中考數(shù)學(xué)難點突破與經(jīng)典模型精講練(全國通用)專題33旋轉(zhuǎn)綜合題中的線段問題(原卷版+解析)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單選題
1．（2022·山西省運城市實驗中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在中，，點D，E分別是，上的一點，將沿直線折疊，點A落在處，若四邊形是菱形，則的度數(shù)為（）．
A．B．C．D．
2．（2022·廣東佛山·九年級期中）如圖，在正方形中，，點E，F(xiàn)分別在邊上，，若將四邊形沿折疊，點恰好落在邊上，則的長度為（）
A．1B．C．D．2
3．（2022·安徽·懷遠(yuǎn)縣劉圩初級中學(xué)九年級期中）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點B落在點F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長的最小值為（）
A．B．C．D．
4．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，將平行四邊形沿對角線折疊，使點A落在E處．若，，則的度數(shù)為( )
A．B．C．D．
5．（2022·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學(xué)三模）如圖，矩形ABCD沿EF折疊后，若∠DEF＝70°，則∠1的度數(shù)是（）
A．70°B．55°C．40°D．35°
6．（2022·廣西·平果市教研室九年級期末）如圖，在中，，，，，點D在邊上，連接，如果將沿翻折后，點B的對應(yīng)點為點E，那么點E到直線的距離為（）
A．B．4C．D．
7．（2022·重慶·忠縣花橋鎮(zhèn)初級中學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，在中，，，點D是邊上一點（點D不與點B，C重合），將沿翻折，點C的對應(yīng)點為點E，交于點F，若，則點B到線段的距離為（）
A．B．C．D．
8．（2022·重慶·西南大學(xué)附中九年級階段練習(xí)）如圖，在中，，，點D是AB的中點，將沿著CD翻折到的位置，若，則（）
A．B．10C．15D．
9．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，矩形ABCO，點A、C在坐標(biāo)軸上，點B的坐標(biāo)為．將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，則點D的坐標(biāo)是（）
A．B．C．D．
10．（2022·河南洛陽·二模）如圖，正方形的邊長為4，點F為邊的中點，點P是邊上不與端點重合的一動點，連接．將沿翻折，點A的對應(yīng)點為點E，則線段長的最小值為（）
A．B．C．D．
11．（2022·吉林·長春力旺實驗初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）在如圖所示的紙片中，，D是斜邊AB的中點，把紙片沿著CD折疊，點B到點E的位置，連接AE．若，，則等于（）
A．B．C．D．
12．（2022·全國·九年級期中）如圖，四邊形是邊長為的正方形紙片，為邊上的點，，將紙片沿某條直線折疊，使點落在點處，點的對應(yīng)點為，折痕分別與，邊交于點、，則的長是（）
A．B．C．D．
13．（2022·山西·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＜AC，∠C＝45°，AB＝5，BC＝4，點D在AC上運動，連接BD，把△BCD沿BD折疊得到，交AC于點E，，則圖中陰影部分的面積是（）
A．B．C．D．
二、填空題
14．（2022·山東濟南·九年級期中）如圖，在矩形中，，點E在上，將矩形沿折疊，點D恰好落在邊上的點F處，則的值為 _____．
15．（2022·重慶一中九年級開學(xué)考試）如圖，在三角形中，，，，點、點分別為線段、上的點，連接．將沿折疊，使點A落在的延長線上的點處，此時恰好有，則的長度為 __．
16．（2022·廣東·豐順縣建橋中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知在菱形中，，，點是上的一個動點，過點作交于點，交于點，將沿折疊，使點落在點處，當(dāng)是直角三角形時，的長為____．
三、解答題
17．（2022·山西省運城市實驗中學(xué)九年級階段練習(xí)）綜合與實踐
問題情境：如圖1，在中，，點D是的中點，連接，將沿直線折疊，點B落在點E處，連接．
獨立思考：
(1)在圖1中，若，，則的長為______；
實踐探究：
(2)在圖1中，請你判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
問題解決：
(3)如圖2，在中，，，點D是的中點，連接，將沿直線折疊，點B落在點E處，連接．請判斷四邊形的形狀，并說明理由．
18．（2022·四川·成都西川中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖1，在正方形中，，分別為，的中點，連接，，交點為．
(1)求證：；
(2)將沿對折，得到（如圖，延長交的延長線于點，求的值．
19．（2022·河南·鄭州外國語中學(xué)九年級期中）如圖，在四邊形紙片中，，，將紙片沿過點D的直線折疊，使點C落在上的點處，折痕交于點E，連接．
(1)請確定四邊形的形狀，并說明理由；
(2)若，，過點作于F，連接交于點M，連接：
①四邊形的面積為_______；
②=_______．
20．（2022·廣東·豐順縣北斗鎮(zhèn)千頃中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點恰好落在對角線上的點處（不與，重合），折痕為，若，，則的長為____．
21．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，，，．
(1)求∠ABC的度數(shù)；
(2)把BCD沿BC翻折得到BCE，過點A作，垂足為F，求證：；
(3)在（2）的條件下，連接DE，若四邊形ABCD的面積為45，，求DE的長．
22．（2022·湖北·武漢市新洲區(qū)陽邏街第一初級中學(xué)三模）（1）如圖，在正方形中，是上一動點，將正方形沿著折疊，點落在點處，連接，并延長交于點求證：；
（2）在（1）的條件下，如圖，延長交邊于點若，求的值；
（3）如圖，四邊形為矩形，同樣沿著折疊，連接，延長分別交于兩點，若，則的值為___________（直接寫出結(jié)果）
23．（2022·浙江·寧波外國語學(xué)校九年級階段練習(xí)）已知一個直角三角形紙片，其中，，，點、分別是、邊上的一動點，連接，將紙片的一角沿折疊．
(1)若折疊后點落在邊上的點處（如圖，且，求的長；
(2)若，折疊后點的對應(yīng)點為點（如圖，連結(jié)．
①若點恰好在邊上（如圖，求的長．
②求的最小值．
24．（2022·吉林·長春市第一〇八學(xué)校九年級期中）[教材呈現(xiàn)]如圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第103頁的部分內(nèi)容．
(1)請根據(jù)教材提示，結(jié)合圖1，寫出完整的證明過程．
(2)[結(jié)論應(yīng)用]如圖2，直角三角形紙片中，，點D是邊上的中點，連接，將沿折疊，點A落在點E處，此時恰好有．若，那么．
(3)如圖3，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，G是的中點，．若，則．
25．（2020·新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)九年級期中）在平行四邊形中，，已知，將沿翻折至，連接交邊于點O．
(1)如圖，若，求的度數(shù)；
(2)若，
①當(dāng)?shù)拈L為多少時，四邊形是矩形．
②設(shè)，求y與x的關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．
例2 如圖，在中，，是斜邊上的中線．求證：．
證明：延長至點E，使，連接．
專題33 旋轉(zhuǎn)綜合題中的線段問題
【題型演練】
一、單選題
1．（2022·山西省運城市實驗中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在中，，點D，E分別是，上的一點，將沿直線折疊，點A落在處，若四邊形是菱形，則的度數(shù)為（）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由折疊的性質(zhì)，可得，由菱形的性質(zhì)可得，由等腰三角形的性質(zhì)即可求解．
【詳解】解：將沿直線折疊，點A落在處，
，
四邊形是菱形，
，
．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用靈活應(yīng)用相關(guān)性質(zhì)解題．
2．（2022·廣東佛山·九年級期中）如圖，在正方形中，，點E，F(xiàn)分別在邊上，，若將四邊形沿折疊，點恰好落在邊上，則的長度為（）
A．1B．C．D．2
【答案】D
【分析】由正方形的性質(zhì)得出，由折疊的性質(zhì)得出，設(shè)，則，由直角三角形的性質(zhì)可得：，解方程求出x即可得出答案．
【詳解】∵四邊形是正方形，
∴，
∴，
∵將四邊形沿折疊，點恰好落在邊上，
∴，
∴，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
解得．
故選：D．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，含角的直角三角形的性質(zhì)等知識點，能綜合性運用性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．
3．（2022·安徽·懷遠(yuǎn)縣劉圩初級中學(xué)九年級期中）如圖，在Rt△ABC紙片中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，點D，E分別在BC，AB邊上，連接DE，將△BDE沿DE翻折，使點B落在點F的位置，連接AF，若四邊形BEFD是菱形，則AF的長的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】連接BF交ED于點0，設(shè)EF與AC交于點G．根據(jù)菱形的性質(zhì)可得點F在∠ABC的平分線上運動，從而得到當(dāng)AF⊥BF時，AF的長最?。僮C明△BEO∽△BAF，可得，再證明△AGE∽△ACB，，從而得到GF=1，再由勾股定理，即可求解．
【詳解】解：如圖，連接BF交ED于點O，設(shè)EF與AC交于點G．
∵四邊形BEFD是菱形，
∴BF平分∠ABC，
∴點F在∠ABC的平分線上運動，
∴當(dāng)AF⊥BF時，AF的長最?。?br>在菱形BEFD中，BF⊥ED，OB=OF，EF∥BC，
∴EO∥AF，
∴△BEO∽△BAF，
∴，
∴，
在中，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴BE=AE=2.5，
∵AF⊥BF，
∴EF=2.5，
∵EF∥BC，
∴△AGE∽△ACB，
∴，
∴，
∴GF=EF-EG=1，
∵∠AGF=∠AGE=90°，
∴．
故選：A
【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，準(zhǔn)確得到點F在∠ABC的平分線上運動是解題的關(guān)鍵．
4．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，將平行四邊形沿對角線折疊，使點A落在E處．若，，則的度數(shù)為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)，得出，根據(jù)折疊得出，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出∠A的度數(shù)即可．
【詳解】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴，
，
根據(jù)折疊可知，，
∴，
，
∴，故C正確．
故選：C．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，折疊性質(zhì)，根據(jù)已知條件求出是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·河北·大名縣束館鎮(zhèn)束館中學(xué)三模）如圖，矩形ABCD沿EF折疊后，若∠DEF＝70°，則∠1的度數(shù)是（）
A．70°B．55°C．40°D．35°
【答案】C
【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)折疊的性質(zhì)以及平角的定義即可求解．
【詳解】解：∵四邊形是矩形，
∴，
∵∠DEF＝70°，
∴，
∵折疊的性質(zhì)，
∴∠1．
故選：C．
【點睛】本題考查了矩形與折疊問題，平行線的性質(zhì)，掌握折疊的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
6．（2022·廣西·平果市教研室九年級期末）如圖，在中，，，，，點D在邊上，連接，如果將沿翻折后，點B的對應(yīng)點為點E，那么點E到直線的距離為（）
A．B．4C．D．
【答案】A
【分析】先證是等邊三角形，可得，由折疊的性質(zhì)可得，，由直角三角形的性質(zhì)可求解．
【詳解】解：如圖，過點E作于N，
∵，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∵將沿翻折后，點B的對應(yīng)點為點E，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即點E到直線的距離為，故A正確．
故選：A．
【點睛】本題主要考查了翻折變換，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，靈活運用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
7．（2022·重慶·忠縣花橋鎮(zhèn)初級中學(xué)校九年級階段練習(xí)）如圖，在中，，，點D是邊上一點（點D不與點B，C重合），將沿翻折，點C的對應(yīng)點為點E，交于點F，若，則點B到線段的距離為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】過A作于G，過B作于H，依據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，即可得到的長，再根據(jù)勾股定理即可得到的長，最后依據(jù)面積法即可得出的長，進而得到點B到線段的距離．
【詳解】解：如圖，過A作于G，過B作于H，
∵，
∴，，
∵，
∴，，由折疊的性質(zhì)得：，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴中，，
∵，
∴
故選：B．
【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、勾股定理的運用，二次根式的除法運算，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等．
8．（2022·重慶·西南大學(xué)附中九年級階段練習(xí)）如圖，在中，，，點D是AB的中點，將沿著CD翻折到的位置，若，則（）
A．B．10C．15D．
【答案】C
【分析】設(shè)相交于點O，根據(jù)直角三角形的斜邊上的中線等于斜邊的一半可得：，由翻折的性質(zhì)得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，利用可得,則，根據(jù)勾股定理求出，即可得的值．
【詳解】解：設(shè)相交于點O，如圖所示：
在中，，，點D是AB的中點，
，
由翻折得，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故選：C．
【點睛】本題考查翻折變換，直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握其相關(guān)的性質(zhì)．
9．（2022·全國·九年級課時練習(xí)）如圖，矩形ABCO，點A、C在坐標(biāo)軸上，點B的坐標(biāo)為．將△ABC沿AC翻折，得到△ADC，則點D的坐標(biāo)是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】如圖，過作軸于點，延長交于，由題意知，四邊形是矩形，由翻折的性質(zhì)可知，，，則，，證明，則，即，計算求出、的長，進而可得點坐標(biāo)．
【詳解】解：如圖，過作軸于點，延長交于，
由題意知，四邊形是矩形，由翻折的性質(zhì)可知，，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
故選A．
【點睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造、，利用相似的判定與性質(zhì)求出線段、的長．
10．（2022·河南洛陽·二模）如圖，正方形的邊長為4，點F為邊的中點，點P是邊上不與端點重合的一動點，連接．將沿翻折，點A的對應(yīng)點為點E，則線段長的最小值為（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先確定線段EF的最小值的臨界點，然后結(jié)合正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，以及勾股定理，即可求出答案．
【詳解】解：連接BF，則EF≥BF－BE，當(dāng)點B、E、F在同一條直線上時，EF的長度有最小值，如圖
由翻折的性質(zhì)，BE=AB=4，
在正方形ABCD中，BC=CD=4，∠C=90°，
∵點F為邊的中點，
∴CF=2，
∴，
∴；
故選：B．
【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑問題，解題的關(guān)鍵掌握所學(xué)的知識，正確找出線段最小值的臨界點，從而進行解題．
11．（2022·吉林·長春力旺實驗初級中學(xué)九年級階段練習(xí)）在如圖所示的紙片中，，D是斜邊AB的中點，把紙片沿著CD折疊，點B到點E的位置，連接AE．若，，則等于（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可知CD=BD=AD，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知∠B=∠DCB=∠DCE=∠EDC=，根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得出∠AED=∠EDC，根據(jù)等邊對等角即可求得∠EAD的度數(shù)，最后=∠EAD-∠CAD即可求出．
【詳解】∵D是斜邊AB的中點，△ABC為直角三角形，
∴CD=BD=AD，
∵△CDE由△CDB沿CD折疊得到，
∴△CDE≌△CDB，
則CD=BD=AD=ED，
∴∠B=∠DCB=∠DCE=∠DEC=，
∴∠EDC=180°-2，
∵，
∴∠AED=∠EDC=180°-2，
∵ED=AD，
∴∠EAD=∠AED=180°-2，
∵∠B=，△ABC為直角三角形，
∴∠CAD=90°-，
∴=∠EAD-∠CAD=180°-2-（90°-）=90°-，
故選：B．
【點睛】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形兩個銳角互余，熟練地掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．
12．（2022·全國·九年級期中）如圖，四邊形是邊長為的正方形紙片，為邊上的點，，將紙片沿某條直線折疊，使點落在點處，點的對應(yīng)點為，折痕分別與，邊交于點、，則的長是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】連接BM，，，依據(jù)MN垂直平分，即可得到，設(shè)AM＝x，則DM＝9?x，依據(jù)勾股定理可得方程92＋x2＝62＋（9?x）2，即可得到AM的長．
【詳解】解：如圖，連接BM，，，
由折疊可得，B，關(guān)于MN對稱，即MN垂直平分，
∴，
設(shè)AM＝x，則DM＝9?x，
∵，
∴，
∵Rt△ABM中，BM2＝92＋x2，
中，，
∴92＋x2＝62＋（9?x）2，
解得x＝2，
∴AM＝2，故B正確．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理以及軸對稱的性質(zhì)的運用，解題時，我們常常設(shè)要求的線段長為x，然后根據(jù)折疊和軸對稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運用勾股定理列出方程求出答案．
13．（2022·山西·九年級專題練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＜AC，∠C＝45°，AB＝5，BC＝4，點D在AC上運動，連接BD，把△BCD沿BD折疊得到，交AC于點E，，則圖中陰影部分的面積是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】作AF⊥BC，利用等腰直角三角形和勾股定理求出AC，再利用△ABE∽△ACB求出AE，從而利用求出DE和CD，作BG⊥AC，求出BG，即可求解．
【詳解】解：如圖，過點A作AF⊥BC于點F，
∴∠AFB＝∠AFC＝90°，
∵∠C＝45°，
∴AF＝CF，ACCF，
∵AB＝5，BC＝4，
∴BF＝BC﹣CF＝4CF，
在Rt△ABF中，
AB2＝BF2+AF2，
即52＝（4CF）2+CF2，
解得：CF或，
∵AB＜AC，
∴AF＝CF，
∴ACCF＝7，
∵△BCD沿BD折疊得到△BC′D，
∴，，
∵C′DAB，
∴∠ABE＝∠C′＝45°，
∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝45°+∠CBE，∠ABE＝∠C+∠CBE＝45°+∠CBE，
∴∠ABC＝∠ABE，
∴△ABC∽△AEB，
∴，
即，
∴AE，
∴CE＝AC﹣AE，
∴C′D＝CD＝CE﹣DEDE，
∵C′DAB，
∴，
∴，
即，
解得：DE，
∵S△ABCAF?BC414，
如圖，過點B作BG⊥AC于點G，
∵S△ABCAC?BG，
∴147×BG，
∴BG＝4，
∴S陰影部分DE?BG4．
故選：D．
【點睛】本題考查圖形折疊的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，依次求出AF，AC，DE，BG．
二、填空題
14．（2022·山東濟南·九年級期中）如圖，在矩形中，，點E在上，將矩形沿折疊，點D恰好落在邊上的點F處，則的值為 _____．
【答案】##
【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得，在中，利用勾股定理計算出，則，設(shè)，則，然后在中根據(jù)勾股定理得到，解方程即可得到x，進一步得到的長，再根據(jù)正弦函數(shù)的定義即可求解．
【詳解】解：∵四邊形為矩形，
∴，
∵矩形沿直線折疊，頂點D恰好落在邊上的F處，
∴，
在中，，
∴，
設(shè)，則，
在中，，
∴，
解得，
∴，
∴
故答案為：．
【點睛】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，熟練的掌握軸對稱的性質(zhì)結(jié)合方程思想解題是關(guān)鍵．
15．（2022·重慶一中九年級開學(xué)考試）如圖，在三角形中，，，，點、點分別為線段、上的點，連接．將沿折疊，使點A落在的延長線上的點處，此時恰好有，則的長度為 __．
【答案】
【分析】過點作于點，由勾股定理得出，設(shè)，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，，利用折疊的性質(zhì)得出，，再由相似三角形的判定和性質(zhì)及圖中線段間的數(shù)量關(guān)系求解即可．
【詳解】解：過點作于點，
，，，
，
設(shè)，
，
，，
由折疊得：，
，
∵，
，
，
，
解得：，，
，，
．
故答案為：．
【點睛】題目主要考查勾股定理解三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，理解題意，綜合運用這些知識點并結(jié)合圖形求解是解題關(guān)鍵．
16．（2022·廣東·豐順縣建橋中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，已知在菱形中，，，點是上的一個動點，過點作交于點，交于點，將沿折疊，使點落在點處，當(dāng)是直角三角形時，的長為____．
【答案】或
【分析】分兩種情形①當(dāng)與O重合時，是直角三角形，此時．②當(dāng)時，是直角三角形，此時，列出方程即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接交于O．
∵四邊形是菱形，
∴，
∵，是由翻折得到，
∴，
①當(dāng)與O重合時，是直角三角形，
此時．
②當(dāng)時，是直角三角形，
此時，
∴，
∴，
∴，
綜上所述，滿足條件的的長為或．
【點睛】本題考查翻折變換、菱形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，是由中考填空題中的壓軸題．
三、解答題
17．（2022·山西省運城市實驗中學(xué)九年級階段練習(xí)）綜合與實踐
問題情境：如圖1，在中，，點D是的中點，連接，將沿直線折疊，點B落在點E處，連接．
獨立思考：
(1)在圖1中，若，，則的長為______；
實踐探究：
(2)在圖1中，請你判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
問題解決：
(3)如圖2，在中，，，點D是的中點，連接，將沿直線折疊，點B落在點E處，連接．請判斷四邊形的形狀，并說明理由．
【答案】(1)
(2)，理由見解析
(3)四邊形是菱形，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得到的長，再根據(jù)勾股定理即可求解；
（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)以及等腰三角形等邊對等角可得，，，結(jié)合三角形的內(nèi)角和即可得出結(jié)論；
（3）先根據(jù)有一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：∵在中，點D是的中點，
∴，
根據(jù)勾股定理可得：，
故答案為：．
（2）．理由如下：
方法一：∵，，
∴．
∴，．
設(shè)，則，．
∴．
由折疊可得：，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
∴．
方法二：∵，，
∴．∴．
設(shè)，則，．
由折疊可得：，，
∴，．
∴．
∴．
∴．
（3）四邊形CDAE是菱形
方法一：∵，，
∴．
∵，
∴是等邊三角形．
∴，．
∴．
由折疊可得：，，
∴，．
∴．
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴四邊形是菱形．
方法二：∵，，
∴．
∴．
∵，
∴，是等邊三角形．
∴，．
∴．
由折疊可知：，，
∴，．
∴．
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴四邊形是菱形．
【點睛】本題主要考查了直角三角形斜邊上的中線，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，以及平行線的判定和菱形的判定；解題的關(guān)鍵是熟練掌握各個知識點，明確折疊前后對應(yīng)邊對應(yīng)角相等，等腰三角形等邊對等角，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及平行線的判定定理和菱形的判定定理．
18．（2022·四川·成都西川中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖1，在正方形中，，分別為，的中點，連接，，交點為．
(1)求證：；
(2)將沿對折，得到（如圖，延長交的延長線于點，求的值．
【答案】(1)證明過程見詳解
(2)
【分析】（1）運用，再利用角的關(guān)系求得求證；
（2）沿對折，得到，利用角的關(guān)系求出，解出，求解．
【詳解】（1）證明：∵，分別是正方形邊，的中點，
∴，
在和中，
，
∴，
，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（2）解：根據(jù)題意得，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
令，點是的中點，則，
在中，設(shè)，則，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的計算，解題的關(guān)鍵是掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判斷，解直角三角形的綜合應(yīng)用．
19．（2022·河南·鄭州外國語中學(xué)九年級期中）如圖，在四邊形紙片中，，，將紙片沿過點D的直線折疊，使點C落在上的點處，折痕交于點E，連接．
(1)請確定四邊形的形狀，并說明理由；
(2)若，，過點作于F，連接交于點M，連接：
①四邊形的面積為_______；
②=_______．
【答案】(1)四邊形是菱形，理由見解析
(2)①2；②
【分析】（1）依題意，又，則，則，則，則四邊相等，可得四邊形CDC′E是菱形；
（2）①過點D作，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及含30度的直角三角形性質(zhì)即可得出，進而求出菱形的面積；
②根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，根據(jù)勾股定理得出，然后可知，根據(jù)勾股定理可得，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得，進而可得．
【詳解】（1）四邊形是菱形．
理由如下：根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形為菱形
（2）①
過點D作，
∵，四邊形為菱形，
∴，
∴，
∴菱形的面積為，
故答案為：2．
②∵四邊形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線，折疊的性質(zhì)，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
20．（2022·廣東·豐順縣北斗鎮(zhèn)千頃中學(xué)九年級階段練習(xí)）如圖，在菱形中，，將菱形折疊，使點恰好落在對角線上的點處（不與，重合），折痕為，若，，則的長為____．
【答案】##
【分析】過點作于，根據(jù)菱形的性質(zhì)可證明是等邊三角形，進而可得到，，設(shè)，利用勾股定理求解即可．
【詳解】解：過點作于，則
由折疊性質(zhì)得，
∵在菱形中，，
∴,，
∴是等邊三角形，
∴，，即，
∴，，
設(shè)，則，，，
在中，，
由得，
解得，
∴．
【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、折疊性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識的聯(lián)系與運用是解答的關(guān)鍵．
21．（2022·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，，，．
(1)求∠ABC的度數(shù)；
(2)把BCD沿BC翻折得到BCE，過點A作，垂足為F，求證：；
(3)在（2）的條件下，連接DE，若四邊形ABCD的面積為45，，求DE的長．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)12
【分析】（1）以點A為圓心，AC為半徑作圓A，根據(jù)題意得，即可得點B在圓A上，根據(jù)圓的性質(zhì)得，則是等腰直角三角形，即可得；
（2）過點A作交BD于點G，則，由等腰直角三角形的性質(zhì)得
，，由折疊的性質(zhì)得，，，，設(shè)，則，，根據(jù)得，即可得，利用AAS可證，即，即可得；
（3）作交于點M，交于點N，延長BC交DE于點H，則，根據(jù)題意運用勾股定理即可得，即可得三角形ABC的面積，即可得CN的長度，在中，根據(jù)勾股定理即可得AN的長度，用AAS證明，即可得，即可得三角形BCD的面積為，可得，即可得．
【詳解】（1）解：如圖所示，以點A為圓心，AC為半徑作圓A，
∵，，
∴，
∴點B在圓A上，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
（2）證明：如圖所示，過點A作交BD于點G，
則，
由（1）得，，，
∴，，
由折疊的性質(zhì)得，，，，
設(shè)，則，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和，
∴（AAS），
∴，
∴；
（3）解：如圖所示，作交于點M，交于點N，延長BC交DE于點H，
則，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，，
∴
，
∴，
∵四邊形ABCD的面積為45，
∴
在中，根據(jù)勾股定理得，
，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴（AAS），
∴，
∴，
∴，
即，
，
即．
【點睛】本題考查了翻折的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，圓周角定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積問題，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)和翻折的性質(zhì)，本題綜合性強．
22．（2022·湖北·武漢市新洲區(qū)陽邏街第一初級中學(xué)三模）（1）如圖，在正方形中，是上一動點，將正方形沿著折疊，點落在點處，連接，并延長交于點求證：；
（2）在（1）的條件下，如圖，延長交邊于點若，求的值；
（3）如圖，四邊形為矩形，同樣沿著折疊，連接，延長分別交于兩點，若，則的值為___________（直接寫出結(jié)果）
【答案】（1）見解析；（2）；（3）
【分析】根據(jù)證明三角形全等即可；
如圖中，連接根據(jù)，求出即可解決問題；
如圖中，連接由，可以設(shè)，根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)可得，則，利用勾股定理構(gòu)建方程求解即可．
【詳解】證明：如圖中，
是由折疊得到，
，
，
四邊形是正方形，
，
，
，
在和中，
，
；
解：如圖中，連接．
，
，
由折疊可知，
，
四邊形是正方形，
，
，
，
，
，
，
設(shè)，則，
，
設(shè)，
，
由折疊可知，
，
，
，
或舍棄，
，
；
解：如圖中，連接．
由，
設(shè)，
由知，
，
由折疊可知，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，

，
，
或舍棄，
，
．
【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．
23．（2022·浙江·寧波外國語學(xué)校九年級階段練習(xí)）已知一個直角三角形紙片，其中，，，點、分別是、邊上的一動點，連接，將紙片的一角沿折疊．
(1)若折疊后點落在邊上的點處（如圖，且，求的長；
(2)若，折疊后點的對應(yīng)點為點（如圖，連結(jié)．
①若點恰好在邊上（如圖，求的長．
②求的最小值．
【答案】(1)
(2)①，②
【分析】（1）由折疊的性質(zhì)得出，，得出，由已知得出，證明，得出，即可求出的長；
（2）①如圖3中，漏解交于點．證明四邊形是菱形，求出菱形的邊長，再利用相似三角形的性質(zhì)求解即可；
②由①可知，四邊形是菱形，推出，推出點的運動軌跡是的角平分線，推出當(dāng)時，的值最?。?br>【詳解】（1）如圖1中，
的一角沿折疊，折疊后點落在邊上的點處，
，，
，
，
，
在中，，，，
，
，
，
，即，
；
（2）①如圖3中，連接交于點．
，，，
，
四邊形是菱形，
，，，
，
設(shè)，
，，
，
，
則，，
，
，
，
，，，
，
，，
，
，
，
，
；
②如圖，
由①中圖形可知，四邊形是菱形，
，
，
點的運動軌跡是的角平分線，
當(dāng)時，的值最小，
此時．
【點睛】本題是四邊形綜合題，考查了折疊的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、菱形的判定和性質(zhì)等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形相似和運用勾股定理得出方程是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．
24．（2022·吉林·長春市第一〇八學(xué)校九年級期中）[教材呈現(xiàn)]如圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材第103頁的部分內(nèi)容．
(1)請根據(jù)教材提示，結(jié)合圖1，寫出完整的證明過程．
(2)[結(jié)論應(yīng)用]如圖2，直角三角形紙片中，，點D是邊上的中點，連接，將沿折疊，點A落在點E處，此時恰好有．若，那么．
(3)如圖3，在中，是邊上的高線，是邊上的中線，G是的中點，．若，則．
【答案】(1)見解析
(2)
(3)
【分析】（1）如圖1中，延長到E，使，連接、，證得四邊形是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)即可證得結(jié)論；
（2）如圖2中，設(shè)交于點O．證明，求出，證明，可得結(jié)論；
（3）連接，證明，利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明，利用勾股定理求出，可得結(jié)論．
【詳解】（1）證明：延長到E，使，連接，
∴則．
∵是斜邊上的中線，
∴，
∴四邊形是平行四邊形．
∵，
∴平行四邊形是矩形，
∴，
∴；
（2）解：如圖2中，設(shè)交于點O．
∵，
∴，
∴．
由翻折的性質(zhì)可知．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
故答案為：；
（3）解：如圖3中，連接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題屬于三角形綜合題，考查了矩形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，解決問題．
25．（2020·新疆師范大學(xué)附屬中學(xué)九年級期中）在平行四邊形中，，已知，將沿翻折至，連接交邊于點O．
(1)如圖，若，求的度數(shù)；
(2)若，
①當(dāng)?shù)拈L為多少時，四邊形是矩形．
②設(shè)，求y與x的關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．
【答案】(1)∠ACB=45°；
(2)①當(dāng)BC=4時，四邊形是矩形；②．
【分析】（1）由題意及平行四邊形的性質(zhì)可得∠ACB=∠ACB'=∠CB'D=∠AB'D?∠AB'C=∠AB'D?∠B=75°?30°=45°；
（2）①由四邊形是矩形可得∠BAC=90°或∠BCA=90°，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可以得到BC的值；
②分別過A、O作BC的垂線，垂足為E和F，然后根據(jù)勾股定理和矩形的性質(zhì)可以得到y(tǒng)與x的關(guān)系式．
【詳解】（1）∵△ABC沿AC翻折至△AB'C，
∴△ABC≌△AB'C，∠ACB=∠ACB'，BC=B'C，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，AD//BC，
∴B'C=AD，∠ACB=∠CAD．
∴∠ACB'=∠CAD=，
∴AO=CO．
∴B'O=DO．
∴∠CB'D=∠B'DA=（180°-B'OD），
∵∠AOC=∠B'OD，
∴∠ACB'=∠CB'D，
∴∠ACB=∠CB'D=∠AB'D?∠AB'C=∠AB'D?∠B=75°?30°=45°；
（2）①若四邊形是矩形，如圖①，∠BAC=∠B'AC=90°，
在RT△ABC中，設(shè)BC=x，則AC=，由勾股定理可得：
即，
解之可得x=4或-4（不符題意，舍去），即BC=4；
②如圖②，分別過A、O作BC的垂線，垂足為E和F，
∴四邊形OAEF是矩形，
∴OA=EF，
則在RT△OFC中，OC=y，OF=AE=，
由折疊得∠ACB=∠ACO，
由平行四邊形得AD∥BC，
則∠OAC=∠ACB，
∴∠OAC=∠OCA，
∴OA=OC=y，
∴FC=BC-BE-EF=x-3-y，
由勾股定理可得：，
整理可得：，
∵連接交邊于點O，
∴，
∴．
【點睛】本題考查四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握三角形的性質(zhì)、軸對稱的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、矩形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
26．（2022·黑龍江·齊齊哈爾市鐵鋒區(qū)教師進修學(xué)校九年級期中）綜合與實踐
“綜合與實踐”是以問題為中心，以活動為平臺，以解決某一實際的數(shù)學(xué)問題為目標(biāo)，綜合應(yīng)用知識和方法解決問題，它是對數(shù)學(xué)知識的延伸和發(fā)展，是對理解、運用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的升華過程.請同學(xué)們運用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識來研究和解決以下問題吧.
動手操作
第一步：在圖1中，測得三角形紙片中，，．
第二步：將圖1中的紙片折疊，使點落在邊上的點處，然后展平，得到折痕，連結(jié)、，如圖2．
解決問題
請根據(jù)圖2完成下列問題
(1)______（請正確選擇“>”、“=”、“

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