一、單選題
1．（2020·福建·龍海二中一模）拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝OC＝3OA，求拋物線的解析式（ ）
A．y＝x2﹣2x﹣3B．y＝x2﹣2x+3C．y＝x2﹣2x﹣4D．y＝x2﹣2x﹣5
2．（2022·廣東·惠州市惠城區(qū)博文學(xué)校九年級(jí)期中）已知拋物線在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，它與x，y軸的交點(diǎn)分別為A，B．點(diǎn)P是其對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)圖中提供的信息，給出以下結(jié)論：①；②x＝3是的一個(gè)根；③周長(zhǎng)的最小值是；④拋物線上有兩點(diǎn)和，若，且，則，其中正確的有（ ）個(gè)．
A．1B．2C．3D．4
3．（2021·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C1：y＝a1x2（a1≠0）與拋物線C2：y＝a2x2+bx（a2≠0）的交點(diǎn)P在第三象限，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，與物線C1，C2分別交于點(diǎn)M，N．若＝，則的值是（ ）
A．B．n﹣1C．nD．
4．（2015·江蘇蘇州·九年級(jí)期末）如圖，已知拋物線的對(duì)稱軸為直線，過(guò)其頂點(diǎn)M的一條直線與該拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為N（－1，1）．若要在y軸上找一點(diǎn)P，使得PM＋PN最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）
A．（0，2）B．（0，）C．（0，）D．（0，）
5．（2019·浙江·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，拋物線y=-x2+2x+m+1交x軸于點(diǎn)A（a，0）和B（B，0），交y軸于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D．下列四個(gè)判斷：①當(dāng)x>0時(shí)，y>0；②若a=-1，則b=4；③拋物線上有兩點(diǎn)P（x1,y1）和Q（x2,y2），若x12，則y1> y2；④點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，當(dāng)m=2時(shí)，四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為，其中正確判斷的序號(hào)是（ ）
A．①B．②
C．③D．④
6．（2019·浙江湖州·九年級(jí)期末）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A（﹣6，0），點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，且⊙C與y軸相切，點(diǎn)P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)．若點(diǎn)D為PA的中點(diǎn)，連結(jié)OD，則OD的最大值是（ ）
A．B．C．2D．
7．（2018·河北邢臺(tái)·一模）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，與拋物線及其對(duì)稱軸分別交于點(diǎn)，以下結(jié)論：
①當(dāng)時(shí)，；
②存在點(diǎn)，使；
③是定值；
④設(shè)點(diǎn)關(guān)于的軸的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在下方．
其中正確的是（ ）
A．①③B．②③
C．②④D．①④
8．（2020·山東· 模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線為常數(shù))交軸于點(diǎn)，與軸的一個(gè)交點(diǎn)在和之間，頂點(diǎn)為．
①拋物線與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；
②若點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)在該函數(shù)圖象上，則
③將該拋物線向左平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，所得拋物線解析式為；
④點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)分別在軸和軸上，當(dāng)時(shí)，四邊形周長(zhǎng)的最小值為．
其中正確判斷的序號(hào)是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
9．（2019·浙江溫州·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，拋物線交坐標(biāo)軸于A、B、C三點(diǎn)，直線為拋物線的對(duì)稱軸，E為對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（D點(diǎn)在x軸下方），直線交直線于點(diǎn)M、直線交直線于點(diǎn)N，在點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過(guò)程中，線段的變化趨勢(shì)為（ ）
A．一直在增大B．一直不變C．先增大后減小D．先減小后增大
10．（2022·浙江溫州·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，拋物線交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，則四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．6B．C．D．
二、填空題
11．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，拋物線 與直線交與點(diǎn)A與點(diǎn)B，點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸，交拋物線于點(diǎn)Q，則線段PQ長(zhǎng)的最大值為_______．
12．（2022·吉林白城·九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作軸，交拋物線于另一點(diǎn)D，若，則c的值為 _____．
13．（2022·山東·日照市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在拋物線上取點(diǎn) ， 在y軸負(fù)半軸上取一個(gè)點(diǎn)，使為等邊三角形，然后在第四象限取拋物線上的點(diǎn)，在y軸負(fù)半軸上取點(diǎn)，使為等邊三角形，重復(fù)以上的過(guò)程，可得，則的坐標(biāo)為________．
14．（2022·山東·武城縣魯權(quán)屯鎮(zhèn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線平移得到拋物線C，如圖所示，且拋物線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，點(diǎn)P是拋物線C上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，則的最大值為______．
15．（2022·廣東·測(cè)試·編輯教研五一模）如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)在的左側(cè)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿折疊得，則線段的最小值是______．
16．（2021·新疆·烏魯木齊市第四十四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，拋物線與x軸交于點(diǎn)A 和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=OC，點(diǎn)M、N是直線x=-1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN=2（點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方），則四邊形BCNM的周長(zhǎng)的最小值是______．
三、解答題
17．（2021·新疆·烏魯木齊市第五十四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知直線y＝x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)C，對(duì)稱軸與直線AB交于點(diǎn)E，拋物線頂點(diǎn)為D．
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ．
(2)①求拋物線的解析式；
② 點(diǎn)M是拋物線在第二象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使得△MAB的面積最大?若存在，請(qǐng)求這個(gè)最大值并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿對(duì)稱軸向下以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？直接寫出所有符合條件的t值．
18．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，已知拋物線與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，連接、．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作∥軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最大時(shí)，求出的周長(zhǎng)最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
19．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與該二次函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為，B點(diǎn)在y軸上．
(1)求m的值及這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
(2)在x軸上找一點(diǎn)Q，使的周長(zhǎng)最小，求出此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)；
20．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)直線的函數(shù)解析式為 ，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，連接，若過(guò)點(diǎn)的直線交線段于點(diǎn)，將的面積分成的兩部分，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；
(3)在y軸上找一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為
21．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于，連接．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，點(diǎn)P是直線下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)E，求周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
22．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在x軸上找一點(diǎn)E，使的周長(zhǎng)最小，求符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo)；
23．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)，如圖．
(1)求拋物線的解析式；
(2)直線的函數(shù)解析式為______，點(diǎn)的坐標(biāo)為______，______．
(3)在軸上找一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小．請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
24．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)求的最小值
25．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．
(1)直接寫出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F，使得△BCF周長(zhǎng)最小，若存在求點(diǎn)F坐標(biāo)，并求周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由
26．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線l：與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線 與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)P在直線l下方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)P作軸交l于點(diǎn)D，軸交l于點(diǎn)E，求的最大值
27．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上異于的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)是否存在這樣的點(diǎn)，使線段的長(zhǎng)有最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
28．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)如圖1，連接，點(diǎn)P是線段上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PZx軸交于點(diǎn)Z，過(guò)點(diǎn)P作PQCB交直線于點(diǎn)Q，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，在（2）的條件下，將該拋物線向下平移個(gè)單位，向右平移3個(gè)單位，使得P點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)．點(diǎn)S是新拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，在平面上否存在一點(diǎn)N，使以、S、A、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
專題39 二次函數(shù)中的線段周長(zhǎng)問題
【題型演練】
一、單選題
1．（2020·福建·龍海二中一模）拋物線y＝ax2+bx﹣3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝OC＝3OA，求拋物線的解析式（ ）
A．y＝x2﹣2x﹣3B．y＝x2﹣2x+3C．y＝x2﹣2x﹣4D．y＝x2﹣2x﹣5
【答案】A
【分析】由拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可求OC得長(zhǎng)，根據(jù)OB＝OC＝3OA，進(jìn)而求出OB、OA，得出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出函數(shù)的關(guān)系式.
【詳解】解：在拋物線y＝ax2+bx﹣3中，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣3，點(diǎn)C（0，﹣3）
∴OC＝3，
∵OB＝OC＝3OA，
∴OB＝3，OA＝1，
∴A（﹣1，0），B（3，0）
把A（﹣1，0），B（3，0）代入拋物線y＝ax2+bx﹣3得：
a﹣b﹣3＝0，9a+3b﹣3＝0，
解得：a＝1，b＝﹣2，
∴拋物線的解析式為y＝x2﹣2x﹣3，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；是一道二次函數(shù)綜合題.
2．（2022·廣東·惠州市惠城區(qū)博文學(xué)校九年級(jí)期中）已知拋物線在坐標(biāo)系中的位置如圖所示，它與x，y軸的交點(diǎn)分別為A，B．點(diǎn)P是其對(duì)稱軸上的動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)圖中提供的信息，給出以下結(jié)論：①；②x＝3是的一個(gè)根；③周長(zhǎng)的最小值是；④拋物線上有兩點(diǎn)和，若，且，則，其中正確的有（ ）個(gè)．
A．1B．2C．3D．4
【答案】D
【分析】①根據(jù)對(duì)稱軸方程求得a、b的數(shù)量關(guān)系； ②根據(jù)拋物線的對(duì)稱性知拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3； ③利用兩點(diǎn)間線段最短來(lái)求△PAB周長(zhǎng)的最小值； ④根據(jù)二次函數(shù)圖象，當(dāng)x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，根據(jù)離對(duì)稱越遠(yuǎn)的點(diǎn)的縱坐標(biāo)就越小得出結(jié)論．
【詳解】解：①根據(jù)圖象知，對(duì)稱軸是直線，則b=-2a，即2a+b=0． 故①正確；
②根據(jù)圖象知，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-1，0），對(duì)稱軸是直線x=1，
則根據(jù)拋物線關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的性質(zhì)知，拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)是（3，0），
所以x=3是ax2+bx+3=0的一個(gè)根，故②正確；
③如圖所示，點(diǎn)A關(guān)于x=1對(duì)稱的點(diǎn)是，即拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)．
連接與直線x=1的交點(diǎn)即為點(diǎn)P， 則△PAB周長(zhǎng)的最小值是的長(zhǎng)度．
∵B（0，3），，
∴．而
即△PAB周長(zhǎng)的最小值是． 故③正確．
④觀察二次函數(shù)圖象可知： 當(dāng)x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，
則1-x1＜x2-1，
∴y1＞y2．
故④正確． 綜上所述，正確的結(jié)論是：①②③④．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短．解答該題時(shí)，充分利用了拋物線的對(duì)稱性．
3．（2021·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C1：y＝a1x2（a1≠0）與拋物線C2：y＝a2x2+bx（a2≠0）的交點(diǎn)P在第三象限，過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線，與物線C1，C2分別交于點(diǎn)M，N．若＝，則的值是（ ）
A．B．n﹣1C．nD．
【答案】B
【分析】令，求得P的橫坐標(biāo)，然后根據(jù)兩拋物線的對(duì)稱軸求得PM＝﹣，PN＝2（﹣）＝﹣﹣，由＝，得到＝，整理即可得到，即可求得＝n﹣1．
【詳解】解：令a1x2＝a2x2+bx，
解得x1＝0，x2＝，
∴P的橫坐標(biāo)為，
∵拋物線：的對(duì)稱軸為y軸，拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝﹣，
∴PM＝﹣，PN＝2（﹣）＝﹣﹣，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∴＝
，
∴＝，
∴＝n﹣2，
∴﹣1＝n﹣2，
∴＝n﹣1，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，求得P的橫坐標(biāo)，表示出PM、PN是解題的關(guān)鍵．
4．（2015·江蘇蘇州·九年級(jí)期末）如圖，已知拋物線的對(duì)稱軸為直線，過(guò)其頂點(diǎn)M的一條直線與該拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為N（－1，1）．若要在y軸上找一點(diǎn)P，使得PM＋PN最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）
A．（0，2）B．（0，）C．（0，）D．（0，）
【答案】A
【詳解】試題分析：因?yàn)閽佄锞€y＝－x2＋px＋q的對(duì)稱軸為直線x＝－3，過(guò)點(diǎn)N（－1，1），所以，解得，所以，所以頂點(diǎn)M為（-3,5），則點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為（3,5），設(shè)直線N的解析式為，把點(diǎn)N（－1，1），點(diǎn)（3,5），代入得，解得，所以直線為，令x=0，則y=2，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2），故選A．
考點(diǎn)：1．待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；2．軸對(duì)稱；3．直線與y的交點(diǎn)．
5．（2019·浙江·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，拋物線y=-x2+2x+m+1交x軸于點(diǎn)A（a，0）和B（B，0），交y軸于點(diǎn)C，拋物線的頂點(diǎn)為D．下列四個(gè)判斷：①當(dāng)x>0時(shí)，y>0；②若a=-1，則b=4；③拋物線上有兩點(diǎn)P（x1,y1）和Q（x2,y2），若x12，則y1> y2；④點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為E，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，當(dāng)m=2時(shí)，四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為，其中正確判斷的序號(hào)是（ ）
A．①B．②
C．③D．④
【答案】C
【詳解】試題解析：①當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)圖象過(guò)一四象限，當(dāng)0＜x＜b時(shí)，y＞0；當(dāng)x＞b時(shí)，y＜0，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
②二次函數(shù)對(duì)稱軸為x=-=1，當(dāng)a=-1時(shí)有=1，解得b=3，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；
③∵x1+x2＞2，
∴＞1，
又∵x1-1＜1＜x2-1，
∴Q點(diǎn)距離對(duì)稱軸較遠(yuǎn)，
∴y1＞y2，故本選項(xiàng)正確；
④如圖，作D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E′，
連接D′E′，D′E′與DE的和即為四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值．
當(dāng)m=2時(shí)，二次函數(shù)為y=-x2+2x+3，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為y=-1+2+3=4，D為（1，4），則D′為（-1，4）；C點(diǎn)坐標(biāo)為C（0，3）；則E為（2，3），E′為（2，-3）；
則DE=；D′E′=；
∴四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選C．
考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn)．
6．（2019·浙江湖州·九年級(jí)期末）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A（﹣6，0），點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，且⊙C與y軸相切，點(diǎn)P為⊙C上一動(dòng)點(diǎn)．若點(diǎn)D為PA的中點(diǎn)，連結(jié)OD，則OD的最大值是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】B
【分析】取點(diǎn)H（6,0）,連接PH,由待定系數(shù)法可求拋物線解析式,可得點(diǎn)C坐標(biāo), 可得⊙C半徑為4,由三角形中位線的定理可求OD=PH, 當(dāng)點(diǎn)C在PH上時(shí),PH有最大值,即可求解．
【詳解】如圖,取點(diǎn)H（6,0）,連接PH,
∵拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)原點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A（﹣6,0）,
∴,
解得:,
∴拋物線解析式為：y＝﹣,
∴頂點(diǎn)C（﹣3,4）,
∴⊙C半徑為4,
∵AO＝OH＝6,AD＝BD,
∴OD＝PH,
∴PH最大時(shí),OD有最大值,
∴當(dāng)點(diǎn)C在PH上時(shí),PH有最大值,
∴PH最大值為＝3+ ＝3+,
∴OD的最大值為: ,
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì),二次函數(shù)的性質(zhì),三角形中位線定理等知識(shí),解決本題的關(guān)鍵是要熟練掌握二次函數(shù)性質(zhì)和三角形中位線的性質(zhì).
7．（2018·河北邢臺(tái)·一模）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，頂點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線，與拋物線及其對(duì)稱軸分別交于點(diǎn)，以下結(jié)論：
①當(dāng)時(shí)，；
②存在點(diǎn)，使；
③是定值；
④設(shè)點(diǎn)關(guān)于的軸的對(duì)稱點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在下方．
其中正確的是（ ）
A．①③B．②③
C．②④D．①④
【答案】A
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性可得拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為，且拋物線開口向上，可對(duì)①作判斷；根據(jù)圖形中與軸交點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸與軸交點(diǎn)可對(duì)②作判斷；
根據(jù)對(duì)稱性得：，根據(jù)線段的和與差可對(duì)③作判斷；根據(jù)的坐標(biāo)和到軸的距離可對(duì)④作判斷．
【詳解】解：①由題意得：，開口向上，
拋物線對(duì)稱軸是，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，
拋物線過(guò)軸另一個(gè)點(diǎn)為，
當(dāng)時(shí)，；
故①正確；
②當(dāng)在點(diǎn)時(shí)，，
，
不可能與重合，
故②不正確；
③，
故③正確；
④把代入中，，
當(dāng)時(shí)，，，點(diǎn)在的上方，
故④不正確；
所以正確的有：①③，
故選：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、與軸的交點(diǎn)、關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)的特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題是關(guān)鍵，并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．
8．（2020·山東· 模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線為常數(shù))交軸于點(diǎn)，與軸的一個(gè)交點(diǎn)在和之間，頂點(diǎn)為．
①拋物線與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)；
②若點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)在該函數(shù)圖象上，則
③將該拋物線向左平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位，所得拋物線解析式為；
④點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)分別在軸和軸上，當(dāng)時(shí)，四邊形周長(zhǎng)的最小值為．
其中正確判斷的序號(hào)是（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④
【答案】D
【分析】根據(jù)一元二次方程的判別式的值，即可判斷①；根據(jù)拋物線的對(duì)稱性和二次函數(shù)的增減性，即可判斷②；根據(jù)二次函數(shù)的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”即可判斷③；先求出A，B，C的坐標(biāo)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)連接，與軸、軸分別交于點(diǎn)，則四邊形的最小周長(zhǎng)，即可判斷④．
【詳解】把代入中，得，
，
一元二次方程兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴拋物線與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
故此小題結(jié)論正確；
拋物線的對(duì)稱軸為：直線，
點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，
，
當(dāng)時(shí)，隨增大而增大，
又，點(diǎn)、點(diǎn)、點(diǎn)在該函數(shù)圖象上，
，
故此小題結(jié)論錯(cuò)誤；
將該拋物線向左平移個(gè)單位，再向下平移個(gè)單位后，拋物線的解析式為：，即：，
故此小題結(jié)論正確；
當(dāng)時(shí)，拋物線的解析式為：，
，
作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)連接，與軸、軸分別交于點(diǎn)，則，
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，可知最短，而的長(zhǎng)度一定，
四邊形的最小周長(zhǎng)
=
=
=．
故此小題結(jié)論正確；
綜上所述：結(jié)論正確的有，
故選D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點(diǎn)以及軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性，增減性，函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題與方程的根的關(guān)系，二次函數(shù)的平移規(guī)律，利用軸對(duì)稱性，求線段和的最小值，是解題的關(guān)鍵．
9．（2019·浙江溫州·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，拋物線交坐標(biāo)軸于A、B、C三點(diǎn)，直線為拋物線的對(duì)稱軸，E為對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（D點(diǎn)在x軸下方），直線交直線于點(diǎn)M、直線交直線于點(diǎn)N，在點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的過(guò)程中，線段的變化趨勢(shì)為（ ）
A．一直在增大B．一直不變C．先增大后減小D．先減小后增大
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，分別解得點(diǎn)A、B、C、E的坐標(biāo)，設(shè)，分別解得直線BD、AD的表達(dá)式，再進(jìn)一步解得交點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，即可解得線段EM、EN 的長(zhǎng)，據(jù)此解題．
【詳解】拋物線的對(duì)稱軸為
直線為
E為對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)，
點(diǎn)D為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)
令x=0，解得y=-3，
令y=0，則
設(shè)直線的表達(dá)式為，代入點(diǎn)B、D
得
直線的表達(dá)式為
設(shè)直線的表達(dá)式為，代入點(diǎn)A、D
得
直線的表達(dá)式為
直線交直線于點(diǎn)M
解得
同理直線交直線于點(diǎn)N，
解得
的長(zhǎng)度不變，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，是重要考點(diǎn)，難度較大，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
10．（2022·浙江溫州·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，拋物線交x軸于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)G，F(xiàn)分別在x軸和y軸上，則四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為（ ）
A．6B．C．D．
【答案】B
【分析】利用拋物線的解析式求得點(diǎn)C、D和E的坐標(biāo)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)和將軍飲馬模型作出點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交x軸于點(diǎn)G，交y軸于點(diǎn)F，此時(shí)EDFG周長(zhǎng)取最小值，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)和勾股定理即可求得結(jié)論．
【詳解】解：令，則，
∴，
∵，
∴，拋物線的對(duì)稱軸為直線，
∵點(diǎn)C關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)E，
∴，
∴，
作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交x軸于點(diǎn)G，交y軸于點(diǎn)F，如圖，
則，，，，
此時(shí)，
∴此時(shí)四邊形EDFG周長(zhǎng)最小，
延長(zhǎng)，它們交于點(diǎn)H，如圖，
則，
∴，
∴四邊形EDFG周長(zhǎng)的最小值為，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、拋物線與x軸的交點(diǎn)，軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理和拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)找出點(diǎn)F和G的位置是解決本題的關(guān)鍵．
二、填空題
11．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，拋物線 與直線交與點(diǎn)A與點(diǎn)B，點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸，交拋物線于點(diǎn)Q，則線段PQ長(zhǎng)的最大值為_______．
【答案】##0.25
【分析】根據(jù)PQ∥y軸，可設(shè)點(diǎn)，則，從而得到，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】解：∵PQ∥y軸，
∴可設(shè)點(diǎn)，則，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，最大，最大值．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
12．（2022·吉林白城·九年級(jí)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)C作軸，交拋物線于另一點(diǎn)D，若，則c的值為 _____．
【答案】
【分析】先用根與系數(shù)的關(guān)系求出，再根據(jù)求出，然后由得到關(guān)于c的方程，解方程求出c即可．
【詳解】解：設(shè)，
令，則，
由根與系數(shù)的關(guān)系得：，
則，
令，則，
∴，
∵軸，
∴點(diǎn)D縱坐標(biāo)為c，
當(dāng)時(shí)，則，
解得：或，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
13．（2022·山東·日照市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在拋物線上取點(diǎn) ， 在y軸負(fù)半軸上取一個(gè)點(diǎn)，使為等邊三角形，然后在第四象限取拋物線上的點(diǎn)，在y軸負(fù)半軸上取點(diǎn)，使為等邊三角形，重復(fù)以上的過(guò)程，可得，則的坐標(biāo)為________．
【答案】
【分析】首先求出的坐標(biāo)，通過(guò)觀察得出規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律求出的坐標(biāo)．
【詳解】解：根據(jù)的坐標(biāo)，設(shè)直線解析式為，
∴，
∴直線的解析式為：，
∵為等邊三角形，，
∴，
∴，，
∵，又直線過(guò)點(diǎn)，
則直線的解析式為：，
聯(lián)立拋物線解析式得，
解得：，
∴，，，
同理可得，，，
……
當(dāng)，，
點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值=1+2+3+…+100=5050，
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
14．（2022·山東·武城縣魯權(quán)屯鎮(zhèn)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線平移得到拋物線C，如圖所示，且拋物線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，點(diǎn)P是拋物線C上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為Q，則的最大值為______．
【答案】
【分析】求得拋物線C的解析式，設(shè)Q（x，0），則P（x，-x2+2x+3），即可得出OQ+PQ，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得．
【詳解】解：設(shè)平移后的解析式為y=-x2+bx+c，
∵拋物線C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（-1，0）和B（0，3），
∴，解得，
∴拋物線C的解析式為y=-x2+2x+3，
設(shè)Q（x，0），則P（x，-x2+2x+3），
∵點(diǎn)P是拋物線C上第一象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，
∴OQ+PQ=x+（-x2+2x+3）
=-x2+3x+3
∴OQ+PQ的最大值為
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，平移，二次函數(shù)圖象與幾何變換，根據(jù)題意得出OQ+PQ=-x2+3x+3是解題的關(guān)鍵．
15．（2022·廣東·測(cè)試·編輯教研五一模）如圖，拋物線交軸于、兩點(diǎn)在的左側(cè)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，沿折疊得，則線段的最小值是______．
【答案】##
【分析】先根據(jù)拋物線解析式求出點(diǎn)A，B，坐標(biāo)，從而得出，，，再根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)度，然后根據(jù)翻折的性質(zhì)得出在以為圓心，為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)，，在同一直線上時(shí)，最?。贿^(guò)點(diǎn)作，垂足為，由中位線定理得出，的長(zhǎng)，然后由勾股定理求出，從而得出結(jié)論．
【詳解】解：令，則，
解得，，
，，
，，
令，則，
，
，
，
為中點(diǎn)，
，
由沿折疊所得，
，
在以為圓心，為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)，，在同一直線上時(shí)，最小，
過(guò)點(diǎn)作，垂足為，
，，
，
，
又，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)，翻折變換、勾股定理以及求線段最小值等知識(shí)，關(guān)鍵是根據(jù)拋物線的性質(zhì)求出，，的坐標(biāo)．
16．（2021·新疆·烏魯木齊市第四十四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，拋物線與x軸交于點(diǎn)A 和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=OC，點(diǎn)M、N是直線x=-1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且MN=2（點(diǎn)N在點(diǎn)M的上方），則四邊形BCNM的周長(zhǎng)的最小值是______．
【答案】
【分析】先求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出求出點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求出拋物線解析式，從而求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，取E（0，1），連接AM，EM，AE，可證四邊形MNCE是平行四邊形，得到CN=ME，則四邊形BCNM的周長(zhǎng)=BC+CN+NM+BM，再由點(diǎn)A，B關(guān)于直線MN對(duì)稱，得到AM=BM，則四邊形BCNM的周長(zhǎng)=BC+NM+AM+ME，故當(dāng)A、M、E三點(diǎn)共線時(shí)，AM+ME最小，最小為AE，即此時(shí)四邊形BCNM的周長(zhǎng)最小，據(jù)此求解即可．
【詳解】解：∵點(diǎn)C是拋物線與y軸的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3），
∴OA=OC=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，0），
∴，
∴，
∴拋物線解析式為，
∴拋物線對(duì)稱軸為直線，
令，則，
解得或（舍去），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0） ，
取E（0，1），連接AM，EM，AE，
∴CE=ME=2，
又∵，
∴四邊形MNCE是平行四邊形，
∴CN=ME，
∴四邊形BCNM的周長(zhǎng)=BC+CN+NM+BM，
∵點(diǎn)A，B關(guān)于直線MN對(duì)稱，
∴AM=BM，
∴四邊形BCNM的周長(zhǎng)=BC+NM+AM+ME，
∴當(dāng)A、M、E三點(diǎn)共線時(shí)，AM+ME最小，最小為AE，即此時(shí)四邊形BCNM的周長(zhǎng)最小，
∴，
∴四邊形BCNM的周長(zhǎng)的最小值為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)綜合，平行四邊形的性質(zhì)與判定，已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求兩點(diǎn)距離等等，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
17．（2021·新疆·烏魯木齊市第五十四中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知直線y＝x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，拋物線經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，與x軸交于另一個(gè)點(diǎn)C，對(duì)稱軸與直線AB交于點(diǎn)E，拋物線頂點(diǎn)為D．
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為 ，點(diǎn)B的坐標(biāo)為 ．
(2)①求拋物線的解析式；
② 點(diǎn)M是拋物線在第二象限圖象上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)M，使得△MAB的面積最大?若存在，請(qǐng)求這個(gè)最大值并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿對(duì)稱軸向下以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)t為何值時(shí)，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？直接寫出所有符合條件的t值．
【答案】(1)（﹣3，0），（0，3）；
(2)①，②存在，△MAB的面積最大為，此時(shí)，
(3)當(dāng)t為3或4±或4秒時(shí)，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形
【分析】（1）y＝x+3，令x＝0，則y＝3，令y＝0，則x＝﹣3，即可求解；
（2）①B的坐標(biāo)為：（0，3），故c＝3，將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式并解得：b＝﹣2，即可求解；
②過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，設(shè)，則，求得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值，以及的值，從而求得的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)題意可得，進(jìn)而勾股定理分別求得，分PC＝PB、BC＝PC、BC＝PB，三種情況，分別解方程求解即可．
【詳解】（1）解： y＝x+3，令x＝0，則y＝3，
令y＝0，則x＝－3，
故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為：（﹣3，0），（0，3）；
故答案為：（﹣3，0），（0，3）；
（2）①B的坐標(biāo)為：（0，3），
∴
將點(diǎn)A的坐標(biāo)（﹣3，0）代入拋物線表達(dá)式得：，
解得：b＝﹣2，
∴拋物線的解析式為；
②如圖，過(guò)點(diǎn)作軸，交于點(diǎn)，
設(shè)，則
∴
∴
當(dāng)時(shí)，取得最大值，為
此時(shí)
∴
（3）令中y＝0，則＝﹣（x﹣1）（x+3）＝0，
解得：x＝1或，
∴C（1，0）．
∵，
∴D（﹣1，4），
∵點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿對(duì)稱軸向下以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，
∴．
∵，，
∴，
，．
①當(dāng)PC＝PB時(shí)，
即
解得：t＝3；
②當(dāng)BC＝PC時(shí)，
解得：t＝4±；
③當(dāng)BC＝PB時(shí)，
解得：t＝4或﹣2（舍去負(fù)值）
綜上可知：當(dāng)t為3或4±或4秒時(shí)，以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、面積問題、兩點(diǎn)間的距離公式以及勾股定理等，解題關(guān)鍵是熟練掌握一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、兩點(diǎn)間的距離公式以及勾股定理．
18．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖1，已知拋物線與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)，連接、．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作∥軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)最大時(shí)，求出的周長(zhǎng)最大值及此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；
【答案】(1)
(2)最大值為，
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）過(guò)點(diǎn)P作∥軸交BC于點(diǎn)H，由題意易得，則有，然后可得，，，進(jìn)而可求，設(shè)，設(shè)直線的解析式為：，則有，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可進(jìn)行求解．
【詳解】（1）解：∵點(diǎn)、、在拋物線的圖像上，
∴將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入得：
，
解得，
∴；
（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)P作∥軸交BC于點(diǎn)H，
∵∥軸，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴當(dāng)取最大值時(shí)，取最大值，
設(shè)，設(shè)直線的解析式為：，
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入得：
，
解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，
∴的最大值，
將代入到中，得，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
19．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與該二次函數(shù)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)為，B點(diǎn)在y軸上．
(1)求m的值及這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
(2)在x軸上找一點(diǎn)Q，使的周長(zhǎng)最小，求出此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)；
【答案】(1)，；
(2)．
【分析】（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)分別代入拋物線和直線解析式，即可求出m的值及這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）使的周長(zhǎng)最小，即是求的值最小，作B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)A、Q、三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，的周長(zhǎng)最小，求出直線的解析式，進(jìn)而可得Q點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為，
∵點(diǎn)在拋物線上，則，
解得，
∴拋物線的解析式為，
∵點(diǎn)在直線上，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴直線解析式為，
當(dāng)時(shí)，，即，
∴B點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
設(shè)直線的解析式為，
將A、兩點(diǎn)坐標(biāo)代入，得，
解得，，
∴直線的解析式為，
如圖，當(dāng)A、Q、三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，的值最小，即的周長(zhǎng)最小，Q點(diǎn)為直線與x軸的交點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，即，
解得，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，軸對(duì)稱最短路徑問題，解題時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．
20．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)直線的函數(shù)解析式為 ，點(diǎn)的坐標(biāo)為 ，連接，若過(guò)點(diǎn)的直線交線段于點(diǎn)，將的面積分成的兩部分，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 ；
(3)在y軸上找一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最小，則點(diǎn)的坐標(biāo)為
【答案】(1)
(2)；或
(3)
【分析】（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）求得線的表達(dá)式為：，依題意將的面積分成的兩部分，則或，進(jìn)而求得的縱坐標(biāo)，即可求解．
（3）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接與軸交于點(diǎn)，連接、、，根據(jù)題意得出點(diǎn)，進(jìn)而待定系數(shù)法求得直線的表達(dá)式為： ，進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，
，
解得，
故二次函數(shù)的表達(dá)式為：；
（2）點(diǎn)，，故點(diǎn)，
設(shè)直線的表達(dá)式，
，
解得，
∴直線的表達(dá)式為：；
對(duì)于，函數(shù)的對(duì)稱軸為，故點(diǎn)；
將的面積分成的兩部分，則或，
則或，即或，解得：或，
故點(diǎn)或；
故答案為：，，或；
（3）如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接與軸交于點(diǎn)，連接、、，
的周長(zhǎng)最小，點(diǎn)，
設(shè)直線的表達(dá)式為：，則，
解得，
故直線的表達(dá)式為： ，
令，則，故點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合運(yùn)用，面積問題，軸對(duì)稱求線段和，求一次函數(shù)解析式，綜合運(yùn)用以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
21．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于，連接．
(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖，點(diǎn)P是直線下方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)P作軸交于點(diǎn)E，求周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)，再將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求解即可；
（2）延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)F，證明，通過(guò)相似三角形周長(zhǎng)比等于相似比，即可得出周長(zhǎng)的表達(dá)式，再將其改寫為頂點(diǎn)式即可求出最值．
【詳解】（1）設(shè)，
把代入得：，
解得：，
∴；
（2）解：如圖，延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)F，
設(shè)點(diǎn)，的周長(zhǎng)是l，
∵，
∴，
∵，
∴的周長(zhǎng)是12，
設(shè)直線BC的解析式為，
把，代入得：
，解得：，
∴直線的解析式是：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵軸，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，l有最大值，最大值為，即周長(zhǎng)的最大值為，
當(dāng)時(shí)，，
∴．
綜上：周長(zhǎng)的最大值為，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)表達(dá)式的方法，通過(guò)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比得出周長(zhǎng)的表達(dá)式．
22．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，與x軸另一交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為D．
(1)求拋物線的解析式；
(2)在x軸上找一點(diǎn)E，使的周長(zhǎng)最小，求符合條件的E點(diǎn)坐標(biāo)；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由直線解析式可求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)E，此時(shí)為最小，且為的長(zhǎng)，即此時(shí)的周長(zhǎng)最?。蓲佄锞€的解析式可求出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求出直線的解析式，從而即可求出E點(diǎn)坐標(biāo)．
【詳解】（1）解：∵直線與x軸、y軸分別交于B、C兩點(diǎn)，
∴令，則；令，則，
∴點(diǎn)B、C的坐標(biāo)分別為，
將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：，
解得：，
故該拋物線的解析式：；
（2）解：如圖，作點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交x軸于點(diǎn)E，此時(shí)為最小，且為的長(zhǎng)，即此時(shí)的周長(zhǎng)最小．
對(duì)于，令，則，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．
∵，
∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為．
設(shè)直線的表達(dá)式為，
將、D的坐標(biāo)代入得：，
解得：，
∴直線的表達(dá)式為：，
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，
故點(diǎn)E的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，考查一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，軸對(duì)稱的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等知識(shí)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
23．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，且，直線與拋物線在第一象限交于點(diǎn)，如圖．
(1)求拋物線的解析式；
(2)直線的函數(shù)解析式為______，點(diǎn)的坐標(biāo)為______，______．
(3)在軸上找一點(diǎn)，使得的周長(zhǎng)最?。?qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
【答案】(1)
(2)；；
(3)
【分析】（1）將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式，再利用待定系數(shù)法求解解析式即可；
（2）先求解的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求解的解析式，再利用拋物線的對(duì)稱軸方程求解拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，連接，證明，再利用銳角三角函數(shù)的定義求解即可；
（3）如圖，作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，可得的周長(zhǎng)為，此時(shí)的周長(zhǎng)最短，再求解直線的解析式即可．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：，
解得
故拋物線的表達(dá)式為：；
（2）點(diǎn)，，故點(diǎn)，
設(shè)直線AB的解析式為：，
，解得，
∴直線的表達(dá)式為：；
對(duì)于，函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，
把代入，
∴頂點(diǎn)；
如圖，設(shè)拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，連接，
把代入，得，
，
為線段的中點(diǎn)，，
在中，，
，
，
，
在中，
（3）如圖，作關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交軸于，
∴的周長(zhǎng)為，
此時(shí)的周長(zhǎng)最短，
設(shè)直線為，
∴，解得：，
∴直線為，
當(dāng)時(shí)，，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，拋物線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的計(jì)算，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)求解三角形的周長(zhǎng)的最小值，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．
24．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線交x軸于兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C，點(diǎn)Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)求的最小值
【答案】(1)
(2)10
【分析】（1）設(shè)，將代入求解即可；
（2）作點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接，利用勾股定理及軸對(duì)稱的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線交x軸于兩點(diǎn)，
∴設(shè)，將代入，
得：，
解得：，
∴，
∴拋物線的解析式為；
（2）如圖1，作點(diǎn)O關(guān)于直線BC的對(duì)稱點(diǎn)，連接，
∵，，
∴，
∵O、關(guān)于直線對(duì)稱，
∴垂直平分，
∴垂直平分，
∴四邊形BOCO′是正方形，
∴，
在中， ，
∵，
∴，即點(diǎn)Q位于直線與直線交點(diǎn)時(shí)，
有最小值10．
【點(diǎn)睛】題目主要考查二次函數(shù)的綜合問題，包括待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，線段最短及軸對(duì)稱的性質(zhì)等，理解題意，綜合運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．
25．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)．
(1)直接寫出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；
(2)如圖，拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F，使得△BCF周長(zhǎng)最小，若存在求點(diǎn)F坐標(biāo)，并求周長(zhǎng)的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由
【答案】(1)
(2)存在，；
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先求出拋物線的對(duì)稱軸，即可得出，設(shè)直線的解析式為：，求出解析式，把代入，求出，再求出，，，即可求出周長(zhǎng)．
【詳解】（1）將，，代入
得:,
解得:
所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式：
（2）存在；∵拋物線的解析式為：，
∴拋物線的對(duì)稱軸，，
∴，
設(shè)直線的解析式為：，
∵，
∴ 解得 ，
∴ 直線的解析式為：，
把代入直線的解析式，得，
∴；
∴
∴
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)，利用待定系數(shù)法求出解析式是解題的關(guān)鍵，利用對(duì)稱軸求出坐標(biāo)是解（2）題的關(guān)鍵．
26．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，直線l：與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C，經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)的拋物線 與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．
(1)求該拋物線的解析式；
(2)若點(diǎn)P在直線l下方的拋物線上，過(guò)點(diǎn)P作軸交l于點(diǎn)D，軸交l于點(diǎn)E，求的最大值
【答案】(1)
(2)3
【分析】（1）由與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)可求得、，然后用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式是
（2）設(shè)，分別用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)D、E的坐標(biāo)，從而得到是一個(gè)關(guān)于m的二次式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可求解的最大值是3
【詳解】（1）解：∵直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C，
∴、，
∵點(diǎn)、C在拋物線解上，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為．
（2）解：∵點(diǎn)P在直線l下方的拋物線上，設(shè)，
∵軸，軸，點(diǎn)D，E都在直線上，
∴，，
∴，
，
∴，
即：，
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，的最大值是3．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)與方程的關(guān)系，掌握二次函數(shù)求最值的方法
27．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，拋物線經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)，點(diǎn)是線段上異于的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)．
(1)求拋物線的解析式；
(2)是否存在這樣的點(diǎn)，使線段的長(zhǎng)有最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（2）先求得直線的解析式為，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P得坐標(biāo)為，則C點(diǎn)得坐標(biāo)為，進(jìn)而表示出的長(zhǎng)度，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值即可求解．
【詳解】（1）解：∵、在拋物線上，
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為．
（2）解：設(shè)直線的解析式為：，
∵、在直線上，
∴，
解得，
∴直線AB的解析式為，
設(shè)動(dòng)點(diǎn)P得坐標(biāo)為，則C點(diǎn)得坐標(biāo)為，
∴，
∵，，
∴當(dāng)時(shí)，當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為，線段PC有最大且為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，線段問題，待定系數(shù)法求解析式，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
28．（2022·重慶八中模擬預(yù)測(cè)）平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與直線交于點(diǎn)，，與y軸交于點(diǎn)C．
(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
(2)如圖1，連接，點(diǎn)P是線段上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PZx軸交于點(diǎn)Z，過(guò)點(diǎn)P作PQCB交直線于點(diǎn)Q，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖2，在（2）的條件下，將該拋物線向下平移個(gè)單位，向右平移3個(gè)單位，使得P點(diǎn)對(duì)應(yīng)點(diǎn)．點(diǎn)S是新拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，在平面上否存在一點(diǎn)N，使以、S、A、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)，
(2)最大值為，
(3)或
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；
（2）設(shè)，過(guò)P作軸交于M，過(guò)Q作軸交于N，根據(jù)待定系數(shù)法求直線，解析式，則可求M，Z的坐標(biāo)，從而求出，，然后證明可得，，再證明，得出，進(jìn)而得出，最后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；
（3）根據(jù)平移的性質(zhì)可得新拋物線為，，然后分①以，為對(duì)角線；②以，為對(duì)角線；③以，為對(duì)角線三種情況討論即可．
【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，
∴，
解得：，
∴拋物線解析式為，
∵
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）解：設(shè)，
過(guò)P作軸交于M，過(guò)Q作軸交于N，
∵，，
∴直線的解析式為，
∵軸，
∴P、M的橫坐標(biāo)相同，
∴，
∴，
易求，
∵，
∴直線的解析式為，
∵軸，
∴P、Z的縱坐標(biāo)相同，
∴Z的縱坐標(biāo)為，
∴，
解得，
∴，
∴，
∵軸，，軸，
∴，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴ ，
∴，，
∵軸，與x軸所交的銳角為
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值為，
此時(shí)，
∴；
（3）解：拋物線向下平移個(gè)單位，向右平移3個(gè)單位，得到新拋物線，
向下平移個(gè)單位，向右平移3個(gè)單位，得到
設(shè)， ，
令，則，解得，，
∴，
①以，為對(duì)角線時(shí)，
，
解得，
又，
∴，
∴，
∴
②以，為對(duì)角線時(shí)，
，
解得，，
又，
∴，
∴，
∴無(wú)解，
∴不符合題，舍去；
③以，為對(duì)角線時(shí)，
，
解得，
又，
∴，
∴（正跟舍去），
∴，
綜上，或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)坐標(biāo)的特征，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)以及相關(guān)線段的長(zhǎng)度．

相關(guān)試卷

中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與經(jīng)典模型精講練(全國(guó)通用)專題54有關(guān)面積比的存在性問題(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與經(jīng)典模型精講練(全國(guó)通用)專題54有關(guān)面積比的存在性問題(原卷版+解析)，共66頁(yè)。

中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與經(jīng)典模型精講練(全國(guó)通用)專題41二次函數(shù)中的角度問題(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與經(jīng)典模型精講練(全國(guó)通用)專題41二次函數(shù)中的角度問題(原卷版+解析)，共80頁(yè)。

中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與經(jīng)典模型精講練(全國(guó)通用)專題40二次函數(shù)中的面積問題(原卷版+解析)：

這是一份中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與經(jīng)典模型精講練(全國(guó)通用)專題40二次函數(shù)中的面積問題(原卷版+解析)，共54頁(yè)。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與經(jīng)典模型精講練(全國(guó)通用)專題38二次函數(shù)中的寬高模型(原卷版+解析)

中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與經(jīng)典模型精講練(全國(guó)通用)專題38二次函數(shù)中的寬高模型(原卷版+解析)
中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與經(jīng)典模型精講練(全國(guó)通用)專題33旋轉(zhuǎn)綜合題中的線段問題(原卷版+解析)

中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與經(jīng)典模型精講練(全國(guó)通用)專題33旋轉(zhuǎn)綜合題中的線段問題(原卷版+解析)
中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與經(jīng)典模型精講練(全國(guó)通用)專題29軸對(duì)稱綜合題中的線段問題(原卷版+解析)

中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與經(jīng)典模型精講練(全國(guó)通用)專題29軸對(duì)稱綜合題中的線段問題(原卷版+解析)
最新中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與經(jīng)典模型精講練 專題31 二次函數(shù)中的線段周長(zhǎng)問題 （全國(guó)通用）

最新中考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破與經(jīng)典模型精講練 專題31 二次函數(shù)中的線段周長(zhǎng)問題 （全國(guó)通用）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
中考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過(guò)期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部