將繞點旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當最大時，______．
三、解答題
11．如圖1，在等腰三角形中，，點D、E分別在邊、上，，連接．點M、N、P分別為的中點．
(1)觀察猜想．
圖1中，線段的數(shù)量關(guān)系是__________，的大小為__________．
(2)探究證明
把繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接，判斷的形狀，并說明理由；
(3)拓展延伸
將圖1中的繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，請直接寫出面積的最大值．
12．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝，∠ABD＝30°，點E是邊AB的中點，過點E作EF⊥AB交BD于點F.
(1)在一次數(shù)學(xué)活動中，小王同學(xué)將圖1中的△BEF繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°如圖2所示，得到結(jié)論：
①的值為 ；
②直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為 ；
(2)小王同學(xué)繼續(xù)將△BEF繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置.請問探究（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由；
(3)在以上探究中，當△BEF旋轉(zhuǎn)至D、E、F三點共線時，則△ADE的面積為 .
13．如圖，矩形中，為等邊三角形．點E，F(xiàn)分別為邊上的動點，且，P為上一動點，連接，將線段繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至，連接．
(1)求證：；
(2)當三條線段的和最小時，求的長；
(3)若點E以每秒2個單位的速度由A點向D點運動，點P以每秒1個單位的速度由E點向F點運動．E，P兩點同時出發(fā)，點E到達點D時停止，點P到達點F時停止，設(shè)點P的運動時間為t秒．
①求t為何值時，與相似；
②求的面積S的最小值．
14．面直角坐標系中，O為原點，點，點，線段的中點為點C．將繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)，點O對應(yīng)點為，點A的對應(yīng)點為．
(1)如圖①，當點恰好落在上時，
①此時的長為__________；
②點P是線段上的動點，旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為，連接，試求最小時點P的坐標；
(2)如圖②，連接，則在旋轉(zhuǎn)過程中，的面積是否存在最大值？若存在，直接寫出最大值，若不存在，說明理由．
15．如圖，在中，，，．點從點出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度向終點勻速運動，過點作交折線，于點，連結(jié)，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到．設(shè)點的運動時間為t（秒）．
(1)用含的代數(shù)式表示線段的長．
(2)當點落在邊上時，求的長．
(3)當點在內(nèi)部時，求的取值范圍．
(4)當線段將的面積分成 的兩部分時，直接寫出的值．
16．如圖1，在中，，，AO是BC邊上的中線，點D是AO上一點，，E是垂足，可繞著點O旋轉(zhuǎn)，點F是點E關(guān)于點O的對稱點，連接AD和CF．
(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖2，當時，則下列結(jié)論正確的是_______．（填序號）
①；②點F是OC的中點：③AO是的角平分線；④．
(2)數(shù)學(xué)思考：將圖2中繞點O旋轉(zhuǎn)，如圖3，則AD和CF具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出證明過程；
(3)拓展應(yīng)用：在圖1中，若，將繞著點O旋轉(zhuǎn)．
①則_______CF；
②若，，在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖4，當點D落在AB上時，連結(jié)BE，EC，求四邊形ABEC的面積．
17．如圖1，將三角形紙片（）進行以下操作：第一步：折疊三角形紙片使點C與點A重合，得到折痕，然后展開鋪平；第二步：將繞點D順時針方向旋轉(zhuǎn)得到，點E、C的對應(yīng)點分別是點F、G，直線與邊交于點M（點M不與點A重合），與邊交于點N．
(1)已知．
①在繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
②如圖2，在繞點D旋轉(zhuǎn)的過程中，當直線經(jīng)過點B時，求的長；
(2)如圖3，若直角三角形紙片的兩直角邊，在點G從點C開始順時針旋轉(zhuǎn)的過程中，設(shè)與的重疊部分的面積為S，則S的最小值為________．
18．如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D在邊AC上，CD⊥DE，且CD＝DE，連接BE，取BE的中點F，連接DF．
(1)請直接寫出∠ADF的度數(shù)及線段AD與DF的數(shù)量關(guān)系；
(2)將圖1中的△CDE繞點C按逆時針旋轉(zhuǎn)，
①如圖2，（1）中∠ADF的度數(shù)及線段AD與DF的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？請說明理由；
②如圖3，連接AF，若AC＝3，CD＝1，求S△ADF的取值范圍．
19．已知點E是正方形ABCD的邊AB上一點，AB＝，BE＝2．以BE為邊向右側(cè)作正方形BEFG，將正方形BEFG繞點B順時針旋轉(zhuǎn)度(0≤≤90°)，連結(jié)AE，CG（如圖）．
(1)求證：△ABE≌△CBG．
(2)當點E在BD上時，求CG的長．
(3)當時，正方形BEFG停止旋轉(zhuǎn)，求在旋轉(zhuǎn)過程中線段AE掃過的面積．（參考數(shù)據(jù)：，，，）
20．問題探究
（1）如圖1，中，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點的對應(yīng)點落在邊上，，連接，則的長為_______；
（2）如圖2，在中，，為邊上的高，若，試判斷的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由；
問題解決
（3）如圖3，是某植物園的花卉展示區(qū)的部分平面示意圖，其中，，邊上的點為休息區(qū)，米，米，兩條觀光小路和（小路寬度不計，在邊上，在邊上）擬將這個展示區(qū)分成三個區(qū)域，用來展示不同的花卉，根據(jù)實際需要，，并且要求四邊形的面積盡可能大，那么是否存在滿足條件的四邊形？若存在，請求出四邊形的面積的最大值；若不存在，請說明理由．（結(jié)果保留根號）
21．如圖1，在中，，點D是邊上的一點，且，過點D做邊的垂線，交邊于點E，將繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為．
(1)【問題發(fā)現(xiàn)】當時，的值為________，直線相交形成的較小角的度數(shù)為________；
(2)【拓展探究】試判斷：在旋轉(zhuǎn)過程中，（1）中的兩個結(jié)論有無變化？請僅就圖2的情況給出證明；
(3)【問題解決】當旋轉(zhuǎn)至A，D，E三點在同一條直線上時，請直接寫出的面積．
22．在中中．，，點E在射線CB上運動．連接AE，將線段AE繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接CF．
(1)如圖1，點E在點B的左側(cè)運動；
①當，時，則_________°；
②猜想線段CA，CF與CE之間的數(shù)量關(guān)系為_________．
(2)如圖2，點E在線段CB上運動時，第（1）間中線段CA，CF與CE之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立如果成立，請說明理由；如果不成立，請求出它們之間新的數(shù)量關(guān)系．
(3)點E在射線CB上運動，，設(shè)，以A，E，C，F(xiàn)為頂點的四邊形面積為y，請直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式（不用寫出x的取值范圍）．
23．已知：與中，，，，，，現(xiàn)將和按圖的方式擺放，使點與點重合，點、、在同一條直線上，并按如下方式運動．
運動一：如圖，從圖的位置出發(fā)，以的速度沿方向向右勻速運動，與相交于點，當點與點重合時暫停運動；
運動二：在運動一的基礎(chǔ)上，如圖，繞著點順時針旋轉(zhuǎn)，與交于點，與交于點，此時點在上勻速運動，速度為，當時暫停旋轉(zhuǎn)；
運動三：在運動二的基礎(chǔ)上，如圖，以的速度沿向終點勻速運動，直到點與點重合時為止．
設(shè)運動時間為，中間的暫停不計時，
解答下列問題
(1)在從運動一到最后運動三結(jié)束時，整個過程共耗時 ；
(2)在整個運動過程中，設(shè)與的重疊部分的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量的取值范圍；
(3)在整個運動過程中，是否存在某一時刻，點正好在線段的中垂線上，若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．
24．問題提出
(1)如圖1，在中，，，則面積的最大值是______；
(2)問題探究
如圖2，在中，，，．點P是邊BC上一點，連接AP，將線段AP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°，得線段PE，過點E作交BC于點H，求PH的長．
(3)問題解決
如圖3，在中，，，P為邊AC上一動點（C點除外）．將線段BP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°，得線段PE，連接CE，則的面積是否存在最大值？若存在請求出面積的最大值，若不存在請說明理由．
專題30 軸對稱綜合題中的面積問題
【題型演練】
一、單選題
1．如圖，在正方形ABCD中，點O為對角線的交點，點P為正方形外一點，且滿足∠BPC＝90°，連接PO．若PO＝4，則四邊形OBPC的面積為（ ）
A．6B．8C．10D．16
【答案】B
【分析】先畫出將△OCP順時針旋轉(zhuǎn)90°到△OBQ的位置的圖形，再證Q、B、P在同一條直線上，再利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，證△POQ是直角三角形，求出S△POQOP?OQ4×4＝8，最后由S四邊形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ求解．
【詳解】解：如圖，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴OC＝OB，∠BOC＝90°，
∴將△OCP順時針旋轉(zhuǎn)90°，則到△OBQ的位置，
則△OCP≌△OBQ，
∵∠BPC＝90°，
∴∠OCP+∠OBP＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠OCP＝∠OBQ，
∴∠OBQ+∠OBP＝180°，
∴Q、B、P在同一條直線上，
∵PO＝4，△OCP≌△OBQ，
∴QO＝PO＝4，∠COP＝∠BOQ，
∴∠QOP＝∠BOC＝90°，
∴△POQ是直角三角形，
∵S△POQOP?OQ4×4＝8，
∴S四邊形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ＝8，
故選：B．
【點睛】本題屬旋轉(zhuǎn)綜合題目，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合思想得出S四邊形OBPC＝S△OCP+S△OBP＝S△OBQ+S△OBP＝S△POQ是解題的關(guān)鍵．
2．一副三角板按圖1所示的位置擺放，將△DEF繞點A(F)逆時針旋轉(zhuǎn)60°后(圖2)，測得CG＝10cm，則兩個三角形重疊(陰影)部分的面積為( )
A．75cm2；B．（25＋25)cm2；C．(25＋)cm2；D．(25＋)cm2
【答案】C
【分析】過點G作，根據(jù)題意及三角函數(shù)可得，，結(jié)合圖形求解即可得出結(jié)果．
【詳解】解：過點G作，如圖所示，
，，，
在中，
，
在中，
，
∴，
陰影部分的面積為：，
故選：C．
【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)、三角形的面積公式，銳角三角函數(shù)解三角形等，掌握旋轉(zhuǎn)的特征和三角形的面積公式是解答本題的關(guān)鍵．
3．如圖，O是正△ABC內(nèi)一點，OA=3，OB=4，OC=5，將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′，下列結(jié)論：①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到；②點O與O′的距離為4；③∠AOB=150°；④S四邊形AOBO′=6+4；⑤S△AOC+S△AOB=6+，其中正確的結(jié)論是（ ）
A．①②③⑤B．①②③④C．①②④⑤D．①②③④⑤
【答案】D
【分析】證明△BO′A≌△BOC，又∠OBO′=60°，所以△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，故結(jié)論①正確；
由△OBO′是等邊三角形，可知結(jié)論②正確；
在△AOO′中，由三邊長為3，4，5，得△AOO′是直角三角形；進而求得∠AOB=150°，故結(jié)論③正確；
S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+4，故結(jié)論④正確；
將△AOC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)60°到△ABO'位置，S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+，故結(jié)論⑤正確．
【詳解】如圖，
由題意可知，∠1+∠2=∠3+∠2=60°，
∴∠1=∠3，
又∵OB=O′B，AB=BC，
∴△BO′A≌△BOC，
又∵∠OBO′=60°，
∴△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，
故結(jié)論①正確；
如圖，連接OO′，
∵OB=O′B，且∠OBO′=60°，
∴△OBO′是等邊三角形，
∴OO′=OB=4．
故結(jié)論②正確；
∵△BO′A≌△BOC，
∴O′A=5．
在△AOO′中，三邊長為3，4，5，這是一組勾股數(shù)，
∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′=90°，
∴∠AOB=∠AOO′+∠BOO′=90°+60°=150°，
故結(jié)論③正確；
S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=×3×4+×42=6+4，
故結(jié)論④正確；
如圖2，將△AOC繞A點順時針旋轉(zhuǎn)60°到△ABO'位置，
同理可得S△AOC+S△AOB= S四邊形AOBO′=S△AOO′+S△OBO′=6+，故⑤正確；
故選D．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換中等邊三角形，直角三角形的性質(zhì)．利用勾股定理的逆定理，判定勾股數(shù)3、4、5所構(gòu)成的三角形是直角三角形，這是本題的要點．
4．如圖，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到，連接．若，，則四邊形面積的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為，再進行分析解答
【詳解】由旋轉(zhuǎn)得：，
∴，
設(shè)四邊形面積為S，
∴．
由旋轉(zhuǎn)可知，AB＝AD，而∠DAB＝60°，
∴△ABD是等邊三角形，
∴，∠ADB＝∠ABD＝∠DAB＝60°，
∴，
∴最大時，最小，
作的外接圓，
易知．
∴，．
當為中點時，面積最大，
過作于，則．
設(shè)，．
∴，．
∴．
∴．
故選D．
【點睛】本題求面積的最小值，考查的知識點有等邊三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理等知識，綜合性強，難度較大．
5．將反比例函數(shù)y＝的圖象繞坐標原點O逆時針旋轉(zhuǎn)30°，得到如圖的新曲線A（﹣3，3），B（，）的直線相交于點C、D，則△OCD的面積為（ ）
A．3B．8C．2D．
【答案】A
【分析】根據(jù)點A、B的坐標可求出OA、OB的長，以及OA、OB與x軸的夾角，進而可得到旋轉(zhuǎn)前各個點的對應(yīng)點的坐標，以及原直線的關(guān)系式，進而求出旋轉(zhuǎn)前C′、D′的坐標，畫出相應(yīng)圖形，結(jié)合反比例函數(shù)的圖象，可求出面積
【詳解】解：連接OA、OB，過點A、B，分別作AM⊥x軸，BN⊥x軸，垂足為M、N，
∵點A（－3，3），B（，），
∵OM＝3，AM＝3，BN＝，ON＝，
∴OA＝＝6，OB＝＝3，
∵tan∠AOM＝＝，
∴∠AOM＝60°，
同理，∠BON＝30°，
因此，旋轉(zhuǎn)前點A所對應(yīng)的點A′（0，6），點B所對應(yīng)的點B′（3，0），
設(shè)直線A′B′的關(guān)系式為y＝kx＋b，故有，，解得，k＝－2，b＝6，
∴直線A′B′的關(guān)系式為y＝－2x＋6，
由題意得，，解得，，
因此，點C、D在旋轉(zhuǎn)前對應(yīng)點的坐標為C′（1，4），D′（2，2），如圖2所示，
過點C′、D′，分別作C′P⊥x軸，D′Q⊥x軸，垂足為P、Q，
則，C′P＝4，OP＝1，D′Q＝2，OQ＝2，
∴S△COD＝S△C′OD′＝S梯形C′PQD′＝（2＋4）×（2－1）＝3，
故選：A．
【點睛】考查反比例函數(shù)、一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，求出直線AB在旋轉(zhuǎn)前對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式是解決問題的關(guān)鍵．
6．如圖，在矩形ABCD中，∠ABD＝60°，BD＝16，連接BD，將△BCD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)n°（0°＜n＜90°），得到ΔB′C′D，連接BB′，CC′，延長CC′交BB′于點N，連接AB′，當∠BAB′＝∠BNC時，則△ABB′的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】過點D作DE⊥AB′，交的延長線于點E，利用直角三角形的邊角關(guān)系可得AD的長，由旋轉(zhuǎn)可知：DC＝DC′，DB＝DB′，∠CDC′＝∠BDB′，得到△CDC′∽△BDB′，則∠DCC′＝∠DBB′，利用三角形的內(nèi)角和定理可得∠BNC=∠CDB=60°，于是∠BAB′＝60°；在中利用直角三角形的邊角關(guān)系可得AE，DE，在中，利用勾股定理可求，則AB′＝B′E﹣AE；利用平行線之間的距離相等可得△ABB′中AB′邊上的高等于DE，利用三角形的面積公式結(jié)論可求．
【詳解】解：過點D作DE⊥AB′，交B′A的延長線于點E，如圖，
在矩形ABCD中，
∵∠ABD＝60°，BD＝16，
∴AD＝BC＝BD?sin∠ABD＝16×＝8．
由旋轉(zhuǎn)可知：DC＝DC′，DB＝DB′，∠CDC′＝∠BDB′，
∴，
∴△CDC′∽△BDB′．
∴∠DCC′＝∠DBB′．
∴∠BNC＝∠CDB．
∵∠CDB＝∠ABD，∠BNC＝∠BAB′，∠ABD＝60°，
∴∠BAB′＝60°．
∵∠BAD＝90°，
∴∠EAD＝180°﹣∠BAB′﹣∠BAD＝30°．
∴DE＝＝4，
AE＝AD?cs∠EAD＝8×＝12．
∴B′E＝．
∴AB′＝B′E﹣AE＝4﹣12．
∵∠BAB′＝∠ABD＝60°，
∴AB′∥BD．
∴△ABB′中AB′邊上的高等于DE．
∴
＝×（4﹣12）×4
＝8﹣24．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的邊角關(guān)系，相似三角形的判定與性質(zhì)，過點D作DE⊥，添加適當?shù)妮o助線，利用直角三角形的邊角關(guān)系求得的長是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
7．如圖，一副三角板如圖1放置，，頂點重合，將繞其頂點旋轉(zhuǎn)，如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當，連接，，此時四邊形的面積是________．
【答案】
【分析】延長CE交AB于點F，先根據(jù)特殊直角三角形的性質(zhì)和∠AED=75°，推出AB∥CD，從而可證四邊形ABCD為平行四邊形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出EF長，則可求出CF長，最后計算平行四邊形ABCD的面積即可．
【詳解】解：如圖2，延長CE交AB于點F，
∵，
∴，
又，
∴，
∴AB∥CD，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴，即，
∴，，
∴，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的判定和平行四邊形面積的計算，先證出四邊形ABCD是平行四邊形是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點D是AC的中點，將CD繞著點C逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)的過程中點D的對應(yīng)點為點E，連接AE、BE，則△AEB面積的最小值是_______．
【答案】1
【分析】作于，如圖，先利用勾股定理計算出，再利用面積法計算出，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，然后利用點在線段上時，點到的距離最小，從而可計算出的面積的最小值．
【詳解】解：作于，如圖，
，，，
，
，
，
點是的中點，
，
將繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中點的對應(yīng)點為點，
，即點在以為圓心，2為半徑的圓上，
點在線段上時，點到的距離最小，
的面積的最大值為．
故答案為：1．
【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等．也考查了勾股定理．
9．如圖在RtABC中，∠BAC=90°，AB= AC =10，等腰直角三角形ADE繞點A旋轉(zhuǎn)，∠DAE=90°，AD= AE =4，連接DC，點M、P、N分別為DE、DC、BC的中點，連接MP、PN、MN，則△PMN面積的最小值是_______．
【答案】
【分析】通過和為等腰直角三角形，判定出，得到 通過已知條件，再設(shè)得到為等腰直角三角形，所以當BD最小時，的面積最小，D是以A為圓心，AD=4為半徑的圓上的點，所以點D在AB上時，BD最小，即可得到最終結(jié)果．
【詳解】RtABC中，∠BAC=90°，AB= AC =10，
為等腰直角三角形，
又∠DAE=90°，AD= AE =4，
為等腰直角三角形，

點M、P、N分別為DE、DC、BC的中點，

設(shè)

是等腰直角三角形，

當BD最小時，的面積最小，
是以A為圓心，AD=4為半徑的圓上的點，
點D在AB上時，BD最小，


△PMN面積的最小值是．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，涉及全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，有一定難度和綜合性，屬于壓軸題，熟練掌握這些性質(zhì)，利用旋轉(zhuǎn)解題是關(guān)鍵．
10．如圖所示，在和中，，，，連接、，將繞點旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當最大時，______．
【答案】6
【分析】先確定D的軌跡是以A為圓心，AD為半徑的圓，再由，分析出當最大時，AH最大，再由直角三角形斜邊大于直角邊得在旋轉(zhuǎn)過程中，即，時，AH取得最大值3，算出此時的面積為，再通過取BD中點G，連接AG并延長至F，使得FG=AG，證明即可．
【詳解】解：如圖，將繞點A旋轉(zhuǎn)一周，D的軌跡為以點A圓心，AD為半徑的圓，過A作BD垂線交BD延長線于H，
當最大時，AH最大，
在旋轉(zhuǎn)過程中，
即時，AH取得最大值3
此時直角三角形中，
的面積為，
如圖，取取BD中點G，連接AG并延長至F，使得FG=AG，
故答案為：6．
【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，難度較大，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．
三、解答題
11．如圖1，在等腰三角形中，，點D、E分別在邊、上，，連接．點M、N、P分別為的中點．
(1)觀察猜想．
圖1中，線段的數(shù)量關(guān)系是__________，的大小為__________．
(2)探究證明
把繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置，連接，判斷的形狀，并說明理由；
(3)拓展延伸
將圖1中的繞點A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，請直接寫出面積的最大值．
【答案】(1)NM=NP；60°；
(2)是等邊三角形，理由見解析
(3)的最大面積為
【分析】（1）先證明由AB=AC，AD=AE，得BD=CE，再由三角形的中位線定理得NM與NP的數(shù)量關(guān)系，由平行線性質(zhì)得∠MNP的大小；
（2）先證明△ABD≌△ACE得BD=CE，再由三角形的中位線定理得NM=NP，由平行線性質(zhì)得∠MNP=60°，再根據(jù)等邊三角形的判定定理得結(jié)論；
（3）當最大，則最大，則等邊的面積最大，則當時最大，再由等邊三角形的面積公式進行計算便可．
(1)
解：∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∵點M、N、P分別為DE、BE、BC的中點，
∴MN=BD，PN=CE，，
∴MN=PN，∠ENM=∠EBA，∠ENP=∠AEB，
∴∠MNE+∠ENP=∠ABE+∠AEB，
∵∠ABE+∠AEB=180°-∠BAE=60°，
∴∠MNP=60°，
故答案為：NM=NP；60°；
(2)
△MNP是等邊三角形． 理由 如下：
由旋轉(zhuǎn)可得，∠BAD=∠CAE，
又∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，
∵點M、N、P分別為DE、BE、BC的中點．
∴MN=BD，PN=CE，
∴MN=PN，∠ENM=∠EBD，∠BPN=∠BCE，
∴∠ENP=∠NBP+∠NPB=∠NBP+∠ECB，
∵∠EBD=∠ABD+∠ABE=∠ACE+∠ABE，
∴∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC+∠ECB=180°-∠BAC=60°，
∴△MNP是等邊三角形；
(3)
由（2）得，當最大，則最大，則等邊的面積最大，
當時最大，
此時BD=AB+AD=8，
∴MN=PN=4，
∴△MNP的面積=，
∴△MNP的面積的最大值為．
【點睛】本題是三角形的一個綜合題，主要考查了等邊三角形的判定，三角形的中位線定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵證明三角形全等和運用三角形中位線定理使已知與未知聯(lián)系起來．
12．如圖1，在矩形ABCD中，AB＝，∠ABD＝30°，點E是邊AB的中點，過點E作EF⊥AB交BD于點F.
(1)在一次數(shù)學(xué)活動中，小王同學(xué)將圖1中的△BEF繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°如圖2所示，得到結(jié)論：
①的值為 ；
②直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為 ；
(2)小王同學(xué)繼續(xù)將△BEF繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至如圖3所示位置.請問探究（1）中的結(jié)論是否仍然成立？并說明理由；
(3)在以上探究中，當△BEF旋轉(zhuǎn)至D、E、F三點共線時，則△ADE的面積為 .
【答案】(1)①；②
(2)結(jié)論成立，理由見解析
(3)
【分析】（1）通過證明△FBD∽△EBA，可得，∠BDF＝∠BAE，即可求解；
（2）通過證明△ABE∽△DBF，可得，∠BDF＝∠BAE，即可求解；
（3）分兩種情況討論，先求出AE，DG的長，即可求解．
(1)
解：如圖1，∵∠ABD＝30°，∠DAB＝90°，EF⊥BA，
∴cs∠ABD＝，
如圖2，設(shè)AB與DF交于點O，AE與DF交于點H，
∵△BEF繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，
∴∠DBF＝∠ABE＝90°，
∴△FBD∽△EBA，
∴，∠BDF＝∠BAE，
又∵∠DOB＝∠AOF，
∴∠DBA＝∠AHD＝30°，
∴直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為30°，
故答案為：，30°；
(2)
結(jié)論仍然成立，
理由如下：如圖3，設(shè)AE與BD交于點O，AE與DF交于點H，
∵將△BEF繞點B按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，
∴∠ABE＝∠DBF，
又∵，
∴△ABE∽△DBF，
∴，∠BDF＝∠BAE，
又∵∠DOH＝∠AOB，
∴∠ABD＝∠AHD＝30°，
∴直線AE與DF所夾銳角的度數(shù)為30°．
(3)
如圖4，當點E在AB的上方時，過點D作DG⊥AE于G，
∵AB＝4，∠ABD＝30°，點E是邊AB的中點，∠DAB＝90°，
∴BE＝2，AD＝4，DB＝8，
∵∠EBF＝30°，EF⊥BE，
∴EF＝2，
∵D、E、F三點共線，
∴∠DEB＝∠BEF＝90°，
∴DE＝，
∵∠DEA＝30°，
∴DG＝DE＝，
由（2）可得：，
∴，
∴AE＝，
∴△ADE的面積＝AE×DG＝×（）×＝；
如圖5，當點E在AB的下方時，過點D作DG⊥AE，交EA的延長線于G，
同理可求：△ADE的面積＝×AE×DG＝×（）×＝；
故答案為：或．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，利用分情況討論思想解決問題是解題的關(guān)鍵.
13．如圖，矩形中，為等邊三角形．點E，F(xiàn)分別為邊上的動點，且，P為上一動點，連接，將線段繞點B順時針旋轉(zhuǎn)至，連接．
(1)求證：；
(2)當三條線段的和最小時，求的長；
(3)若點E以每秒2個單位的速度由A點向D點運動，點P以每秒1個單位的速度由E點向F點運動．E，P兩點同時出發(fā)，點E到達點D時停止，點P到達點F時停止，設(shè)點P的運動時間為t秒．
①求t為何值時，與相似；
②求的面積S的最小值．
【答案】(1)證明見解析
(2)
(3)①；②
【分析】（1）等邊三角形的性質(zhì)，可得，再由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得到，即可求證；
（2）作，交于點，則，根據(jù)題意可得當G，M，P，E四點共線時，最小，再由為等邊三角形，，可得，然后根據(jù)，可即可求解；
（3）①根據(jù)題意可得：，則．再利用相似三角形的性質(zhì)，即可求解；②分兩種情況討論：當時，當時，即可求解．
(1)
證明：∵為等邊三角形
∴
∵
∴
又∵
∴
∴；
(2)
解：如圖，作，交于點，則，
∵，
∴為等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴當G，M，P，E四點共線時，最小，
∵為等邊三角形，，
∴，
∵為等邊三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴當三條線段的和最小時，；
(3)
解：①由題意得：，則．
∵，
∴若，則，
即（不合題意，舍去）；
若，則需，
即，解得；
綜上所述，當時，．
②當時，
∵，，
∴，，
∴
∴
所以當時，的面積最小為．
當時，
，
∴
故時，的面積最小為．
綜上所述，的面積最小為．
【點睛】本題主要考查了圖形的旋轉(zhuǎn)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角三角形，熟練掌握圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．面直角坐標系中，O為原點，點，點，線段的中點為點C．將繞著點B逆時針旋轉(zhuǎn)，點O對應(yīng)點為，點A的對應(yīng)點為．
(1)如圖①，當點恰好落在上時，
①此時的長為__________；
②點P是線段上的動點，旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點為，連接，試求最小時點P的坐標；
(2)如圖②，連接，則在旋轉(zhuǎn)過程中，的面積是否存在最大值？若存在，直接寫出最大值，若不存在，說明理由．
【答案】(1)①1.5
②
(2)存在最大值，最大值為69
【分析】（1）①利用勾股定理求出AB，可得結(jié)論．
②如圖2中，連接AA1，OO1．利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．
（2）因為O1A1=12是定值，直線O1A1與B為圓心，OB為半徑的圓相切，當CO1最大時，△O1A1C的面積最大．
（1）
解：①∵點，點，
∴OA=12，OB=5，
∴AB=，
∵線段的中點為點C，
∴BC=6.5，
由旋轉(zhuǎn)可得，BO1=OB=5，
∴O1C=BC-BO1=6.5-5=1.5，
故答案為：1.5；
②作點B關(guān)于x軸的對稱點，連接，過點作于G，則，
∴，
由對稱性可知，，
∴與x軸的交點即為所求的點P，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
易求得直線的解析式為，
令，得，
∴滿足條件的點P的坐標為；
（2）
解：如圖，因為O1A1=12是定值，直線O1A1與B為圓心，OB為半徑的圓相切，當CO1最大時，△O1A1C的面積最大，
面積最大時，O1在CB的延長線時，此時CO1=5+6.5=11.5，
∴△O1A1C的面積的最大值==
∴的面積存在最大值，最大值為69．
【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考壓軸題．
15．如圖，在中，，，．點從點出發(fā)，以每秒4個單位長度的速度向終點勻速運動，過點作交折線，于點，連結(jié)，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到．設(shè)點的運動時間為t（秒）．
(1)用含的代數(shù)式表示線段的長．
(2)當點落在邊上時，求的長．
(3)當點在內(nèi)部時，求的取值范圍．
(4)當線段將的面積分成 的兩部分時，直接寫出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)或
【分析】（1）設(shè)點已運動，由題意可用表示，根據(jù)銳角三角函數(shù)知識能用表示；
（2）設(shè)點已運動，由題意可用表示，和來，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，還有的長，根據(jù)勾股定理可得關(guān)于的方程，解之即可；
（3）由題意，點從點運動到點共需，當恰好落在邊上時，在，和中，根據(jù)銳角三角函數(shù)，可得到關(guān)于的方程，求出此時的值，從而得解；
（4）首先根據(jù)題意求出的面積，然后用表示出的面積，再根據(jù)線段將的面積分成 的兩部分，構(gòu)造方程，解之即可．
(1)
∵，
∴，，
∵點以每秒4個單位長度的速度由向勻速運動，設(shè)點已運動，
∴，
∵，
∴，
∴．
(2)
設(shè)點已運動，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，，
∴
∴，
∴，
∴．
(3)
∵，
∴點從點運動到點共需，
當恰好落在邊上時，如圖，
∵，
∴，，，
∵，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∵將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，
∴，，
∴，
在中，
∵
∴，
∴，
∴．
(4)
∵，，
∴，
設(shè)，，
∵，
∴，
∵線段將的面積分成 的兩部分，
∴或，
∴或．
【點睛】本題主要考查了三角形的動態(tài)問題，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的知識，根據(jù)題意化動為靜，找出臨界狀態(tài)，并根據(jù)題意畫出圖形列出相應(yīng)的方程是解本題的關(guān)鍵
16．如圖1，在中，，，AO是BC邊上的中線，點D是AO上一點，，E是垂足，可繞著點O旋轉(zhuǎn)，點F是點E關(guān)于點O的對稱點，連接AD和CF．
(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖2，當時，則下列結(jié)論正確的是_______．（填序號）
①；②點F是OC的中點：③AO是的角平分線；④．
(2)數(shù)學(xué)思考：將圖2中繞點O旋轉(zhuǎn)，如圖3，則AD和CF具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請給出證明過程；
(3)拓展應(yīng)用：在圖1中，若，將繞著點O旋轉(zhuǎn)．
①則_______CF；
②若，，在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖4，當點D落在AB上時，連結(jié)BE，EC，求四邊形ABEC的面積．
【答案】(1)①②④
(2)，見解析
(3)①；②
【分析】（1）根據(jù)中心對稱的性質(zhì)與是中線定義可判定①，證DEAB，利用平行線分線段成比例可判定②，利用ABS，
②如圖2，若旋轉(zhuǎn)的角度等于（30°-），
則S'-S=（2M'E+EP')-（2ME+EP)=PP'-2MM'，
在DQ、DP'上分別取點R'、P''，
使DR'=DR.DP''=DP，
連接PR'、QP''，
則PR'=PR，QP''=QP，
因為∠QP''P'=∠QPG=∠DP'P+∠PDP'>∠DP'P.所以QP'＞QP''，
同理QP>PR，
S'>S，
因而2MM'=2PR

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